修正单纯形法求解约束优化问题
单纯形法的几种特殊情况
单纯形法的几种特殊情况单纯形法是一种线性规划的解法方法，用于寻找最优解。
在实际应用中，存在一些特殊情况，需要对单纯形法进行一些调整或者使用其他方法来解决。
下面将介绍几种特殊情况：1.无解情况（不可行解）：在一些情况下，约束条件可能是冲突的，导致不存在可行解。
例如，所有约束条件加在一起可能无法满足，或者一些约束条件是矛盾的，比如两个约束条件同时要求一些变量分别为正和负。
在这种情况下，单纯形法无法找到最优解，因为没有可行解。
解决方法：可以使用其他的线性规划求解方法，或者对约束条件进行调整，使其变为可行的。
例如，可以通过增加松弛变量或引入人工变量来处理不等式约束条件，在目标函数中增加人工变量的惩罚项，逐步通过单纯形法逼近可行解。
2.多个最优解：在一些情况下，线性规划问题可能存在多个最优解。
这种情况下，目标函数的值相同，但对应的解并不相同。
单纯形法只能找到一个最优解，无法得知是否存在其他最优解。
解决方法：需要使用其他算法或方法来找到额外的最优解。
例如，可以通过改变目标函数的系数或增加一些额外的约束条件，以影响单纯形法的方向，从而找到其他的最优解。
3.无界问题：在一些情况下，线性规划问题可能是无界的，即目标函数可以无限大地增加或无限小地减小。
这种情况下，单纯形法将无法找到有限的最优解。
解决方法：可以通过增加约束条件或调整目标函数的系数，使得问题变为有界的。
另外，也可以使用其他线性规划求解方法来处理无界问题。
4.退化情况：在单纯形法中，可能存在一些情况下的解陷入循环，无法继续优化。
这种情况下，称为退化。
解决方法：可以使用退化处理技术，例如人工变量法、卡工法、两阶段法等，来克服退化问题，并继续求解最优解。
5.基变量的选择：在单纯形法中，需要选择初始基变量，以便进行迭代求解。
但是，对于一些问题，选择合适的初始基变量可能非常困难，并且可能会影响最终的最优解。
解决方法：可以使用启发式的方法，例如字典法，以确定合适的初始基变量。
单纯型法的探究及改进
单纯形法的探究及改机械设计制造及自动化专业机制072 程鸿07030209 摘要：单纯形法是由美国的数学家G.B.Dantzig提出的一种多变量函数的寻优方法。
其优点是对目标函数的解析性没有什么要求，收敛速度快，适用面较广。
但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。
而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。
如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量，也增加计算机的内存量。
针对这一问题，本文提出改进单纯形法，在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余的约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。
此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。
关键词：线性规划、单纯形法、改进的单纯形法、基本可行解、初等变换一．单纯形法1.1单纯形法的提出线性规划是运筹学的一个重要分支。
它的实质是从很多变量中选取一组适应的变量作为解，使这组变量满足一组确定的线性或条件，而且使一个函数达到最优。
线性规划是为了解决二战中的后勤问题而产生的。
自1947年美国的数学家G.B.Dantzig提出了解决线性规划问题的单纯形法以来，线性规划问题无论在理论上、计算方法和拓展新的应用领域中，都获得了长足的进步。
而且它的出现推动了自然科学的许多其它学科的发展。
1.2单纯形法的基本思想与计算步骤㈠、单纯形法的基本思想任何一种单纯形法的迭代算法必须解决三个问题：1．由哪一个顶点开始?2．用一个什么样的“有效”途径，进行由一个顶点向另一个较好的顶点移动? 3．何时停止该过程?单纯形法属于这一范畴。
即从一个粗的解开始，成功地改进现有的解，直到所要求的目标被满足为止．对于一个迭代算法，通常要求有一个停止规则，以检查是否达到目标。
计算上简单的规则将被优先选用，因为它在每次迭代中都要执行。
如果该规则未被满足，则需要去做进一步的改善，以求接近所需的目标。
单纯形法matlab求解有约束优化问题实验报告
单纯形法matlab求解有约束优化问题实验报告一、实验目的本次实验旨在通过使用MATLAB软件中的单纯形法，求解约束优化问题，熟悉单纯形法的基本原理和操作方法，并掌握MATLAB软件中单纯形法的使用。
二、实验原理1.单纯形法基本原理单纯形法是一种线性规划问题的求解方法，其基本思想是通过不断地移动一个n维空间中的“单纯形”（即一个n+1个顶点组成的凸多面体），寻找到目标函数最小值或最大值所对应的顶点。
在每次移动时，都会将当前顶点与其它顶点进行比较，选择一个更优秀的顶点来替换当前顶点，并不断重复这个过程直到找到最优解为止。
2.单纯形法步骤（1）确定初始可行解；（2）检查当前可行解是否为最优解；（3）如果当前可行解不是最优解，则选择一个非基变量进入基变量集合，并确定该变量使目标函数值下降最多；（4）计算新可行解；（5）判断新可行解是否存在并继续执行步骤2-4直到找到最优解。
三、实验步骤1.建立约束优化问题模型本次实验采用如下线性规划问题模型：$max\quad z=2x_1+3x_2$$s.t.\quad x_1+x_2\leq 4$$x_1\geq 0,x_2\geq 0$2.使用MATLAB软件求解（1）打开MATLAB软件，新建一个m文件；（2）输入以下代码：%建立约束优化问题模型f=[-2,-3];A=[1,1];b=[4];lb=zeros(2,1);[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb);（3）保存并运行该m文件，即可得到最优解。
四、实验结果与分析根据上述步骤，我们可以得到该线性规划问题的最优解为：$x_1=3,x_2=1,z=9$。
五、实验总结本次实验通过使用MATLAB软件中的单纯形法，成功求解了一个约束优化问题，并深入了解了单纯形法的基本原理和操作方法。
通过实践操作，加深了对MATLAB软件中单纯形法的使用和应用。
修正单纯形法
单纯形法的解题思路（一）
在单纯形法计算过程中，我们的目的是求出问题 的最优解，判断是否得到最优解的原则是检验数 的符号，当求最大值时，要求Zj-Cj≥0；当求最 小值时，要求Zj-Cj≤0。如果不满足条件，可根 据Zj-Cj的大小找出主元列（∣Zj-Cj∣最大者）， 找出主元列Pj*后，再计算Qi，而后，根据Qi大小 找出主元行（Qi最小者），主元列所对应变量为 调入变量，主元行所对应的变量为调出变量，调 换基变量后，再重新计算检验数进行判断。
单纯形法的一般解题步骤
改进单纯形法。其基本步骤和单纯形法大致相同， 主要区别是在逐次迭代中不再以高斯消去法为基 础，而是由旧基阵的逆去直接计算新基阵的逆， 再由此确定检验数。这样做可以减少迭代中的累 积误差，提高计算精度，同时也减少了在计算机 上的存储量。 高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们 俗称的加减消元法。它是线性代数中的一个算法， 用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及 决定可逆方矩阵的逆。当用于一个矩阵时，高斯 消去产生“行消去梯形形式”。
迭代2（4）
求检验数
Z j C j CB Pj C j CB B 1 Pj C j Pj C j
1 2 5 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 0 1
C B B 1
迭代2（5）
1 Z 1 C1 P1 C1 0 1 1 4 3 1 0 2
迭代1（5）
1 Z 1 C1 P1 C1 0 M 2 M 1 4 3 1 0 2 2 Z 2 C 2 P2 C 2 0 M 2 M 1 1 1 M 1 0 0
数学优化与约束条件的求解
数学优化与约束条件的求解数学优化是数学的一个重要分支，它研究如何在给定的条件下找到一个最优解。
在现实生活中，我们经常需要解决一些最优化问题，例如如何在一定的资源约束下最大化利润，或者如何在一定的时间约束下找到最短路径等等。
为了解决这些问题，我们需要使用数学工具和方法，其中约束条件是一个重要的考虑因素。
一、数学优化的基本概念数学优化是通过建立数学模型来描述实际问题，并在一定的约束条件下求解最优解。
其基本概念包括目标函数、决策变量和约束条件。
目标函数是我们希望最大化或最小化的量，通常用一个数学函数表示。
例如，如果我们想要最大化利润，那么利润就是目标函数。
决策变量是我们需要做出决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
例如，如果我们希望最大化利润，那么决策变量可能包括生产数量、销售价格等。
约束条件是对决策变量的限制条件，它们反映了现实生活中的实际情况。
例如，生产数量不能超过设备的容量，销售价格必须大于成本等。
二、数学优化的常用方法对于数学优化问题的求解，常用的方法包括可行解法、线性规划法、非线性规划法等。
可行解法是最简单的方法，它通过枚举所有可能的解并逐个验证是否满足约束条件，然后找到其中的最优解。
然而，对于复杂的问题而言，可行解法往往不切实际。
线性规划法是常用的求解数学优化问题的方法之一，它假设目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划法通过构建一个线性规划模型，并应用线性规划算法来求解最优解。
这种方法的优点是计算效率高，对于线性问题有较好的适用性。
非线性规划法则用于解决目标函数和/或约束条件为非线性的问题。
非线性规划法一般包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法的基本思想是通过迭代计算来逐步逼近最优解，直到满足一定的停止准则。
三、约束条件的求解方法约束条件在数学优化问题中起着重要的作用，它们限制了决策变量的取值范围。
对于线性规划问题，约束条件通常采用等式或者不等式的形式表示。
而对于非线性规划问题，约束条件往往比较复杂，可能涉及到多个变量之间的关系。
约束问题的最优化方法
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
min . g k x s.t. x Rn gu x g k x gu x 0
0
0
u 1, 2,..., S 1 u S 1,..., m
以求得的设计点作为新初始点，继续其判断可行性，若仍有不
满足的约束，则重复上述过程，直至初始点可行。
的选择：
要求： ①
② 方法： ①
在可行域内；
不要离约束边界太近。 人工估算，需要校核可行性；
②
计算机随机产生，也需校核可行性。
§5.2 内点惩罚函数法
方法： ③ 搜索方法： 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S个约束，求出不满足约束中的最大值： g k ( x 0 ) max{ gu x 0 } u 1,2,..., S； 应用优化方法减少违反约束：
uI
Z
I为违反约束的集合。
g u x ， 当 g u x 0时， maxg u x ,0 { 0 ，当g u x 0时， x, r
(k )
{
f x r k maxg u x ,0 f x
uI
Z
Z一般取2。
k
k
(k )
H [h ( x
线性规划中的单纯形法优化思路
线性规划中的单纯形法优化思路线性规划是一种优化问题的数学建模工具，通过数学模型的建立和求解，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
而在线性规划中，单纯形法是一种经典的解法，通过迭代比较线性规划问题的可行解，逐步接近最优解的方法。
在本文中，将详细介绍单纯形法的优化思路。
1. 线性规划问题概述在介绍单纯形法之前，先了解线性规划问题的基本概念和常见形式。
线性规划问题由目标函数和约束条件构成，其中目标函数是一个线性函数，约束条件也是一组线性不等式或等式。
线性规划问题的求解目标是找到满足所有约束条件下使目标函数取得最优值的变量取值。
2. 单纯形法的基本思路单纯形法是一种通过不断迭代改进可行解来求解线性规划问题的方法。
其基本思路是从一个初等可行解开始，通过不断地迭代，每次选取一个更优的可行解，最终达到最优解。
3. 单纯形法的步骤3.1 初等可行解的选取单纯形法的第一步是选取一个初等可行解，该可行解必须满足所有约束条件，并且可以通过线性规划问题的约束条件和目标函数来确定。
3.2 进行单纯形表的构造单纯形表是单纯形法中的一种重要表格，通过将线性规划问题的约束条件和目标函数进行整理，能够更清晰地观察问题的结构和计算过程。
3.3 计算单纯形表中的优化函数值在单纯形表的基础上，通过计算表中各行最右侧的数值，可以得出当前目标函数的值，并判断是否满足最优解的条件。
3.4 确定进入变量和离开变量单纯形法中，每一次迭代都需要选择一个进入变量和一个离开变量来进行优化。
进入变量被选取为能够提高目标函数值最多的变量，而离开变量则是根据约束条件限制来确定的。
3.5 更新单纯形表通过选择好进入变量和离开变量后，需要对单纯形表进行更新，以得出下一次迭代的最优解。
3.6 终止条件的判断在每一次迭代过程中，都需要判断是否满足终止条件，即最优解的判断。
如果不满足终止条件，则继续进行下一次迭代，直到达到最优解。
4. 单纯形法的优化思路单纯形法的优化思路在于不断地找到使目标函数值更优的可行解，通过迭代的方式逐步接近最优解。
修正单纯形法求解约束优化问题
修正单纯形法求解约束优化问题姓名王铎学号2007021271班级机械078日期2010/6/23 一．问题分析求解约束优化问题中，假如目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称作线性规划问题。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1. 根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2. 由决策变量和所在大道目的之间的函数关系确定目标函数；3. 有决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件；求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，而本文研究的是修正单纯形法。
1965 年由J.A.Nelder 等提出。
是在基本单纯形优化法的基础上，引入了反射、扩展与收缩等操作规则，变固定步长推移单纯形为可变步长推移单纯形，在保证优化精度的条件下，加快了优化速度。
是各种单纯形优化法在分析测试中应用最广的一种。
二．数学模型1、线性规划问题的formalization问题(1.1) 称为线性规划问题：x= arg min_x c A T xs.t. Ax=bx>=0 (1.1)其中x为n维列向量，A为m*n的矩阵，b和c分别为m,n维的常数向量。
任意一个线性不等式组约束下求解线性函数的最大最小值问题都可以归结到问题(1.1) 来。
比如A(i,:) x <= b(i)<=>A(i,:) x + y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.2)A(i,:) x >= b(i)<=>A(i,:) x - y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.3)x<=>x=x'-x"x'>=0x">=0 (1.4)2、单纯形法设m<n即变量个数大于约束的个数。
(否则若m=n则(1.1)的约束可能唯一确定X,最优问题就没有意义，若m>n则可能符合约束的x 不存在，最优问题同样没有意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
修正单纯形法求解约束优化问题姓名王铎学号 2007021271班级机械078日期 2010/6/23一．问题分析求解约束优化问题中，假如目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束函数和目标函数都是线性函数的优化问题称作线性规划问题。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在大道目的之间的函数关系确定目标函数；3.有决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件；求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，而本文研究的是修正单纯形法。
1965 年由J.A.Nelder 等提出。
是在基本单纯形优化法的基础上，引入了反射、扩展与收缩等操作规则，变固定步长推移单纯形为可变步长推移单纯形，在保证优化精度的条件下，加快了优化速度。
是各种单纯形优化法在分析测试中应用最广的一种。
二．数学模型1、线性规划问题的formalization问题(1.1)称为线性规划问题：x= arg min_x c^T xs.t. Ax=bx>=0 (1.1)其中x为n维列向量，A为m*n的矩阵，b和c分别为m,n维的常数向量。
任意一个线性不等式组约束下求解线性函数的最大最小值问题都可以归结到问题(1.1)来。
比如A(i,:) x <= b(i)<=>A(i,:) x + y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.2)A(i,:) x >= b(i)<=>A(i,:) x - y(i) = b(i)y(i)>=0 (1.3)x<=>x=x'-x"x'>=0x">=0 (1.4)2、单纯形法设m<n，即变量个数大于约束的个数。
（否则若m=n，则(1.1)的约束可能唯一确定x,最优问题就没有意义，若m>n，则可能符合约束的x不存在，最优问题同样没有意义。
）此时记A=[B,N],B为m*m的方阵，N为m*(n-m)的矩阵，假设B 非奇异，（奇异的情况后面会讨论）则x=[x_B,x_N]^T=[B^-b,0]^T满足(1.1)的约束。
所有这样的x(因为对A进行列重排可得到不同的B,也就有不同的N)组成的集合称为问题(1.1)的基解。
理论基础：线性规划问题(1.1)的满足约束Ax=b , x>=0的所有x的集合F 称为(1.1)的可行解，则有F是凸多边形，且问题(1.1)的最优解如果存在必定可以在F的顶点处找到，且F 的顶点是基解的子集，也就是说，穷举基解，则必定可以找到(1.1)的最有解单纯形法在已知一个基解的情况下，通过一个规则来搜索其他基解得到最优解，步骤如下：1、用非基元素x_N通过约束表出x_B2、将x代入目标函数c^T x 得到关于x_N的线形函数z_0 + z^T x_N3、任取x_N中系数z_i<0的项 z_i x_i ，增加x_i（因为此时x_N=0 => c^Tx=z_0,增加x_i可以使c^Tx=z_0+x_i z_i减小），若z>=0则该解为最优解，结束。
（此时算法得到最优解，有关证明见《线性规划》P36定理3.1）4、x_i增加的步长必须满足x>=0的约束。
此时x_N不必考虑，因为x_N>=0，而x_B用x_N表出，所以选择的步长必须保证x_B>=0，若x_B>=0对任意的l成立，那么，该问题无最优解，因为l可以任意大，意味着z_0可以任意小）否则选取的最大步长将使得x_B中的一个元素x_r 变为0（详细过程如下），此时得到了另一个基解：以x_B\x_r 并上 x_i 为基的基解。
这个基解得到的函数值_0'=z_0-z_i*l<z_0 l为x_i增加的步长。
这样目标函数就减小了单纯形法每次搜索都保证目标函数的非增性。
（也有可能不变，这时采用最小下标法避免循环）。
详细过程：[B,N][x_B =bx_N]假设一个基解已知：B x_B + N x_N= b => x_B= B^- b - B^- N x_N (1.5)代入c^T x: z=c^Tx =c_B^T B^- b - c_B^T B^- N x_N + c_N^T x_N (1.6)选择z_i<0的x_i增加其值，所增加的步长l满足x_B>=0，（若不存在这样的z_i，则得到最优解，算法结束）则有x_B= B^- b - B^- N x_N - (B^-N)(i,:)*l = B^- b - B^ -(B^-N)(i,:)*l >=0 （若B^ - (B^-N)(i,:)<=0则对任意的l有x_B>=0，此时该问题无最优解）=>l=min{ (B^- b)(j)/(B^-N)(i,j) , j=1,2,...,m }若l=(B^- b)(r)/(B^-N)(i,r)，则x_r=0,x_i=l把x_i添入x_B，把x_r添入x_N，再用上述过程进行计算3、有效单纯形法每次将x_i入基x_r出基时，B要变动，此时导致无论用x_N表示x_B(1.5)还是c^Tx(1.6)都要重新计算一遍B^-，如何利用B变动前后的关系有效计算(1.5,1.6)就是有效单纯形法所要解决的问题。
假设变动后的B为B'，B^-为已知。
因为B' x'_B + N' x'_N= b'所以B^- B' x'_B + B^- N' x'_N = B^- b'=>x'_B = (B^- B')^- (B^- b' - B^- N' x'_N)记A=[A1,A2..,Am,...,An]则B=[A1,.Ar.,Am],B'=[A1..,Ai,..Am]因此B^- B'= [B^- A1,B^- A2,..,B^- Ai,..B^- Am] =[ e1,e2,..B^- Ai,..,em ]（e_i为第i分量为1，其余分量为0的向量）(B^- B')^- = [ e1,e2,..B^- Ai,..,em ]^-我们有[1,0,...,a_1r,...0,0 ^-0,1,...,a_2r,...0,0 .....................0,0,...,a_mr,...0,1]=[1,0,...,-a_1r/a_rr,...0,00,1,...,-a_2r/a_rr,...0,00,1,..., 1/a_rr,...0,00,0,...,-a_mr/a_rr,...0,1]因此计算(B^- B')^- 很快，同理(1.6)也可以同样处理。
4、初始可行解的计算上面的单纯形法假设初始给定一个基解。
如果没有给出一个基解（比如B不可逆），如何获得第一个基解就是这里要解决的问题。
两阶段法：问题(1.1)变为：y= arg min_y e^T ys.t. Ax+y=bx,y>=0 (1.7)e为全1的向量，由于Ax+y=[A,I][x,y]^T，因此，可取B=I,基解可以证明如果(1.1)存在可行解x0,则x=x0,y=0为(1.7)的最优解，min e^Ty=0如果(1.7)的最优解为x=x0,y=0，则x0必定是(1.1)的一个基解（为何不是一般解？，[A,I]秩为m, x,y中至多m项不为0）。
若(1.7)的最优解中e^Ty>0则意味着Ax!=b,(1.1)无解求出基解后做法和前面一样5、对偶定理minimize c^Txs.t. Ax>=b,x>=0 (1.8)的对偶问题为maximize b^Tws.t. A^Tw<=c,w>=0 (1.9)(1.8)称为原问题，(1.9)称为对偶问题。
考察(1.9)的对偶问题，(1.9)等价于minimize (-b)^Tws.t. (-A^T)w>=-c,w>=0根据(1.8,1.9)的关系，(1.9)的对偶问题为maximize (-c)^Txs.t. (-A)x<=-b,x>=0就是(1.8)，因此(1.8,1.9)互为对偶问题(1.1)等价于minimize c^Txs.t. Ax>=b-Ax>=-bx>=0即minimize c^Txs.t. [A [b-A]x>= -b]x>=0其对偶问题为maximize [b^T,-b^T][w';w"]s.t. [A^T,-A^T][w';w"]<=c[w';w"]>=0令w=w'-w"则maximize b^Tws.t. A^Tw<=c (1.10)弱对偶定理：注意Ax>=b,x>=0,A^Tw<=c,c>=0 则c^Tx>=(A^Tw)^Tx=w^TAx>=w^Tb也就是说(1.8,1.9)的任意解x,w满足c^Tx>=b^Tw这就是对偶定理，下面证明原问题有最优解时，对偶问题也一定有最优解，假设线性规划问题都标准化为(1.1)，最优解为x=[x_B,x_N]=[B^-b,0]。
考察w=B^-T c_B，根据z=c^Tx =c_B^T B^- b - c_B^T B^- N x_N + c_N^T x_N (1.6)x_N的系数全部为正，此时达到最优，则-c_B^T B^- N + c_N^T >=0=>c_N - N^Tw >=0=>A^Tw=[B , N]^T w=[B^Tw;N^Tw]<=[c_B;c_N]=c因此，w也是(1.10)的可行解。
进一步由x=[x_B,x_N]=[B^-b,0] w^Tb=c_B^TB^-b=c^Tx由弱对偶定理，w^Tb总是小于c^Tx的，因此当它们相等时，w 必为对偶问题的最优解对偶定理：原问题和对偶问题中若一方有最优解，则另一方也有最优解，且两个问题的最优值一致。
6、灵敏度分析。
主要一个结论：在(1.1)中b的微小变化不影响最优基的选择，而b的增加将引起c^Tx的增加，其增加的比例dc^Tx/db_i=w_i，b的减小将引起c^Tx 的减小。
下面说明这一点假设(1.1)变为x= arg min_x c^T xs.t. Ax=b+dbx>=0 (1.11)若，此时仍成立B^-(b+db)>=0，即x'=[x'_B,x'_N]=[B^-(b+db),0]>=0则有c_N^T-c_N^TB^-N>=0，最优条件仍旧满足（就是c^Tx用x_N表出后，所有系数非负仍旧成立），因此B仍为扰动之后的最优基。