运筹学最短路例2解题步骤
运筹学最短路邮递员问题
算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数ωij ≥0 情形。算法的基本思路：从发点vs 出发，有一个假想的流沿网络一 切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向 继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。为 了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示vs 到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示vs 到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
或v1 →v4。
v1 →vv31→5v36 或
v1 →v4→v6
22
30
41
59
23
16
v2v24→1 v61262
v3v33→1 v6 17 30
v4v42→3 v167 23
v5v51→8 v618 v6
41
31
21
2
6
5
08
7
1
17
2
1
9
32
5
9 3
79
66
11 2 13
431 4
9
1
10
21
p（v2）=3 3
v2
p（v1）=0 v1
p（v3）=4
6
51 1
v4
7 4
v5
v3 2 3
5
v7
26 v6 9
15
v8
T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3
T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3
目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5；
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
运筹学：第2章 图与网络分析 第3节 最短路
年份 购置费 使用年数 维修费
1
2
3
4
5
18 20 21 23 24
0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
5
7 12 18 25
方法：将此问题用一个赋权有向图来描述，然后求这个赋权有向图 的最短路。
求解步骤：
1）画赋权有向图：
设 vi 表示第i年初， (vi ,vj )表示第i 年初购买新设备用到第j年初（j-1年底）， 而wi j 表示相应费用， 则5年的一个更新计划相当于从v1 到v6的一条路。 2）求解 （标号法）
v5 29
45
v6
62
算法步骤：
1.给始点v1标号[0，v1] 。
2. ：把顶点集V分成VA ：已标号点集 VB ：未标号点集
3.考虑所有这样的边[vi ，vj] ：其中vi VA ，v j VB ，挑选
其与起点v1距离最短（mindi cij ）的vj，对vj进行标号
4.重复步骤2、3，直至终点vn标上号[dn ，vj],则dn 即为vs到
第三节 最短路问题
例：求网络图中，起点v1到终点v8之间的一条最短
路线。
v2
1
v5
6
2
3
6
v1
v3
2
v9
6 3
10 3
1
2
v8
4
2 v7
v4
10
v6
(一)、 狄克斯拉(Dijkstra)标号算法
Байду номын сангаас
基本思想：从起点vs 开始，逐步给每个结点vj标号[dj ，vi]，其
中dj为起点vs到vj的最短距离， vi为该最短路线上的前一结点。
vj的最短距离，反向追踪可求出最短路。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、通信网络、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们需要找到图中两个顶点之间的最短路径，即使得路径上的边的权值之和最小。
针对不同的图，我们可以采用不同的方法来求解最短路问题，下面将介绍几种常见的求解方法。
首先，最简单直接的方法是暴力搜索法。
暴力搜索法适用于小规模的图，它通过穷举所有可能的路径来找到最短路径。
虽然这种方法在理论上是可行的，但是在实际应用中由于时间复杂度过高，通常不适用于大规模的图。
其次，我们可以使用迪杰斯特拉算法来解决最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步扩展离源点距离最短的节点来逐步求解最短路径。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数，因此适用于稠密图。
另外，我们还可以使用贝尔曼-福特算法来求解最短路问题。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过多次松弛操作来逐步逼近最短路径。
贝尔曼-福特算法适用于存在负权边的图，但是由于其时间复杂度为O(VE)，因此在稠密图中效率较低。
最后，我们还可以使用Floyd-Warshall算法来解决最短路问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它通过逐步考察所有顶点对之间的路径来求解最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，因此适用于小规模图。
总的来说，不同的最短路求解方法适用于不同的图，我们需要根据具体的情况来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还可以结合启发式算法、并行算法等方法来进一步提高求解效率。
希望本文介绍的内容能够对读者有所帮助，谢谢！。
10.3_最短路问题
法适用于所有边的权为任意实数的情况 D）Dijkstra算法适用于所有边的权为任意实数的情况，
Ford算法适用于所有边的权非负情况
29
OR:SM
试试看——选择题
• 2、以下说法中错误的是（ ）。
4
8
1
v4
vt
1
7
3
6
1
2
v6
7
OR:SM
vs
方式之一：单标号算法
第一步：
T(vs)=∞
v1
2
3
P(vs)=0 vs
9
10
4 7
T(vs)=∞
v2 1
4
3
v3
2
T(vs)=∞
T(vs)=∞
v5
8 1
v4 T(vs)=∞
7
vt T(vs)=∞
6
1
v6
T(vs)=∞
8
OR:SM
方式之一：单标号算法
第二步：
第4年 19 3-4 18
第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新设备”这 种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi, vj)表示 “第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以
wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。其网络模型 如下：
本章小结
图论是应用十分广泛的运筹学分支，它已广泛应用在物 理、化学、控制论、信息论、科学管理、电子计算机等 各个领域。
管理运筹学 第7章 最短路实例
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1 1 2 3 4 5 6 2 16 3 22 16 4 30 22 17 5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
管
理
运
筹
学
2
§2 最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59 22 v1 16 v2 30 41 v4 23 41 23 17 v5 31
管 理 运 筹 学
11
§4 最大流问题
二、最大流问题网络图论的解法 对网络上弧的容量的表示作改进。为省去弧的方向，如下图: (a)和 (b)、(c)和(d)的意义相同。 cij cij 0 vi vi vj vj （ a） （ b） cij cij cji v j vi vi vj （cji） （ d） （c） 用以上方法对例6的图的容量标号作改进，得下图
个网络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
v2 3 1 4 v7 3 v6 5 2 8 v5 v3
7
v4
图11-14
v1 10
3
4
解：此问题实际上是求图11-14的最小生成树，这在例4中已经求得， 也即按照图11-13的(f)设计，可使此网络的总的线路长度为最短，为19 百米。 “管理运筹学软件”有专门的子程序可以解决最小生成树问题。
年份
年初价格
1
11
2
11
3
12
4
12
5
13
设备维修费如下表 使用年数 每年维修 费用 0-1 5 1-2 6 2-3 8 3-4 11 4-5 18
管
运筹学课件(第十讲)—最短路问题
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.