八升九数学衔接教程
暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)
第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。
其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
暑假初二升初三数学衔接班精品教材北师大版
第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。
其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①②③④中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03、若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。
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第一讲 一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.注意： 满足是一元二次方程的条件有:(1）必须是一个整式方程;(2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.(三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。
其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 （x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解. (2） 配方法：配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是: ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数;② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项; ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方; ④ 化原方程为（x+m)2=n 的形式;⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x ＋4）2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1:1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 。
A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________。
暑假八年级升九年级数学衔接班第一讲一元二次方程的解法(教案)
然而，我也发现了一些问题。在讲解重点难点时，可能由于时间安排不够合理，导致部分学生对因式分解法和求根公式的掌握不够熟练。为此，我计划在接下来的课程中，针对这些重点难点进行更加深入的讲解和练习，确保学生们能够扎实掌握。
举例：在解决行程问题时，学生需要根据问题情境，正确列出速度、时间和路程之间的关系式。
在教学过程中，教师应针对以上重点和难点进行详细讲解和示范，通过典型例题和练习题，帮助学生巩固知识，突破难点，确保学生能够熟练掌握一元二次方程的解法及其应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如分配问题、面积问题等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的解法。
举例：行程问题、面积问题等。
2.教学难点
（1）因式分解法的应用：学生需要熟练掌握各种因式分解方法，如提公因式法、平方差公式、完全平方公式等，并能灵活运用。
举例：求解方程x²+5x+6=0，需要运用平方差公式或完全平方公式进行因式分解。
（2）求根公式的理解和应用：学生需要理解求根公式的推导过程，并能够熟练运用求根公式解决一元二次方程问题。
2.分析与解决问题能力：培养学生将一元二次方程应用于解决实际问题的能力，提高学生分析问题和解决问题的素养。
华东师大版暑假初二升初三数学衔接课程第十一讲一元二次方程及其直接开平方法解一元二次方程
1第十一讲 一元二次方程及其直接开平方法解一元二次方程学习目标1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式． 2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题． 3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 一、知识讲解课前测评1.（2019·河南九年级专题练习）下列计算正确的是（ ） A ．310255-=B ．7111()1111711⋅÷= C ．(7515)325-÷=D ．18183239-= 2.（2021·山东烟台市·文峰中学）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中22m =-3. （2019·扬州中学教育集团树人学校八年级月考）已知23a =+，23b =-，求 （1）a bb a-； （2）22a ab b -+ .知识讲解知识点一：一元二次方程1．你还记得什么叫方程吗？什么叫方程的解呢？2．什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？3．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?4．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程．5．一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是 一次项系数．知识点二：直接开平方法解一元二次方程1．解下列方程，并与同伴交流． （1）225x =（2）2810x -=2．点拨：方程（1）由平方根意义可得：x=±5，这种方法叫做直接开平方法． 3．解下列方程．（1）230x -=（2）2490x -=4．（1）应用直接开平方法解形如()20x p p =≥，那么x = ． （2）()()20mx n p p +=≥，那么x = ．二、例题辨析例1．（2020•富顺县校级一模）下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②22130x x +-=；③2540x x -+=；④23x x =．其中是一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式练习：（2019秋•无为县期末）如果()21=0mm x mx ++-是关于x 的一元二次方程，那么m的值为（ ） A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．0例2．把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： （1）23420x x --+= （2）()2324664x x x x +-+=+3变式练习：（2020春•鄞州区期末）把一元二次方程()()2331x x x +-＝化成一般形式为例3．（2020春•江干区期末）若()0n n ≠是关于x 的方程20x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．﹣2变式练习：1．（2020春•门头沟区期末）关于x 的一元二次方程()22240a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ） A ．0B ．2C ．﹣2D ．2或﹣22．(2019资阳中考) a 是方程224x x =+的一个根,则代数式242a a -的值是 .3．（2020春•大兴区期末）若m 是方程210x x +-=的一个根，求代数式3222019m m ++的是 ．例4．已知m 是方程210x x +-=的一个根，求代数式2(1)(1)(1)m m m +++-的值．变式练习：1．（2019威海中考）已知,a b 是方程230x x +-=的两个实数根,则22019a b -+的值是( ) A ．2023B ．2021C ．2020D ．20192．已知a 是方程2200610x x --＝的一个根，则22120052006a a a --+的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．－23．已知m 是方程220x x --=的一个实数根，求代数式22()(1)m m m m--+的值．例5．用直接开平方法求下列各方程的根：（1）2361x = （3）()241320x --=（4）()()22213x x =+－变式练习： 1．解下列方程： （1） 2510a -= （2）()223250x +-=（2）()221269x x x -=-+三、归纳总结要点一：一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如20(0)ax bx c a ++=≠，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．3．一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4．一元二次方程根的重要结论：（1）若a+b+c=0,则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元5二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根，则a+b+c=0.（2）若a －b+c=0,则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根x=－1；反之也成立，即若x=－1是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根，则a －b+c=0.（3）若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为0.要点二：一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程： （1）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. （2）直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程2x a =，可直接开平方求解. 若0a ＞，则x a =±；表示为12x a x a ==-，，有两个不等实数根；若0a =，则0x =；表示为120x x ==，有两个相等的实数根； 若0a ＜，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程2()(00)ax n m a m +=≠，≥，可直接开平方求解，两根是： 12n m n mx x -+--==，. 四、拓展延伸例6．（2020·江苏泰州市·九年级期中）阅读理解：转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程2122x x += 解：两边平方得：22124x x += 解得：12x =，22x =- 经检验，12x =是原方程的根，22x =-代入原方程中不合理，是原方程的增根．∴原方程的根是2x =．解决问题：（1）填空：已知关于x 的方程3=x a x -有一个根是1x =，那么a 的值为 ； （2）求满足262x x +=的x 的值；（3）代数式229(8)9x x ++-+的值能否等于8?若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．变式练习：（2020·江西南昌市·九年级月考）阅读材料：已知实数m n 、满足()()2222212135mn m n +++-=，求222m n +的值．解：设222m n t +=，则原方程可化为()()1135t t +-=，整理得2213536t t -==，， ∴6t =±， ∵2220m n +≥， ∴2226m n +=．上面这种解题方法为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化，根据“换元法”解决下列问题：（1）已知实数x y 、满足()()222222322372x y x y +++-=，求22x y +的值；（2）若四个连续正整数的积为360，求这四个连续的正整数．7五、课后作业1．方程()21240x --=的解是（ ）． A ．1222x x ==-，B ．1213,22x x =-= C ．12x =-D ．121,32x x ==- 2．（2020春•温州期中）若a 是方程21=0x x --的一个根，则322020a a -++的值为（ ） A ．2020B ．﹣2020C ．2019D ．﹣20193．一元二次方程()()21131x x x +-=+化为一般形式是________，二次项是______，一次项是_______，常数项是_________．4． 将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a bad bc c d=-，若11611x x x x +-=-+，则x = ．5．（2020·深圳市龙岗区布吉街道可园学校八年级月考）解方程： （1）()2314x =＋ （2）()223810x +-=（3）24(21)250x --=；6．（2021·福建泉州市·八年级期中）已知a b 、为实数，且a b 、均不为0，现定义有序实数对(),a b 的“真诚值”为：22,()(,),()ab a a b d a b ba b a b ⎧->=⎨-<⎩，如数对()32，的“真诚值”为：232=323=9d ⨯-（，），数对()52--，的“真诚值”为：()()()()25225248d ---⨯---，＝＝-． （1）根据上述的定义填空：()34d =-，，()32d =,- ； （2）数对()2a ，的“真诚值”的绝对值为：()|2|d a ，，若()|2|=8d a ，，求a 的值．。
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第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲 一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可） 2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
第4课：公式法+解一元二次方程-2024年暑假八升九人教版数学衔接讲义
第4课：公式法——解一元二次方程八升九人教版数学衔接讲义 素养目标：1、理解一元二次方程的求根公式的推导过程2、熟记求根公式，并理解公式中的条件3、能熟练地运用求根公式解一元二次方程教学重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程教学难点：求根公式的推导回顾旧知：直接开平方：配方：：系数化为移项：解方程：10862=++x x 直接开平方：配方：：系数化为移项：解方程：10132=+-x x 直接开平方：配方：：系数化为移项：解方程：102=++c bx ax知识点一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程）0(02≠=++a c bx ax ;① 当△=ac b 4-2＞0，方程有两个不相等的实数根；② 当△=ac b 4-2= 0，方程有两个相等的实数根； ③ 当△=ac b 4-2= 0，方程没有实数根；例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：912420343122-==-+x x x x ）（）（例2、m 为何值时，关于x 的一元二次方程018-2=+x mx ；（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．例3、关于 x 的一元二次方程02-2=+m x x 有两个实根，求m 的取值范围.针对练习1、若关于 x 的一元二次方程2212=+--m mx x m ）（有实数根．求 m 的取值范围.针对练习2、不解方程，判断关于 x 的方程02222=++k kx x 的根的情况.针对练习3、在等腰 △ABC 中，三边长分别为 a ，b ，c ，其中a = 5，若关于x 的方程0622=-+++b x b x ）（有两个相等的实数根，求 △ABC 的周长.知识点二、公式法——解一元二次方程由上可知，当Δ≥0时，方程）0(02≠=++a c bx ax 的实数根可写为2422-±∆-±-==b b b ac x a a 的形式，这个式子叫做一元二次方程）0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式20ax bx c ++=，确定a 、b 、c 的值（注意符号）；（2）求出判别式24b ac ∆=-的值，判断根的情况；（3）在240b ac ∆=-≥（注：此处∆读“德尔塔”）的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式2422-±∆-±-==b b b ac x a a进行计算，求出方程的根．例1、 套用公式：：计算确定系数：化为一般形式：）（）解方程：（∆=+-=--012222074122x x x例2、套用公式：：计算确定系数：化为一般形式：）（）（）解方程：（∆-=-=++=-524338121351222x x x x x x x x例3、05422072122=--=-+x x x x ）（）：（用两种方法解下列方程针对练习1、用公式法解下列方程.（1）；（2）；（3）.针对练习2、已知a 、b 是方程x 2－2x －1=0的两个不等的实根，求a 2+a+3b 的值．针对练习3、已知关于x 的方程01222=-++-m x m x ）（ （1） 求证方程恒有两个不相等的实数根；（2） 若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长； 22410x x --=2523x x +=24310x x -+=小结：巩固练习：1、用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程－4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a=－4，b=5，c=3B ．a=－4，b=－5，c=3C ．a=4，b=5，c=3D ．a=4，b=5，c=－32、下列一元二次方程无实数解的是（ ）A ．x 2=1B ．x 2－2x+1=0C ．x 2－2x －3=0D ．x 2+x+1=03、若方程x 2－4x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c 的值可以是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A ．B ．且C ．D ．且5、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．6、如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.7、用公式法解方程2x 22－1=0的根是________．8、若关于x 的一元二次方程x 2－3x+m=0有实数根，则m 的取值范围是________．9、方程x 2－6x －4=0的两根为x 1=____，x 2=______，x 1+x 2=_____，x 1·x 2=______．10、已知关于x 的方程034122=+--m x m x ）（有两个不相等的实数根，则m 的范围为 .11、用公式法解方程：（1）01522=+-x x （2）1842-=--x x （3）02322=--x xx 22(21)10k x k x -++=k 14k >-14k >-0k ≠14k <-14k ≥-0k ≠240x +=24410x x -+=230x x ++=2210x x +-=x 022=--k x x k12、如果关于x 的一元二次方程kx 2－4x+4=0有两个不等的实数根，求k 的取值范围．13、已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根。
暑假初二升初三数学衔接班教材北师大版
第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法第二讲一元二次方程的解法-----公式法第三讲一元二次方程根的判别式第四讲一元二次方程根与系数的关系第五讲列一元二次方程解应用题第六讲正弦与余弦（1）第七讲正弦与余弦（2）第八讲正切与余切（1）第九讲正切和余切(2)第十讲解直角三角形第十一讲解直角三角形的运用第十二讲反比例函数第十三讲反比例函数的图像和性质（1）第十四讲反比例函数的图像和性质（2）第十五讲反比例函数综合运用第十六讲综合练习训练第一讲一元二次方程的解法---直接开平方法、配方法【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。
（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。
其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． （二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
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练一练： 1.如图， OAP 和 ABQ 均式等腰三角形，点 P，Q 在函数 y 4 (x 0) 的图象
D. y 1 (x 0) x
练一练： 如图 1 所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 AB 和双曲线。直线 AB 与双曲线的一个交点为 C，CD 垂 直 x 轴于点 D，OD 2OB 4OA 4 。求一次函数和反比 例函数的解析式。
（3）根据实际应用求出 例题：近视眼的度数 y（度）与镜片的焦距 x（m）成反比例，已知 400 度近视眼 镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为________________。 练一练： 已知圆柱的侧面积是 6πm2，若圆柱的底面半径为 x（cm)，高为 ycm ).
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2．反比例函数的图象和性质，如下表：
函数
图象
k>0
反比例函数 y＝ k x
（k 0）
k<0
y4
例题 2：反比例函数
x 的图象大致是（ ）
性质
双曲线，位于第 一，三象限，在每 个象限内，y 随 x 的增大二减小，与 x 轴，y 轴无交点
双曲线，位于第 二，四象限，在每 个象限内，y 随 x 的增大二增大，与 x 轴，y 轴无交点
例题 3：如果函数 y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数 y k 的图 x
象一定在( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限
3．（思考）当两个反比例函数的 k 的符号相同时，k 对函数图象的影响
例题：在下面的平面直角坐标系中画出函数
y 2 ， y 4 和 y 6 的图象，比较这三个函数
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）完成下列表格：
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（3）在所给的平面直角坐标系中画出 y 关于 x 的函 数图像．
三．反比例函数的实际应用
例题 9：在某一电路中，保持电压不变，电流 I（安 培）与电阻 R（欧姆）成反比例．当电阻 R=5 欧姆时，电流 I=2 安培． (1)求 I 与 R 之间的函数关系式； (2)当电流 I= 0.5 安培时，求电阻 R 的值； (3)如果电路中用电器的可变电阻逐渐增大，那么电路中的电流将如何变化？ (4)如果电路中用电器限制电流不得超过 10 安培，那么用电器的可变电阻应控制 在什么范围内？
练一练： 已知正比例函数 y kx 与反比例函数 y 3 的图象都过 A(m，1) ，求此正比例函数
x
的解析式及另一个交点的坐标。
（2）利用图象
例题：如图，某个反比例函数的图像经过点 P，则它
的解析式为（ ）
A. y 1 (x 0) x
B. y 1 (x 0) x
C. y 1 (x 0) x
例题：如图所示，反比例函数 y 4 在第一象限的图象上一点 P，过 P 点分别作 x
两条直线垂直于 x 轴和 y 轴，交点分别是 A，B 求四边形 OAPB 的面积。
例题：P 为反比例函数 y k （k>0）图象上任意一点，PQ 垂直于 x 轴，垂足为 x
Q，设 POQ 的面积为 S，则 S 的值与 k 的关系是_____________。 例题：如图，正比例函数 y＝kx（k>0）与反比例函数 y 1
x 上，直角顶点 A，B 均在 x 轴上，求点 B 的坐标___________。
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5.求反比例函数解析式： （1）利用已知点代入解
例题：已知反比例函数 y k (k 0) 的图象经过点（1，-2），则这个函数的表达 x
式是___________，当 x<0 时，y 随着自变量 x 的值的增大而__________。
例题 1：（1）已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝2 时，y＝8，写出 y 与 x 的关系 式，并求当 y＝－4 时，x 的值；
yk
（2）已知点（1，-2）在反比例函数 x 的图象上，则 k=____________。
二．反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的表示方法
和一次函数一样，反比例函数有表达式法，列表法，图象法三种，下面主要讲述
初二升初三衔接课程
数学
第一部分：初二内容回顾
第 17 章 反比例函数
一．反比例函数的定义
形如数，其中 x 是自变量， x
y 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。
反比例函数的表达形式还有 y kx1(k是常数，k 0) ，xy＝k（k 0）。
练一练： 1.某蓄水池的排水管每小时排水量 12m3, 8h 可将满池水全部排空． (1)蓄水池的容积是多少？ (2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到 x（m3)，那么将满池水排空所需的 时间 y（h）将如何变化？ (3)写出 y 与 x 之间的关系式； (4)如果准备在 6h 内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ (5)已知排水管每小时的最大排水量为 24m3，那么最少多长时间可将满池水全部 排空？
2.反比例函数 y k 和一次函数 y=mx+n 的图象的一个交点为 A（-3，4），且一 x
x
x
x
图象的特点。
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例题 5：如图是三个反比例函数 y k1 , y k2 , y k3 ，在 x 轴上方的图像，由此
x
x
x
观察得到 kl、k2、k3 的大小关系为（ ）
A.k1>k2>k3
B. k3>k2>k1
C. k2>k3>k1
D. k3>k1>k2
4．与反比例函数图象有关的图形
图象法，填写下面表格
x
…… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ……
y6 x
y6 x
…… ……
利用上面表格上的数据在下面直角坐标系中用描点法画出两个函数的图象，对比
两个图象。
反比例函数的图象由两条曲线组成，且随着 x 的增大（或减小），曲线越来越接 近坐标轴。反比例函数的图象属于双曲线。