电路相量法
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电路相量法讲义
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
主要是相位关系 .
Z = U.m =20∠-45o W Im
与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
2024年7月17日星期三
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
A j
=
-jA，等于把
A
顺时针旋转90o。
2024年7月17日星期三
7
§8-2 正弦量
di dt
=wImcos(wt+fi
(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)A
i2(t) =10cos(100pt-105o)A (2) j =30o-(-105o)=135o
(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)V (3) w1≠w2，
u2(t) =10cos(200pt+45o)V 不能进行相位比较。
fi = 60o
由于最大值发生在计
o t1
t
时起点右侧 fi = - 60o
i(t) = 100cos(103t - 60o)
2. 当 103t = 60o = p3 时， 出现最大值
t1 =
电路原理-相量法
周期电流、电压有效值(effective value)定义
物 理 意 义
直流I
Rห้องสมุดไป่ตู้
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|
①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t
物 理 意 义
直流I
Rห้องสมุดไป่ตู้
交流i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i (t )dt T 0
def
有效值也称均方根值 (root-mean-square)
1 同样，可定义电压有效值： U T
8.1 复数
1. 复数的表示形式
Im b 向量 0 a Re 0 F
F=a+jb
( j 1 为虚单位）
Im b F |F|
①代数形式 ②三角形式
F a jb F | F | (cos j sin )
F | F | e j
F | F |
a
Re
③指数形式
④极坐标形式
除法：模相除，角相减
(3.41 j3.657) (9.063 j 4.226)
12.47 j 0.569 12.48 2.61
③ 旋转因子
Im
复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
F• e j 相当于F逆时针旋转一个角度θ ， ejθ 称为旋转因子。
j >0， u超前i，或i 落后u ，u 比i先到达最大值。 u, i u i
u i
j
O
t
j <0， i 超前 u，或u 滞后 i ，i 比 u 先到达最大值。
特殊相位关系：
①j ＝ 0， 同相 u, i u i ②j = (180 ) ，反相 u, i u 0 u, i u i 0 i t
电路第五版 8、相量法
=180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
=182.5 + j132.5 = 225.5∠36
o
旋转因子： 旋转因子： e j = 1∠ 任何一个复数乘以一个旋转因子， 任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角 j 例8-1 F=F1e j F F1 +1
π
2
特殊： 特殊：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U = Um 2
或
Um = 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
注意
U=380V 其最大值为 Um≈311V Um≈537V
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
i2
i1 i2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
I2
i3
ω
I3
ωt
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
§8. 2 正弦量的相量表示
一、正弦量的相量表示： 正弦量的相量表示：
F1 F2
F1 F2 = ( a1 a 2 ) + j ( b1 b2 )
（3）乘法运算： ）乘法运算：
电路相量的运算法则
电路相量的运算法则1相量简介相量是表述交流电路中电压和电流的一种方法。
它是一个复数，包括大小和相位两个部分。
电压和电流的相量不仅可以进行加减运算，还可以进行乘除运算，使得我们更加方便地进行分析和计算。
2相量的表示方法相量可以用极坐标和直角坐标两种方式表示。
以电压为例，极坐标中大小表示电压的幅值，即其最大值；相位表示电压的相位角，即从时间轴开始算起，电压的正弦波的已过时间。
直角坐标中，实数轴表示电压的实部，即电压*cos相位角；虚数轴表示电压的虚部，即电压*sin相位角。
3相量加法在电路中，可以将相同频率下的电压或电流当作相量，进行加减运算。
相量加法有两种形式：数学形式和几何形式。
数学形式就是把电压或电流的实部和虚部相加，例如：U1=3cos(θ)+j3sin(θ)U2=4cos(θ+π/4)+j4sin(θ+π/4)则U=U1+U2=(3+4cos(π/4))cos(θ+π/4)+j(3+4sin(π/4))sin(θ+π/4)几何形式则是将相量用矢量的方式表示，然后使用平行四边形法则求和，例如：将U1和U2表示为两个矢量，其大小与相位角分别为（3，θ）和（4，θ+π/4）。
画出两个相量的矢量图，然后在起点处连线，得到相量的和U。
通过测量得到U大小约为（5.7，θ+0.18π）。
4相量减法和相量加法类似，相量减法也有两种形式。
数学形式为将两个相量的实部和虚部相减。
例如：设U1=3cos(θ)+j3sin(θ)，U2=4cos(θ+π/4)+j4sin(θ+π/4)则U=U1-U2=(3-4cos(π/4))cos(θ-π/4)+j(3-4sin(π/4))sin(θ-π/4)几何形式则是将两个相量的矢量相减，例如：将U1和U2表示为两个矢量，其大小与相位角分别为（3，θ）和（4，θ+π/4）。
画出两个相量的矢量图，然后将U2的矢量反向，得到相量的差U。
通过测量得到U大小约为（2.2，θ-0.18π）。
电路PPT-相量法
I IΨi UL w LI Ψi π 2
jw L
相量關係：
U L
jwL I jXLI
相量模型
有效值關係： U=w L I 相位關係： u=i +90°
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感抗和感納
XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為感納，單位為 S
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I 0
u的所有正弦電流用相量表示
時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用
相量表示時仍滿足KVL。
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例2 已知電流錶讀數： A1 ＝8A A2 ＝6A
週期性電流、電壓的暫態值隨時間而變，為 了衡量其平均效果工程上採用有效值來表示。
週期電流、電壓有效值定義
物 直流I R 理 意
義 W RI2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t )dt
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均方根值
def
I
定義電壓有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦電流、電壓的有效值
試用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
試寫出電流的暫態值運算式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量圖
相量是一個複數，它在複平面上的
圖形稱為相量的圖。
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
电路分析-相量法
F =| F | (cosθ + j sinθ ) b =| F | e jθ
④极坐标形式
θ
F =| F | ∠θ
共轭复数
* *
o
a
*
+1
F
F = a − jb或F = F ∠ − θ
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2. 复数运算
①加减运算 设 则 一般采用代数形式
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1+F2 F2 F1 F1 o +1
u2 (t ) = 10cos(200π t + 450 ) 不能比较相位差
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(4) i1 (t ) = 5 cos(100π t − 300 )
f (t ) = ∑ Ak cos(kωt + θk )
k =1
n
上 页
下 页
瞬时值表达式 i=Imcos(ωt+φi) u = Umcos(ωt+φu) +
以电流为例) 以电流为例 2. 正弦量的三要素 (以电流为例 振幅(最大值) (1) Im振幅(最大值) 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度， 正弦量变化过程中所能达到的最大幅度， 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。
特殊相位关系
ϕ ＝ 0， u , i 同相 ，
u i o
ϕ= π/2：u , i 正交 π/2 u i o u
ωt
ωt
ϕ =±π ， u , i反相 ±π 反相
o
i ωt
正弦量初相与设定的 正弦量初相与设定的 参考方向相关,改设参考方向时 改设参考方向时,该正弦量的初相 参考方向相关 改设参考方向时 该正弦量的初相 改变π,因此与其它正弦量相位差也相应改变 因此与其它正弦量相位差也相应改变π 改变 因此与其它正弦量相位差也相应改变
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
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3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
+j
Aejq
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
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需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
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4
复数减的图解
+j F=F1-F2
F1
F2
F
o
+1
+j -F2
F=F1-F2
F2
F1
o
+1
若F1 = F2 即两个复数相等 则必须是
|F1| = |F2|，q1=q2
或者 a1 = a2，jb1= jb2
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
主要是相位关系 .
Z = U.m =20∠-45o W Im
与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
(2) 乘除
用指数或极坐标形 式最好。
乘(除)法运算满足： 模相乘(除)， 辐角相加(减)。
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5
设 F1= | F1 | q1 ，F2= | F2 | q2
则 F = F1 F2 = |F1 ||F2 | q1+q2
F = F1 = |F1 | F2 |F2 |
q1-q2
wt
p 2p 3p
在工程中，常用频率 区分电路：如工频、 音频、中频、高频、 微波电路等。
T：正弦量变化一次所 需要的时间，单位s。
2020年10月19日星期一
2p
wT=2p
w ：指正弦量单位时
间内变化的电角度， 单位rad/s。
w、 f、T 之间的关系
w =2pf f = 1 T = 1
A j
=
-jA，等于把
A
顺时针旋转90o。
2020年10月19日星期一
7
§8-2 正弦量
电路中按正弦规律变化 ②电机、变压器等电气设 的电压或电流，统称为 备，在正弦交流电下具
正弦量。
有较好的性能；
研究正弦电路的意义是： ③正弦量对时间的导数、
正弦交流电有很多优点， 积分、几个同频率正弦
在电力系统和电子技术 量的加减，其结果仍是
正弦量的时域表达式有两种形式
i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)
也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。
今后采用的形式以教材为准：
i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu)
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1. 正弦量的三要素（以电流为例）
2020年10月19日星期一
2
+j
§8-1 复数
b
F
q
+1
o
a
| F | = a2 + b2
q=
arctg
b a
(3)指数和极坐标形式
1. 复数的表示形式
根据欧拉公式
(1)代数形式 F=a+jb
e jq =cosq +jsinq
Re[F]=a， Im[F]=b
得指数形式：
(2) 三角形式
F = | F | e jq
领域占有十分重要的地 同频率的正弦量，使电
位。
路分析计算变得简单。
①容易产生、传送和使用。 ④正弦信号是一种基本信
可以根据需要，利用变 号，其分析结果可以推
压器方便地把正弦电压 广到非正弦周期电流电
升高或降低；
路中。
2020年10月19日星期一
8
综上：对正弦电路的分析研究具 有重要的理论价值和实际意义。
区分电流、电压的瞬时值 ，振幅和有效值的符
号：i、u；Im、Um；I、U。
另外注意： IM (Imax) 指最大有效值。
2020年10月19日星期一
12
(2)角频率w、频率f、周期T (要素之二)
反映正弦量变化快慢的参 数。
i = Imcos(wt + fi)
i
f ：正弦量每秒钟变化
T
的周波数，单位是Hz。 -p o
复数乘、除的图解
+j
F=F1F2
q2
|F2|F1
F1
F2 q=q1+q2
q1 q2
o
+1
+j
F1
F1
|F2| q2
F
=
F1 F2
F2
o
q1 q2 q=q1-q2 +1
乘：F1 的模被放大|F2| 除：F1 的模被缩小|F2|
倍,辐角逆时针旋转q2。 倍,辐角顺时针旋转q2。
2020年10月19日星期一
第八章 相量法
内容提要 1.正弦量及其三要素、相位差的概念； 2.相量法的概念及其性质； 3.电路定律和元件VCR的相量形式。
重点
1.正弦量的相量表示法； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C 各元件电压、电流关系的相量形式； 4.电路定律的相量形式。
2020年10月19日星期一
1
通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应来确定：
T
I2RT = i2R dt
0
def
I
1 T
T
i2 dt
0
把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式计算可以得到：
正弦量的有效值与振幅之间的关系：Im= 2 I
同理可得：Um= 2 U 若一交流电压有效值为
i = Imcos(wt + fi) = 2 I cos(wt + fi)
(1)振幅(幅值、最大值) Im、有效值I (要素之一) 反映正弦量变化幅度的大小。
i Im
-p o
wt
p 2p 3p
-Im 峰-峰值2Im
在放大器参数中有时用峰-峰值表达。
2020年10时间而变，为了 衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。
F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq
或写成极坐标形式：
F= |F| q
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3
2. 复数的运算 (1)加减
用代数形式。 设 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 则 F1±F2 =(a1±a2)+j (b1±b2)
复数加的图解