1大数定律
第5章§1大数定律
的内记部事图件形 DA的 {面产积生|的D随| .机点落入 D中}
nA ( X1,Y1), (X2 ,Y2 ), , ( Xn ,YnG)落入 D中L 个数
由伯努利大数定律有
nA n
P P( A)
D 的面积 G 的面积
|
D
D|
Байду номын сангаас
故当
n 充分大时, D的面积
|D|
nA n
.
第五章 大数定律与中心极限定理
机仿真方法用是计科算学机与产工生程一中串的相一互种独重要工具.
立、均M服on从te CGar上lo均方匀法分的布原的理随主机要变基于大数定律.
量(随机点设)计算机屏幕上有一矩形区域 G(不妨设 G的面
积为 1).(现X用1,Y鼠1),标(X在2 ,YG2的), 内,部(X任n ,Y画n )一封闭曲线 L, 求 L围成
§1 大数定律 6/8
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一. 是 Monte Carlo 方法的主要数学理论基础.
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律 7/8
Monte Carlo 方法或称为计算机随机模拟方法、计算
§1 大数定律 8/8
在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，
所以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率“趋于”概
率视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一
样. 在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论
上进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上
称为“大数定理”.
为什么叫“大数定律” EN第五而章 不大数叫定“律大与中数心定极限理定”理
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，它们对于理解和应用概率论具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一项重要成果，它研究的是随机事件重复进行时，随着试验次数的增加，事件的频率趋于稳定的现象。
大数定律的核心思想是：随机事件的频率会趋于其概率。
大数定律有多种形式，其中最著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律指出，当随机事件重复进行时，事件的频率会接近其概率，但不一定完全相等。
而强大数定律则更加严格，它指出，当随机事件重复进行时，事件的频率几乎必定会趋于其概率。
大数定律的应用非常广泛。
例如，在赌场中，赌徒们常常利用大数定律来制定自己的投注策略。
他们相信，通过多次下注，最终能够获得稳定的胜率。
另外，在统计学中，大数定律也是重要的理论基础。
通过对大量样本的观察，我们可以得出对总体的推断。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象。
中心极限定理的核心思想是：随机变量的和趋于正态分布的程度与随机变量的分布无关，只与样本容量有关。
中心极限定理有多种形式，其中最著名的是中心极限定理的拉普拉斯形式和莫尔根-拉普拉斯形式。
中心极限定理的拉普拉斯形式适用于二项分布和泊松分布，而莫尔根-拉普拉斯形式适用于任意分布。
中心极限定理的应用广泛而深入。
在实际生活中，我们常常遇到一些随机现象，如测量误差、人口统计等。
通过应用中心极限定理，我们可以对这些随机现象进行更准确的分析和预测。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的定理。
它们都是研究随机现象的规律性，但侧重点不同。
大数定律研究的是随机事件的频率趋于稳定的现象，它关注的是事件本身的概率。
而中心极限定理研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象，它关注的是随机变量的分布。
大数定律和中心极限定理的关系可以从两个方面来理解。
大数定律(Law of the large numbers)
大数定律由雅各布·伯努利（1654－1705）提出，他是瑞士数学家、也是概率论的重要奠基人。
频率的稳定性是概率定义的客观基础，而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性。
而大数定律发表于伯努利死后8年，即1713年出版的《猜度术》，正是这本巨著使得概率论从那时起真正成为了数学的一个分支。
大数定律和中心极限定理，是概率论中极其重要的两个极限定理，也是概率学的核心定律。
一、大数定律概述大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。
可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。
大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。
但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律，而不由自主地使用“小数定律”，滥用典型事件，犯以偏概全的错误。
二、与大数定律相关的常见事件保险大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。
保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。
按照大数法则，保险公司承保的每类标的数目必须足够大，否则，缺少一定的数量基础，就不能产生所需要的数量规律。
墨菲定律墨菲定律是大数定律的特殊情况，概念为“凡事有可能会出错，就一定会出错”。
墨菲定律的成立条件：1、事件有大于零的概率；2、样本足够大（比如时间足够长，人数足够多等）。
所以墨菲定律可以算是大数定律的一种特殊情况，概率只要大于0就会发生。
墨菲定律告诉我们，即便一个东西概率很低，只要次数足够多，就一定会发生，而如果这个东西会造成巨大的影响，我们不得不事先做好准备，避免遭受无法承受的打击，“黑天鹅”事件指的就是这类事情。
查理·芒格在《穷查理宝典》提到：”坏事总会发生，我们只是不知道什么时候而已“。
他用这句话预言金融衍生品会发生金融危机。
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
大数定律和中心极限定理
大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。
所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。
以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。
3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。
大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。
但大数定律并未涉及概率之分布问题。
此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。
从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。
因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。
总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。
3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。
Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。
大数定律
例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投 掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现 正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当 试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐 渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不 存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对 同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值， 但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 渐接近于物体的真实重量。
大数定律
பைடு நூலகம்
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为 “大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向 常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律，又称弱 大数理论。 大数定律(law of large numbers)，又称大数定理[1] ，是 一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但 是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是 大数定律并不是经验规律，而是严格证明了的定理。
有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的，这些 “有规律的随机事件”在大量重复出现的条件下，往往 呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。确 切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出 现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结 果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。[
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然 的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理 就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件 的频率近似于它的概率。比如，我们向上抛一枚硬币， 硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬 币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以 后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数 的二分之一。偶然中包含着某种必然。
数学定律大全
数学定律大全在数学领域，有许多重要的定律被广泛应用于各种数学问题的解决和推导中。
这些定律涵盖了各个数学分支，包括代数、几何、概率论等。
本文将介绍一些数学定律的基本概念和应用。
希望通过阅读本文，读者能更好地理解和应用这些数学定律。
一、代数定律1. 加法交换律：对于任意两个实数a和b，a + b = b + a。
2. 加法结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b +c)。
3. 乘法交换律：对于任意两个实数a和b，a × b = b × a。
4. 乘法结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b ×c)。
5. 分配律：对于任意三个实数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c。
二、几何定律1. 皮亚诺公理：几何推理的基础，包括点、线、平行线、共线等基本概念。
2. 直角三角形定理：直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和。
3. 同位角定理：同位角互补或同位角相等。
4. 锐角三角函数定理：正弦函数、余弦函数和正切函数等定义和性质。
5. 平行线定理：包括同位角定理、内错角定理、同旁内角定理等。
三、概率论定律1. 概率的加法定律：对于两个事件A和B，其和事件的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 独立事件定律：对于两个独立事件A和B，其交事件的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 贝叶斯定理：用于计算条件概率的定理，根据已知信息计算未知的概率。
四、微积分定律1. 导数定义：函数在某点的导数表示函数曲线在该点的切线斜率。
2. 导数的四则运算：包括导数的加减乘除法则，用于计算复杂函数的导数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：函数的不定积分与定积分之间的关系，用于计算函数的积分。
4. 泰勒展开式：将一个函数表示为无限次求导的多项式形式，用于近似函数。
第1节 大数定律
X 2
LXn
相互独立);
⎨
⎪⎩2.
E(X ) = µ, k
D( X ) = σ 2 , k
k = 1, 2,L
记
Y
=
1
n
∑
X
,
（即随机变量的算术平均），
n
n k=1 k
则对 ∀ε > 0 有：
∑ lim
n→∞
P{| Yn
−
µ
|<
ε
}
=
lim
n→∞
P{|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
—— 算术平均值稳定性
X
~
f
(
x)
=
⎧1,
⎨ ⎩
0,
0
< x< 其它
1
∫ E[g( X )] =
∞ −∞
g(
x
)
f
(
x
)dx
=
1
∫0
g(
x)dx
由大数定律 ∀ε > 0,
∑ ∫ lim P{| 1
n→∞
N
N i =1
g(rn ) −
1
g
(
x)dx
|<
ε
}
=
1
0
∑ ∫ 1
因此，当n充分大时，N
N
g(rn ) ≈
n=1
1
g( x)dx
下面给出的独立同分布下的大数定律， 即弱大数定理(辛钦大数定理)。
定理1
设随机变量
X 1
,
X 2
LXn
L
5-1大数定律
．
证
由于 EXi DXi
1
，故
E
(
X
2 i
)
2
，
i
1,
2,L
，所以
1 1, 2 2 ．由推论 1.2 知，
lim
n
1 n
n i 1பைடு நூலகம்
Xi
P
1
1,
lim
n
1 n
n i 1
X
2 i
P
2
2．
11
第五章 大数定律和中心极限定理
1
§1 大数定律
一、切比雪夫不等式 定理 1.1 设随机变量 X 的数学期望 EX ，方差
DX 2 ，则对任意的 0 ，有
P{ X } 2 或 P{ X } 1 2 ．
2
2
此不等式称为切比雪夫不等式．
2
证(了解) 现仅证明 X 为连续型随机变量时的情形．
切比雪夫不等式估计概率 P{ X * 2} ．
解 P{ X * 2} P{ X EX 2} DX
P{ X EX 2 DX } 1 DX 3 ．
(2 DX )2 4
【注】此处并非计算概率 P{ X * 2} ，而是估计概率 P{ X * 2}的大致取值。
4
例 1.2 设 X ~ P(2) ，则根据切比雪夫不等式有（ ）．
lim
n
P{
X
n
a
}1，
P
就称序列{X
n
}
依概率收敛于
a
，记为
lim
n
X
n
a
．
6
定义 1.2 设有随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L ，如果
大数定律知识点总结
大数定律知识点总结大数定律的基本思想是：独立同分布的随机变量的大样本均值将趋于其数学期望。
这一定律的成立对于统计学、概率论、经济学、物理学等领域都有着重要的应用价值。
下面将对大数定律的相关知识点进行总结和介绍。
一、独立同分布随机变量序列的大数定律1. 独立同分布的随机变量序列：在大数定律的讨论中，通常假设考虑的是一个独立同分布的随机变量序列。
也就是说，随机变量X1，X2，...，Xn互相独立，并且它们都具有相同的分布，且均值为μ，方差为σ²。
2. 大数定律的描述：设X1，X2，...，Xn是一个独立同分布的随机变量序列，它们的数学期望为μ，方差为σ²。
定义随机变量序列的均值为Yn = (X1+X2+...+Xn)/n，即前n个随机变量的均值。
大数定律描述了当n趋向于无穷大时，随机变量序列的均值Yn将以概率1收敛于其数学期望μ，即limn→∞ P(|Yn-μ|<ε) = 1，其中ε>0。
3. 大数定律的形式：大数定律有弱大数定律和强大数定律之分。
弱大数定律指的是对于任意的ε>0，有limn→∞ P(|Yn-μ|<ε) = 1，即随机变量序列的均值以概率1收敛于其数学期望。
而强大数定律则是指有limn→∞ Yn=μ，即随机变量序列的均值几乎处处收敛于其数学期望。
4. 大数定律的证明：大数定律的证明通常可以利用切比雪夫不等式、马尔可夫不等式、刘维尔中心极限定理等概率论基本定理进行推导。
通过限制随机变量序列的方差，并且利用独立同分布的特性，可以证明大数定律成立。
5. 应用实例：大数定律在实际问题中有着重要的应用。
例如，在赌场中，赌徒可以利用大数定律的原理来预测赌局的结果。
又如在金融领域中，大数定律可以用来预测股市的波动情况。
在工程领域中，大数定律可以用来分析随机过程和随机信号的性质。
二、大数定律的拓展和推广1. 李雅普诺夫大数定律：对于互不相干的独立同分布的随机变量序列，其均值将以概率1收敛于其数学期望。
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这一节我们介绍了大数定律
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本 的性质之一：
平均结果的稳定性
它是随机现象统计规律的具体表现.在理论和实际 中都有广泛的应用.
第二节
中心极限定理
客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量
相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小
因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，
定理3的意义 定理表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共
1 n 1 n 同的上界，则 X i 与其数学期望 E ( X i ) 偏差很 n i 1 n i 1
小的概率接近于1. 1 n 即当n充分大时， X i差不多不再是随机的了，取值 n i 1
接近于其数学期望的算术平均的概率接近于1.
数理统计
第一节
大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律
随机变量序列依概率收敛于常数 定义 设 Y1 , Y2 ,, Yn , 是一个随机变量序列， a 是
一个常数，若对于任给的正数>0, 总成立
lim P {| Yn a | ε } 1
n
则称 随机变量 序列 Y1 , Y2 ,, Yn , 依概率收敛于a， 记为
Yn a（n ）
P
几乎处处收敛
定积分的定义 1.定义 在 [a, b]中 任 意 插 入 若 干 个 分点
设 函 数 f(x)在 [a ,b]上 有 界 ，
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
由独立同分布中心极限定理, 有
X 200 近似 ~ N( 0 ， 1） 15
(1)
X 200 180 200 P{ X 180} P{ } 15 15
X 200 P{ 1.33} 1 Φ(1.33) 15
Φ(1.3) 0.9082
(2)
0 200 X 200 200 200 } P{0 X 200} P{ 15 15 15
作函数值f( ξ xi的 i )与小区间长度 Δ
乘 积 f( ξi ) Δ xi(i 1,2,3, ,n)
并作和 S
记
i 1 max{x1 , x 2 ,, x n }
f ( )x
i
n
i
如果不论对 [a, b]怎样分法，
也不论小区间 [ x i 1 , xi ]上点 i 怎样取法，
i
即
X
i 1
300
i
387
近似
3.8301
~ N ( 0， 1） )
P{ X i 400} P{
i 1
300
X
i 1
300
i
387
3.8301
400 387 } 3.8301
P { i 1
X
300
i
387
3.8301
3.39} 1 Φ( 3.39)
1 0.9997 0.0003
定理2(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）
设n重贝努利试验中事件A发生的次数为μn,事 件A在每次试验中发生的概率为p,则对于任给实 数x,总成立
lim P{
n
μ n np np(1 p)
x}
x
1 2π
e
t2 2
dt
定理表明：若 Yn 服从二项分布，当n很大时， Yn
的标准化随机变量 分布. 由此可知：当n很大，0<p<1是一个定值时（或 者说，np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（n，p) 的随机变量 Yn 近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
Yn np
np(1 p)
近似服从标准正态
例 3 某次课堂测验，有 200 道选择题，每一题有 4 个答
把区间 [a , b]分 成n个 小 区 间
[ x 0 , x1 ], [ x1 , x 2 ], [ x n 1 , x n ]
各个 小区间 的长度 依次 为
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , , xn xn xn1
在每个小区间 [ xi 1 , xi ]上任取一点 i ( x i 1 i x i ),
案.试问一位完全不会的学生，想凭着猜测的方法回答
此200题中的80题，而答对25题至30题的概率是多少？
解: 设答对的题数为X，则 X~B(80,0.25),
E ( X ) 80 0.25 20， D( X ) 80 0.25 0.75 15，
X 20 近似 ~ N ( 0， 1） ) 15
P P
g（x , y）是二元连续函数，则
g（X n，Yn） g（a，b）（n ）
P
三个常见的大数定律
定理1（贝努利大数定律）
设n重贝努里试验中事件A发生的次数为μn，A
在每次试验中发生的概率为 p ，则对任给的ε>0，总
成立
μn lim P {| p | ε } 1 n n
定理4 （辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …相互独立，服从同一分布，
具有相同的数学期 望E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任给
正数ε >0 ，总成立
1 n lim P{| X i μ | ε } 1 n n i 1
即
1 n P X μ（ n ） i n i 1
定理2的意义 具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算 术平均值依概率收敛于数学期望.当 n 足够大时, 实验 结果的算术平均几乎是一常数. 因此，在实际应用中，当试验次数足够大时,可用 独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的
数学期望.----大样本
定理3（契比雪夫大数定律的一般情形） 设随机变量序列X1,X2, …相互独立，它们都具有数
b
a
f ( x)dx ?
两种收钱方式。无穷大 ？势？可测集？
勒贝格积分-----测度论
设
f ( x) 是可测集E上的可测函数，对于
f ( x) 0
的情况，g ( x ) 是任意一个满足
0 g ( x) f ( x) 的简单函数
让
gБайду номын сангаас( x)
变动，有：
E
f ( x)dm sup
X 200 P{13.33 0} Φ(0) Φ( 13.33) 15 Φ(0) [1 Φ(13.33)] 0.5 （1 1） 0.5
例2.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋
糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机
变量，它取1(元)，1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别
为0.3，0.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入
至少达400 (元)的概率 解：设第i只蛋糕的价格为Xi，i=1,2,…,300,则Xi的分 布律为 Xi P 1 1.2 1.5
0.3
0.2
0.5
E ( X i ) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29
0 g f
E
g ( x)dm sup
0 g f k 1
y me
k
n
k
,
ek E ( g yk ) 为互不相交的可测集
a（n ） ，g（x）是连续 性质 1.设 Yn
P
函数，则
P g（Yn） g（a）（n ）
a（n ） ，Yn b（n ） ， 2.设 X n
学期望：E(Xi)=μi，并且都具有被同一常数C所限制的
方差：D(Xi)= ζ 2 <C,i=1,2, …,则对任给的ε>0，总成立
i
1 n 1 n lim P{| X i μ i | ε } 1 n n i 1 n i 1
即
n 1 n 1 P X μ （ i i n ） n i 1 n i 1
却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从
正态分布。-----用于回归分析 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是 正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我
们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化 的随机变量
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
P{25 X 30} P{
P{1.29 X 20 15
25 20 15
X 20 15
30 20 15
}
2.58}
Φ(2.58) Φ(1.29)
0.9951 0.9015 0.0936
例4 某电视机厂每周生产 10000台电视机，但它的显像 管车间的正品率为 0.8 ，为了能以 0.997 的概率保证出
定理2（契比雪夫大数定律的特殊情形）
设随机变量序列X1,X2, …相互独立，并且具有相同
的数学期望和方差，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2,i=1,2, …,则对 任给的ε>0，总成立
1 n lim P{| X i μ | ε } 1 n n i 1
即
1 n P Xi μ（n ） n i 1
μn P p（n ） n
即：
贝努里大数定律的意义
nA 在概率的统计定义中, 事件A 发生的频率 “ 稳定于” n
nA 事件A 在一次试验中发生的概率是指：频率 与 p n
有较大偏差
nA n p ε
是小概率事件, 因而在 n 足够