几何建模
数字孪生几何建模物理建模行为建模规则建模
数字孪生几何建模物理建模行为建模
规则建模
数字孪生是一种利用数字技术创建物理对象的虚拟副本的技术。
其中包含了几何建模、物理建模、行为建模和规则建模等方面。
几何建模是数字孪生的基础，它涉及创建物理对象的三维几何形状和结构。
通过使用计算机辅助设计（CAD）工具或其他建模软件，可以生成精确的几何模型，包括物体的尺寸、形状、拓扑结构等。
物理建模则进一步扩展了数字孪生的能力，它关注物理对象的物理特性和行为。
物理建模包括定义材料属性、力学行为、热传导等方面。
通过物理建模，可以模拟物理对象在不同条件下的运动、变形和响应。
行为建模是数字孪生的关键组成部分，它模拟物理对象的行为和动态过程。
行为建模考虑了物体的运动学、动力学、控制系统等方面。
通过行为建模，可以预测物体的运动轨迹、动态响应以及与其他物体的交互。
规则建模用于定义和模拟物理对象的行为规则和限制。
它涉及到制定物理对象在特定场景下的行为规范、约束条件和逻辑关系。
规则建模可以帮助确保数字孪生的行为与实际物理对象的行为一致，并用于预测和优化物体的运行。
综合运用这些建模技术，可以创建一个全面而逼真的数字孪生模型。
数字孪生模型可以用于设计优化、模拟测试、预测分析、故障诊断等领域，为物理对象的开发、运行和维护提供有力支持。
总之，数字孪生的几何建模、物理建模、行为建模和规则建模相互结合，为物理对象的数字化表示和模拟提供了全面的手段，有助于实现更智能、高效和可靠的设计与运营。
第四章几何建模与特征建模
第四章几何建模与特征建模几何建模和特征建模是计算机辅助设计（CAD）中的两个重要概念。
几何建模是指使用几何图形来描述和构建物体的过程，而特征建模则是从物体的形式特征出发，对其进行建模和分析。
1.几何建模几何建模是指使用几何图形来表示物体的形状和结构。
在计算机辅助设计中，几何建模技术被广泛应用于三维物体的建模过程中。
几何建模可以通过两种方式进行，即实体建模和表面建模。
实体建模是指通过定义物体的内外部边界，来表示物体的形状和结构。
常用的实体建模方法包括边界表示法、体素表示法和CSG表示法等。
边界表示法通过定义物体的边界曲面来描述物体的形状。
体素表示法将物体划分为一系列小立方体单元，通过定义每个单元的属性来表示物体的形状和结构。
CSG表示法使用一系列基本几何体的组合和运算来表示复杂物体的形状。
表面建模是指通过定义物体的外表面来描述物体的形状和结构。
常用的表面建模方法包括多边形网格表示法、B样条曲面表示法和NURBS表示法等。
多边形网格表示法通过将物体表面划分为小的多边形面片来表示物体的形状。
B样条曲面表示法和NURBS表示法通过定义一系列曲线或曲面的控制点和权重来表示物体的形状和结构。
几何建模的目标是通过使用几何图形来精确地表示物体的形状和结构，以便进行设计和分析。
几何建模技术广泛应用于工程设计、产品设计、电子游戏开发等领域。
2.特征建模特征建模是指通过对物体的形式特征进行建模和分析，来表示物体的形状和结构。
在计算机辅助设计中，特征建模技术被广泛应用于产品设计和加工过程中。
特征是指物体的形式特征，如孔、凸台、凹槽等。
特征建模通过对物体的形式特征进行建模和分析，来描述物体的形状和结构。
特征建模可以分为两个阶段，即特征提取和特征建模。
特征提取是指通过对物体的形状和结构进行分析，提取物体的形式特征。
特征提取方法包括形状识别、特征匹配和几何拓扑等。
形状识别是指通过对物体的形状进行分析，识别物体的形式特征。
特征匹配是指将提取的形式特征与已知特征进行匹配，以确定物体的形状和结构。
cad几何建模的方法
cad几何建模的方法CAD几何建模的方法CAD（Computer-Aided Design）是计算机辅助设计的缩写，它是一种利用计算机软件进行设计和建模的工具。
在CAD中，几何建模是一个重要的部分，它用于创建和编辑各种几何形状，从而构建出复杂的三维模型。
本文将介绍几种常见的CAD几何建模方法。
1. 参数化建模参数化建模是一种基于参数的建模方法，它通过定义和调整模型的参数来创建几何形状。
在CAD软件中，用户可以通过输入数字、尺寸、角度等参数来控制模型的形状和尺寸。
参数化建模能够快速生成各种变体的模型，并且可以方便地进行修改和调整。
2. 实体建模实体建模是一种通过创建实体对象来构建模型的方法。
实体对象是具有一定几何形状和体积的物体，它们可以是立方体、球体、圆柱体等。
在CAD软件中，用户可以通过绘制和组合这些实体对象来构建复杂的模型。
实体建模可以用于建立实际物体的几何模型，如机械零件、建筑物等。
3. 曲面建模曲面建模是一种基于曲面的建模方法，它用于创建光滑的曲面形状。
在CAD软件中，用户可以通过绘制控制点、曲线和曲面来构建曲面模型。
曲面建模常用于汽车、船舶、工业设计等领域，可以创建出富有流线型的外观和曲面。
4. 边线建模边线建模是一种基于边线的建模方法，它通过定义和调整边线的形状和位置来构建模型。
在CAD软件中，用户可以通过绘制和编辑边线来创建复杂的几何形状。
边线建模常用于创建曲线和复杂的曲面形状，如飞机机翼、船体等。
5. 体素建模体素建模是一种基于体素的建模方法，它将物体分解为离散的体素单元，然后通过组合和调整这些体素单元来构建模型。
在CAD软件中，用户可以通过添加、删除和移动体素单元来创建复杂的几何形状。
体素建模常用于医学图像处理、虚拟现实等领域。
6. 布尔运算布尔运算是一种通过组合和操作基本几何形状来创建复杂模型的方法。
在CAD软件中，用户可以使用布尔运算符（如并集、交集、差集）来对几何形状进行组合和操作。
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。
常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。
在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。
几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。
牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。
该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。
4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。
RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。
以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。
三维几何建模技术
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
几何建模的分类及应用教案
几何建模的分类及应用教案几何建模是指通过数学和计算机科学的方法对物体进行建模和描述的过程。
根据不同的分类标准，几何建模可以分为多种类型，如下所述：1.基本几何建模方法：基本几何建模方法是对物体进行最简单的描述和建模，常用的基本几何建模方法包括点、线、面等的描述，以及基本几何体（如球体、立方体）的建模。
这种方法适用于对简单物体进行建模，例如在建筑设计中对房屋进行简单的三维建模。
2.体素建模：体素建模是指通过将物体划分成小的立方体单元，然后对每个立方体单元进行建模和描述的方法。
通过控制每个立方体单元的属性和位置，可以得到物体的几何形状、结构和材料属性等。
体素建模适用于对复杂的物体进行建模，例如在医学图像处理中对人体器官进行建模。
3.曲面建模：曲面建模是指通过曲面来描述物体的几何形状和表面特征的建模方法。
常见的曲面建模方法包括贝塞尔曲线、贝塞尔曲面、B样条曲线、NURBS等。
曲面建模适用于对具有复杂曲面形状的物体进行建模，例如汽车外形设计中对车身进行建模。
4.边界表示法（B-rep）建模：边界表示法是指通过表示物体的边界来描述物体建模的方法。
其中最常用的是使用多边形或三角形网格来表示物体的表面。
通过定义和控制多边形的顶点和边的属性，可以精确地描述物体的几何形状和表面特征。
边界表示法适用于对复杂的物体进行建模，并且可以进行渲染和可视化。
几何建模在多个领域中都有广泛的应用，下面是一些常见的应用：1.计算机辅助设计（CAD）：几何建模是CAD系统的基础，通过几何建模可以对产品进行精确的三维建模和分析。
在工程设计、产品设计和工业设计等领域中广泛应用，可以提高设计效率和准确性。
2.计算机图形学：几何建模在计算机图形学中用于生成和渲染逼真的图形和动画效果。
通过建模和描述物体的几何形状和表面特征，可以实现真实感和交互性的图像效果。
3.虚拟现实（VR）和增强现实（AR）：几何建模在虚拟现实和增强现实技术中用于创建虚拟场景和增强场景。
第二讲-几何建模
e e->opp()
e->start() = e->opp()->end();
e->start()
class HalfEdge { HalfEdge *opp; Vertex *end; Face *left; HalfEdge *next; };
HalfEdge e;
e->left()
Non-Manifold
Closed Manifold
Open Manifold
拓扑
v = 12 f = 14 e = 25 c=1 g=0 b=1 图的亏格(genus)：handle的数目。 在沿其撕裂后，能够使图保持连通 的封闭路径的最大数目的一半
Euler-Poincare 公式 v+f-e = 2(c-g)-b
• • • • 将一个隐式的曲面转换为三角网格 在3D网格（grid）上定义的隐式曲面 在每个立方体（cube）中根据8个顶点的标量值来确定重构曲面 一般用于医学数据
点云
深度图像
网格（Mesh）
– – – – – 图形学中最常用的表达 简单 可表达复杂形状 图形硬件支持 一般为三角网格
为什么是三角网格
网格的数据结构是否优秀
• 构建数据结构的时间复杂度
• 进行一个查询操作的时间复杂度 • 进行一个网格编辑操作的时间复杂度（更 新数据结构） • 空间复杂度
数据结构举例
• 面列表（ List of faces）
• 邻接矩阵（Adjacency matrix） • 半边结构（Half-edge）
一个实际的文件例子 .obj文件
All neighboring vertices
edge
几何建模概述课件
欧拉公式仍然成立。
几何建模技术的发展
➢20世纪60年代：几何建模技术发展 的初始阶段—线框模型，仅含有顶点 和棱边的信息。 ➢20世纪70年代：表面模型。在线框模型的基础上增加面的信息 ，使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。后来又出 现曲面模型，用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示。 ➢20世纪70年代末：实体造型。通过简单体素的几何变换和交、 并、差集合运算生成各种复杂形体的建模技术，实体模型能够包 含较完整的形体几何信息和拓扑信息。 线框模型、表面模型、实体模型统称为几何模型。实体模型是目
形体的定义
形体在 计算机内常 采用六层拓 扑结构来定 义，如果包 括外壳在内 则为六层。 分别是：体、 壳、面、环、
形体的定义在计算机内常采用六层拓扑结构来
边、点。
①体 体是由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个 面的集合，而外壳是形体的最大边界，是实体拓扑结构中 的最高层。 正则形体——
具有良好边界 的形体定义为正则 形体。正则形体没 有悬边、悬面、或 一条边有二个以上的邻面。 ②壳 壳由一组连续的面围成，实体的边界称为外壳，如 果壳所包围的空间是个空集则为内壳。 ③面 面是形体表面的一部分，且具有方向性，它由一个 ①体是由封闭表面围成的有效空间，其边界限个集合 外环和苦干个内环界定其有效范围。面的方向用垂直于面 的法矢表示，法矢向外为正向面。
该公式的含义为：如果一集合S的内部闭包与原来的集 合相等，则称此集合为正则集。空间点的正则集就是正则 几何形体，也就是有效几何形体。
能够产生正则集的集合运算称为正则集合运算。
相应的正则集合算子有：
正则并 U*
正则交 ∩*
正则差 —*
数学上正则集定பைடு நூலகம்为：S=Ki合运算
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曲面可通过以下的生成方式产生：
1. 通过一条或多条曲线构造曲面
线性拉伸面或柱状面
直纹面
旋转面
扫成面
Coons曲面
2. 由位于矩形网格上的一组输入点（称 为控制顶点）构造曲面。
Bezier曲面
B样条曲面
3. 通过插值其他曲面构造曲面
圆角曲面（Fillet Surface）：它为两个曲面 间的过渡曲面，性质为B样条曲面
正则集合运算
正则算子r：先求内部，再求闭包。
删除无效实体所有的悬挂面、边和孤立的点， 以得到有效的实体。 因此，更严格地讲，CSG法是由简单的正 则集经过正则集合运算构造复杂实体的方法。 显然，CSG法所构造的实体是有效实体。
CSG树
CSG法所构造的实体可以用一棵二叉 树来描述。 Root:
Final Object
几何建模
人造物体：是规则的，基于欧氏几何的几何模型能够较好地 描述物体的几何信息和拓扑信息。 自然对象：树木、花草、河流、山川、火焰、云雾等，采用 传统的几何模型很难描述，基于分形几何的建模方法目前只能 定性描述自然对象，精确描述自然对象的建模方法尚处于发展 之中。
几何模型描述物体的几何信息和拓扑信息。 几何信息是指物体在欧氏空间中的形状、位置和大小； 拓扑信息是指物体各分量的数目及其相互间的连接关系。
NonTerminal Nodes: Boolean Operators or Motions Leaf Nodes: Primitives or Transformation Data
A Wrench
CSG Binary Tree
CSG法的优点与缺点
优点： 用CSG法表示复杂实体非常简明，可惟一地定义物体。 CSG法所表示的实体的有效性是由体素的有效性和集合运算 的正则性自动得到保证。 CSG树描述物体非常紧凑，体素种类越多， CSG法所能定 义的实体的覆盖域越宽。 在大多数实体造型系统中作为用户输入手段。 缺点： CSG树只定义了物体的构成体素及构造方式，没有反映物体 的面、边、顶点等有关信息，因此这种数据结构称为“不可 计算的”。 当真正进行物体的拼合运算并最终显示物体时，还需将CSG 树数据结构转换为边界表示的数据结构。
旋转扫描法
广义扫描法
立方体网格模型
•立体网络模型表示实体的方法 •将包含实体的空间分割成均匀的小立方体，建立一个三维 数组，使数组中的每一个元素p[i][j][k]与(i,j,k)的小立 方体相对应。当该立方体被物体所占据时， p[i][j][k]的 值为1，否则为0。
•优点
•可以表示任何物体 •很容易实现实体的集合运算以及体积计算 •缺点 •不是一种精确的表示法，近似程度完全取决于分割的精度， 与几何体的复杂程度无关 •需要大量的存储空间
CSG树
－
以上说明了几何实体构造法构造实 体的基本方法。但需要指出的是， 体素经集合论中的交、并、差运算 后可能产生客观上并不存在的实体。 下面以二维情况为例加以说明。
正则形体
对于任一形体，如果它是3维欧氏空间中非 空、有界的封闭子集，且其边界是二维流 形（即该形体是连通的），我们称该形体 为正则形体，否则称为非正则形体。
线框模型
用顶点和棱边来描述 物体（适用于易于用数学
模型描述的物体）
例. 立方体的线框模型及其计算机表 示
线框模型
棱线表 顶点表
提供了定义形体的点、线的几何信息，以及点与 边之间连接关系的拓扑信息。
2. 线框模型的优缺点 优点:
构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立 设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。
(2)在实用造型系统中，边界表示法已 逐渐成为实体的主要表示形式。这是 因为： 用CSG法构造复杂的实体存在局限 性。 边界表示法采用了自由曲面造型技 术，能够构造像飞机、汽车那样具有 复杂外形的实体，用CSG法的体素拼 合则难以做到。
从CSG模型通过计算可直接转换成边界表 示模型，但反之不然。尚没有从边界表示 模型到CSG模型的一般转换算法，因此两 种表示法不可交换。 商业化造型系统的发展趋势是将线框表 示、曲面表示和实体表示统一在一个统一 框架中，用户根据实际问题的需要选取合 适的技术。而由边界表示转换为线框模型 非常简单。
边界表示法 （B－rep）
•边界表示法
•通过描述三维物体的边界来表 示的方法。
•边界
•内部点与外部点的分界面
•体素表示
•边界的拓扑信息 •边界的几何信息
•多面体边界的拓扑信息描述方式（9种）
数据结构中保存的拓扑关系 越多，对多面体的操作越方 便，但是占用的存储空间也 就越大。
左图为：顶点、棱边、表面之间 的拓扑关系
为了确定表面的哪一侧存在实体，常用的方法 是用有向棱边的右手法则确定所在面的外法线方 向，例如规定正向指向体外。
表面F
1
2 3 4
棱线号
1 2 3 4
-5 -6 -7 -8 -1 -10 -5 -9 2 11 6 10
5
6
3 12 7 11
-4 -9 -8 -12
表 面 表
体素及体素间的交、并、差运算
一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
非正则形体实例
正则集合运算
集合运算（并、交、差）是构造形体的基 本方法。正则形体经过集合运算后，可能 会产生悬边、悬面等低于三维的形体。 Requicha在引入正则形体概念的同时，还 定义了正则集合运算的概念。正则集合运 算保证集合运算的结果仍是一个正则形体， 即丢弃悬边、悬面等。
例子
AUTOCAD AME： 基本表示模式：同时采用CSG和B-rep方法 输入模式： CSG、扫描输入
输入模式中所提到的B-rep或CSG是指界面操作的 方式，它们分别采用了B-rep或CSG法的思想，不要与 所采用的机内存储方法混淆起来。
•多面体
Struct solid { Id solidno;//多面体的序号 Face * sfaces;//指向多面体的面 Edge *sedges;//指向多面体的边 Vertex * sverts;//指向多面体的顶点
体素： 球和柱
交 并 差
球－柱
柱－球
体素构造表示法 （ CSG树）
一个复杂物体可由一些比较简单、规 则的物体经过布尔运算而得到。因而， 这个复杂的物体可描述为一棵树。这棵 树的终端结点为基本体素(如立方体、 圆柱、圆锥)，而中间结点为正则集合 运算结点。这棵树叫做CSG树，如图所 示。 CSG树只定义了它所表示物体 的构造方式，既不反映物体的面、 边、顶点等有关边界信息，也不 显式说明三维点集与所表示的物 体在实际空间的一一对应关系。 因此，这种表示又被称为物体的 隐式模型或过程模型。 U
边界表示中的层次结构
与表面模型的区别
边界表示法的表面必须封闭、有向，各张表面间有严 格的拓扑关系，形成一个整体； 而表面模型的面可以不封闭，面的上下表面都可以有 效，不能判定面的哪一侧是体内与体外； 此外，表面模型没有提供各张表面之间相互连接的信 息。
实用系统中的CSG法和B-rep法 (1)由于CSG法描述实体的能力强，故几乎 在所有基于边界表示法的实用系统中，都采 用CSG法作为实体输入手段。 例如，有建立体素的命令，进行各种体素拼 合的命令，以及修改某个体素的命令等；当 执行这些命令时，相应地生成或修改边界表 示数据结构中的数据。
四面体网格模型
•表示方法 •将包含实体的空间分割成四面体单元的集合 •特点 •可以以边界面片为四面体的一个面，模型精度高
•能够构建复杂形体的网格模型
•在复杂对象的科学计算和工程分析中具有重要的应用 •四面体网格模型数据结构复杂，实现复杂空间域边界一 致的四面体剖分是近年来的研究热点。
便于做有限元分析、数据场可视化
说明：尽管定义曲 面的方式多种多样， 但它们都可以由 NURBS曲面统一表 示。
组合曲面
组合曲面（Composite Surfaces）是由曲面片拼合 成的复杂曲面。 现实中，复杂的几何产品很难用一张简单的 曲面进行表示。 将整张复杂曲面分解为若干曲面片，每张曲 面片由满足给定边界约束的方程表示。理论上，采 用这种分片技术，任何复杂曲面都可以由定义完善 的曲面片拼合而成。
Solid * next//指向后一个多面体
Solid * prevs;//只向前一个多面体 }
扫描法
基本思想: “运动的物体”加上“轨迹” 常用的扫描方式：平移式、旋转式和广义式。 平移扫描法：沿垂直于二维集合进行扫描； 旋转扫描法：绕某一轴线旋转某一角度； 广义扫描法：二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫描； 平移扫描法
利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。
缺点:
中间打孔的长方体
— 易出现二义性理解； — 缺少曲面边缘侧影轮廓线； —缺少边与面、面与体之间关系的 信息，不能描述产品。
表面模型
面模型 用面的集合来表示物体（适用于难
于用数学模型描述的物体）
实体模型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以理解为“实心”
能够完整表示物体的所有形状 信息，赋予颜色 能够计算体积、面积、重量等 基本物理量；
可以赋予材料特性；
模拟物理的运动，受力变形 常用的三维实体模型： 体素构造表示法 边界表示法
空间单元表示法
实体模型的概念
实体模型的核心问题是采用什么方法来表示 实体。与线框模型和表面模型的根本区别在于： 实体模型不仅记录了全部几何信息，而且记录了 全部点、线、面、体的信息。
比线框模型立体感强； 特点：
能够计算面积，表达物体的表面形状；