八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷

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八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试题一、解答题1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．(1)求证: FCE BOE ≌；(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．2．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.3．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）4．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ．（1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝（直接填结果）．5．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．7．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．8．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．9．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．10．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝517，请直接写出此时DE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析【分析】（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.【详解】(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，∴OD CF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∴OB CF =，在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()FCE BOE AAS ≌．(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形∴,,,OA OC OB OD AC BD ===∴OC OD =，∴四边形OCFD 为菱形【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.2．（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由见解析；（2）5t =，理由见解析.【分析】（1）能；首先证明四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即40﹣4t ＝2t ，解方程即可解决问题；（2）当∠FDE ＝90°时，AEFD 为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.【详解】解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，∴2DF t =，又∵2AE t =，∴AE DF =，∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.∴当203t =秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）如图2，当90FDE ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形，在Rt AED ∆中，60A ∠=︒，则30ADE ∠=︒，∴2AD AE =，即4044t t -=，解得5t =.【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.3．【发现与证明．．】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】【发现与证明．．】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出∠CB ′D=∠B ′DA=12（180°-∠B ′ED ），由∠AEC=∠B ′ED ，得出∠ACB ′=∠CB ′D ，即可得出B ′D ∥AC ；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB ′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC ；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．【详解】【发现与证明．．】:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC,AD ∥BC ，∴∠EAC=∠ACB ，∵△ABC ≌△AB ′C ，∴∠ACB=∠ACB ′,BC=B ′C ，∴∠EAC=∠ACB ′，∴AE=CE ，即△ACE 是等腰三角形；∴DE=B ′E ，∴∠CB ′D=∠B ′DA=12(180°−∠B ′ED)，∵∠AEC=∠B ′ED ，∴∠ACB ′=∠CB ′D ，∴B ′D ∥AC ；【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=222BC=；②如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC2或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA和AB’共线和BC和B’C两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.4．（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；（2）连AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，证△AOE≌△COF（SAS），得AE=CF，由折叠性质得AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，则∠D=∠B1，证△A1PE≌△CGF （AAS），即可得出FG=EP；（3）作OH⊥BC于H，证四边形ABCD是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=43CF=3，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=3HF=423-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=2622，进而得出答案．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中，ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43， ∴CF=43-4，∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23， ∴HF=4-23，OH=12OB=2，在Rt △OHF 中，由勾股定理得：OF=22OH HF +=()222423+-=2622-， ∴434226222CF OF -===-，故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）685【分析】（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．【详解】（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，在△BCE 和△DCF 中， BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF (SAS )，∴CE=CF ；（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：由（1）得△BCE ≌△DCF ，∴∠BCE=∠DCF ，∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，即∠ECF =∠BCD =90°，又∵∠GCE =45°，∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，在△GEC 和△GFC 中，CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GEC ≌△GFC (SAS )，∴EG=GF ，∴GE=DF+GD=BE+GD ；（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，∴∠CGA=90°，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，∴四边形ABCG 为矩形，又∵AB=BC ，∴四边形ABCG 为正方形，∴AG =BC=AB =16，∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，设DE=x ，∵4BE ＝，∴AE =12，DG=x −4，∴AD =AG −DG =20−x在Rt △AED 中，由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，即x 2=(20−x )2+122 解得：685=x ，即685=DE ．【点睛】本题是一道几何综合题，内容主要涉及全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．6．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC ==，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=ABC ∆的面积12532BC AM =⨯=ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2532222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案；（4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴358CG PE PF =+=+=.故答案为：15，8.（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =， ∴CG PE PF =+.（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：∵10AB AC BC ===，∴ABC ∆是等边三角形，∵AM BC ⊥，∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =--=∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++253=，∴22535310PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，∵8AD =，3CF =，∴5BF BC CF AD CF =-=-=，由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴2222534DC DF FC =-=-=，∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，∴4EQ DC ==，∵//AD BC ，∴DEF EFB ∠=∠，∵BEF DEF ∠=∠，∴BEF EFB ∠=∠，∴BE BF =，由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．7．（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）因为四边形ABCD 为正方形，CE=DF ，可证△ADF ≌△DCE （SAS ），即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因为∠ADG+∠EDC=90°，即有AF⊥DE；（2）∵四边形ABCD为正方形，CE=DF，可证△ADF≌△DCE（SAS），即可得到AF=DE，∠E=∠F，又因为∠ADG+∠EDC=90°，即有AF⊥DE；（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．试题解析：（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由是：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=12DE，PQ=MN=12AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．考点：1．四边形综合题；2．综合题．8．（1）32）见详解．【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出ABF≌ADH，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD 转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．【详解】解：（1）如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==∴△ABE 为等边三角形，∴AB=BE=AE=6即：AN=33∵:5:2BC CE =∴:5:3BC BE =∵BE=6∴BC=10∴EC=4 ∴113346322ACE S AN EC ==⨯=即：ACE △的面积为3．（2）如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，∵AH=AF ，∴∠AFH=∠AHF即：∠AFB=∠AHD ，又∵AF=AH ，BF=DH ，∴ABF ≌ADH∴AB=AD又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒，∴∠ABG=∠ADP∵BG=DP ，∴ABG ≌ADP △∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP∵∠ABC=60°∴∠BAD=120°即：∠GAP=120°∴∠AGP=∠APG=60°，又∵AM ⊥GD∴3，∵BG=GP∴BG+GD=GD+DP=GP即：3．本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．9．（1）证明见解析；（2）菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由见解析．【分析】（1）根据平行线的性质得到BDE A ∠=∠，根据题意得到DEFBDE ∠=∠，根据平行线的判定定理得到//AD EF ，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到12DE AC =，得到AD DE =，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE EG ⊥，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】（1）证明：//DE AC ，BDE A ∴∠=∠，DEF A ∠=∠，DEF BDE ∴∠=∠，//AD EF ∴，又//DE AC ，∴四边形ADEF 为平行四边形；（2）解：ADEF 的形状为菱形，理由如下：点D 为AB 中点， 12AD AB ∴=， //DE AC ，点D 为AB 中点，12DE AC ∴=， AB AC =，AD DE ∴=，∴平行四边形ADEF 为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF 是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，AF DE =，EG DE ，//AF DE ∴，AF GE =，∴四边形AEGF 是平行四边形，AD AG ，EG DE =，AE EG ∴⊥，∴四边形AEGF 是矩形．本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．10．（1）55；（2）109；（3）52或152．【分析】（1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得AG的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG22AD DG+22510+＝5故答案为：55（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝CD=5，∵AG＝517，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷一、选择题1．如图，已知平行四边形ABCD ，6AB =，9BC =，120A ∠=︒，点P 是边AB 上一动点，作PE BC ⊥于点E ，作120EPF ∠=︒（PF 在PE 右边）且始终保持33PE PF +=，连接CF 、DF ，设m CF DF =+，则m 满足（）A ．313m ≥B ．63m ≥C ．313937m <+≤D ．3337379m +<<+2．如图，在正方形ABCD 中，CE =MN ，∠MCE =35°，那么∠ANM 等于（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°3．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 4．如图，将一个矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，若3,9,AB BC ==则折痕EF 的长度为（）A ．3B ．23C ．10D ．31025．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, , E F G 分别是,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．A ．③⑤B ．①②④C ．①②③④D ．①②③④⑤6．下列命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组邻角相等的平行四边形是矩形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形．其中真命题个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（）A ．10cmB ．11cmC ．11.5cmD ．12cm8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（）A ．22B ．24C ．44D ．489．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（）A ．（－8，0）B ．（0，8）C ．（0，2）D ．（0，16）二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．15．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．18．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．22．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．23．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．24．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．25．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．26．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若8AC =，AE=5，则求菱形AECF 的面积．27．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．28．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．29．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】设PE=x ，则PB=233x ，PF=33x ，AP=6-233x ，由此先判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.从而求出m 的取值范围.【详解】如上图：设PE=x ，则PB=23x ，PF=33x ，AP=6-23x ∵0030,120BPE EPF ∠=∠=∴030APE ∠=由AP 、PF 的数量关系可知AF PF ⊥，060PAF ∠=如上图，作060BAM ∠=交BC 于M ，所以点F 在AM 上.当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小.此时可求得33,37CF DF ==如上图，当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大.此时可求得37,9CF DF == ∴3337379m +<<+故选：D【点睛】此题考查几何图形动点问题，判断出AF PF ⊥，然后可分析出当点P 与点B 重合时，CF+DF 最小；当点P 与点A 重合时，CF+DF 最大是解题关键.2．C解析：C【分析】过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB ＝∠ANM ，根据正方形的性质得出∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF ＝MN ＝CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE ，推出∠AFB ＝∠ECB 即可．【详解】解：过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB ＝∠ANM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，∴FN ∥BM ，BF ∥MN ，∴四边形BFNM 是平行四边形，∴BF ＝MN ，∵CE ＝MN ，∴CE ＝BF ，在Rt △ABF 和Rt △BCE 中BF CE AB BC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ），∴∠ABF ＝∠MCE ＝35°，∴∠ANM ＝∠AFB ＝55°，故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键.3．D解析：D【解析】【分析】根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L ，只要证明ENK ELM ∆≅∆,则可计算EKCL ENCM S S =四边形.【详解】解：根据题意过E 作EK 垂直于直线CD ，垂足为K ，再过E 作EL 垂直于直线BC ，垂足为L.四边形ABCD 为正方形∴EL=EK,EK CD EL BC ⊥⊥∴90ELM EKN ︒∠=∠=90BCD ︒∠=90KEL ︒∴∠= FEG 为直角三角形90KEM LEM KEM NEK ︒∴∠+∠=∠+∠=LEM NEK ∴∠=∠ENK ELM ∴∆≅∆2224()39EKCL ENCM S Sa a ∴===四边形故选D.【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线. 4．C解析：C【分析】设AE x =，根据勾股定理得到AE ，进而得出BE 的长，再证明5BF BE ==，根据EG AB =，求出GF 的长，最后在运用勾股定理即可得到EF ．【详解】解：过E 作EG BC ⊥于G ，设AE x =，则9DE BE x ==-，在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，2223(9)x x ∴+=-解得4x =，4AE ∴=，945BE DE ∴==-=，DEF BFE ∠=∠，DEF BEF ∠=∠，BFE BEF ∴∠=∠，5BF BE ∴==，1GF ∴=，Rt EFG ∴中，22223110EF EG GF =+=+=即EF 10，故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时注意方程思想的运用．5．B解析：B【分析】由中点的性质可得出//EF CD ，且12EF CD BG ，结合平行即可证得②结论成立，由2BD BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE ，AO EO =，通过证APG EPG 得出AG EG EF 得出①成立，再证GPE FPE 得出④成立，此题得解．【详解】解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图E 、F 分别是OC 、OD 的中点，//EF CD ∴，且12EF CD =，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且AB CD =，//AB EF ∴FEG BGE （两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点， 1122BG AB CD FE ，在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG ，()EFGGBE SAS ，即②成立， EGF GEB ，FE BG ，//GF BE （内错角相等，两直线平行），2BD BC =，点O 为平行四边形对角线交点，12BO BD BC ，E 为OC 中点， BE OC ∴⊥， GP AC ，90APG EPG//GP BE ，G 为AB 中点， P ∴为AE 中点，即AP PE =，且12GPBE ，在APG ∆和EGP ∆中，AP EP APG EPG GP GP ， ()APGEPG SAS ， 12AG EG AB ， EG EF ∴=，即①成立，//EF BG ，//GF BE ，∴四边形BGFE 为平行四边形，GF BE ∴=， 1122GP BE GF ， GP FP ， GF AC ， 90GPEFPE 在GPE 和FPE ∆中，GP FP GPE FPE EP EP ，()GPE FPE SAS ， GEP FEP ，EA ∴平分GEF ∠，即④成立，综上所述，正确的有①②④，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．6．B解析：B【分析】根据平行四边形的判定方法对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断即可；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据正方形的判定方法对④进行判断．【详解】解：①错误，反例为等腰梯形；②正确，理由一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形；③正确，理由：得到的四边形的边长都等于矩形对角线的一半；④正确．故答案为B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判定一个命题的真假关键在于对基本知识的掌握．7．D解析：D【分析】根据角平分线性质得出AD=AF ，根据勾股定理求出EF=DC ，求出AB 长，求出BE ，即可求出答案．【详解】∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，∴AF=AD=3.5cm，EF=DE，∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，∵BC=6.5cm，∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm，在Rt△AMB中，由勾股定理得：22AB（cm），435∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．8．C解析：C【分析】根据已知条件得到AB3CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2BAE＝90°，根据勾股定理得到BE22，于是得到结论．AB AE【详解】∵S1＝3，S3＝8∴AB3，CD＝2过A作AE∥CD交BC于E则∠AEB ＝∠DCB∵AD ∥BC∴四边形AECD 是平行四边形∴CE ＝AD ，AE ＝CD ＝22∵∠ABC +∠DCB ＝90°∴∠AEB +∠ABC ＝90°∴∠BAE ＝90°∴BE 3811+=∵BC ＝2AD∴BC ＝2BE ＝211∴S 2＝(21144=故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 9．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可．【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．10．D解析：D【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以2，可求出从A 到A 3变化后的坐标，再求出A 1、A 2、A 3、A 4、A 5，继而得出A 8坐标即可.【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘2， ∵从A 到3A 经过了3次变化，∵45°×3＝135°，1×()32＝22，∴点3A 所在的正方形的边长为22，点3A 位置在第四象限，∴点3A 的坐标是（2，－2），可得出：1A 点坐标为（1，1），2A 点坐标为（0，2），3A 点坐标为（2，－2），4A 点坐标为（0，－4），5A 点坐标为（－4，－4），6A （－8，0），A 7（－8，8），8A （0，16），故选D.【点睛】本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键.二、填空题11．2【分析】过B 点作HE 的平行线交AC 于O 点，延长EG 交AB 于I 点，得到BO=2HE ，其中O 点在线段AC 上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO 的长即可求解．【详解】解：过B 点作HE 的平行线交AC 于O 点，延长EG 交AB 于I 点，如下图所示：∵H 是BG 的中点，且BO 与HE 平行，∴HE 为△BOG 的中位线，且BO=2HE ，故要使得HE 最短，只需要BO 最短即可，当E 点位于C 点时，则O 点与C 点重合，当E 点位于D 点时，则O 点与A 点重合，故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短，∵四边形ABCD 是正方形，∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴42222BC BO , ∴122HE BO ，故答案为：2．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332AE AD ==，在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，3BE x =，在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．13．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．14．33或3或572 【分析】△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．【详解】解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，E 是AB 的中点，132AE AB ∴==， =AE AF ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH EH =，1322AH AE ∴==，333EH AH =， 233EF EH ∴==当AF EF =时，如图2，过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，图2在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，30DAN ∴∠=︒， 122DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，23AN MF ∴==，AF EF =，FM AB ⊥，32AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+=；当3AE EF ==时，如图3，图33EF ∴=，综上所述：EF 的长为33357．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15．①②④【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEFDFM ≅△△，得出,FE MF AEFM =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；③由FE MF =，得出EFC CFMS S =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．【详解】①∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，//,AD BC AF FD CD ∴==，,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，FCB DCF ∴∠=∠，∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，A MDF ∴∠=∠，∵点F 是AD 的中点，∴AF FD = ．在AEF 和DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AEF DFM ASA ∴≅△△,FE MF AEF M ∴=∠=∠．CE AB ⊥ ，90AEC ∴∠=︒，90ECD AEC ∴∠=∠=︒，12CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，∴EFC CFM S S = ．CFM CDF MDF S S S =+△△△CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，1802EFC x ∴∠=︒-，9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．90AEF x∠=︒-，3DFE AEF∴∠=∠，故④正确；综上所述，正确的有①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．16．6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=12PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=12 PD，∵2PB+ PD=2（PB+12PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=12AB=3，∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.17．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可．【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．18．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．19．4【分析】过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．【详解】过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，∴EM 是△AOD 的中位线，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x ，∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC 为等腰直角三角形，∴EF=FC ，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．故答案为：2【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF的长；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，33，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．22．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，则122AD AC CD t =-=-，∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ， ∵AE t =，DF t =，∴AE DF =，∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴162BC AC cm ==， ∵BE DF ∥，∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形，即6t t -=，解得，3t =，∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形，∴3t =时，四边形EBFD 是矩形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．23．（1）ΔDPM,ΔFPG ；等腰直角；（2）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC ＝3；（3）213【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFP DP FPDPM FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝3．如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵点A B E、、在一条直线上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，GFP HDPFP DPGPF HPD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=2222(2)3CG PC PC PC PC-=-=，∴PGPC＝3．（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPF PN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，NK=223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴CN=22CK NK+=213，在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBGND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．24．（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，12x =-或12+ 【分析】（1）由折叠的性质得到BE=EP ，BF=PF ，得到BE=BF ，根据菱形的性质得到AB ∥CD ∥FG ，BC ∥EH ∥AD ，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE=BF ，AE=FC ，推出△ABC 是等边三角形，求得∠B=∠D=60°，得到∠B=∠D=60°，于是得到结论；（3）记AC 与BD 交于点O ，得到∠ABD=30°，解直角三角形得到AO=1，S 四边形ABCD AEFCHG 时，得到S △BEF +S △DGH GH 与BD 交于点M ，求得GM=12x ，根据三角形的面积列方程即可得到结论．【详解】解:()1折叠后B 落在BD 上， ,BE EP ∴=BF PF = BD 平分,ABC ∠BE BF ∴=，∴四边形BEPF 为菱形，同理四边形GDHP 为菱形，////,// //,AB CD FG BC EH AD ∴∴四边形AEPG 为平行四边形，AG EP BE ∴==.()2不变.理由如下:由()1得.AG BE =四边形BEPF 为菱形，,.BE BF AE FC ∴==60,BAC ABC ∠=︒为等边三角60B D ∴∠=∠=︒，,,EF BE GH DG ∴==36AEFCHG C AE EF FC CH GH AG AB ∴=+++++==六边形为定值.()3记AC 与BD 交于点O .。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷一、选择题1．如图，已知直线l //AB ，l 与AB 之间的距离为2．C 、D 是直线l 上两个动点（点C 在D 点的左侧），且AB =CD =5．连接AC 、BC 、BD ，将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ．下列说法：①四边形ABDC 的面积始终为10；②当A ′与D 重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A ′与D 不重合时，连接A ′、D ，则∠CA ′D +∠BC A′=180°；④若以A ′、C 、B 、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为35或7．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③2．如图，边长为1的正方形EFGH 在边长为4的正方形ABCD 所在平面上移动，始终保持EF//AB ，CK=1．线段KG 的中点为M ，DH 的中点为N ，则线段MN 的长为 ( ).A ．26B ．17C ．17D ．26 3．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，28AD AB ==，点H 、G 分别是边AD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（）A ．2B ．32-C 3D ．434．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．25．在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EFB=2∠AFE=2∠BCE ，CD=9，CE=20，则线段AF 的长为（）．A ．32B ．112C ．19D ．46．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．87．如图，在ABC ∆中，4BC =，BD 平分ABC ∠，过点A 作AD BD ⊥于点D ，过点D 作//DE CB ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，若2EF DF =，则AB 的长为（）A ．10B ．8C ．7D ．68．如图，45A ABC C ∠=∠=∠=︒，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论：①EF BD ⊥，②12EF BD =，③ADC BEF BFE ∠=∠+∠，④AD DC =，其中正确有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（）A ．3B ．5C ．6cmD ．5二、填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．12．如图，以Rt ABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．13．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．14．在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则DEF的周长为______．15．如图，直线1l，2l分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y轴．OABC的顶点A，C 分别在直线1l和2l上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_________．16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．18．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则DF =_________．19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，三、解答题21．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．22．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32cm 2；（3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．23．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．24．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．25．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．26．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求CP PQ的值． 27．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ． ()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．28．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O . （1）求证：EF DA ⊥. （2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.29．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝14S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝14S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝14S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝．30．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】①根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD 为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算；②根据折叠的性质得到AC=CD ，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ABDC 是菱形； ③连结A′D ，根据折叠性质和平行四边形的性质得到CA′=CA=BD ，AB=CD=A ′B ，∠1=∠CBA=∠2，可证明△A′CD ≌△A′BD ，则∠3=∠4，然后利用三角形内角和定理得到得到∠1=∠4，则根据平行线的判定得到A′D ∥BC ；④讨论：当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S △A1CB =S △ABC =5，则S 矩形A′CBD =10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到结论．【详解】①∵AB=CD=5，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABDC 的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC 是平行四边形，∵A′与D 重合时，∴AC=CD ，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴四边形ABDC 是菱形；故②正确；③连结A′D ，如图，∵△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC ，∴CA′=CA=BD ，AB=CD=A′B ，在△A′CD 和△A′BD 中CA BD CD BA A D A D ＝＝＝'⎧⎪'⎨⎪''⎩，∴△A′CD ≌△A′BD （SSS ），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D ∥BC ，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a ，b ，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S △A′CB =S △ABC =12×2×5=5， ∴S 矩形A′CBD =10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a 2+b 2=25，∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=45，∴5当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC 是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=3，而CD=5，∴（a+b）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为35或7．故④正确．故选A．【点睛】本题考查了四边形综合题：熟练掌握平四边形的判定与性质以及特殊平行四边形的判定与性质；会运用折叠的性质确定相等的线段和角．2．D解析：D【解析】【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新画出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在Rt△MON中利用勾股定理可求出MN．【详解】如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，∴EO=OD=52，MO=12（EF+CD）=52，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=2，∴ON=OD-ND=52-2=12，在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN=225126 22⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，要学会在以后的解题中利用这种思想．解析：C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝3ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝3∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ， ∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为4323∴EF 的最大值为233∴EF 3故选：C【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD ＝90°，属于中考选择题中的压轴题．4．B【分析】①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；②构造全等三角形即可解决问题；④如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．证明△ABP≌△QBP（AAS），以及△BCH≌△BQH 即可判断；⑤利用特殊位置，判定结论即可；【详解】解：根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH−∠EPB＝∠EBC−∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．，故③正确；∴∠APB＝∠BPH，即PB平分APG如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四边形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP＋∠BEO＝90°，∠BEO＋∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，∵∠A＝∠EKF＝90°，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正确，如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB＝∠BPH，在△ABP和△QBP中，∠APB＝∠BPH，∠A＝∠BQP，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）．∴AP＝QP，AB＝BQ．又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH≌△BQH（HL）∴QH=HC，∴PH=PQ+QH=AP+HC，故④正确；当点P与A重合时，显然MH＞MF，故⑤错误，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．5．C解析：C【分析】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，进而求出BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，再根据AD∥BC求出EF∥BH，进而得出△EFG和△BGH 均为等腰三角形，则BF=EH=10，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB=2∠AFE=2∠ECB=2a，则∠AFB=3a，∵在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，∴△BCE为直角三角形，∵点H为斜边CE的中点，CE=20，∴BH=CH=EH=10，∠HBC=∠HCB=a，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC=3a，∴∠GBH=3a-a=2a=∠EFB，∴EF∥BH，∴∠FEG=∠GHB=∠HBC+∠HCB=2a=∠EFB=∠GBH，∴△EFG和△BGH均为等腰三角形，∴BF=EH=10，∵AB=CD=9，∴2222=-=-=10919AF BF AB故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线.6．D解析：D【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×h CF的值即可．【详解】连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥CD ，∴AM ∥DE ∥CF ，AC ∥FM ，∴四边形ACFM 是平行四边形，∵△BDE 边DE 上的高和△CDE 的边DE 上的高相同，∴△BDE 的面积和△CDE 的面积相等，同理△ADE 的面积和△AME 的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM 的面积的一半，是12×CF×h CF ， ∵△ABC 的面积是24，BC ＝3CF∴12BC×h BC ＝12×3CF×h CF ＝24， ∴CF×h CF ＝16，∴阴影部分的面积是12×16＝8，故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.7．D解析：D【分析】延长AD 、BC 交于点G ，根据三线合一性质推出ABG ∆是等腰三角形，从而可得D 是AG 的中点，E 是AB 的中点，再利用中位线定理即可得.【详解】如图，延长AD 、BC 交于点G∵BD 平分ABC ∠，AD BD ⊥于点D,90ABD GBD ADB GDB ∴∠=∠∠=∠=︒∴BAD G ∠=∠AB BG ∴=，D 是AG 的中点∵//DE BG∴E 是AB 的中点，F 是AC 的中点，DE 是ABG ∆的中位线，EF 是ABC ∆的中位线∴12,22EF BC BG DE === 又∵2EF DF =∴1DF =∴3DE EF DF =+=∴26BG DE ==∴6AB =故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理与性质、中位线定理，通过作辅助线，构造等腰三角形是解题关键.错因分析：容易题.失分原因是对特殊三角形的性质及三角形的重要线段掌握不到位.8．C解析：C【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”可得//EF AC ，12EF AC =，再由45°角可证△ABQ 为等腰直角三角形，从而可得可得AQ BQ =，进而证明AQC BQDASA ≅△△（)，利用三角形的全等性质求解即可．【详解】解：如图所示：连接AC ，延长BD 交AC 于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．45ABC C ∠=∠=︒，CP AB ∴⊥，45ABC BAD ∠=∠=︒，AQ BC ∴⊥，点D 为两条高的交点，BM ∴为AC 边上的高，即：BM AC ⊥，由中位线定理可得//EF AC ，12EF AC =， BD EF ∴⊥，故①正确；45DBQ DCA ∠+∠=︒，45DCA CAQ ∠+∠=︒，DBQ CAQ ∴∠=∠，BAD ABC ∠=∠，AQ BQ ∴=，90BQD AQC ∠=∠=︒，∴根据以上条件得AQC BQD ASA ≅△△（)，BD AC ∴=，12EF AC ∴=，故②正确； 45A ABC C ∠=∠=∠=︒，()18045DAC DCA BAD ABC BCD ∴∠+∠=︒-∠+∠+∠=︒，180135()180ADC DAC DCA BEF BFE ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒=∠+∠=︒-∠，故③ ADC BEF BFE ∠=∠+∠成立；无法证明AD CD =，故④错误．综上所述：正确的是①②③，故选C ．【点睛】本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．解题关键是证明AQC BQD ASA ≅△△（)．9．C解析：C【解析】连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，AC 、BD 互相平分，∵O 为AC 中点，∴BD 也过O 点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中，FO FC BF BF OB BC⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选C．点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键. 10．D解析：D【分析】连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =MN ，即可解决本题．【详解】解：如图，连接DE ．由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45．过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ．连接DE ，交MG 于点I ．由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°，∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等），∴∠NMG ＝∠EDC ．在△MNG 与△DEC 中，90NMG EDC MG CDMGN DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△MNG ≌△DEC （ASA ）．∴MN ＝DE ＝45．故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．二、填空题11．2【解析】分析：过O 点作OE ⊥CA 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接CO ，如图，易得四边形OECF 为矩形，由△AOP 为等腰直角三角形得到OA=OP ，∠AOP=90°，则可证明△OAE ≌△OPF ，所以AE=PF ，OE=OF ，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO 平分∠ACP ，从而可判断当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径为一条线段，接着证明CE=12（AC+CP ），然后分别计算P 点在D 点和B 点时OC 的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=12（AC+CP），∴2CE=22（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC=22×（2+1）=322，当AC=2，CP=CB=5时，OC=2×（2+5）72，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长72-3222．故答案为2点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．12．8【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．13．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．【详解】解：连接AP ，∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2+AC 2＝BC 2，即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键． 14．15.5【分析】先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得1 4.52EF BC ==，最后根据三角形的周长公式即可得．【详解】由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒B BDE ∴∠=∠BE DE ∴=1112622DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ====⨯= 又,AE BE AF CF ==∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点EF ∴是ABC 的中位线119 4.522EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=故答案为：15.5．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．15．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OEBE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．16．83或4433- 【分析】连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC 交BD 于O ，∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE=BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，=∴BD=AC=4，同理可求BE ，即，若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=4，∴BE'4==；若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''3=，DG''=2HG''3=，∴BG''=BD-DG''=-= ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或4- 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．18．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，19．5【分析】先判断四边形BCEF的形状，再连接FM FC、，利用正方形的性质得出AFG是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC=即可．【详解】∵四边形ABCP是边长为4的正方形，//EF BC，∴四边形BCEF是矩形，∵1PE=，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．三、解答题21．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形；（2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，此时有t=22﹣3t ，解得t=112． ∴当t=112时，四边形ABQP 成为矩形；故答案为112；（2）如图1，当t=112时，四边形ABQP 成为矩形，如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，则16﹣t=3t ，解得：t=4， ∴当t=112或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形；故答案为112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，BP=22AB AP + =228t +=2283+=73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得221622168t vtt t-=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得62t v =⎧⎨=⎩．故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝3DN＝3cm，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE；（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝12AD＝1cm，AN33cm，∴S△ADF＝12×DF×AN＝12×1233∴t＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评学能测试试卷一、解答题1．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．2．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为3cm 2；（3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．4．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC . （1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+5．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）6．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .7．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）8．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 轴上以每秒32的速度从原点出发向右运动，点D 在1l 上以每秒332+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB 与CD 相交于点E ，P 为x 轴上另一动点.(1)求直线AB 的解析式，并求出t 的值.(2)当PE+PD 取得最小值时，求222PD PE PD PE ++⋅的值.(3)设P 的运动速度为1，若P 从B 点出发向右运动，运动时间为x ，请用含x 的代数式表示△PAE 的面积.9．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．10．已知，矩形ABCD 中，4,8AB cm BC cm ==，AC 的垂直平分EF 线分别交AD BC 、于点E F 、，垂足为O ．（1）如图1，连接AF CE 、，求证：四边形AFCE 为菱形；（2）如图2，动点P Q 、分别从A C 、两点同时出发，沿AFB △和CDE △各边匀速运动一周，即点P 自A F B A →→→停止，点O 自C D E C →→→停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A C P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，则t =____________．②若点P Q 、的运动路程分别为a b 、（单位:,0cm ab ≠），已知AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则a 与b 满足的数量关系式为____________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =．【分析】（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可；（2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：∵四边形AEFC 是菱形，∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），∴EM ＝AH ＝GN ，在△EMI 和△GNI 中，EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI ＝GI ，∴I 是EG 的中点，∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAG ＝90°，在Rt △EAG 中， EG ＝22AEAG +＝2286+＝10，∵I 是EG 的中点，∴AI ＝12EG ＝12×10＝5．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF ⊥BD,CF=BD,故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．理由:由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF⊥BD．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF⊥BD．理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF⊥BD．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．3．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN3＝3cm，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE；（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝12AD＝1cm，AN＝3DN＝3cm，∴S△ADF＝12×DF×AN＝12×12t×3＝32，∴t＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，∵四边形AECF是平行四边形，∴FA＝CE，∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，∴FG＝CH，∴四边形FGHC是平行四边形，∴CF∥GH，∵四边形EHFG为菱形，∴EF⊥GH，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，又∵DM⊥AB，∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM ＝12AD ＝1cm ， ∵AM+ME+BE ＝AB ，∴1+12t+12t ＝2， ∴t ＝1．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．4．（1）证明见解析；（2）BE =3）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等；（2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12AEDG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AD//BC ，∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，∵//EH AC ，AB//CD ，∴四边形ACGE 是平行四边形，∴AE=CG ，∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，AB=CD ，∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）； ∴△DGF ≌△CGH,∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =，∴2422AB CD AD ,∴22AE =， ∴62BE AB BE =+=；（3）如下图，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,∴22222()AC BD AB BC +=+【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．（1）中解题关键是利用证明四边形ACGE 是平行四边形证明AE=CG ；（2）得出DG CG =是解题关键；（3）中能正确识图，完成线段之间的代换是解题关键．5．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∴BC +CD =CF ，∴CF ﹣CD =BC ；（3）如图3中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，∵∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，∴∠ACF =∠ABD =135°，∴∠FCD =135°﹣45°=90°，∴△FCD 是直角三角形．∵OD =OF ，∴DF =2OC =13，∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，∴BC=DC﹣BD=12﹣5=7，∴AB=AC=72，∴S△ABC17272492224=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD≌△CAF是解本题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得CQ∥AM．【详解】解：（1）如图（1），连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．理由：在△AOD与△COD中，∵AD CDADO CDOOD OD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，∴∠BAM=∠BCN．在△ABM与△CBN中，∵BAM BCNAB CBABM CBN∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABM≌△CBN（ASA），∴CN=AM．（2）如图2连接AC 、BD 交与O 点，连接MO 并延长与AE 交于点Q ，连接QC ，则CQ 为所求的线段.在正方形ABCD 中，OA =OB =OC =OD ，AD ∥BC ，∴QO =MO∴四边形AQCM 为平行四边形，∴QC ∥AM【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．7．（1）见解析；（2）222MN BN DM =+，理由见解析；（3）32【分析】（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得CE=CP=22PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=42PE=6，即可得出PC 的长．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，ME BD ⊥，90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，12AO MO BE BO EO ∴====， ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）222MN BN DM =+，理由如下：在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示：则90NAF ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，BAN DAF ∴∠=∠，45NAM ∠=︒，45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒，90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒，45NAM ∠=︒，45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，MN MF ∴=，在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+，即222MN BN DM =+；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示：则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形，2CE CP ∴==，在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，90EBQ ∴∠=︒，90PBE ∴∠=︒，2PB =，9PQ =，7BQ PQ PB ∴=-=， 22229742BE EQ BQ ∴=-=-=，22222(42)6PE PB BE ∴=+=+=， 232PC PE ∴==；故答案为：32．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．8．（1）2t =；（2）222=2433PD PE PD PE ++⋅-； (3)①当06x ≤≤时，S △PAE =(6)(33)4x -+,②当6x ≥时, S △PAE =(6)(33)4x -+. 【解析】【分析】（1）设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入，求得k ，确定解析式；再设设t 秒后构成平行四边形，根据题意列出方程，求出t 即可；（2）过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）得到当t=2时，有C （3，0），D(33+,3)，再根据AB ∥CD ，求出直线CD 和AB 1的解析式，确定E 的坐标；然后再通过乘法公式和线段运算，即可完成解答.（3）根据（1）可以判断有06x ≤≤和6x ≥两种情况，然后分类讨论即可.【详解】（1）解：设直线AB 为3y kx =+，把B(-3,0)代入得：033k =-+ ∴1k =∴3y x由题意得：设t 秒后构成平行四边形，则3333222t t ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭解之得：2t =，（2）如图:过E 作关于x 轴对于点E ',连接EE′交x 轴于点P ,则此时PE+PD 最小.由（1）t=2得：∴C 30），D(33,3)∵AB ∥CD∴设CD 为1y x b =+把C 30）代入得b 1=3∴CD 为：y x 3=-易得1AB 为：3y x =-+∴33y x y x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解之得：E(32+∴2222222()324PD PE PD PE PD PE E D '⎛++⋅=+==++=- ⎝⎭⎝⎭(3)①当06x ≤≤时S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=13(6)(3(6)3224x x ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭②当6x ≥时：S △PAE =S △PAB1-S △PEB1=13(6)(3(6)3224x x ⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题是一次函数的综合题型，主要考查了用待定系数求一次函数的关系式，点的坐标的确定，动点问题等知识点.解题的关键是扎实的基本功和面对难题的自信.9．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）152 【分析】（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵矩形ABCD∴//AB CD∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠∵点O 是对角线BD 的中点∴OD OB =∴()OFD OEB AAS △≌△∴DF BE =∵//DF BE∴四边形DEBF 是平行四边形（2）∵四边形DEBF 是平行四边形∴DF BE =,DE FB =若DE=BE∴=DF BE DE FB ==∴四边形DEBF 是菱形又∵四边形DEBF 是平行四边形，若EF BD ⊥∴四边形DEBF 是菱形∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；（3）设BE=DE=x∵AB=8∴AE=8-x∵直角三角形ADE2226(8)x x +-= 解得：254x = 25BE 4= ∵直角三角形ABD ∴22228610BD AB AD∵111222BDE S BD EF BE AD =⨯=⨯△ ∴111251062224EF ⨯⨯=⨯⨯ ∴152EF =．【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．10．（1）见解析；（2）①43t =；②12a b += 【分析】(1)先证明四边形AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；(2)①分情况讨论可知，当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a 与b 满足的数量关系式.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥∴,CAD ACB AEF CEF ∠=∠∠=∠，∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA OC =，∴AOE COF △≌△，∴OE OF =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF OF ⊥∴四边形AFCE 为菱形，（2）①43t =秒．显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时AC P Q 、、、四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形．∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA = ∴点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，∴5,4124PC t QA CD AD t t ==+-=-，∴5124t t =-，解得43t = ∴以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒． ②a 与b 满足的数量关系式是12a b +=，由题意得，以AC P Q 、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P Q 、在互相平行的对应边上，分三种情况：i ）如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CP =，即12a b =-，得12a b +=． ii ）如图2，当P 点在B 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=． iii ）如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AQ CP =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是()120a b ab +=≠．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解题中注意分类讨论的思想.。

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题专项训练检测试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题专项训练检测试卷一、选择题1．如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在RT DCE 中，DEC ∠= 90︒， DCE ∠= 30︒，若OE =622+，则正方形的面积为（）A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，CE 、DF 交于点G,连接AG 、HG ．下列结论：①CE ⊥DF ；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG ．其中，正确的结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF ⊥BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E 。

若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上，连接AE 、EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=︒；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，则1CF =；③若90AEF ∠=︒，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的有（）个A ．0B ．1C ．2D ．35．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B CE AB =∠=︒⊥，，于E F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )A ．54︒B ．60︒C ．66︒D ．72︒6．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．245B ．4C ．5D ．1257．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+22；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 8．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°9．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为（）A ．0.5B ．2.5C ．2D ．110．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．13．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．15．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．16．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．17．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．19．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠BAC ＝45°，则下列结论：①CD ∥EF ；②EF ＝DF ；③DE 平分∠CDF ；④∠DEC ＝30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于度时，四边形BECD 是正方形． 22．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．23．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．24．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.25．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．26．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．27．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②28．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．29．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD 中，BC ≠AB ，BD ⊥CD ，AB =3，BD =4，求BC 的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC 中，AB =2，∠BAC =90°．在AB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为“准等边四边形”．若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．30．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，判断出四边形OMEN 是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON ，根据正方形的性质可得OC=OD ，然后利用“角角边”证明△COM 和△DON 全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON ，然后判断出四边形OMEN 是正方形，设正方形ABCD 的边长为2a ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=12CD ，再利用勾股定理列式求出CE ，根据正方形的性质求出OC=OD=2a ，然后利用四边形OCED 的面积列出方程求出2a ，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN 是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM ，∴∠COM=∠DON ，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC=OD ，在△COM 和△DON 中，==CMO=90COM DON N OC OD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△COM ≌△DON （AAS ），∴OM=ON ，∴四边形OMEN 是正方形，设正方形ABCD 的边长为2a ，则222a a = ∵∠CED=90°，∠DCE=30°，∴DE=12CD=a ，由勾股定理得，2222(2)3CD DE a a a -=-= ，∴四边形OCED 的面积=2111623(2)(2)()222a a a a ++=⨯，解得21a =，所以，正方形ABCD 的面积=22(2)4414a a ==⨯=．【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．2．C解析：C【分析】连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，容易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，容易证得CE⊥DF与AH⊥DF，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，继而AG=DC，而DG≠DC，所以AG≠DG，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12 DC，∠CHG=2∠GDC，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC．所以∠DAG=∠CHG，④正确，则问题得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=FC∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵CE⊥DF，∴△CGD为直角三角形，∴HG=HD=12 CD，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD=DC，在Rt△CGD中，DG≠DC，∴AG≠DG，故②错误；∵AG=AD, AH垂直平分DG∴∠DAG=2∠DAH,根据①，同理可证△ADH≌△DCF∴∠DAH=∠CDF，∴∠DAG=2∠CDF,∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠GHC=∠DAG，故③正确，所以①和③正确选择C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明△BCE≌△CDF，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC，而DG≠DC，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF即可.3．C解析：C【解析】【分析】由直角三角形的性质可求得DF=BD=12AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，∴DF=DB=12AB=6，∴∠DBF=∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∴∠DFB=∠CBF，∴DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12BC=10，∴EF=DE−DF=10−6=4，故选：C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF 为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC ，即DE 为△ABC 的中位线，从而计算出DE ，继而求出EF.4．D解析：D【解析】【分析】正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若E 为BC 中点，1CF =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=︒．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，用勾股定理列方程可求得CF ，③若90AEF ∠=︒，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ，【详解】解：①若E 为BC 中点，1CF =，∵AB=4，∴BE=CE=2，DF=3，∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，∴AE 2+ EF 2=AF 2，∴90AEF ∠=︒；故①正确，②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，设CF x =；则DF=4-x.∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2，∵90AEF ∠=︒∴∴AE 2+ EF 2=AF 2，∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2解得x=1；即CF=1.③若90AEF ∠=︒，1CF =，则DF=3,设BE=x ，∴AE 2+ EF 2=AF 2，即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.故①②③正确，答案选D.【点睛】本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.5．A解析：A【分析】过F作AB的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC＝2EG＝2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG＝∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的度数，由此得解．【详解】解：过F作FG∥AB交BC于G，连接EG，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴FG∥AB∥CD，∵FG∥AB，AD∥BC，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF＝BG，又∵F为AD中点∴G是BC的中点；∵BC＝2AB，F为AD的中点，∴BG＝AB＝FG＝AF，∵在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，∴BG＝GE＝FG＝12 BC；∴∠BEG＝∠B＝72°，∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝180°﹣∠BEG＝108°，∵AE∥FG，∴∠EFG＝∠AEF，∵GE＝FG，∴∠EFG＝∠FEG，∴∠AEF＝∠FEG＝12∠AEG＝54°，故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键．6．D解析：D【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【详解】解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12 AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴S△ABC=12BC•AP＝12AB•AC，∴12×10AP＝12×6×8，∴AP最短时，AP=245，∴当AM最短时，AM=12AP=125．故选：D．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．7．D解析：D【分析】先证明△APD≌△AEB得出BE＝PD，∠APD＝∠AEB，由等腰直角三角形的性质得出∠APE ＝∠AEP＝45︒，得出∠APD＝∠AEB＝135︒，②正确；得出∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝90︒，EB⊥ED，①正确；作BF⊥AE交AE延长线于点F，证出EF＝BF2，得出AF＝AE+EF＝12，由勾股定理得出AB22AF BF+522+S正方形ABCD＝AB2＝5+2，③正确；EP2AE2，由勾股定理得出BP22BE EP+6，④错误；即可得出结论．解：∵∠EAB +∠BAP ＝90︒，∠PAD +∠BAP ＝90︒，∴∠EAB ＝∠PAD ，在△APD 和△AEB 中，AP AE PAD EAB AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD ≌△AEB （SAS ），∴BE ＝PD ，∠APD ＝∠AEB ，∵AE ＝AP ，∠EAP ＝90︒，∴∠APE ＝∠AEP ＝45︒，∴∠APD ＝135︒，∴∠AEB ＝135︒，②正确；∴∠PEB ＝∠AEB ﹣∠AEP ＝135︒﹣45︒＝90︒，∴EB ⊥ED ，①正确；作BF ⊥AE 交AE 延长线于点F ，如图所示：∵∠AEB ＝135︒，∴∠EFB ＝45︒，∴EF ＝BF ，∵BE ＝PD ＝2，∴EF ＝BF ＝2， ∴AF ＝AE +EF ＝1+2，AB ＝22AF BF +＝22(12)(2)++＝522+，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝（522+）2＝5+22，③正确；EP ＝2AE ＝2，BP ＝22BE EP +＝222(2)+＝6，④错误；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．8．A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC，进而得出∠CBF．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．9．B解析：B【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则1351=2.5222CM MP CP HE EC =+=+=+=. 故选B ．【点睛】本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是解本题的关键．10．D解析：D【分析】①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为2346；故③正确；④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPBPOA ，等量代换得到OPAPOA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．【详解】解：①四边形OACB 是矩形，90OBC ∴∠=︒，将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，45BOP ，45DOP BOP ，90BOD =∴∠︒，90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，OB OD =，∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，点(10,0)A ，点(0,6)B ，10OA ∴=，6OB =，6OD OB，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ， OAD ∴∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，则OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，6ACOB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，2346CD OC OD ，即CD 的最小值为2346；故③正确；④⊥OD AD ，90ADO ∴∠=︒， 90ODP OBP ，180ADP ，P ∴，D ，A 三点共线，//OA CB ，OPBPOA ， OPBOPD ， OPAPOA ， 10AP OA ，6AC =， 221068CP ， 1082BP BC CP ，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题11．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴FN ∥AB ，∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC AC ＝∴FN ＝13AB ，CN ＝13BC∴BN ＝BC －CN ＝，BF ＝，∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴BE ＝BF ，∴PE ＋PF ＝∴点P 在BH 上时，PE ＋PF ＜∴在线段BC 上点H 的左右两边各有一个点P 使PE ＋PF ＝5，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．即共有8个点P满足PE＋PF＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．12．3013≤AM<6【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=12EF，继而求得AM的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，所以3013≤AM＜6，故答案为3013≤AM＜6.1337【分析】如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．【详解】解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE∥TC，∵DE=BT=1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE=DT，∴BD+BE=BD+AD，∵B，W关于直线AC对称，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=12CW=32，333，∴TK=1+3+32=112，∴2222113322TK WK⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭37∴D B+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，∴37∴BD+BE37，37．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．14．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，HE =DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．15．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．【详解】连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．16101【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．101．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C 时，作辅助线，构建平行四边形AGHD 和直角三角形EGB'，计算EG 和B'G 的长，根据勾股定理可得B'D 的长；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝18CD=，AG=DH=8，3∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′2213512，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22+=6810综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．18 【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝13，再根据BE ＝2OB ＝13，运用勾股定理可得EC ．【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ，∴AH ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12BD •AH ，∴OB ＝13，∴BE ＝2OB ＝13， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°，∴在Rt △BCE 中，EC =13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．19．25﹣2【分析】连接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2.【详解】解：如图，连接AF，CF，AC，∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，∴AC＝25，AF＝2，∵AF+CF≥AC，∴CF≥AC﹣AF，∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2，故答案为：25﹣2．【点睛】此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.20．①②③⑤【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝12AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝12AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．【详解】∵E，F分别是BC，AC的中点，∴EF＝12AB，EF∥AB，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴EF∥CD，故①正确；∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝CF=12 AC，∵AB=AC，EF＝12 AB，∴EF＝DF，故②正确；∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，∴∠DFC=90°，∵EF//AB，∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，∵∠FDC＝45°，∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，∴∠FDE=∠CDE，∴DE平分∠FDC，故③正确；∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC2=2CD2，∴CD，∵AB=AC，∴AB CD，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题21．（1）四边形BECD是菱形，理由见解析；（2）45【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．22．（1）详见解析；（2）BH =，理由详见解析【分析】1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =，得结论；【详解】证明：（1）如图1，连接DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，∴ADE ∆≌FDE ∆，∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，∴90DFG ∠=︒，在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），∴GF GC =；（2）2BH AE =，理由是：如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，∵AD AB =，∴DM BE =，由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，∵90ADC ∠=︒，∴123490∠+∠+∠+∠=︒，∴222390∠+∠=︒，∴2345∠+∠=︒，即45EDG ∠=︒，∵EH DE ⊥，∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，∴1BEH ∠=∠，在DME ∆和EBH ∆中，1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DME ∆≌EBH ∆∴EM BH =，Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，∴EM =，∴BH ；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．23．（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷一、解答题1．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积2．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．3．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．4．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．5．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．6．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+7．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）8．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．9．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ．（1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝（直接填结果）．10．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明AFE DBE ∆≅∆，得到AF DB =，AF CD =，再证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到12AD DC BC ==，即可证明四边形ADCF 是菱形。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题综合模拟测评检测试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题综合模拟测评检测试题一、解答题1．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题: （1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由．（2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．2．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．4．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ： ①M 点的坐标为．②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）． 5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，． ①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．6．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．（1）求EAF ∠的度数；（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：2BD BG DG AF DM =+=+．7．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.8．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.9．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长→→→路径以每秒3个度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒ 【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似; （2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒, ∴∠ABC=∠ACB=45︒, ∵∠BAC=∠DAF, ∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）, ∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒, ∵∠ACB=45︒, ∴∠FCB=90︒, ∴CF ⊥BD,CF=BD, 故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．理由:由正方形ADEF得 AD=AF,∠DAF=90︒．∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB≌△FAC（SAS）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF⊥BD．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF⊥BD．理由:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF⊥BD．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．2．（1）34；（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【分析】（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；（2）y=12（BN+PA）•OC，即可求解；（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．【详解】（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，即3﹣3t=t，解得：t=34；（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，则y=12(BN+PA)•OC=12(t+t+1)×4=4t+2；（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，故t+1=3﹣3t，解得：t=12，则OM=2t=1，故点M（1，0）；②当∠QMA为直角时，则点M、P重合，则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，故OM=OP=2t=2，故点M（2，0）；综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．3．（1）①7；②证明见解析；（2，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．证明△BDT 是等腰直角三角形，四边形ACTE 是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可； ②如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ，进而利用全等三角形的性质证明△CEF 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x ，则∠BAC=2x ．证明△ABC 是等边三角形，再根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，延长BC 交DE 的延长线于T ，过点T 作TH ⊥BD 于H ，设BD=2x ．∵∠ACB=90°，∠ACB+∠AED=180°， ∴∠AED=90°， ∵CA=CB ，EA=ED ， ∴∠B=∠D=45°， ∴∠BTD=90°，∵∠TCA=∠CTE=∠TEA=90°， ∴四边形ACTE 是矩形， ∴52EC AT == ∵TH ⊥BD ， ∴BH=HD=x ， ∴TH=HB=HD=x ， ∵AB=3， ∴AH=x-3，在Rt △ATH 中，则有22252(()23x x =-+，解得：72x =或12-（不符合题意舍弃）， ∴BD=2x=7．②证明：如图2中，延长BC 交DE 的延长线于T ，连接TF ．∵∠B=∠D=45°，∴TB=TD，∵∠BTD=90°，BF=DF，∴TF⊥BD，∠FTE=∠BTF=45°，∴TF=BF，∠BFT=90°，∵四边形ACTE是矩形，∴TE=AC，∴AC=BC，∴BC=TE，∵∠B=∠FTE=45°，∴△FBC≌△FTE（SAS），∴FC=EF，∠BFC=∠TFE，∴∠CFE=∠BFT=90°，∴△CFE是等腰直角三角形，∴EC=2EF．（2）如图3中，设∠EAD=x，则∠BAC=2x．∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=x，∴2x+∠AED=180°，∵∠ACB+∠AED=180°，∴∠ACB=2x，∵CB=CA，∴∠B=∠CAB=2x，∴∠C=∠B=∠CAB，∴△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB=60°，∠EAD=30°，当AD ⊥BC 时，△ADE 的面积最小， ∵AB=BC=AC=3，∴AD =，∴S △ADE 的最小值1322416=⨯⨯=．【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（1）见解析；（2）PA =BH 3）①(4M + 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA ，推出∠AEO=60°，进一步得出BC ∥AE ，CO ∥AB ，可得结论；（2）先计算出OA=PB=AP=，再利用面积法计算BH 即可；（3）①求出直线PM 的解析式为y=2x-3，再利用两点间的距离公式计算即可；②易得直线BC 的解析式为y=3-x+4，联立直线BC 和直线PM 的解析式成方程组，求得点G 的坐标，再利用三角形面积公式计算．【详解】（1）证明：∵Rt △OAB 中，D 为OB 的中点，∴AD=12OB ，OD=BD=12OB ， ∴DO=DA ，∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°， ∴∠AEO=60°，又∵△OBC 为等边三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60°， ∴BC ∥AE ， ∵∠BAO=∠COA=90°， ∴CO ∥AB ，∴四边形ABCE 是平行四边形；（2）解：在Rt △AOB 中，∠AOB=30°，OB=8， ∴AB=4，∴OA=∵四边形ABCE是平行四边形，∴PB=PE，PC=PA，∴PB=∴PC PA===∴1122ABCS AC BH AB BE∆=⋅⋅=⋅⋅，即114 22BH⨯=⨯⨯∴BH（3）①∵C（0，4），设直线AC的解析式为y=kx+4，∵P（0），∴0=，解得，k=3-，∴y=3-x+4，∵∠APM=90°，∴直线PM的解析式为，∵P（0），∴，解得，m=-3，∴直线PM的解析式为，设M（x），∵AP=∴（x-2+）2=（2，化简得，x2x-4=0，解得，x1=4，x2=4（不合题意舍去），当x=234+时，y=32×（234+）-3=23， ∴M （234+，23），故答案为：（234+，23）；②∵(0,4),(43,0)C B∴直线BC 的解析式为：343y x =-+，联立3334y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得143565x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴146(3,)55G ， 16126=23234 3.2525PBG PBA S S S ∆∆∴+=⨯⨯+⨯⨯=阴【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴AB=2222215AE BE +=+=，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 3．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题；【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90B N CEF ∠=∠=∠=︒，∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=，∴NEF ECB ∠=∠，∵EC EF =，∴EBC ∆≌FNE ∆∴FN BE =，EN BC =，∵BC AB =∴EN AB =∴EN AE AB AE -=-∴AN BE =，∴FN AN =，∵FN AB ⊥，∴45NAF ∠=，∴135EAF =∠（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .由（1）可知135EAF =∠，∵45ABD ∠=︒∴135180EAF ABD ∠=︒+∠=︒，∴//AF BG ，∵//FG AB ，∴四边形ABGF 为平行四边形，∴AF BG =，FG AB =，∵AB CD =，∴FG CD =，∵//AB CD ，∴//FG CD ，∴FGM CDM ∠=∠，∵FMG CMD ∠=∠∴FGM ∆≌CDM ∆∴GM DM =，∴2DG DM =，∴2BD BG DG AF DM =+=+.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（1）12；（2）2S 1=36 +S 2.【分析】(1)根据已知条件证得四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，利用HL 证得Rt △ABG ≌Rt △ACE ，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE ，再利用45DAE ︒∠=证得△GAD ≌△EAD ，得到DE=GB+BD ，由此求得DOE ∆的周长；(2) 在OB 上取点F ，使AF=AE ，根据HL 证明Rt △ABF ≌Rt △ACE ，得到∠FAE=∠ABC=90︒，再证明△ADE ≌△ADF ，利用面积相加关系得到四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，根据三角形全等的性质得到2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，即可得到2S △ADE =36 +S △ODE .【详解】(1)∵点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，∴AB=BO=AC=OC=6,∴四边形ABOC 是菱形，∵∠BOC=90︒，∴四边形ABOC 是正方形，在点B 左侧取点G ，连接AG ，使AG=AE ，∵四边形ABOC 是正方形，∴AB=AC ，∠ABG=∠ACE=90︒，∴Rt △ABG ≌Rt △ACE ，∴∠GAB=∠EAC,GB=CE ，∵∠BAE+∠EAC=90︒，∴∠GAB+∠BAE=90︒，即∠GAE=90︒，∵45DAE ︒∠=∴∠GAD=45DAE ︒∠=,又∵AD=AD,AG=AE ，∴△GAD ≌△EAD ，∴DE=GD=GB+BD,∴DOE ∆的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12(2) 2S 1=36 +S 2，理由如下：在OB 上取点F ，使AF=AE ，∵AB=AC ，∠ABF=∠ACE=90︒，∴Rt △ABF ≌Rt △ACE ，∴∠BAF=∠CAE,∴∠FAE=∠ABC=90︒，∵∠DAE=45︒，∴∠DAF=∠DAE=45︒，∵AD=AD ，∴△ADE ≌△ADF ，∵四边形AEDF 的面积=S △ACE +S 四边形ACOF +S △ODE ，∴2S △ADE =S 正方形ABOC +S △OD E ，∴2S △ADE =36 +S △ODE.即：2S 1=36 +S 2【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，根据题中的已知条件证得三角形全等，即可利用性质得到边长相等，面积相等的关系，（2）中需根据面积的加减关系进行推导，这是此题的难点.8．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断；（2）画出图形即可判断，结论仍然成立；（3）如图2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，证得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.【详解】解（1）①当点P与点B重合时，如图1-1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠APE=45°②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化；故答案为：45°，不变化.(2)（2）如图2-1，如图2-2中，结论仍然成立；故答案为：成立；(3)证明一：如图所示.过点作于点，于点.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴平分.∴.∴.∴.∵，∴.∴.∴.证明二：如图所示.过点作于点，延长交于点，连接.∵点在的垂直平分线上，∴.∵四边形为正方形，∴，∴.∴，.∴.又∵，∴.又∵，∴.∴.【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质等知识点9．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t ；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q 点在BC 上且位于FC 之间时，254033t 此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t ，∴4t-35＜30，四边形AQFP 面积小于平行四边形ABCD 面积的一半，情况四：当Q 点在CD 上时，405033t << 当AP=BF=15时，t=15，1122APF ABFP PFQ DCFP SS S S 且 ∴1+2APF PFQ AFPQ ABCD S S S S ， ∴当t=15秒时，以A 、Q 、F 、P 为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD 面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．10．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）152 【分析】（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）∵矩形ABCD∴//AB CD∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠∵点O 是对角线BD 的中点∴OD OB =∴()OFD OEB AAS △≌△∴DF BE =∵//DF BE∴四边形DEBF 是平行四边形（2）∵四边形DEBF 是平行四边形∴DF BE =,DE FB =若DE=BE∴=DF BE DE FB ==∴四边形DEBF是菱形又∵四边形DEBF是平行四边形，若EF BD⊥∴四边形DEBF是菱形∴增加DE=BE或EF BD⊥，即可判定四边形DEBF是菱形；（3）设BE=DE=x∵AB=8∴AE=8-x∵直角三角形ADE2226(8)x x+-=解得：254 x=25BE4=∵直角三角形ABD∴22228610 BD AB AD∵111222BDES BD EF BE AD =⨯=⨯△∴11125106 2224EF⨯⨯=⨯⨯∴152 EF=．【点睛】本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷一、选择题1．如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，BD=2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论①BE ⊥AC②四边形BEFG 是平行四边形③EG=GF④EA 平分∠GEF其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④2．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（）A ．33B ．27C ．43D ．223+3．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；A ．5B ．6C ．32D ．54．对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n=．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的22倍时就可移转过去；结果取13n=．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对5．如图，在菱形ABCD中，AB=5cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB．CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1c m/s，点F的速度为2c m/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为()A．34B．43C．32D．536．如图，在菱形ABCD中，2AB=，,E F分别是AB，BC的中点，将CDF沿着DF 折叠得到DFC'△，若C'恰好落在EF上，则菱形ABCD的面积为（）A．3B 37C36D．227．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点F是边CD上一点，连接ED，EF，ED平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD 的值是( )A ．32B ．22C ．2D ．38．如图，平行四边形ABCD 中，AB=18，BC ＝12，∠DAB ＝60°，E 在AB 上，且AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则下列结论正确的个数是（）（1）CE 平分∠BCD ；（2）AF=CE ；（3）连接DE 、DF ，则ADF CDE SS ∆=；（4）DP ：DQ=23:13A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法确定10．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相较于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②·ABCD A S AB C =；③OA ＝OB ；④OE ＝14B C ．其中成立的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．14．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．16．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．17．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．18．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．19．如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为______．20．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝12AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____．三、解答题21．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；拓展问题：（3）连接AF ，用等式表示线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：．22．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．23．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．24．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．25．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．△的形状，并说明理②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC由．26．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.；（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.27．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．（1）当t＝1时，求BF的长度；（2）在点E运动的过程中，求D、F两点之间距离的最小值；（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．28．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．29．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．30．阅读下列材料，并解决问题：如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC 的值是多少．在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．参考小红的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______；（2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，求EC的长.【详解】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM=12 AE，∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，∴HM=1，∴AE'=2，∴E点与E'点重合，∵∠AEB=∠MHB=90°，∴∠CBE=90°，在Rt△EBC中，3BC=4，∴7，故选A.【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．3．A解析：A【解析】【分析】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E，连接BE，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD，利用SAS可证明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的长即可得PD的长.【详解】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交与E，连接BE，∵∠APB=45°，EP⊥PB，∴∠EPA=45°，∵EA⊥PA，∴△PAE是等腰直角三角形，∴PA=AE，PE=2PA=2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAP=∠DAB=90°，∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，又∵AD=AB，PA=AE，∴△PAD≌△EAB，∴PD=BE=22PE PB+=2224+=25，故选A.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.4．B解析：B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n2261265+=14；乙的思路与计算都正确，n2261265+=14；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+62=2≈13．故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．5．D解析：D【分析】由题意知道AE=t，CF=2t，连接BD，证明△DEB≌△DFC，得到EB=FC=2t，进而AB=AE+EB=3t=5，进而求出t的值.【详解】解：连接DB ，如下图所示，∵四边形ABCD 为菱形，且∠ADC=120°，∴∠CDB=60°∴△CDB 为等边三角形，∴DB=DC又∵△DEF 为等边三角形，∴∠EDF=60°，DE=DF∴∠CDB=∠EDF∴∠CDB-∠BDF=∠EDF-∠BDF∴∠CDF=∠BDE在△EDB 和△FDC 中：=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩DE DF EDB FDC DB DC ，∴△EDB ≌△FDC(SAS)∴FC=BE=2t∴AB=AE+EB=t+2t=3t=5∴t=53. 故答案为：D.【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质等相关知识，关键是能想到连接BD 后证明三角形全等，本题是动点问题，将线段长用t 的代数式表示，化动为静.6．B解析：B【分析】连接AC 、BD ，设交于点O ，延长DA 、FE ，设交于点G ，如图所示，先根据菱形的性质和平行线的性质得出∠G =∠BFE ，∠GAB =∠ABF ，进而可根据AAS 证明△AEG ≌△BEF ，可得GE=EF ，AG=BF ，由此可求出DG 的长，然后根据折叠的性质和平行线的性质可得∠ADF =∠DFE ，于是可得GF=GD ，则GF 可得，再根据三角形的中位线定理和等量代换可得AC 的长，进而可得AO 的长，然后根据勾股定理可求出DO 的长，即得BD 的长，再根据菱形的面积求解即可．【详解】解：连接AC、BD，设交于点O，延长DA、FE，设交于点G，如图所示，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∴∠G=∠BFE，∠GAB=∠ABF，∵,E F分别是AB，BC的中点，菱形的边长为2，∴AE=BE，BF=CF=1，12EF AC=，∴△AEG≌△BEF（AAS），∴GE=EF，AG=BF=1，∵AD=2，∴DG=3，∵将CDF沿着DF折叠得到DFC'△，若C'恰好落在EF上，∴∠CFD=∠DFE，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，∴∠ADF=∠DFE，∴GF=GD=3，∵12EF AC=，12EF GF=，∴AC=FG=3，∴AO=13 22 AC=，在Rt△AOD中，由勾股定理得：22223722DO AD AO⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，∴BD=7，∴菱形ABCD的面积=11373722AC BD⋅=⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的面积、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，具有一定的难度，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．7．C解析：C【分析】由题意得△AED ≌△MED 、△BEG ≌△MEG 、△MGF ≌△CGF ，设CG=x ，用含x 的式子表示AD =2x ，AB =，即可得出AB AD ==【详解】∵ED 平分∠AEF∴∠AED=∠DEM在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90°∵DG ⊥EF∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°∴∠A=∠DME=90°∵DE=DE∴△AED ≌△MED∴ME=AE∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点∴AE=BE∴ME=BE∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG∴Rt △BEG ≌Rt △MEG∵AD ∥BC∴∠ADG=∠CGD∵ED ∥GF∴∠EDM=∠FGM∴∠ADE=∠CGF∴∠CGF=∠FGM∴△MGF ≌△CGF∴MG=CG=BG设CG=x∴BC=2x∴AD=DM=2x∴DG=3x根据勾股定理可得CD =∴AB =∴AB AD 2x==故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．8．B解析：B【分析】由平行四边形ABCD 中，AB=18，BC ＝12，AE ：EB ＝1：2，得EB= BC ，结合AB ∥CD ，即可判断（1）；过点F 作FM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，在Rt ∆AMF 中，利用勾股定理求出AF=∆BCE 中，求出CE 的值，即可判断（2）；由12A DF BCD A S S =，12A DE BCD C S S =，即可判断（3）；由1122AF DP CE DQ ⋅=⋅，即可判断（4）．【详解】 ∵平行四边形ABCD 中，AB=18，BC ＝12，AE ：EB ＝1：2，∴EB= BC ＝12，∴∠BEC=∠BCE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEC=∠DCE ，∴∠BCE=∠DCE ，∴CE 平分∠BCD ，∴（1）正确；过点F 作FM ⊥AB 交AB 的延长线于点M ，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠DAB ＝60°，∠BFM=30°，∵F 是BC 的中点，∴BF=12BC=6，∴BM=12BF=3， ∴AM=18+3=21，∴==∵EB= BC ＝12，∠ABC=180°-60°=120°，∴∴AF ≠CE ，∴（2）错误；∵在平行四边形ABCD 中，12A DF BCD A SS =，12A DE BCD C S S =， ∴ADF CDE S S ∆=，∴（3）正确； ∵DP ⊥AF ，DQ ⊥CE ，ADF CDE SS ∆= ∴1122AF DP CE DQ ⋅=⋅， ∴DP ：DQ=CE ：AF=23:13，∴（4）正确．故答案是：B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．9．B解析：B【分析】连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．【详解】解：连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，由题意可知：四边形BCED 是正方形，四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∠ACB ＝90°∴∠CEH ＝∠ECK ＝90° ,CE ＝BC∵∠BKH ＝90°,∴四边形CEHK 是矩形，∴ CE ＝HK又∠HBK ＋∠ABC ＝90°, ∠BAC ＋∠ABC ＝90°∴∠HBK ＝∠BAC∴△BHK ≌△ABC （AAS ）∴S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，∵∠ABC ＋∠CBJ ＝90°，∠BHK ＋∠KHL ＝90°∴∠CBJ ＝∠KHL∴△BCJ ≌△HKL （ASA ）∴S △BCJ ＝S △HKL ，∴S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，∵四边形ACFG 是正方形，四边形ABHI 是正方形，∴AB ＝AI ，AC ＝AG ，∠G ＝∠ACB ＝90°∴△ABC ≌△AIG （SAS ）∴S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，即S 1＝S 2故选：B【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．10．C解析：C【分析】①先根据平行四边形的性质可得120,60,BAD ABC OA OC ∠=︒∠=︒=，再根据角平分线的定义可得60=︒∠BAE ，然后根据等边三角形的判定与性质可得AB AE BE ==，60AEB ∠=︒，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得30ACE CAE ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得；②由①已推得90BAC ∠=︒，再根据2ABCD ABC S S =即可得；③在Rt AOB 中，根据直角边小于斜边即可得；④在ABC 中，利用三角形中位线定理可得12OE AB =，再根据12AB BC =即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形，60ADC ∠=︒，120,60,BAD ABC OA OC ∴∠=︒∠=︒=，AE ∵平分BAD ∠，1602BAE BAD ∴∠=∠=︒，ABE ∴是等边三角形，,60AB AE BE AEB ∴==∠=︒， 12AB BC =， AB AE BE CE ∴===，ACE CAE ∴∠=∠，60AEB ACE CAE ∠=∠+∠=︒，30ACE CAE ∴∠=∠=︒，90,30BAC BAE CAE CAD BAD BAC ∴∠=∠+∠=︒∠=∠-∠=︒，则结论①成立， AB AC ∴⊥，122··2ABCD ABC AB AC AB AC S S ==⨯=∴，则结论②成立，在Rt AOB 中，OA 是直角边，OB 是斜边， OA OB ∴<，则结论③不成立，,OA OC BE CE ==，OE ∴是ABC 的中位线，11112224OE AB BC BC ∴==⨯=，则结论④成立，综上，结论成立的个数是3个，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．二、填空题11．【详解】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DE ，交AC 于点P ，那PE+PB 的值最小．在Rt △CDE 中，由勾股定理先计算出DE 的长度，即为PE+PB 的最小值．连接DE ，交AC 于点P ，连接BD ．∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值，∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中，考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，∴2m=MC ，22PM MC +，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9，故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．3013≤AM<6 【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A 到BC 的距离, M 为EF 中点，所以AM=12EF ，继而求得AM 的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，所以3013≤AM＜6，故答案为3013≤AM＜6.14．①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG ⊥CE ，故②正确；过点E 作EP ⊥HA 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，如图2，∵AH ⊥BC ，∴∠ABH +∠BAH ＝90°，∵∠BAE ＝90°，∴∠EAP +∠BAH ＝90°，∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，∴△ABH ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AH ，同理可得GQ ＝AH ，∴EP ＝GQ ，∵在△EPM 和△GQM 中，90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPM ≌△GQM （AAS ），∴EM ＝GM ，∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．15．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，可证点B ，点A ，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，S △ABC =1242⨯=12cm 2，∵在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB ′C ，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，∴∠BAB'=180°，∴点B ，点A ，点B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE ，∴S △ACE =12S △AB'C =6cm 2，故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B ，点A ，点B'三点共线是本题的关键．16．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可17．13+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=2，进一步可得2221382=+=+，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证FN FR NR明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222=，+，NR=KQ=DK−2121∴2221382=+=+FN FR NR再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=213FN=+故答案为：13+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.18．663【分析】==，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直通过四边形ABCD是矩形以及CE CB BE角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可．【详解】解：如图，设NE交AD于点K，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC==，∵CE CB BE∴△BCE为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN⊥BE，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt△KME中，=∴NE=NK+KE=6+∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+∴6=+∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．19．207【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由“AAS”可证△OEF ≌△OBP ，可得出OE=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=5-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=2+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，即可得AF 的长．【详解】解：∵将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，∴DC =DE =5，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩, ∴△OEF ≌△OBP （AAS ），∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =5-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =2+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，∴（2+x ）2+32=（5-x ）2，∴x =67∴AF =2+67=207故答案为：207 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．13【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝，再根据BE ＝2OB EC ．【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ，∴AH ＝13， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12AD •BO ＝12BD •AH ，∴OB∴BE ＝2OB ， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°，∴在Rt △BCE 中，EC =13．．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．三、解答题21．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝2DF或|AF－CF|2【分析】（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得2CF，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出2CF；（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出2；②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得∠NFC=∠BFC=12∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得2，DF=DH，由SAS证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出2DF；③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则△HDF是等腰直角三角形，得出2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，HF=2DF ，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出CF-AF=2DF ．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB ，∠BCD=90°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴DB=2CB ，当点E 、F 与点B 重合时，则DE=2CF ，故答案为：DE=2CF ；（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：情况1：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：则∠BCD=∠GCF=90°，∴∠DCG=∠BCF ，设BC 交DF 于P ，∵BF ⊥DE ，∴∠BFD=∠BCD=90°，∵∠DPC=∠FPB ，∴∠CDP=∠FBP ，在△CDG 和△CBF 中，DCG BCF CD CBCDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），∴DG=FB ，CG=CF ，∴△GCF 是等腰直角三角形，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=90°-α，∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，∴∠EAB=90°-2α，∵AB=AE，∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB）=12（180°-90°+2α）=45°+α，∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，∵BF⊥DE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∴EF=DG，∴EF+EG=DG+EG，即DE=FG，∴DE=2CF；情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，如图③所示：∵∠GCF=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCF，∵∠FPD=∠BPC，∴∠FDP=∠PBC，在△CDG和△CBF中，DCG BCFCD CBCDG CBF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△CDG≌△CBF（ASA），∴DG=FB，CG=CF，。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测一、解答题1．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．3．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．4．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+．②若3AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．5．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.6．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.（1）当1x =时，点M 的坐标为（，）（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）7．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积；（2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．8．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．9．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分；第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．图1 图2（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12CBE ABF ∠=∠．（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；（2）如图2，当32b a =时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【详解】明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，∵AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝12 FG，∵H为FG的中点，∴FH＝12 FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD∥FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝12EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝12 EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝12 BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．（1）（3，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）OM=32或212 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得223AB OA -=∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=1322OB =∴2232OB BD -=∴点B 的坐标为（32，32）故答案为：（3232）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（3，0）∵△ABC为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C的坐标为（3，2）设点D的坐标为（a，b）如图所示，若四边形ABCD为菱形，连接BD，与AC交于点O ∴点O既是AC的中点，也是BD的中点∴03312022ab⎧++=⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3 ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O ∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴033212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：31ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O ∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴03310222ab⎧++=⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1 ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=3∴BP=223 2OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM ∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt△OBM中，2221 2OB BM+=；综上：OM=32或212．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．3．（1）ΔDPM,ΔFPG；等腰直角；（2）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG PC＝3；（3）213【分析】（1）延长GP交DC于点M，由Р是线段DF的中点，//DC CF，可得∠MDP=∠GFP，DP=FP，利用ASA可证明△DPM≌△FPG；可得DM=GF，MP=GP，根据正方形的性质可得CM=CG，即可证明△CMG是等腰直角三角形，即可得答案；（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得PC=12CG，根据平角的定义可得∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．【详解】（1）如图，延长GP交DC于点M，∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,A B E在同一条直线上，∴//DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，在△DPM和△FPG中，MDP GFP DP FPDPM FPG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPM≌△FPG，∴DM=FG，KP=GP，∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，∴△CMG是等腰直角三角形，∴PG⊥PC，PG=PC．故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC3．如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，CF//BE，CD＝CB，GF=GB，∵点A B E、、在一条直线上，∴DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，GFP HDP FP DPGPF HPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△GFP≌△HDP，∴GP＝HP，GF＝HD，∴CD-DH＝CB-GB，即CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形．∴PG⊥PC，（三线合一），∠HCP=∠GCP，∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠HCG=120°，∴∠CGP=12（180°-120°）=30°，∴CG=2PC，∴PG=2222(2)3CG PC PC PC PC-=-=，∴PGPC＝3．（3）如图2，∵AB=6，BE=2，∴CG=AB-BE=4，由（2）可知∠CGP=30°，PG⊥PC，∴PC=12CG=2，如图3，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，在△DNP和△FGP中，DP FPNPD GPFPN PG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DNP≌△FGP，∴DN=GF=BG=BE=2，∠NDP=∠GFP，∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，∴CD//AB，EF//BC，∵点A、B、G在一条直线上，∴DC∥EF，∴∠CDP=∠EFP，∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠EFG=∠CBG=120°，∴∠NDP+CDP=∠GFP+∠EFP=∠EFG=120°，即∠NDC=120°，∴∠KDN=60°，∠KND=30°，∴KD=12DN=1，NK=223DN KD-=，∴CK=CD+KD=7，∴CN=22CK NK+=213，在△CDN和△CBG中，CD BCCDN CBGND BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CN=CG，∠DCN=∠BCG，∴PC⊥GN，∠DCN+∠NCB=∠BCG+∠NCB=∠DCB=120°，即∠NCG=120°，∴∠CNP=12（180°-∠NCG）=30°，∴PC=12CN=13．故答案为：213【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线、熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质及全等三角形的判定定理是解题关键．4．（1）四边形ABGE的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得90A ABC︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE为矩形，由折叠得：AB=BG，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE为正方形；（2）①如图，连结EF，在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE沿BE折叠后得到△GBE，可得BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt△EGF≌Rt△EDF，得到DF=FG，问题得证；②设AB=DC=a ，则AD=BC=3a ，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系．【详解】（1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ， ∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，∴∠EGF=∠D=90°，Rt △EGF 和Rt △EDF 中，EG ED EF EF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴DF=FG ，∴BF=BG+GF=AB+DF ；②不妨假设AB=DC=a ，则3，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，即(2a-x)23a)2+x 2，整理得：x=14a，∴CF=14a，DF=a-x=34a，∴DF=3CF．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．5．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222BC CN BN CE BE=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案.【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP是矩形，∴DF=HP，∴FM= DF=HP，∵∠CHG=∠BCE，AD∥BC，FG∥CD，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC≌△FMK，∴CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，∵FG∥CD ，∴∠DCF=∠CFG，∴∠FCG=∠CFG，∴FG=CG，∵CF⊥EF，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=FE，∴FG=CG=GE，∠CGT=2α，∵FG是BC的中垂线，∴BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+ ∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．（1）点M 的坐标为(51)，；（2）()44y x =-()04x <<；（3）()240Q x +， ()340Q x + ，()40Q x ，()504)Q x x << 【分析】（1）过点M 作ME OA ⊥，由“AAS ”可证COP PEM ∆≅∆，可得4CO PE ==，1OP ME ==，即可求点M 坐标；（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆,设OP=x ，则可得M 点坐标为（4+x ，x ），由直线OB 解析式可得N （x ，x ），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形BCNM 是平行四边形，进而可求y 与x 的函数关系式；（3）首先画出符合要求的点Q 的图形，共分三种情况，第一种情况：当MN 为底边时，第二种情况：当M 为顶点MN 为腰时，第三种情况：当N 为顶点MN 为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．【详解】解：（1）如图，过点M 作ME OA ⊥，CP PM ⊥90CPO MPE ∴∠+∠=︒，且90CPO PCO ∠+∠=︒PCO MPE ∴∠=∠，且CP PM =，90COP PEM ∠=∠=︒()COP PEM AAS ∴∆≅∆4CO PE ∴==，1OP ME ==5OE ∴=∴点M 坐标为(5,1)故答案为(5,1)（2）由（1）可知COP PEM ∆≅∆4CO PE ∴==，OP ME x ==∴点M 坐标为(4,)x x +四边形OABC 是边长为4的正方形，∴点(4,4)B∴直线BO 的解析式为：y x =//MN AO ，交BO 于点N ，∴点N 坐标为(,)x x4MN BC ∴==，且//BC MN∴四边形BCNM 是平行四边形4(4)y x ∴=- (04)x <<（3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN ∆是等腰三角形，此时点Q 的坐标为：1(2,0)Q x +，22(416Q x x +-，0)，23(416Q x x ++-，240)(16Q x x +-250)(16Q x x -，0)其中(04)x <<，理由：当（2）可知，(04)OP x x =<<，4MN PE ==，//MN x 轴，所以共分为以下几种请：第一种情况：当MN 为底边时，作MN 的垂直平分线，与x 轴的交点为1Q ，如图2所示111222PQ PE MN ===， 12OQ x ∴=+，1(2,0)Q x ∴+第二种情况：如图3所示，当M 为顶点MN 为腰时，以M 为圆心，MN 的长为半径画弧交x 轴于点2Q 、3Q ，连接2MQ 、3MQ ，则234MQ MQ ==，2222Q E MQ ME ∴=-222416OQ OE Q E x x ∴=-=+-，22(416Q x x ∴+-0)，32Q E Q E =，233416OQ OE Q E x x =+=+-23(416Q x x ∴++-0)；第三种情况，当以N 为顶点、MN 为腰时，以N 为圆心，MN 长为半径画圆弧交x 轴正半轴于点4Q ，当022x <<4所示，则2224416PQ NQ NP x =-=-，24416OQ OP PQ x x ∴=+=+-，即24(16Q x x +-，0)．当22x =时，则4ON =，此时Q 点与O 点重合，舍去；当224x <<时，如图5，以N 为圆心，MN 为半径画弧，与x 轴的交点为4Q ，5Q ．4Q 的坐标为：24(16Q x x -0)．2516OQ x x =- 25(16Q x x ∴-0)所以，综上所述，1(2,0)Q x +，22(416Q x x +-，0)，23(416Q x x ++-，240)(16Q x x +-250)(16Q x x -，0)使QMN ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，画出相应的图象，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．7．（1）32）见详解．【分析】（1）根据所给的60°，判断出等边三角形，得出BE=6，根据所给比例关系，求出CE ，然后求出三角形面积；（2）利用已知条件能够求出ABF ≌ADH ，之后需要构造全等图形，使所求的BG+GD转化在同一直线上，然后根据含有30°的特殊直角三角形的关系，即可证明出结果．【详解】解：（1）如图：过A 点作AN ⊥BE ，交BE 于N ．∵60ABC ∠=︒，6AB AE ==∴△ABE 为等边三角形，∴AB=BE=AE=6即：AN=33∵:5:2BC CE =∴:5:3BC BE =∵BE=6∴BC=10∴EC=4 ∴113346322ACE S AN EC ==⨯=即：ACE △的面积为3．（2）如图：延长GD 至P 使DP=BG ，连接AP ，∵AH=AF ，∴∠AFH=∠AHF即：∠AFB=∠AHD ，又∵AF=AH ，BF=DH ，∴ABF ≌ADH∴AB=AD又∵180ABG ADG ∠+∠=︒，180ADP ADG ∠+∠=︒，∴∠ABG=∠ADP∵BG=DP ，∴ABG ≌ADP △∴AG=AP ，∠BAG=∠DAP∵∠ABC=60°∴∠BAD=120°即：∠GAP=120°∴∠AGP=∠APG=60°，又∵AM ⊥GD∴3，∵BG=GP∴BG+GD=GD+DP=GP即：3．【点睛】本题重点考察在平行四边形中利用平行四边形的性质证明图形面积，以及构造全等图形求多边之间的关系，构造全等三角形是本题的解题关键．8．（1）见解析；（2）见解析；（3）7【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD，则∠AFD=∠ADF；（2）首先得出四边形AGHN为平行四边形，可得FM=MD，进而NF=NH，ND=NH，即可得出答案；（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），得到PC=DN，再利用在Rt△ABE中，BE2+AB2=AE2，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF；（2）证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF，DH于M，N两点，∵GF⊥DF，∴∠GFD=∠AMD=90°，∴AN∥GH，∵四边形ABCD为正方形，∴AG∥NH，∴四边形AGHN为平行四边形，∴AG=NH，∵AF=AD，AM⊥FD，∴FM=MD，连接NF，则NF=ND，∴∠NFD=∠NDF，∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，∴∠NFH=∠H，∴NF=NH，∴ND=NH，∴DH=2NH=2AG；（3）解：延长DF交BC于点P，如图2所示：∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠FPE，∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE，∴EF=EP=2，∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC ，∴∠DAM=∠PDC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=DC ，∠ADN=∠DCP ，在△ADN 和△DCP 中DAN PDC AD DCADN PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADN ≌△DCP （ASA ），∴PC=DN ，设EC=x ，则PC=DN=x+2，DH=2x+4，∵CH=3，∴DC=AB=BC=AF=2x+1∴AE=2x+3，BE=x+1，在Rt △ABE 中，BE 2+AB 2=AE 2，∴（x+1）2+（2x+1）=（2x+3）2．整理得：x 2﹣6x+7=0，解得：x 1=7，x 2=﹣1（不合题意，舍去）∴EC=7．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质．9．28【分析】（1）利用旋转的旋转即可作出图形；（2）先求出ABC 的边长边上的高为12，进而求出DE 与BC 间的距离为6，再判断出FH 最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.【详解】（1）∵DE 是△ABC 的中位线，1DE BC 4,AD BD,AE CE 2∴==== ∴四边形BDFH 绕点D 顺时针旋转，点B 和点A 重合，四边形CEFH 绕点E 逆时针旋转，点C 和点A 重合，∴补全图形如图1所示，（2）∵△ABC 的面积是48，BC=8，∴点A 到BC 的距离为12，∵DE 是△ABC 的中位线，∴平行线DE 与BC 间的距离为6，由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，∴点H''，A ，H'在同一条直线上，由旋转知，∠AEF'=∠CEF，∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，∴点F ，E ，F'在同一条直线上，同理：点F ，D ，F''在同一条直线上，即：点F'，F''在直线DE 上，由旋转知，AH''=BH ，AH'=CH ，DF''=DF ，EF'=EF ，F''H''=FH=F'H'，∴F'F''=2DE=BC=H'H''，∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH ，∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH 最小，即：FH⊥BC，∴FH=6，∴周长的最小值为16+2×6=28，故答案为28．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形'''''FH H F 是平行四边形是解本题的关键.10．（1）见解析；（2）①2ABE BFC ∠=∠；②见解析；③732【分析】（1）证明()BAE BCF ASA ∆≅∆可得结论．（2）①结论：2ABE BFC ∠=∠．如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，利用三角形内角和定理结合已知条件即可解决问题．②将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，利用全等三角形的性质解决问题即可．③求出CF ，利用三角形的面积公式，矩形的面积公式即可解决问题．【详解】解：（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是矩形，90ABC BCD BCF ∴∠=∠=∠=︒，60EBC =︒∠，12CBE ABF ∠=∠， 120ABF ∴∠=︒，906030ABE ︒∴-︒∠==︒，1209030CBF ∠=︒-︒=︒，ABE CBF ∴∠=∠，AB BC =，()BAE BCF ASA ∴∆≅∆，BE BF ∴=．（2）①结论：290EBC BFC ∠+∠=︒．理由：如图2中，设EBC x ∠=，BFC y ∠=，则2ABF x ∠=，90BCF ∠=︒，90FBC y ∴∠=︒-，=2ABE FBC ABF EBC x x x ∠+∠=∠-∠-=，(90)ABE x y ∴∠=-︒-，90ABE EBC ∠+∠=︒，(90)90x y x ∴-︒-+=︒，2180x y ∴+=︒，2180EBC BFC ∴∠+∠=︒，()290180ABE BFC ∴︒-∠+∠=︒，2ABE BFC ∴∠=∠．②证明：将ABE ∆绕BE 翻折得到BEH ∆，延长BH 交CD 于T ，连接ET ．设2AB CD k ==，则3AD BC k ==，ABE EBH ∠=∠，1 2EBC ABF∠=∠，FBC CBT∴∠=∠，90FBC F CBT BTC∠+∠=∠+∠=︒，F BTC∴∠=∠，BF BT∴=，CT CF=，DE AE EH==，ET ET=，90D EHT∠=∠=︒，Rt ETD Rt ETH(HL)∴∆≅∆，DT TH∴=，在Rt BCT∆中，则有222(2)(3)(2)k x k k x+=+-，解得98x k=，2BF CF BT CT BH TH CT BH TD TC BH CD AB∴+=+=++=++=+=．③由②可知，3BC k=，97288CF CR k k k==-=，∴2173728632BCFABCDk kSS k∆⋅⋅==矩形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

八年级初二数学第二学期平行四边形单元易错题难题测试综合卷检测试卷

一、选择题 1．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；A ．25B ．26C ．32D ．52．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少3．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④4．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ，则满足条件的t 的值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（）A ．2B ．23C ．2或23D ．2或43 6．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，2BD AD =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE AC ⊥；②EG GF =；③EFG GBE ∆∆≌；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤8．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD ，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，直线BF 交线段AD 的延长线于G ，下面结论：①2BD BE =；②A BHE =∠∠；③AB BH =；④BHD BDG ∠=∠其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．13．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．14．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______16．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．17．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =DF =_________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．19．如图所示，在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E 、F 、G 、H ，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成一个菱形，这个条件是__________．20．如图，在平行四边形ABCD 中，53AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．三、解答题21．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．23．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC ，AD 于点E ，F ，连接BF ．（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE ＝OF ；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF 的形状，并证明你的结论；（3）若AB ＝1，BC ＝5，且BF ＝DF ，求旋转角度α的大小．25．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．26．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .27．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．28．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.29．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝13PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．30．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E，连接BE，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD，利用SAS可证明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的长即可得PD的长.【详解】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交与E，连接BE，∵∠APB=45°，EP⊥PB，∴∠EPA=45°，∵EA⊥PA，∴△PAE是等腰直角三角形，∴PA=AE，PE=2PA=2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAP=∠DAB=90°，∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，又∵AD=AB，PA=AE，∴△PAD≌△EAB，∴PD=BE=2224+=25，PE PB+=22故选A.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.2．D解析：D【分析】根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．【详解】从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，OD由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．3．C解析：C【分析】如图，设DE交AP于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；【详解】解：如图，设DE交AP于O.∵四边形ABCD是菱形∴DA=DC=AB∵A.P关于DE对称，∴DE⊥AP，OA=OP∴DA=DP∴DP=CD，故①正确∵AE=EB，AO=OP∴OE//PB，∴PB⊥PA∴∠APB=90°∴2222+==，故②正确PA PB AB CD若∠DCP=75°，则∠CDP=30°∵LADC=60°∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；∵∠ADC=60°，DA=DP=DC∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确.故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.4．B解析：B【解析】【分析】过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．【详解】解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53t =；ii ）当P 在BC 上时，即103＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295t =＜6（舍去）；若点P 在Q 的左侧时，即3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8．综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153t =，t 2=7.8．故选B．【点睛】本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．5．C解析：C【解析】【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【详解】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF 垂直平分AB∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP∴△ABA'是等边三角形∴∠ABP=30°∴AP=23333 ==；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，22222425AB AD++=∴A'B+A'D＜BD（不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2∴A'B+A'C=2+2=4∴点A'落在BC上的中点处此时，∠ABP=12∠ABA'=45°∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为2332．故选C.【点睛】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．6．C解析：C【解析】设正方形O3KJP的边长为a，根据正方形的性质知：O3O42 a，正方形O2IHJ的边长为2a，O2O32a，正方形O1GFH的边长为4a，O1O22a，正方形OCDF的边长为8a，OO12a，∵AO=2OO12am，∴222222，解得：a=2m，∴FD=8a=16m，∴长方形花坛ABCD的周长是2×（2FD+CD）=6FD=96m，故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的2倍，熟记性质是解题的关键．7．B解析：B【分析】由平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BO＝DO＝12BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF＝12 CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE＝12AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误，∵BG＝EF，AB∥CD∥EF∴四边形BGFE是平行四边形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，若四边形BEFG是菱形∴BE＝BG＝12 AB，∴∠BAC＝30°与题意不符合，故⑤错误故选：B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】①如图，连接AC，BD交于O，四边形ABCD是菱形，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④如图，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；综上，①②③④4个均正确，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键．9．D解析：D【分析】①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPBPOA ，等量代换得到OPAPOA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．【详解】解：①四边形OACB 是矩形，90OBC ∴∠=︒，将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，45BOP ，45DOP BOP ，90BOD =∴∠︒，90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，OB OD =，∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，点(10,0)A ，点(0,6)B ，10OA ∴=，6OB =， 6OD OB，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，OAD ∴∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，则OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，OA=，AC OB，1062222OC OA AC，106234CD OC OD，2346即CD的最小值为2346；故③正确；OD AD，④⊥∴∠=︒，ADO90ODP OBP，90ADP，180∴，D，A三点共线，POA CB，//OPB POA，OPB OPD，OPA POA，AP OA，10AC=，6221068CP，BP BC CP，故④正确；1082故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．10．B解析：B【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，可对③进行判断；因为∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可判断④．【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴△BDE为等腰直角三角形，222∴==+==，所以①错误；BE DE BD BE DE BE BE,22∵BF ⊥CD ，∴∠C+∠CBF=90°，而∠BHE+∠CBF=90°，∴∠BHE=∠C ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠A=∠C ，∴∠A=∠BHE ，所以②正确；在△BEH 和△DEC 中BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△DEC ，∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，∴AB=BH ，所以③正确；∵∠BHD=90°+∠EBH ，∠BDG=90°+∠BDE ，∵∠BDE=∠DBE ＞∠EBH ，∴∠BDG ＞∠BHD ，所以④错误；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质并能灵活运用是解题关键，本题中主要用到平行四边形对边相等，对角相等．二、填空题11． 4【解析】分析：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB 的长；②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．详解：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF=90°时，如图1，.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠MAN=90°，∴∠CDE=∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB=∠A'EC，∴∠A'CB=∠A'EC，∴A'C=A'E=4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC=2A'E=8，由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，∴AB=2284=43；②当∠A'FE=90°时，如图2，.∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；.综上所述，AB的长为4；故答案为 4.点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．12．3013≤AM<6【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=12EF，继而求得AM的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，所以3013≤AM＜6，故答案为3013≤AM＜6.13【分析】先根据菱形的性质可得OC垂直平分BD，从而可得=DP BP，再根据两点之间线段最短可得EP BP+的最小值为DE，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP、DP、EP、DE、BD，过点D作DA OB⊥于点A，(23,0)B，OB∴=四边形ABCD是菱形，OC∴垂直平分BD，OB OD==点P是对角线OC上的点，DP BP∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形，DA OB ⊥， 132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．14．101-【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm ，在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（9﹣10）＝（101-）（cm ）．故答案为：101-．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．12013【分析】设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO 和OH 长，若MN 最小，则MO 最小即可，而O 点到AC 的最短距离为OH 长，所以MN 最小值是2OH ．【详解】解：设MN 与BC 交于点O ，连接AO ，过点O 作OH ⊥AC 于H 点，∵四边形MCNB 是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO=12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13．所以此时MN最小值为2OH＝120 13．故答案为：120 13．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．16．6【分析】先证明△AEB≌△FEB≌△DEF，从而可知S△ABE =13S△DAB，即可求得△ABE的面积．【详解】解：由折叠的性质可知：△AEB≌△FEB ∴∠EFB=∠EAB=90°∵ABCD为矩形∴DF=FB∴EF垂直平分DB∴ED=EB在△DEF和△BEF中DF=BF EF=EF ED=EB∴△DEF≌△BEF∴△AEB≌△FEB≌△DEF∴13666AEB FEB DEF ABCDS S S S∆∆∆====⨯=矩形．故答案为6．【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB≌△FEB≌△DEF是解题的关键．17．4【分析】证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．【详解】解：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA）．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，22BC=∴BE=122BC=，DF=2DE，在Rt△EMB中，EM2+BM2=BE2且EM=BM∴EM=1，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=2，∴DF=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，18．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．【详解】解：作AB的中点M，连接EM、CM．在Rt△ABC中，AB22AC BC+2286+10，∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝12AB＝5．∵E是BD的中点，M是AB的中点，∴ME＝12AD＝2．∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．19．答案不唯一，例AC=BD 等【分析】连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可.【详解】连接AC，∵点E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=12 AC，同理HG∥AC，HG=12 AC,∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，连接BD,同理EH=FG,EF∥FG，当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形，故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.【点睛】此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定.20．102【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.【详解】过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．∵AE 是BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴53CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，∴DAE DEA ∠=∠，∴3DE AD ==，∴2CE CD DE =-=．∵BAD BEC ∠=∠，∴BCE BEC ∠=∠，∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．故答案为：2【点睛】此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.三、解答题21．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =．【分析】（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可；（2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：∵四边形AEFC 是菱形，∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），∴EM ＝AH ＝GN ，在△EMI 和△GNI 中，EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI ＝GI ，∴I 是EG 的中点，∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°，∴∠EAG ＝90°，在Rt △EAG 中， EG ＝22AEAG +＝2286+＝10，∵I 是EG 的中点，∴AI ＝12EG ＝12×10＝5．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.【详解】（1）四边形ABCD 为平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，12OE OB ∴=，12OF OD =，则OE OF =，在AOE ∆与COF ∆中OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴∆≅∆；（2）AOE COF ∆≅∆，EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，//AE CF ∴，又GE AE =，GE CF ∴=，∴四边形EGCF 为平行四边形；（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.∵AC=2AB ，AC=2AO ，∴AB=AO ，∵点E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF 是矩形.故答案为：AC=2AB .【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.23．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，。

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八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题难题综合模拟测评检测试卷一、解答题1．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A 出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t= 时，四边形ABQP成为矩形？（2）当t= 时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．2．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．(1)求证：AE＝AF；(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．3．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x 轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．5．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．6．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形．（2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．8．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．9．（1）问题探究：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAD 的平分线，则线段AB ，AD ，DC 之间的等量关系为；（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，AE 是∠BAF 的平分线，试探究线段AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论；（3）联想拓展：如图③，AB ∥CF ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，∠EDF ＝∠BAE ，试探究线段AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．10．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形；（2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ 时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，此时有t=22﹣3t ，解得t=112． ∴当t=112时，四边形ABQP 成为矩形；故答案为112；（2）如图1，当t=112时，四边形ABQP 成为矩形，如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，则16﹣t=3t ，解得：t=4， ∴当t=112或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形；故答案为112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，BP=22AB AP + =228t +=2283+=73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得221622168t vtt t -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得62t v =⎧⎨=⎩．故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．2．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明△ABE≌△ADF即可求解；(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF＝2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN，故答案为：相等，垂直；(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：连接AE，交MD于点G，如下图所示，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN＝12AE，由(1)同理可证，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM＝12AF，∴DM＝MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，∵MN∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN．故答案为：仍成立．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．3．（1）34；（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【分析】（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；（2）y=12（BN+PA）•OC，即可求解；（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．【详解】（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，即3﹣3t=t，解得：t=34；（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，则y=12(BN+PA)•OC=12(t+t+1)×4=4t+2；（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，故t+1=3﹣3t，解得：t=12，则OM=2t=1，故点M（1，0）；②当∠QMA为直角时，则点M、P重合，则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，故OM=OP=2t=2，故点M（2，0）；综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．【点睛】本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．4．（1）详见解析；（2）145．【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC=EF，且BC ∥EF ，即可判定四边形BCEF 是平行四边形；（2）由四边形BCEF 是平行四边形，可得当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，所以连接BE ，交CF 与点G ，由三角形DEF 的面积求出EG 的长，根据勾股定理求出FG 的长，则可求出答案．【详解】（1）证明：∵AF =DC ，∴AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴BC =EF ，∠ACB =∠DFE ，∴BC ∥EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形；（2）如图，连接BE ，交CF 于点G ，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形，∵∠DEF =90°，DE =8，EF =6，∴DF 222286DE EF +=+10，∴S △DEF 1122EG DF EF DE =⋅=⋅， ∴EG 6824105⨯==， ∴FG =CG 22222418655EF EG ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ∴AF =CD =DF ﹣2FG =10﹣365=145．故答案为：145．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．5．（1）证明过程见解析；（2）①边长为53cm ，②225cm S 9cm 3≤≤．【分析】（1）由折叠的性质得出PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，由平行线的性质得出∠BPF ＝∠EFP ，证出∠EPF ＝∠EFP ，得出EP ＝EF ，因此BP ＝BF ＝EF ＝EP ，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，由对称的性质得出CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，由勾股定理求出DE ＝4cm ，得出AE ＝AD -DE ＝1cm ；在Rt △APE 中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP ＝53cm 即可； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ；当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ 对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴∠EPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形；（2）①∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°，∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5cm ，在Rt △CDE 中，DE 4cm ，∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ；在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，∴222EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝53cm ， ∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=53cm ， 2BFEP 5S =BP AE=cm 3⋅四边形，当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ， 2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形， ∴菱形的面积范围：225cm S 9cm 3≤≤．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键．6．（1）见详解；（2）72x =-【分析】（1）连接MN ，由勾股定理求出AC=5，证出四边形ABNM 是矩形，得MN=AB=3，证△AME ≌△CNF （SAS ），得出EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，证EM ∥FN ，得四边形EMFN 是平行四边形，求出MN=EF ，即可得出结论；（2）连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，则MH=AB=3，BH=AM=x ，得HN=BC-BH-CN=4-2x ，由矩形的性质得出MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）证明：连接MN ，如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠B=90°，∴∠EAM=∠FCN ，2222345AB BC +=+=，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴AM=DM=BN=CN ，AM ∥BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形ABNM 是矩形，∴MN=AB=3，在△AME 和△CNF 中，AM CN EAM FCN AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AME ≌△CNF （SAS ），∴EM=FN ，∠AEM=∠CFN ，∴∠MEF=∠NFE ，∴EM ∥FN ，∴四边形EMFN 是平行四边形，又∵AE=CF=1，∴EF=AC-AE-CF=3，∴MN=EF ，∴四边形EMFN 为矩形．（2）解：连接MN ，作MH ⊥BC 于H ，如图2所示：则四边形ABHM 是矩形，∴MH=AB=3，BH=AM=x ，∴HN=BC-BH-CN=4-2x ，∵四边形EMFN 为矩形，AE=CF=0.5，∴MN=EF=AC-AE-CF=4，在Rt △MHN 中，由勾股定理得：32+（4-2x ）2=42，解得：x=72±， ∵0＜x ＜2，∴x=722-．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．7．（1）①详见解析；②45°-α；③2DF BF CF =+，详见解析；（2）2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出1452DBE ABC ∠=∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出MF=2CF 即可得出结论；（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，DF=BF+2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，BF=DF+2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论；③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论．【详解】解：（1）①如图，②∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，1452DBE ABC ∠=∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，∵BF ⊥DE,∴∠BFE=90°，∴9045EBF BEF α∠=-∠=-,故答案为：45°-α；③线段BF，CF，DF之间的数量关系是DF BF=+．证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM．如图2所示，∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°∴∠CDM=∠CBF=45°-α，∴△CDM≌△CBF（SAS）．∴DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF．∴∠MCF =∠BCF+∠MCE=∠DCM+∠MCE=∠BCD=90°，∴MF．∴=+=+DF DM MF BF.（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，，理由同(1)③；②当点E在线段BC的延长线上时，，理由如下：在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，同(1) ③，得：△CBM≌△CDF (SAS)，∴CM=CF，∠BCM=∠DCF．∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，∴△CMF是等腰直角三角形，∴，∴；③当点E在线段CB的延长线上时，；理由如下：在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，同（1）③得：△CDM≌△CBF，∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，∴△CMF是等腰直角三角形，∴,即，∴;综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数导关系为：+=．=，或BF DFDF BF=，或BF DF【点睛】此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．8．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ，∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．9．（1）AD ＝AB +DC ；（2）AB ＝AF +CF ，证明详见解析；（3）AB ＝DF +CF ，证明详见解析．【分析】（1）结论：AD ＝AB+DC ．延长AE ，DC 交于点F ，证明△ABE ≌△FEC （AAS ），即可推出AB ＝CF ，再证明DA ＝DF ，即可解决问题．（2）结论：AB ＝AF+CF ，如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G ，证明方法类似（1）．（3）结论；AB ＝DF+CF ．如图③，延长AE 交CF 的延长线于点G ，证明方法类似（1）．【详解】解：（1）探究问题：结论：AD ＝AB+DC ．理由：如图①中，延长AE ，DC 交于点F ，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠F ，在△ABE 和△FCE 中，CE ＝BE ，∠BAF ＝∠F ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FEC （AAS ），∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．故答案为AD＝AB+DC．（2）方法迁移：结论：AB＝AF+CF．证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC∴△AEB≌△GEC（AAS）∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG，∵∠BAG∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG，∴AB＝AF+CF．（3）联想拓展：结论；AB＝DF+CF．证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∵AB ∥CF ，∴∠BAE ＝∠G ，在△AEB 和△GEC 中，BAE G AEB GEC BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△GEC ，∴AB ＝GC ，∵∠EDF ＝∠BAE ，∴∠FDG ＝∠G ，∴FD ＝FG ，∴AB ＝DF+CF ．【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．10．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE ≠DF 时，（BE +DF ）2+EF 2＝2AB 2仍然成立，理由详见解析；（3）2622PD =-【分析】（1）①连接ED 、BF ，证明四边形BEDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；（2）过D 作DM ⊥BE 交BE 的延长线于M ，连接BD ，证明四边形EFDM 是矩形，得到EM=DF ，DM=EF ，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；（3）过P 作PE ⊥PD ，过B 作BELPE 于E ，根据（2）的结论求出PE ，结合图形解答.【详解】（1）证明：①连接ED 、BF ，∵BE ∥DF ，BE ＝DF ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BD 、EF 互相平分；②设BD 交EF 于点O ，则OB ＝OD ＝12BD ，OE ＝OF ＝12EF ．∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°．在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．∵BE∥DF，EF⊥BE，∴EF⊥DF，∴四边形EFDM是矩形，∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．∵∠DPB＝135°，∴∠BPE＝45°，∴∠PBE＝45°，∴BE＝PE．∴△PBE是等腰直角三角形，∴BP2BE，2+2PD＝6，∴2BE+2PD＝6，即BE+PD＝6，∵AB＝4，∴（）2+PE2＝2×42，解得，PE＝∴BE＝∴PD＝﹣．【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.。

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