14 阻抗及相量图
阻抗的串联与并联
△ ω = ( ω 2- ω 1)
值,对其它频率不会产生这样的结果.因此该电路具 对其它频率不会产生这样的结果. 选频作用.常用于正弦波振荡器. 有选频作用.常用于正弦波振荡器.
1 同相, 仅当 ω = ω0 = RC 时,1与 U2同相,U2=U1/3 为最大 U
3.10.2 串联谐振
谐振的概念: 谐振的概念: 在同时含有L 的交流电路中, 在同时含有 和C 的交流电路中,如果总电压和 总电流同相,称电路处于谐振状态. 总电流同相,称电路处于谐振状态.此时电路与电 源之间不再有能量的交换,电路呈电阻性. 源之间不再有能量的交换,电路呈电阻性. 串联谐振:L 与 C 串联时 u,i 同相 串联谐振: 并联谐振: 并联谐振:L 与 C 并联时 u,i 同相 研究谐振的目的, 研究谐振的目的,就是一方面在生产上充分利 用谐振的特点, 如在无线电工程 如在无线电工程, 用谐振的特点,(如在无线电工程,电子测量技术等 许多电路中应用). 许多电路中应用 .另一方面又要预防它所产生的危 害.
3.8 阻抗的串联与并联 3.8.1阻抗的串联 3.8.1阻抗的串联 I U = U 1 + U 2 = Z 1I + Z 2 I + + Z1 U1 = ( Z 1 + Z 2) I
U
+ Z2 U2
-
Z = Z1 + Z2
通式: 通式 Z =
k
I
∑Z = ∑R + j∑X
k
U I= Z
=
1 1 3 + j( ω R C ) ω RC
频率特性
T (j ω ) =
1 ω 1 ω 3 + j( ω R C ) 3 + j( 0) ω RC ω ω 0 ω ω 0 ω ω 1 0 = arctan 3 2 ω0 2 ω 3 + ω ω 0 =
大学物理学第2章正弦交流电路_02
解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电 压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W， 电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗 电 R 感 Z | Z | R jL V U 线 圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得
电路与模拟电子技术
图 3-4 交流电 的初 相位
u Um 0 ωt Um
u 0 Ψ (C) Ψ<0
ωt
2.相位差 相位差 两个同频率的正弦交流电在任何瞬时相位之差称 为相位差，即等于两个交流电初相之差。如图3-5 为相位差，即等于两个交流电初相之差。如图 所示，同频率的正弦交流电压u和电流 分别是： 和电流i分别是 所示，同频率的正弦交流电压 和电流 分别是： u = U m sin (ωt + ψ u ) i = I m sin( ωt + ψ i ) 它们之间的相位差是 ϕ = (ωt + ψ u ) − (ωt + ψ i ) = ψ u − ψ i
e jψ = cosψ + j sinψ A = A e jψ 复数A还可以表示成指数形式 复数A还可以表示成指数形式
利用欧拉公式 复数A 复数A的极坐标形式
A = A∠ψ
由图3-8可知， 的关系为： 由图 可知，a 、b与 A 、ψ的关系为： 可知 与 的关系为
a = A cosψ
和2Leabharlann b = A sin ψ2
A1 × A2 = A1 e jψ1 × A2 e jψ 2 = A1 × A2 e j (ψ1 +ψ 2 ) = A1 × A2 ∠(ψ 1 +ψ 2 )
即两个复数相乘时，模相乘，辐角相加。 即两个复数相乘时，模相乘，辐角相加。同样复 相除，模相除，辐角相减。 数A1和A2相除，模相除，辐角相减。
i
i1 i2 ωt
i i1 i2 ωt
0 (a)
0 (b)
图 3-6 正弦 量的 同相和 反相
若两个正弦量具有相同的初相角，如图3-6（ ） 电流i 若两个正弦量具有相同的初相角，如图 （a）中，电流 1和 电流i 电流 2，它们的初相角之差 ψ1-ψ2 = 0，即它们同时到达最大值 ， 同相。 或零值，我们就称这两个正弦量同相 或零值，我们就称这两个正弦量同相。 若两个正弦量它们的相位角之差为 ψ1-ψ2 = ± π ，则它们之 中一个到达正的最大值时，另一个刚好到达负的最大值， 中一个到达正的最大值时 ， 另一个刚好到达负的最大值 ， 如 我们称这两个正弦量反相 反相。 图3-6 （b）中的电流 1与电流 i2，我们称这两个正弦量反相。 ）中的电流i
基本元件的相量形式(3)
电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式： 电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电 源
i 电
源
(var) : 电容元件 电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系： 大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率： 电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )
利用相量图分析正弦稳态电路
利用相量图分析正弦稳态电路(南京邮电大学)摘要：相量图在分析正弦稳态电路中具有重要的地位。
文中介绍了相量图在分析正弦稳态电路中的几种作用。
关键字：正弦稳态电路，相量，相量图引言在正弦稳态电路中，激励和响应通常用三角函数和波形图来表示，因而在分析交流电路时常常会涉及到不同频率的三角函数间的加减等运算。
由于运算十分复杂，所以我们常把正弦稳态电路中的正弦量用相量形式表示，这样便把复杂的三角运算化成了复数运算，避免了微分方程的建立。
在许多情况下，如果能将相量法结合相量图分析，可以简洁、直观地表达电路的性质，同时更进一步地简化运算，为计算提供解题思路。
1. 相量图1.1定义由于每一个复数都在复平面中对应一个矢量，我们将这种在复平面中表示相量的图称为相量图。
在完成正弦量的相量表示后，在相量图中，原先正弦量的加（减）运算结果便成了在复平面中对应矢量根据平行四边形定则相加（减）得到的和矢量。
由此，我们可以看出利用相量图表示正弦量本质上属于数学变换。
因此利用相量图分析正弦稳态电路具有合理性，并不会改变电路的性质。
1.2相量图法基本方法以电路中各元件上相同的物理量作为参考相量（幅角为零），利用KVL ，KCL 的相量表达形式和三种基本元件（电阻、电感、电容）的VCR 关系用相量图表示出来，根据各有向线段的几何关系求解相应物理量的方法叫做相量图分析法。
2. 相量图在正弦稳态电路分析中的应用2.1简单串并联电路中在简单串并联电路中，相量图的作用主要是简化相量运算，将相量加减运算转化为几何上的矢量加减。
画相量图时，首先选择参考相量,即人为设一相量，其幅角为0°。
+1图12.1.1 简单串联电路在分析简单串联电路时，通常选择电流为参考相量。
例：如图2，求图中电压表示数。
分析：R 上的R U 和I同相，L 上L U比I 朝前90°，C 上CU 比I落后90°。
则可取电流I 为参考相量，并规定其幅角为0°，根据基尔霍夫电压定律的相量形式，U =R U +LU +C U . 在相量图中可以如图3表示，由图可知：同样根据相量图，我们可知由端口看去电路呈现感性，电压幅角为：2.1.2简单并联电路在分析简单并联电路时，元件共享电压变量，所以我们通常选择电压为参考相量。
各变压器的短路阻抗
1.2 单相变压器的空载运行
2、相量图
jI0 X1
根据前面所学的方程,可作 出变压器空载时的相量图：
U 1
R1 I0
（1）以Φ m为参考相量 （2）I0r与Φ m同相，I0a 滞后 900，I0 I0r I0a
- E 1
I0 I0a Φ m
（3）E 1 , E 2 滞后 Φ m 90，0 - E1； （4） R1 I0 , jI0 X 1
常数,所以漏电抗 X很1 小且为常数,它不随电源电压负载情况而
变.
1.2 单相变压器的空载运行
1.2.2 空载电流和空载损耗
一、空载电流
1. 作用与组成
空载电流 I包0 含两个分量，一个是励磁分量 I，0r 作用是建立磁场， 另一个是铁芯损耗分量 ，主I0要a 作用是供铁芯损耗。
2、性质和大小
性质：由于空载电流的无功分量远大于有功分量,所以空载电流 主要是感性无功性质——也称励磁电流；
第一章：变压器
问题思考
日常生活中的电能是怎样来的 为什么要高压输电？ 变压器可以传输直流电能吗？
第一章：变压器
日常生活中的电能是怎样来的
110KV
6.3—27KV
220KV 500KV
10KV 35KV 66KV
10KV/0.4KV
发电机组
升压变压器
降压变压器
配电变压器
从发电厂到用户的送电过程示意图
U1 - E1 I0 (Rm jXm )
ZI01
(R1
jX1
) I0
空载时等效电路为
1.2 单相变压器的空载运行
Rm , X m , Zm -励磁电阻、励磁电抗、励磁阻抗。由于磁路具有饱 和特性，所以Zm Rm 不jX是m常数，随磁路饱和程度增大而减小。
正弦稳态电路的分析-阻抗和导纳、相量图
5 3
25 53.1
(3 j6
)Ω (5.5 j4.75)Ω
8 j4
电路对外呈现容性。
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例1-5 图为RC选频网络，求u1和u2同相位的条件及
解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC
U 2
U1Z2 Z1 Z2
＋
u1
R jXC
U1 U 2
?
U1 U 2
Z1 Z2 Z2
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分析 R、L、C 并联电路得出：
（1）Y=G+j(C-1/L)=|Y| Y 为复数，称复导纳。 （2）C >1/L，B>0，Y >0，电路为容性，
电流超前电压。
相量图：选电压为参考向量， u 0
..
I
Y
IL IC
I
I2 G
I2 B
I2 G
(IC
IL )2
IBU
.
注意
IG
RLC并联电路会出现分电流大于总电流的现象。
1
j L
j BL
Y
I U
j C
jBC
表明 Y 可以是实数，也可以是虚数。
返回 上页 下页
4. RLC并联电路
i
+
iR iL iC
u R LC
-
I
+
IR IL IC
U R jL 1
-
jC
由KCL：I
IR
IL
IC
GU
j 1 U
L
jCU
(G
j1
L
jC)U [G
j( BL
BC )U
(G
jB)U
第3章 相量法 (2)
Sin t Im e ut U m sin t
其中：
j t
j t j t j ImU m e ImU m e e U m U m j t ImU m e ImU m t 相量是复数
• 有效值相量, 即相量的模取有 效值。
–最大值与有效值的关系 U m 2U • 正弦量与相量的互化
相量图：相量是一个复数,它在复平面上的图形称为 相量图
I I i U U
+j
u
0
+1
同频率的正弦量，才能 画在同一பைடு நூலகம்相量图上。
例i(t)=141.4sin(314t+300)A,u(t)=311.1sin(314t－600)V 。 试分别用相量表示该电压、电流，并作图 。 解：
0
Ri 2 dt RI 2
p(t)= u i = R i 2
b）大多数电器设备的铭牌数据由于要反映其温升和平均功率，因 此均以有效值给出铭牌数据。比如交流电压380V,电流20A等。
小结
1、正弦量：指电压或电流随时间按正弦规律变化。 2、三要素:Im ω 和Φ ,我们将这三个量称作正弦量 的三要素。 三要素是正弦量之间进行比较和区分的主要依据 3 、相位差:两个同频率正弦量的相位角之差称为 相位差 4 、有效值
i( 所以正弦量也常写作：t ) 2I sin(t i ) , u(t ) 2U sin(t u )
因此，三要素也可称作是 I，ω ，φ i ③引入有效值的意义：a）计算功率简单方便 平均有效功率： 1 0 P T
T
p (t )dt
和直流功率表达式一样 。
第九章-正弦稳态电路的分析
例：9-4-2如图，列出节点电压相量方程
33
-j5Ω
1
2
5Ω 10o A
j12Ω
j5Ω -j10Ω
10Ω -j0.5A
设节点与参考节 点如图
(1 5
1 j10
1 j12
1 )U j5 1
(
1 - j5
1 )U j12 2
00
A
I 2
3
.
1
4
-
300
A
I 3.14300 A
R jωL IU2S（略）
练习9-7
习题：9-1 （b）、（e）
23
9-3 （4）
9-7 9-11
说明：9-7 求R、L时，习题解答单纯根据相量电 路列方程求解较麻烦，借助相量图分析得 到电流电压相量，然后，由
Z
R
jωL
U I
部分答案参考：
9 （1 b)Zin 2 j, Yin 0.4 j0.2
=2A。求电流表 A 读数
1
I
解：利用KCL建立电路方程
+
U
-
A
R1
-j 1
A1 I1
I2 A2
R2
1、设I2 20O
I 1
R1
U
j1 ωC
U00
1 ωC
j1 ωC
I1 1A
I1 14 5O
I14 5O
ωC
2 、I I1 I2 0 . 7 0 7 j 0 . 7 0 7 2 I 2 . 7 0 72 0 . 7 0 72 2.8( A )
Yeq Y1 Y2 Yn — 端口等效导纳
两个阻抗并联，则等效导纳：
Y
Y 1
电力系统阻抗的相量图示方法
1电力系统阻抗的相量图示方法A Vectorgraph Measurement for Power system Impedance(南昌航空大学) 赵文龙 任明珠 张 钊ZHAO Wen-long REN Ming-zhu ZHANG Zhao摘要: 本 文针对电网的系统阻抗参数在电力系统应用中的重要作用 , 提出一种电网系统阻抗测量方法 。
该方法通过对三相电 压 和三相电流的波形采样计算出三相阻抗 , 并利用对数极坐标的非线性分度和能够同时显示阻抗模和 阻抗角的特点来进行 图 示 显 示 。
由 于 采 用 了 IDTS4516 数 据 采 集 仪 和 Dasview2.0 软件进行信号波形采样 , 使得数据采集系统精确可靠 。
模 拟 实 验 证 实 了这种测量方法的正确性和实用性 。
关键词: 波形采样; 阻抗测量; 对数极坐标; 相量图示 中图分类号: TP216 文献标识码: BAbstract: For the important characteristic of the source system impedance applied in the power system, a novel method measurement for the source system impedance is proposed, which utilized the sampling wave of the three-phase voltage and the three-phase cur -rent. This method can graph-display the measure result utilized the characteristic of the Log-Polar which is non-linear division and can display the impedance model and impedance angle at the same time. The data acquisition system is rigorous and reliable because of us -ing the IDTS4516 data collecting and Dasview 2.0 software which collect the wave.Simulate experimental results verify the analysis. Key words: wave sample; impedance measurement; Log-Polar; vectorgraph1 引言在电力系统建模、仿真和电力装置的配置中,电网中电力负 载的阻抗值是一个不可或缺的参数。
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7-9
8-6
8-7 (b, d)
电路
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7.1 正弦量
正弦量的表达式
函数表示法:f (t ) Fm cos(t )
Fm , ω (或f、T), Ψ：正弦量的三要素. Fm：幅度（振幅），反映正弦量在整个变化过程中所 能达到的最大值. Fm 0
f
t T
电路
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7.1 正弦量
L
+ _γ iL(t)
+ U s_
IL
j L
+ IL _
.
电路
.
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例题
正误判断
在电阻电路中：
瞬时值 有效值
U I R
电路
？
U i R
？
u ？ i R
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例题
在电感电路中：
正误判断
du iL dt
？
U I L
u i L
？
？
U j L ？ I
f
Fm
f (t ) Fm cos(t )
0
t T
ωt +Ψ：相位. ω：角频率(rad/s).
2 T 2 , 2 f T
Ψ ( )：初相位.（单位：弧度或度）
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7.2 正弦量的有效值
F
1 Fm , Fm 2 F — 只适用于正弦量 2
正弦交流电路的电容元件
平均功率
1 T 1 T PC pC (t )dt U C I C sin 2tdt 0 T 0 T 0
瞬时功率pC (t)仅为一个两倍于原电流频率的正弦量，其平 均值为零，即: PC 0 即在正弦电流电路中，电容元件不吸收平均功率， 不消耗能量
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电路 南京理工大学
正弦交流电路的相量法
正弦电流电路的相量法
对于线性受控源，同样可以用相量形式表示。以CCVS为例， 设在时域中有uk＝γij，其相量形式为 U k I j
电路
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正弦交流电路1 R2
.
1 j C
+ us(t) _
iL(t)
2 UR 1 2 PR U R I R U Rm I Rm RI R 2 R
平均功率又称为有功功率, 单位为W
电路 南京理工大学
正弦交流电路的电感元件
线性电感
iL uL
Ψ
Ψ
L
0
iL
iL
.
电路
iL
+
uL
_.
diL d d[ LiL ] uL L dt dt dt
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7.3 相量法的基本概念
A a jb
A | A | (cos jsin )
— 三角表示
+j
A
|A|
b
.A
a +1
a | A | cos , b | A | sin
欧拉公式：e j
cos jsin
0
A | A | e j — 指数表示
A | A |
d f (t ) (j ) Fm dt
k
电路
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符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 振幅 --- 大写+下标
u、i
U、I
Um
复数、相量 --- 大写 + “.”
电路
U
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正弦交流电路的电阻元件
.
iR
R
uR
+
. _ . _
uR (t ) R iR (t )
.
i
C
u
+
. _
I
60 30
解： u U 70.7 30 V
U
I jCU j314 106 70.7 30 22.260 mA
π i 22.2 2 cos(314t )mA, I 22.20mA 3
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电路
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正弦交流电路的电阻元件
瞬时功率
当 iR 2 I R cos(t i ) 时，uR 2U R cos(t i ) :
pR u R iR 2U R cos(t i ) I R cos(t i ) 2U R I R cos 2 (t i ) U R I R U R I R cos 2(t i ) 0
f 则正弦量的数学表达式也可写为： (t ) 2 F cos(t )
电路
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7.3 相量法的基本概念
复数
A a jb
— 代数表示
j 1
+j
A — 向量表示
b |A|
. A — 几何表示
a +1
| A | a b
2
2
0
b tan a
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电路
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U jL I
电路
？
例题
在电容电路中：
正误判断
I m jCU m
u i C
？
？
I j C U
U j C I
电路
？
I CU ？
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？
问题与讨论
设正弦电流i1和i2同频变化，其有效值分别为I1和I2, i1+i2 的有效值为I，问下列关系式在什么条件下成立？
阻抗Z的标准形式
Z R jX Z
其中：Z
|Z|
X — 阻抗三角形
R
U R 2 X 2 () — 阻抗Z的模 I
X u i arctan — 阻抗Z的阻抗角 R
R Z cos () — 阻抗Z的电阻分量 X Z sin () — 阻抗Z的电抗分量
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8.1 阻抗和导纳
电路
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正弦交流电路的电感元件
能 量
1 2 WL (t ) LiL (t ) 2
电感储能平均值： WL
1 2 LI L 2
1 2 2 电感储能最大值：WLm LI Lm LI L 2
电路
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习题
例：一纯电感如图所示，已知L 100mH, f 50Hz, (1) 已知 i 7 2 cos tA ，求电压u
.
IR
R
UR RIR
+
UR
UR
IR
u i , u i 0
i
u
I R与U R 共线
电路
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第7章 正弦电流电路基础
目 录
7.1 正弦量 7.2 正弦量的有效值 7.3 相量法的基本概念 7.4 基尔霍夫定律的相量形式 7.5 正弦电流电路中的三种基本电路元件
正弦交流电路的相量法
正弦电流电路的相量法
u、i、R、L、C 分别用 U 、 、R、jωL、1/jωC替代，得到 I 对应的相量电路。
在选定的电压、电流的参考方向下，写出KCL和KVL 方程的相量形式，得到一组复数代数方程组。求得待求正弦 电压或电流的相量。
最后根据相量与正弦时间函数的对应关系，写出待求量在 时域中的瞬时值表达式
(2) 已知 U 127 30 V，求 I ，并画出相量图
（）I 7 0 V 1 U j L I j2πfL I j31.4 7=j220V
.
+
u i
L
u 220 2cos(t 90 )V
_
.
（2）当U 127 30 V时 U j L I j2 fL I j31.4 I V
8.1 阻抗和导纳
I
N0
+ U _
.
.
阻抗
Z
U
（复数）阻抗（Ω）
I
注意：此时电压相量 U与电流相量 I 的参考方向向内部关联
U U u U Z Z ( u i ) I I I i
U Z I
电路
u i
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8.1 阻抗和导纳
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答案
电路
（2）反相, I 2 I 1 （3）I 1 I 2 0
第8章 正弦稳态电路的分析
目 录
8.1 阻抗和导纳 8.2 简单正弦稳态电路的分析及相量图 8.3 正弦稳态电路的功率 8.4 正弦稳态电路的一般分析方法
8.5 最大平均功率的传输
8.6 正弦稳态电路的谐振
电路 南京理工大学
正弦交流电路的电感元件
.
diL (t ) uL (t ) L dt
U L L ( j I L )
iL
+
uL
_.
U Lm j L I L m , U L j L I L
U Lm LI Lm , U L LI L
2
u i
2
, u i
电路
正弦交流电路的电容元件
能 量
1 2 WC (t ) CuC (t ) 2 1 2 电感储能平均值： WC CU C 2 1 2 2 电感储能最大值：WCm CU Cm CU C 2