无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
无网格伽辽金方法在钢筋混凝土梁开裂问题中的应用分析
Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎ ｅ ｗ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｓ
建 筑 技 术
无网 格 伽辽金方 法在 钢筋混 凝土梁 开裂问 题中的 应用分 析
王难 烂
（ 武汉科技 大学理学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ５ ）
三种 ，一种 是本 思想 简 单 ， 并 且 其 和真 实情 况 比较符 合 ，但 是 计算 过 程 中 比较 繁 琐 ， 并 且需 要 增加 新 的节 点和 单元 ， 计 算效 率 非 常 低 ；第二 种是 采 用 弥散 裂缝 的 方法 ， 该 方 法 使 用 简单 ， 易 于实 现 程 序 ， 目前 是 一 种 使 用 最 为广 泛 的方 法 ， 但是 ， 该方法 的 不 足是 很难 得 到单 条裂 缝 的宽 度 ， 裂缝 扩 展 方 向等相 关信 息 ； 第 三种 是 利用 断 裂力 学方法 ， 构造 一 个 包含 裂 缝 的单 元 ， 这 种 方 法 的优 势是 计算 结果 精 度 高 ， 但 是 随着 裂 缝 发展 的需 要 ， 要 不 断 的修 改单 元类 型 和放 置新 型 的包 含 裂缝 的单元 ， 因此 该方 法使 用起 来过 程也 非 常 繁琐 ， 并 且效 率低
ｌ概述
某个 边 界具 有相 交 的关 系 ， 则假 设 这个 节 Ｑｍａ ） 【 。
在现代建筑施工中， 混凝土是一种非 点 该边 界覆 盖 了 ， 则 无 需在 计算 该 高斯 积 （ ５ ） 如果 Ｑ ｍ ａ ｘ 大于 Ｑ， 则此 时 的裂 缝 常 重要 的建 筑材 料 ， 由于混 凝 土结构 在 通 分 点 。 深 度 比给定 的深 度要 大 ， 需 要重 新修 正 裂
二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法
二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法马文涛【摘要】计算效率低的问题长期阻碍着无网格伽辽金法(element-free Galerkin method,EFGM)的深入发展.为了提高EFGM的计算速度,本文提出一种求解二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法.该方法在问题域内采用滑动最小二乘法(moving least square,MLS)近似、在域边界上采用线性插值建立位移场函数;基于广义梯度光滑算子得到两层嵌套光滑三角形背景网格上的光滑应变,根据广义光滑伽辽金弱形式建立系统离散方程.两层嵌套光滑三角形网格是由三角形背景网格本身以及四个等面积三角形子网格组成.为了提高方法的精度,由Richardson外推法确定两层光滑网格上的最优光滑应变.几个数值算例验证了该方法的精度和计算效率.数值结果表明,随着光滑积分网格数目的增加,光滑无网格伽辽金法的计算精度逐步接近EFGM的,但计算效率要远远高于EFGM的.另外,光滑无网格伽辽金法的边界条件可以像有限元那样直接施加.从计算精度和效率综合考虑,光滑无网格伽辽金法比EFGM具有更好的数值表现,具有十分广阔的发展空间.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2018(050)005【总页数】10页(P1115-1124)【关键词】无网格法;光滑应变;两层嵌套光滑三角形网格;计算效率【作者】马文涛【作者单位】宁夏大学数学统计学院,银川750021【正文语种】中文【中图分类】O241;O343引言为了克服有限元法面临的网格生成、重构以及其他与网格有关的困难,Belytschko 等[1]于1994年提出了无网格Galerkin法(element-free Galerkinmethod,EFGM).基于散乱数据的灵活插值、任意阶的光滑形函数、超收敛的数值结果以及在断裂力学问题中的成功表现,使EFGM很快成为了计算力学和工程领域众多研究者关注的热点,同时也掀起了无网格方法研究的热潮.到目前为止,已提出几十种无网格方法,并在偏微分方程数值解、金属冲压成形、高速冲击、裂纹动态扩展、流固耦合和局部化等诸多领域取得令人满意的成果[2-7].尽管无网格法种类繁多,但极少有数值方法能同时兼顾EFGM的灵活性、高精度和稳定性.因此,EFGM 仍然具有十分重要的研究价值和地位.然而,历经二十多年的发展,EFGM还仅仅是实验室高精度结果的生成者,并没有像有限元那样真正成为解决复杂工程问题的参与者.阻挠EFGM深入发展的根本原因是EFGM的计算效率非常低,严重影响了其处理实际问题的能力.其他类型的无网格法,如重构核质点法(reproducing kernel particle method,RKPM)[3],无网格局部Petrove-Galerkin法(meshless local Petrove-Galerkin method,MLPG)[4,8]、径向点插值无网格法(radial point interpolation meshless method,RPIM)[9]和一些结合式的无网格法[10]等,也存在着同样的问题.众所周知,EFGM采用滑动最小二乘法(moving least square method,MLS)建立近似函数及其导数,涉及矩阵求逆,计算量很大.其次,EFGM的形函数不具有Kronecher delta性质,导致本质边界条件施加困难.虽然Lagrange乘子法、耦合法和罚函数等[2,5]都能解决EFGM边界条件施加的问题,但同时也会带来诸如引入附加变量、改变系统矩阵性质等一系列新的问题,导致计算复杂度和计算时间的增加.另外,EFGM生成的是非多项式形式的近似解,要想获得稳定和高精度的弱形式数值解需要在每个背景网格中采用高阶高斯积分.Duan等[11]研究表明对于弹性力学问题,每个三角形背景积分网格中至少需要16个积分点才能使EFGM达到2阶精度.相比有限元法,EFGM的计算量要大得多.如何提高EFGM的计算效率成为近年来无网格法研究的热点和难点问题.为了提高EFGM的计算效率,Bessel等[12]提出了节点积分方案,也就是仅在近似节点上计算积分.该方法是不稳定的,在一些问题中会出现虚假的近奇异模态.Chen等[13-14]利用应变光滑技术,根据线性分片实验推导出Galerkin无网格法对应的积分约束,提出了稳定一致节点积分(stabilized conforming nodal integration,SCNI).SCNI很好地继承了节点积分的优势,同时完全避免了形成整体刚度矩阵时复杂形函数导数的计算过程.另外,SCNI能保证线性精度,而与无网格离散模式无关.为了弱化场函数近似的一致性要求,Liu及其团队[15-16]推广了应变光滑技术,提出了G空间理论和广义光滑Galerkin(GS-Galerkin)弱形式,建立了两类光滑数值方法的(weakened weak,W2)理论基础.这两类方法分别称为光滑有限元法(smoothed finite element method,S-FEM)和光滑点插值法(smoothed point interpolation method,S-PIM).S-FEM[17-20]的基本思想是:在有限元网格上创建的光滑区域内光滑化场函数导数,进而获得比传统有限元“更软”的光滑刚度矩阵,提高解的精度和收敛性.由于不需要计算形函数导数,避免了等参映射过程,因此S-FEM对畸形网格具有极强的适应性.S-PIM与S-FEM的基本原理相同,不同之处在于S-PIM使用多项式或径向基函数建立节点形函数.Liu[21]指出,S-FEM仅仅是S-PIM的特殊形式.Cui等[22]将MLS与GSGalerkin弱形式结合,提出了光滑伽辽金法.但与Galerkin无网格法相比,其计算精度较低.杜超凡等[23]采用S-PIM分析了旋转柔性梁的频率,得到固有频率的下界值.Liu等[24]在传统数值流形方法中引入光滑应变,改善其计算精度.Duan等[25-27]将SCNI中的线性积分约束推广到二阶情况,提出了二阶一致节点积分(quadratially consistent nodalintegration,QCI).QCI满足二阶精度,但为了求解形函数导数,必须在每个光滑区域内额外求解2个3×3的代数方程,计算代价并不小.Wang等[28]将三角形背景网格划分为两水平嵌套光滑区域,利用梯度光滑技术和Richardson外推法,提出了嵌套子域梯度光滑积分(NSGSI)算法.NSGSI算法将SCNI的精度提高到二阶.与高斯积分相比,NSGSI仅需要6个积分点,极大地提高了计算效率.为了得到二阶精度的数值算法,NSGSI必须使边界积分、外力项积分与刚度积分保持一致.显然,NSGSI的一致性要求大大降低了方法的灵活性.本文目的是提出一种能精确、高效地求解弹性力学问题的光滑无网格Galerkin法.基本思想是利用MLS近似位移场函数,在两层嵌套光滑子域上计算最优光滑应变,基于GS-Galerkin弱形式推导系统方程.两层嵌套网格由三角形背景积分网格以及连接三角形网格的三条边中点组成的4个三角形子网格构成.利用Richardson外推法,得到两层网格下对应的最优光滑应变.另外,为了通过线性分片试验条件,GS-Galerkin弱式要求在所有的边界上(包括自然边界和本质边界上)采用线性插值建立近似函数.因此,边界条件可以像有限元方法那样直接施加.1 MLS形函数在EFGM中,MLS方法被用于建立无网格形函数,具体形式为其中N(x)=pT(x)A−1(x)B(x)是MLS形函数;n是支持域内的节点数目;u=[u1u2L un]T为名义节点值向量,pT(x)为基函数向量,通常对于连续问题对于线弹性断裂问题其中(r,θ)为裂尖极坐标系下定义的位置参数.其他矩阵的定义分别为其中wI(x)=w(x−xI)为权函数,本文中使用3次样条权函数.2 系统离散方程2.1 光滑应变广义梯度光滑算子[13]作用于协调应变ε(x)其中为节点xc处的光滑应变,Φ为光滑函数,满足∫ΩcΦ(x;x−xc)dΩ =1. 简单起见,取其中为光滑区域Ωc的面积.将式(8)代入式(7),有其中nx和ny分别为光滑区域边界Γc上的单位外法线沿坐标轴方向的分量;u和v 分别为沿坐标轴方向的位移分量.将方程(1)代入方程(9),则光滑应变为其中称为光滑应变矩阵,具体形式为其中2.2 系统离散方程考虑二维线弹性固体力学问题,问题区域Ω内受体力b作用,边界Γt上受给定外力t 作用,边界Γu上满足u=.用光滑应变代替协调应变ε,得到GS-Galerkin弱式为将方程(1)和(10)代入方程(13)得其中为光滑刚度矩阵,由所有光滑区域组装得到.具体形式为式中,nsc为光滑区域总数.2.3 施加边界条件由以上推导可以看出,光滑应变运算不涉及任何形函数导数计算.因此,问题域内近似函数的不连续性并不会给光滑应变的计算带来任何困难.与标准Galerkin弱形式相比,形函数的一致性要求大大降低了.因此,在光滑无网格Galerkin法中,问题域内的点和边界上的点往往可以采用不同的近似形式.对于任何在问题域内的计算点均采用无网格近似函数;而对于任何在问题域边界上的计算点则采用线性插值函数.在边界上引入线性插值函数的目的是使光滑无网格法能够顺利通过线性分片试验,同时也使边界条件的施加变得和在有限元中一样容易.3 两层嵌套光滑积分网格为了计算光滑应变,光滑区域的选择至关重要.Liu等[21]基于背景积分网格本身、网格边界和网格顶点依次建立了不同类型的S-PIM.很显然,将背景三角形积分网格作为光滑区域是最简单、最直接的,不需要任何的附加工作.根据式(12)和Liu等[21]的研究结论,光滑区域内的光滑应变是个常数,导致了网格型光滑无网格法仅能达到线性精度,也就是说与传统三角形有限元法的精度相当.为了提高计算精度,进一步细分三角网格是非常有必要的.然而,细分过多的光滑子网格又会大大降低光滑无网格法计算效率.因此,寻找到最优的光滑网格细分方案是发展高效和高精度光滑无网格法的关键.本文提出两层嵌套光滑区域解决背景网格细分的问题.首先将问题域Ω离散为三角形背景积分网格.每个三角形网格称为父网格(见图1(a)).然后依次连结父网格的3条边的中点,形成4个等面积的子网格,如图1(b)所示.在每个光滑子网格边界上取一个高斯积分点,则根据方程(12),图1(a)所示的父网格对应的光滑应变矩阵为其中lJ和xJ分别是第J条边的边长和高斯积分点(即边界中点),nxJ和nyJ分别是第J条边单位外法线分别沿x,y方向的分量.组装所有父网格的光滑刚度矩阵可得由方程(17),可以很容易计算第m个子网格对应的光滑应变矩阵为其中Acm=Ac/4.组装所有子网格的光滑刚度矩阵为由图1可知每个光滑子网格的特征长度减小为父网格特征长度的一半,根据经典的Richardson外推法理论[28-29],方程(18)和(20)的最优线性组合可以生成更高精度的解.方程(21)是在同时考虑粗和细两种网格的基础上建立的,因此称为二层嵌套光滑区域.图1 两层嵌套三角形光滑网格(•场节点, 积分点,_高斯点Fig.1 Two-level nesting triangular smoothing cells(•node, grad e point,_Gauss point)在编程计算式(18)和式(20)的过程中,由于每个光滑积分区域的边界上采用1个积分点(线段中点)时,该点处的形函数值正好可以用线段两端点的形函数值的平均值表达.这样的话,每个三角形背景网格中需要3个顶点和3个线段中点,总共6个积分点即可.4 数值算例为了研究本文方法的精度,L2范数下的位移误差和能量误差分别定义为式(22)、式(23)中,ue,un分别代表位移精确解和数值解;εe,εn分别代表应变精确解和数值解.为了书写的方便,使用父网格(1个网格)、4个子网格以及嵌套网格(1个网格及其4个子网格)的3种光滑Galerkin无网格法分别简记为FSMM,SSMM和NSMM.EFGM采用拉格朗日乘子法施加位移边界条件.笔者根据Duan等[11]的研究结论,在EFGM的每个三角形背景积分网格中采用16个高斯积分点.上述4种方法,在悬臂梁、无限大开孔平板和双连拱隧道算例中均使用线性基函数(见式(2)),在含中心裂纹的无限大板算例中则使用内部扩展基函数(见式(3)).4种方法都在同一台电脑(处理器:Intel(R)Core(TM)*******************)上采用matlab语言编程实现.4.1 悬臂梁如图2所示,悬臂梁左侧固定,右侧受剪切作用.在平面应力条件下,解析解[30]为图2 悬臂梁Fig.2 The cantilever beam其中 I=D3/12.梁的材料参数取为E=3×107MPa,v=0.3,P=1000 N.在梁上分别布置17×5,33×9和65×17个节点.图3比较了3种节点分布下5种方法求解悬臂梁问题时的位移误差.可以看出,FSMM与传统三角形FEM的精度几乎一致;SSMM的精度要高于FSMM的;而NSMM与EFGM的计算精度几乎一致,且远远高于其他3种方法.图3 悬臂梁问题的位移误差比较Fig.3 Displacement error comparison for the cantilever beam problem图4则给出了5种方法的能量误差比较.从图4可以看出,无网格法的精度都要高于FEM的,NSMM比FSMM和TSMM的精度高;虽然EFGM的精度高于3种光滑无网格Galerkin法的,但其收敛率却最低.这些结论很好地证明了随着光滑区域的增加,积分点的个数也随之增加,光滑无网格Galerkin法的计算精度会逐步升高.图4 悬臂梁问题的能量误差比较Fig.4 Energy error comparison for the cantilever beam problem图5给出了5种方法的CPU时间比较.可以看出,在节点分布相同时,FSMM的计算耗时比FEM略长;NSMM与SSMM的计算耗时相当,比FSMM的要长,但要远远短于EFGM的.从精度和效率两个方面综合考虑,NSMM是5种方法中表现最好的. 图5 悬臂梁问题的CPU时间比较Fig.5 CPU time comparison for the cantilever beam problem4.2 无限大开孔平板设一无限大平板,中心开有半径为a的圆孔,在远离孔心的位置沿水平方向受σ0=1 Pa的轴向拉伸作用.该问题的解析解[30]为其中,r,θ为以孔心为原点的极坐标考虑对称性,仅取平板右上角四分之一进行数值计算,见图6.设板长、宽均为b=5 cm,圆孔半径a=1 cm,弹性模量E=30 MPa,泊松比v=0.3.在底部和左侧边界上分别给定位移边界条件uy(x,0)=0和ux(0,y)=0;在板右端(x=b)和上部(y=b)边界按精确解施加自然边界条件.在平板模型上分别布置9×9,17×17和33×33个节点.图7∼图9分别给出了3种节点分布下不同方法对应的位移误差、能量误差和花费的CPU时间.从图7∼图8可以看出,本文提出的NSMM的精度与EFGM的基本相同的,要高于其他几种方法.图9再次证明了NSMM的效率要远远高于EFGM.图6 无限大开孔平板模型Fig.6 Model of the infinite plate with a circle hole图7 无限大开孔平板问题的位移误差比较Fig.7 Displacement error comparison for the problem of the infinite plate with a circle hole图8 无限大开孔平板问题的能量误差比较Fig.8 Energy error comparison for the problem of the infinite plate with a circle hole图9 开孔平板问题的CPU时间比较Fig.9 CPU time comparison for the problem of the infinite plate with a circle hole4.3 含中心裂纹的无限大板考虑一无限大板,中心包含一长度为2a的直裂纹,在远端受单向拉应力σ作用,见图10.计算过程中,计算区域ABCD取为10 mm×10 mm,a=100 mm;E=300 MPa,v=0.3,σ =1 MPa;在计算区域内均匀分布20×20个节点.分别采用EFGM,FSMM,SSMM和NSSM求解该问题.图11为4种方法计算得到的裂纹前端应力与精确解[31]的比较.可以看出,FSMM,SSMM和NSSM的应力曲线呈现依次逼近解析解的特征,说明随着光滑区域数量的增加,光滑Galerkin无网格法的精度也随之提高;NSMM和EFGM的计算结果与解析解吻合得非常好.图10 含中心裂纹的无限大板的几何结构和载荷Fig.10 Geometry and loads of infinite plate with a center crack图11 裂纹前端(r>0,θ=0)应力比较Fig.11 Stresses comparison ahead of the crack tip(r>0,θ=0)for the near-tip crack4.4 双连拱隧道设有一双连拱形隧道,基本结构如图12所示.分别采用本文方法(NSMM)和EFGM,按照平面应变假设分析隧道围岩和衬砌在自重作用下的变形和应力分布.计算过程中,围岩及混凝土力学参数见表1;三角形背景网格划分见图13.将单元角点作为节点,共5145个背景单元,2729个节点.根据对称性,模型左侧边界上各点处x方向固定,y 方向自由,而在下边界上各点x方向自由,y方向固定.图12 双连拱隧道结构Fig.12 The structure sketch of twin-arched tunnel表1 材料参数性能Table 1 Parameters of material propertyMaterial typeE/GPa v Bulk density/(kN ·m−3)III type surrounding rock 2 0.25 22 surrounding rock of reinforced area 2.6 0.2 23 lining(C25) 28.5 0.2 25 shotcrete(C25) 28.5 0.2 23 backfilling concrete(C10) 18.5 0.2 22图13 三角形背景网格和边界条件Fig.13 Triangular background mesh and boundary conditions图14 第一主应力图Fig.14 The first principal stress图15 第二主应力Fig.15 The second principal stress图14和图15分别给出了由NSMM的计算结果绘制的第一、第二主应力云图.由图14可以看出,拱圈顶部附近、仰拱拱底附近、边墙和中墙基础底部都出现了较大的拉应力.从图15可以看出,几个形状突变较为明显的区域,由于应力集中导致了较大压应力的出现.图14和图15的结论与文献[32]的结论是一致的.NSMM与EFGM的计算结果十分接近,但EFGM的CPU用时为197.48 s,而本文方法仅为35.44 s,进一步说明本文方法具有极高的计算效率.5 结论EFGM是一种十分重要的无网格数值方法,但其计算效率低的问题长期困扰着研究工作者.本文基于广义梯度光滑技术,提出了光滑无网格Galerkin法,试图解决这一难题.本文方法的基本思想是利用MLS近似位移场函数,在两层嵌套光滑子域上计算最优光滑应变,基于GS-Galerkin弱形式推导了系统方程.两层嵌套网格由三角形背景积分网格以及连接三角形网格的3条边中点组成的4个三角形子网格构成.利用Richardson外推法,得到两层网格下对应的最优光滑应变.几个数值算例验证了本文方法的精度和计算效率.从这些数值结果可以看出,本文方法具有以下优势: (1)计算效率高.本文方法充分利用了光滑梯度技术,将区域积分转化为区域边界积分,完全避免了形成整体刚度矩阵时复杂形函数导数计算.因此,极大地提高了的计算效率.数值结果表明,在节点分布相同的情况下,NSMM比EFGM花费的计算时间要少的多.(2)计算精度高.FSMM类似SCNI,仅有线性精度:SSMM将FSMM的光滑区域细分为4个子区域,相当于引入了更多的积分取样点,因此SSMM比FSMM的精度更高:Richardson外推法又从理论上保证NSMM比FSMM和SSMM二者的精度更高.4个数值算例证明了NSMM具有几乎和EFGM相同的计算精度.(3)易于施加边界条件.本文方法在实现过程中,域内计算点采用MLS近似,而在域边界上的计算点则采用线性插值.一方面,本文方法可以自然满足线性分片试验;另一方面,边界条件的施加过程就和FEM一样了.这样,无网格边界条件施加困难的问题也就迎刃而解了.综上所述,本文提出的光滑Galerkin无网格法,既保持了无网格法的精度高的优势,又极大地减少了计算用时,同时也解决了施加边界条件的难题,具有十分广阔的发展空间.将本文方法进一步推广到结构动力学分析、大变形分析以及裂纹动态扩展等问题将是未来的研究方向.参考文献【相关文献】1 Belytschko T,Lu YY,Gu L.Element-free Galerkin methods.International Journal for Numerical Methods in Engineering,1994,37:229-2562 Belytschko T,Kronggauz Y,Organ D,et al.Meshless methods:An overview and recent putational Methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,139:3-473 Liu WK,Jun S,Zhang YF.Reproducing kernel particle methods.International Journal for Numerical Methods in Fluids,1995,20:1081-11064 Atluri SN,Shen SP.The Meshless Local 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无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用
第38卷第3期2021年6月Vol.38,No.3June2021计算力学学报Chinese JournM of ComputQtionM Meeh斸ticsDOI：10.7511棷1x2()21))1150()1无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用王莉华灣，刘义嘉，钟伟，钱志浩(同济大学航空航天与力学学院，上海200092)摘要：伽辽金型无网格法具有精度高、稳定性好的优点，但是实现高阶准确积分过程复杂，计算效率低暎配点型无网格法的计算效率高，但是其在求解复杂问题时往往会出现精度和稳定性较差的结果暎本文介绍一种新的无网格法-无网格稳定配点法，采用重构核近似作为近似函数，在规则子域内非常容易实现高阶准确积分，既保留了配点型无网格法效率高的特点，又具备伽辽金型无网格法精度高和稳定性好的特点，而且还兼具有限体积法满足局域离散方程守恒的特点。
通过弹性力学算例验证了该算法的优越性，未来可将其进一步应用于流体和流固耦合问题分析暎关键词：无网格稳定配点法；重构核近似；精度；稳定性；效率中图分类号：TU311.4；()343.1文献标志码：A文章编号：10074708(2()21)03-03()5-081引言无网格法［"］在数据输入时不需要提供单元连接信息，即节点之间不受网格结构限制，很大程度上节省了建模的时间和成本，而且可以在计算中根据需要改变节点的位置而不存在网格畸变问题，因此在大变形、高速碰撞、断裂破坏、金属成型以及微观粒子运动等复杂问题分析中具有明显优势，常应用到一些传统的数值计算方法(如有限元法和边界元法等)无法很好解决和尚未触及的领域。
常用的无网格法主要分为基于伽辽金法的弱形式和基于配点法的强形式两类。
伽辽金型无网格法主要包括扩散单元法dem［5］、无网格伽辽金法EFG［°］、重构核粒子法RKPM［7］、hp云团法［8］、单位分解法PUM［9］、无网格局部彼得洛夫-伽辽金法MLPG®］、径向点插值法RPIM［11］和光滑粒子伽辽金法SPG®］等。
无网格方法的研究应用与进展
第24卷第4期(总第109期)机械管理开发2009年8月Vol.24No．4(SUM No．109)MECHANICAL MANAGEMENT AND DEVELOPMENT Aug．20090引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
1无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin 方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
2无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20世纪70年代。
无网格法的研究发展及工程应用简述
法没有受到高度重视 。１７ ９７年 ， Ｌ ｃ 有 ｕｙ和 Ｇｎｏ ｉｇｌ 分别提 出了 ｄ等
基于拉格朗 日公式 的光滑质 点流体 动力学 （ Ｐ 法。经过 Ｊｈ— Ｓ Ｈ） ｏｎ
法 ， 仅消除 了张 力不 稳定 性 ， 保证 了计算 的精 确 性。Ｓ ｅｌ 不 还 ｗ ｇ ｅ 等提 出了保守光滑方法来解决 Ｓ Ｈ法 的张力 不稳定性 问题 。 Ｐ
． ＳＨ 时经常 由于 网格纠缠而导致求解 失败 ， 而且 局部应力 集 中等 现象 ２ １ 光 滑质 点流体 动 力 学法 （ Ｐ 法） 在通 常的分类 中 ，Ｐ Ｓ Ｈ法被 归为基 于 配点 法 的无 网格 法 Ｊ 。 的精细分析必须 进行 网格 细化并 反复迭代 求解 。这 使得 通 常的
物理的或数值 的） 都认 为集 中于这 些质点 上。它 的基础 引起 了国内外学者 的广泛关注 。无 网格法无需计 算 网格 ， 以避 统 的量 （ 可 理论是插值理论 ， 采用 近似 方法将 偏微 分方程 转换成 积分 方 程 ， 免大变形分析 网格 畸变而引起 的计算 困难 ， 使其在处 理移动 不连 续、 大变形 、 高梯度 问题等 方面 比基 于 网格 的近似方 法具 有特 殊 然后 用质点 近似方 法将连 续形式 的积分方 程转换成 离散形 式 的
．
４ ． ４
第３ ７卷 第 ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨｎ ＥＣＴＵＲＥ
Ｖｏ ｜ ７ Ｎｏ． ６ ｌ３ ２ Ｓｅ ２ ｐ． ０１１
文章编号 ：０ ９ ６ ２ （０ ）６ ０ ４ —２ １０ — ８ ５ ２ １ ２ —０ ４０ １
的优越性 。 方程 。
１ 无 网格 法的研 究发 展历 史 …
对无 网格法 的研究可 以追溯到 ２ Ｏ世纪 ７ ０年代初对非规 则网 格有限差分法 的研 究 ， 由于当时有 限元 法 的巨大成 功 ， 但 这类方
无网格迦辽金法及其在固体力学中的应用
元的存在 ， 其存在许 多 固有 缺陷…． 使 在有 限单
元 法 思 想 的 基 础 上 ， 网 格 方 法 （ ｓ ｒｅ 无 Ｍｅｈ Ｆｅ
通常具有高阶连续性 ， 从而提高 了对应力场的求 解精度 ， 省去了大量 的后处理过程． 本文主要研究 无网格伽辽金法并将其运用于固体力学中．
ｏ ｕ ｉ ｓ ｉ ｌｔ ｘ ｅ ｍｅ ｔｌ ｓ ｌ ｓ ｏ ｔ Ｇ ｔ ｄ ｉ ａｒ ｏ ｄ ｔ ｈ ｎ ｌ ｒ ｂ ｅ ｎ ｓ ｌ ｔ ｎ ．Ｓ ｍｕ ａｉｎ ｅ ｐ ｒ ｎ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｔ ａ Ｆ ｍｅ ｏ ｓｆｉ ｙ ｇ ｏ ａ ｄ ｅｐ ｏ ｌｍｓｉ ｏ ｏ ｉ ｒ ｓ ｈ Ｅ ｈ ｌ ｏ ｓ ｌ ｃ ａ ｉｓ ｏ ｉ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ． ｄ Ｋｅ ｒ ｓ ｍｅ ｈ ｆ ｅ ｍｅ ｏ ；ＭＬ ｔ ｏ Ｅ Ｇ ｔ ｏ ； ａ ｔ ｅ ｅ ； ｏｉ ｃ ａ ｉ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ — ｅ ｔｄ ｒ ｈ Ｓ ｍｅ ｈ ｄ； Ｆ ｍｅ ｄ ｃ ｎ ｉ ｖ ｒ ｓ ｌ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｈ ｌ ｄ
２ 世纪 ５ Ｏ Ｏ年代 以来 ， 限元法 已经 成为工 有 程 分 析 和计 算 中不 可 缺少 的最 重 要 的工 具 之一 ，
目前 人们 已经 成 功 开 发 了 大 量 的有 限 元 商 业 软 件 ， 在工 程分 析 中得到 了广泛 应用 ． 而 由于单 并 然
过离散的节点构造近似场 函数． 节点之 间不受单 元的约束 ， 相互独立 ， 这使得无 网格法在解决涉及
Ｍ ｔ ｄ 舍弃了限制有限单元法发展的单元 ， ｅ ｏ） ｈ 只通
题解有限元法和无网格伽辽金法
其 中 ， 函数 ： 形
“ ） Ｊ （ １专一 ｚ ｌ
（ ） ＝
（ １ ）
（） ２
小二乘法可得待定系数向量 ：
ａ ） （ ＝Ａ Ｉ （２Ｂ（ ） １ ３） “ （） ３
近似函数 ： ຫໍສະໝຸດ “（ ≈ “ （ ） ） ＝Ｎ （ “ ）
（） ４
２ 结构 体离 散
无 网格法基 于节点 对结 构体进行离散 ， 而有限元法基于单元 对结构体进行离散 。这样 的差别 使得 无 网格 法对结 构体进 行 离 散的时候更加灵活 ， 在处理 大变形 、 力变化 剧烈 的问题 上具有 应
有 限元 法 （ ｉｉ ｌ ｎ Ｍｅｈｄ Ｆ Ｍ）１ ｊ 工 程 数 值 分 析 Ｆｎｔ Ｅｅ ｔ ｔｏ ， Ｆ Ｉ０为 ｅ ｍｅ － 速撞 击 、 态 裂 纹 扩展 等涉 及 特 大变 形 的 问 题 时遇 到 了 因 网格 畸 动 变 而产 生 的 困难 。而 无 网格 法 （ ｓ ｅｓＭｅｈ ， Ｍ ） ］ 处 ＭｅｈＬ ｓ ｔｏ ＭＬ ［ 在 ｄ ３ 理 大 变形 或 网格 畸 变 等 问题 时 具 有 明 显 的 优 势 。 目前 已 经 提 出 了十余种 ＭＬ 常用的主要有广义有限差分法ｌ 、 Ｍ， ４ 光滑质点流体 ｊ 动力 学 法 ］Ｅ Ｇ Ｅ 。Ｅ Ｇ 是 ＭＬ 中较 为 成 熟 的方 法 ， Ｆ Ｍ 等 ＦＭ Ｍ 文
优势 。
其 中， ３） ） （ Ｂ（ Ｎ（２ ＝Ｐ （ Ａ ｘ） ｘ）
Ａ（２ ， ． 分 别 为 ： ３）Ｂ（２ ７ ）
（） ５
Ａｚ ＝∑叫（）（， Ｔ ｆ （） ， Ｐ ） （ ） Ｐ
（ ６ ）
Ｂ（ ） ｕｌ Ｐ（ ） ２ ） ｘ ）… ， ，（ Ｐ（ ） （ ） ＝［ ・ ） １ ． （ Ｐ（ ２ ， ｕ ） ］７ ｒ （ ２ 有 限元法 。图 ２中求解域 ｎ 被 离散 成 Ｎ 一１个相互 连接 ） 的单元 ， 假设待求位移场 函数 “ ） （ 在求解域 ｎ 中的 Ｎ 个节点 ，
无网格——精选推荐
第一章绪论计算流体力学的发展现状计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是现代流体力学中的一个重要学科分支。
作为一门多学科交叉融合而形成的新兴学科，它是流体力学、计算数学和计算机科学相结合的产物。
随着计算机性能的飞速提高以及数值计算方法的不断发展，计算流体力学技术正在逐渐走向成熟。
计算流体力学经历了数值求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程、Euler方程和Navier-Stokes方程等发展阶段。
20世纪80年代以前，由于受到计算机技术的限制，计算流体力学的数值模拟主要以求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程为主，其中有代表性的是基于拉普拉斯方程的面源法以及有限差分法求解小扰动速势方程和全速势方程。
在随后的二十多年中，在计算机技术发展的推动和广大计算流体力学工作者的努力下，计算流体力学在求解Euler方程和Navier-Stokes方程以及数值模拟复杂流场方面都取得了重大突破。
在此期间，计算流体力学数值模拟的方法以有限差分法、有限体积法、有限元法为主。
随着诸如TVD格式、ENO格式、NND格式等高阶精度、高分辨率差分格式的提出，计算流体力学对激波、漩涡等复杂问题的模拟能力也有了很大的提高。
目前，计算流体力学工作者正致力于研究和发展更高精度(二阶以上)的计算格式和方法，以适应更精细、更复杂的流动研究和设计的需要。
计算流体力学研究的一个重要分支是计算网格的生成技术，它是计算流体力学走向工程实用阶段所必须面临的关键技术之一。
一般来讲，适合工程使用的网格生成技术应该具备以下特点:(1) 网格生成过程直观明了、简单易行、效率高、自动化程度好。
(2) 通用性、普适性好，对复杂外形、复杂流动的适应能力强。
(3) 网格几何灵活性好，尺度变化易于控制，网格自适应加密简便易行。
目前，已经成熟并走向工程实用中的计算网格有结构网格、非结构网格以及结构非结构的混合网格。
在结构网格方面，出现了代数生成网格法、解微分方程生成网格法、保角变换法等多种网格生成方法，网格类型也由单一的C型网格、0型网格、H型网格发展到嵌套网格和多块对接网格等。
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无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
王难烂 武汉科技大学理学院 ， 湖北武汉 430065 摘 要 随着我国计算力学的快速发展 ， 无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法 ， 已经得到了 诸多学者的关注 ， 诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理 ， 同时将其应用于尖端 裂纹应力计算 ， 对其核心问题加以研究 ， 包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。 关 键 词 固体力学 ； 无网格 ； 最小二乘 ； 基函数 中图分类号 O302 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进 ， 在计算力学领域中 ， 无 网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生 命力 ， 摆脱了网格单元 ， 仅需详细的节点信息 ， 因此 ， 在工程 应用中倍受青睐 ， 特别是无网格方法可以以精度高、处理过程 简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是 ， 无网格 方法还只是在研究阶段 ， 渴望得到更大更深层次的研究。发展 比较早的边界元法和有限元法等数值方法 ， 虽然技术已经相对 成熟 ， 拥有了自己的商用软件 ， 但是在处理诸如形状优化问题、 非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心 ， 困难多多。 当前已经研发出一部分的网格自动生成器 ， 但是在处理复 杂的几何模型时 ， 计算成本投入非常昂贵 ， 使用的普及率低。 为了降低投入成本 ， 人们希望研究出一种脱离网格单元的数值 方法 ， 在探索研究的过程中 ， 无网格方法应运而生。无网格方 法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据 笔者多年的研究经验 ， 简单论述了无网格方法的成长史 ， 并详 细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法 ， 为无网 格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
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1 无网格伽辽金方法
最近几年出现了一种和有限元法及其相近的一种数值方 法， 它就是无网格伽辽金法 [1]。这种方法拥有后处理简单易行、 精度高、收敛快、能够消除体积闭锁现象等优势。无网格伽辽 金法在构造形函数中使用了移动最小二乘法 ， 并在能量泛函的 弱变形式中得出控制方程 ， 同时沿用了拉式乘子以达到其本证 但是 条件 ， 最终得出偏微分方程的数值解 [2]。虽然优势多多 ， 还存在比较明显的缺点， 例如无网格伽辽金法不便于求解方程， 求解速度慢 ， 耗费的时间长等。需要强点的一点是 ， 无网格伽 辽金法不是一个完全的无网格 ， 他的位移函数虽然已经摆脱了 网格 ， 但是如果达到实现区域积分还是要依靠背景网格 [3]。为 了有效的解决这个问题 ， 面向对象的无网格伽辽金法由此被提 出。面向对象的无网格伽辽金法使用了 Schmidt 法 ， 此方法可 以帮助无网格伽辽金法形函数的基函数实现正交化 ， 在提高了 计算精度的同时也省去了形函数中矩阵求逆运算 ， 发挥了一举 两得的作用。
与扩展前的线性基函数相比 ， 并没有增加未知节点量 ， 同 时该方法的优点是大大的增加了基函数的项数 ， 因此大大增加 了最小二乘近似中的矩阵规模 ， 也即是增加了最小二乘的求解 时间 ， 同时 ， 由于增加了基函数的项数 ， 为了保证矩阵的非奇 异性 ， 处理混合型裂纹时 ， 还需要添加其他的相关函数项。 2.2 无网格法处理不连续域的方法 在实际应用中 ， 由于会遇到一些不连续的域 ， 尤其是在裂 纹两侧的位移场 ， 同时无网格伽辽金方法在构造形函数时 ， 是 基于求解域覆盖的节点而生成的 ， 因此 ， 无网格伽辽金方法在 计算裂纹体应力场的关键问题是解决裂纹对积分点的支持域的 连续性 ， 当前 ， 人们通常使用的解决方法分别是衍射准则、可 视准则和透视准则。 透视准则和衍射准则本质上基于同样的原理 ， 考虑裂纹的 隔离作用 ， 因此在计算时增加节点的权函数域半径 ， 衍射准则 的增加方法是 :
2 无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
目前 ， 无网格伽辽金法已经在固体力学应用广泛 ， 本文基 于笔者多年的经验 ， 详细的研究了无网格伽辽金法在计算裂纹 问题时的应用原理。 2.1 引入扩展基函数的移动最小二乘近似 根据断裂力学可以得到裂纹尖端的应力场具有
1 r
透视准则的增加方法是 : λ （4） sc (x) + s0 (x) dl =d ml s− c
s +s (x) dl = 1 2 s0 (x) （3） s0 (通常为 1 和 2， 参数 dml 表示 节点的影响域半径。可视准则引入了不真实的连续性 ， 因此在 这里就不做介绍。
3 结论
的奇异 随着计算力学的快速发展 ， 在未来时间内 ， 无网格方法必 将得到更多的关注 ， 尤其是无网格伽辽金方法 ， 在固体力学计
基函数的移动最小二乘模拟该奇异性时非常困难 ， 同时 ， 由于 最小二乘的基函数可以使用各种类型的函数 ， 最小二乘近似可 以精确的重构包含在基函数中的任一项 ， 因此 ， 把 r 作为基 函数引入最小二乘近似中 ， 可以大幅度提高计算精度 ， 另外 ， 同理 ， 在最小 应力分布和裂纹尖端的位移是角 θ 的目的函数 ， 此时可以将基函数分为完全 二乘近似中引入角 θ 的目的函数 ， 扩展基函数和部分扩展基函数 [4]。 所谓部分扩展基函数是将线性基函数扩展改写为 :
P T ( x )=[1,x,y] （1）
-
由于裂纹尖端的应力场是和角度有关系的连续函数 ， 并且 在径向上时奇异的 ， 因此可以使用部分扩展基函数。 所谓完全基函数是为位移函数空间的所有函数引入基函 数， 此时就可以将线性基函数 P T ( x )=[1,x,y] 改写为 :
P T ( x )=[1,x,y, r cos , r sin , r sin sin θ , r cos sin θ ] （2） 2 2 2 2