无网格法大作业
二、利用伽辽金无网格法实现悬臂梁弯曲问题
算例描述：悬臂梁自由度受集中力作用如图1所示，编写2D FEGM程序计算位移、应变、应力。
梁的尺寸：𝐿 = 42𝑚, D = 12𝑚, 厚度默认为1m;
弹性常数：E = 30MPa, ν = 0.3;
不考虑梁的自重，在自由端施加的集中载荷为P = -1000 N;
图1自由端受集中力作用的悬臂梁
弹性力学解析解
x方向位移：22(,)[(63)(2)(+)(]642PyDDuxyLxxyDyEI
y方向位移：222(,)[3()(45)(3)]64PDxvxyyLxLxxEI
梁截面的法向应力：()(,)xxPLxyxyI
y方向正应力：0yy 梁截面剪应力：22(,)()24xyPDxyyI
应变能：14.452TEDd
1、 节点间距收敛性分析
为研究节点间距对计算结果的影响，考虑如下5种等间距节点分布情况：
3X3(轴向X竖向)、6X3、11X3、11X5、11X7。依次增加轴向和竖向的节点数，考察应变能残量和悬臂梁中心轴y=0的计算位移的收敛性，以及某一梁截面(x=23.667)的计算应力收敛性。此部分程序与相应结果见附录1。 不同节点网格数目对能量误差范数的影响
不同节点数目计算得到中心轴y=0的梁的位移与解析解比较 0102030405060708000.10.20.30.40.50.60.70.80.9场节点数目能量误差范数05101520253035404550-9-8-7-6-5-4-3-2-101x 10-3x位移3X3场节点6X3场节点11X3场节点11X5场节点11X7场节点解析解 不同节点数目计算得到x=23.667的截面法向应力与解析解比较
不同节点数目计算得到x=23.667的截面剪应力与解析解比较
从上述结果可以发现，随着节点数的增加，FEGM计算收敛于解析解。考虑应变能和位移以及应力的收敛性可以发现，节点数从3X3增加至6X3，应变能残量迅-6-4-20246-1500-1000-500050010001500ystress(xx)3X3场节点6X3场节点11X3场节点11X5场节点11X7场节点解析解-6-4-20246-140-120-100-80-60-40-200204060ystress(xy)3X3场节点6X3场节点11X3场节点11X5场节点11X7场节点解析解速减小，中心轴位移迅速向解析解逼近，截面正应力始终非常接近于解析解，而截面剪应力则不然，虽然有向解析解逼近的趋势，但是与解析解相距仍甚远。节点数进一步增加至11X3，发现不管是应变能残量还是截面应力都没有明显进一步收敛至解析解，究其原因是仅增加轴向节点数，导致不能进一步精确的描述截面剪应力。当增加竖向节点数后，可以发现截面剪应力迅速逼近解析解，从而应变能残量随之减小，再进一步增加竖向节点数，不管是位移还是应力已基本没有太大变化，且与解析解吻合很好。
2、 高斯积分点数的影响
为了探讨不同高斯积分点对计算结果的影响，分别进行2、3、4、5、6积分点的高斯积分与解析解比较，此时固定场节点为11X5。计算的实现通过调整子程序pguass的参数。此部分程序与相应结果见附录1。
不同高斯积分点数目对能量误差范数的影响 234560.020.0250.030.0350.04高斯积分点数能量误差范数 不同高斯积分点数目计算的梁中心轴的位移与解析解间的关系
不同高斯积分点数目计算的梁x=24截面法向应力与解析解间的关系
05101520253035404550-9-8-7-6-5-4-3-2-101x 10-3x位移2高斯点3高斯点4高斯点5高斯点6高斯点解析解-6-4-20246-1000-800-600-400-20002004006008001000ynodes-stress(xx)2高斯点3高斯点4高斯点5高斯点6高斯点解析解 不同高斯积分点数目计算的梁x=24截面法向应力与解析解间的关系
通过改变高斯积分点数目的计算结果可以发现，高斯积分点数为2、3、4、5、6的计算结果差异很小，且与解析解吻合很好。说明当高斯积分点数不小与2时，增加高斯积分点数对自由端受集中载荷悬臂梁计算问题影响甚小，2点高斯积分已足够精确。
3、 使用罚函数方式施加边界条件，并于原拉氏乘子法比较
罚函数法介绍
将位移边界条件引入伽辽金弱形式
()()0tTTTuufdutd
()()()0uTpuuuuud
式中α为罚系数，一般取为103E~107E，E为弹性模量。
则得系统总体的离散方程：
()uuppTpTpKKdPPKNNdPNud
根据上述理论修改原主程序(见附录1 gbmm2Dpf)，此时仍保持场节点数位11X4，四点高斯积分，罚系数α取103E。此部分程序与结果见附录1。 -6-4-20246-140-120-100-80-60-40-200ynode-stress(xy)2高斯点3高斯点4高斯点5高斯点6高斯点解析解 拉氏乘子法和罚函数法计算的中心轴位移与解析解的比较
拉氏乘子法和罚函数法计算的x=24梁截面法向应力与解析解的比较
05101520253035404550-9-8-7-6-5-4-3-2-101x 10-3x位移拉氏乘子法罚函数法解析解-6-4-20246-1000-500050010001500ynode-stress(xx)拉氏乘子法罚函数法解析解 拉氏乘子法和罚函数法计算的x=24梁截面剪应力与解析解的比较
同时计算两种方法的能量误差范数分别为0.0289、0.1009，可以发现在此情况下拉氏乘子法比罚函数法结果更好。而且从两种方法所得的悬臂梁中心轴位移也可以发现拉氏乘子法计算的位移更接近解析解，从x=24的梁截面应力计算结果并不能判断哪种方法更逼近解析解，但是能量误差范数的结果反映出拉氏乘子法具有更好的精度。由于罚函数法的罚系数可以变化，所以取不同的罚系数有可能得到更好的结果。 -6-4-20246-140-120-100-80-60-40-200ynode-stress(xy)拉氏乘子法罚函数法解析解
无网格法的研究发展及工程应用简述
第３７卷第２６期 ．４４． ２ ０ １ １年９月 山 西 建 筑 ＳＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨｎＥＣＴＵＲＥ Ｖｏｌ｜３７ Ｎｏ．２６ Ｓｅｐ． ２０１１
文章编号：１００９—６８２５（２０１ １）２６—００４４—０２
无网格法的研究发展及工程应用简述
陈晓珞
摘要：对无网格法的研究发展历史进行了简要介绍，并着重评述了三种主要无网格法的基本原理及其在工程领域的应 用，最后就无网格法的发展前景进行了展望，以期指导实践。 关键词：无网格法，光滑质点流体动力学法，无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ法，再生核质点法 中图分类号：ＴＵ３１１．４ 文献标识码：Ａ
０ 引言
大量复杂的工程实际问题为计算力学提出了许多迫切需要
解决的难题。传统的依赖于网格的有限元法在处理大变形问题 时经常由于网格纠缠而导致求解失败，而且局部应力集中等现象
的精细分析必须进行网格细化并反复迭代求解。这使得通常的 有限元在处理这一类问题时不仅要花费大量的时间，而且求解过
程非常繁琐且计算精度较差。基于上述原因，无网格法近几年来 引起了国内外学者的广泛关注。无网格法无需计算网格，可以避 免大变形分析网格畸变而引起的计算困难，使其在处理移动不连
续、大变形、高梯度问题等方面比基于网格的近似方法具有特殊 的优越性。
１ 无网格法的研究发展历史…
对无网格法的研究可以追溯到２Ｏ世纪７０年代初对非规则网
格有限差分法的研究，但由于当时有限元法的巨大成功，这类方 法没有受到高度重视。１９７７年，有Ｌｕｃｙ和Ｇｉｎｇｏｌｄ等分别提出了
基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力学（ＳＰＨ）法。经过Ｊｏｈｎ— ｓｏｎ，Ｓｗｅｇｌｅ等的改进，ＳＰＨ法的精度有所提高，并且改进了其稳定
性。１９９４年Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ在修正了模糊单元法（ＤＥＭ）的基础上提 出了无网格Ｇａｌｅｒｋｉｎ法（ＥＦＧ）。１９９５年，Ｌｉｕ等根据函数积分变 换的思想，基于Ｇａｌｅｒｋｉｎ法提出了再生核质点法（ＲＫＰＭ），随后结
无网格——精选推荐
第一章绪论
计算流体力学的发展现状
计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是现代流体力学中的一个重
要学科分支。作为一门多学科交叉融合而形成的新兴学科，它是流体力学、计算
数学和计算机科学相结合的产物。随着计算机性能的飞速提高以及数值计算方法
的不断发展，计算流体力学技术正在逐渐走向成熟。
计算流体力学经历了数值求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程、
Euler方程和Navier-Stokes方程等发展阶段。20世纪80年代以前，由于受到计算
机技术的限制，计算流体力学的数值模拟主要以求解拉普拉斯方程、小扰动速势
方程、全速势方程为主，其中有代表性的是基于拉普拉斯方程的面源法以及有限
差分法求解小扰动速势方程和全速势方程。在随后的二十多年中，在计算机技术
发展的推动和广大计算流体力学工作者的努力下，计算流体力学在求解Euler方
程和Navier-Stokes方程以及数值模拟复杂流场方面都取得了重大突破。在此期
间，计算流体力学数值模拟的方法以有限差分法、有限体积法、有限元法为主。
随着诸如TVD格式、ENO格式、NND格式等高阶精度、高分辨率差分格式的提出，
计算流体力学对激波、漩涡等复杂问题的模拟能力也有了很大的提高。目前，计
算流体力学工作者正致力于研究和发展更高精度(二阶以上)的计算格式和方法，
以适应更精细、更复杂的流动研究和设计的需要。
计算流体力学研究的一个重要分支是计算网格的生成技术，它是计算流体力
学走向工程实用阶段所必须面临的关键技术之一。一般来讲，适合工程使用的网
格生成技术应该具备以下特点:
(1) 网格生成过程直观明了、简单易行、效率高、自动化程度好。
(2) 通用性 、普适性好，对复杂外形、复杂流动的适应能力强。
(3) 网格几何灵活性好，尺度变化易于控制，网格自适应加密简便易行。
目前，已经成熟并走向工程实用中的计算网格有结构网格、非结构网格以及
结构非结构的混合网格。在结构网格方面，出现了代数生成网格法、解微分方程
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
龙源期刊网
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
作者：王难烂
来源：《科技传播》2013年第01期
摘要 随着我国计算力学的快速发展，无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法，已经得到了诸多学者的关注，诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理，同时将其应用于尖端裂纹应力计算，对其核心问题加以研究，包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。
关键词 固体力学；无网格；最小二乘；基函数
中图分类号O302 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进，在计算力学领域中，无网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生命力，摆脱了网格单元，仅需详细的节点信息，因此，在工程应用中倍受青睐，特别是无网格方法可以以精度高、处理过程简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是，无网格方法还只是在研究阶段，渴望得到更大更深层次的研究。发展比较早的边界元法和有限元法等数值方法，虽然技术已经相对成熟，拥有了自己的商用软件，但是在处理诸如形状优化问题、非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心，困难多多。
当前已经研发出一部分的网格自动生成器，但是在处理复杂的几何模型时，计算成本投入非常昂贵，使用的普及率低。为了降低投入成本，人们希望研究出一种脱离网格单元的数值方法，在探索研究的过程中，无网格方法应运而生。无网格方法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据笔者多年的研究经验，简单论述了无网格方法的成长史，并详细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法，为无网格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
1 无网格伽辽金方法
最近几年出现了一种和有限元法及其相近的一种数值方法，它就是无网格伽辽金法[1]。这种方法拥有后处理简单易行、精度高、收敛快、能够消除体积闭锁现象等优势。无网格伽辽金法在构造形函数中使用了移动最小二乘法，并在能量泛函的弱变形式中得出控制方程，同时沿用了拉式乘子以达到其本证条件，最终得出偏微分方程的数值解[2]。虽然优势多多，但是还存在比较明显的缺点，例如无网格伽辽金法不便于求解方程，求解速度慢，耗费的时间长等。需要强点的一点是，无网格伽辽金法不是一个完全的无网格，他的位移函数虽然已经摆脱了网格，但是如果达到实现区域积分还是要依靠背景网格[3]。为了有效的解决这个问题，面向对象的无网格伽辽金法由此被提出。面向对象的无网格伽辽金法使用了Schmidt 法，此方龙源期刊网
有限元大作业
有限元大作业
第一篇：有限元大作业
有限元应力分析报告大作业
机械与运载工程学院
车辆四班 龙恒 20110402415 2014年8月30日
一、问题描述
桦木板凳材料参数如图
形状参数：长40mm，宽30mm，高45mm（其他详细参数见零件图）
通过施加垂直于板凳上表面的均匀载荷600N，分析板凳的应变和应力？
二、使用inventor进行建模及应力分析
1、通过inventor建立板凳3D模型
利用草图拉伸等方法建立与零件图中尺寸一致的三维立体板凳模型
2、点选环境下的应力分析开始对板凳进行应力分析
3、根据所给条件设置材料等参数、将安全系数设为屈服强度，因为板凳主要受压变形
点开“木材（桦木）”根据前面所给参数对其进行参数设置
4、固定约束
如图板凳的4个脚底面设置为固定约束，使得板凳受载后，脚底面不会沿垂直方向位移，模拟真实情况
5、施加载荷
在板凳上表面施加大小为600N的垂直均布载荷（这里是模拟一个成人坐上去的重力）
6、划分网格
通过设置网格的尺寸参数来划分出5种不同网格数量，从而得出5种不同网格数划分得出的应力应变分布图，最后分析划分不同网格数对结果的影响。（1）网格最大 （2）网格较大
（3）网格一般大小
（4）网格较小
（5）网格最小
7、求解得出结果
得出5组不同网格数所得数据（应力云图，应变云图，所有结果数据）（1）网格数1437
根据应力云图可知，红色地方所受的应力最大，最大应力为：15.48Mpa 根据应变云图可知，红色地方的应变最大，最大应变为：0.001434μl
（2）网格数8651
根据应力云图可知，红色地方所受的应力最大，最大应力为：18.88Mpa 根据应变云图可知，红色地方的应变最大，最大应变为：0.001755μl
（3）网格数20484
根据应力云图可知，红色地方所受的应力最大，最大应力为：22.62Mpa 根据应变云图可知，红色地方的应变最大，最大应变为：0.002103μl
弹性力学问题的无网格方法
２００２年２月 第３２卷第１期 山东工业太学学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＮＡＮＥＯＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＴＤ口 ０Ｌ０ＧＹ Ｖ０－＿３２ Ｎｏ １ Ｆ幽 ２呻２
弹性力学问题的无网格方法
王卫东赵国群栾贻国 （２５００６１ 山东省济南市 山东大学模具工程技术研究中Ｉ心）
摘要采用移动最小二乘近似方法，给出了场变量的近似表迭形式．利用修正的变分原理，给出了一 种易于实施的求解弹性力学问题的无网格方法．对权函数及其参数的选取进行了有益的探讨算倒验证了 方法的可行性，数值计算结果与解析解非常接近 关键词 变分原理；弹性力学／无网格方法；移动最小二乘近似 中图分类号０２４２；Ｏ３４３文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—５３２３（２００２）０ｌ一００５２—０５
ＥＬＥＭＥＮＴ．ＦＲＥＥ 旺门１ｌ｜０Ｄ Ｆ０Ｒ ＥＬＡＳＴＩＣ ［ＥＣＨＮＩＣＳ ＰＲ０ＢＬＥＭＳ
ＷＡＮＧ Ｗｅｉ‘。ｄｏｎｇ ＺＨＡＯ Ｇｕｏ——ｑｕｎ ＬＵＡＮ Ｙｉ——ｇｕｏ （ＥＲＣ ｆｏｒ Ｍｏｕｌｄ＆Ｄｉｅ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖ．，Ｊｉｎａｎ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，２５００６１，Ｃｈｉｎａ）
ＡＢＳⅡ ｌ￡Ｔ １＿ｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ｍｏｖｉｎｇ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ａ ｐｒａｃ— ｔｉｃａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ—－ｆｒｅｅ ｍｅｔｌ￣ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｌ￣ａ［ｐｒｉｎ— ｃｉｐｌｅ．Ａ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｓｔｕｄｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｗｅ：ｉｇｈｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｒａｄｉｕｓ Ａｎ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｒｅｖｅａｌｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｉｎ ｇｏｏｄ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｔｈａｔ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｔｈｃＫｋｓ． ＫＥＹ ＷＯＲＤＳ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；Ｅｌａｓｔｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ／Ｅｌｅｍｅｎｔ—ｆｒｅｅ ｍｅｔｈｏｄ；Ｍｏｖｉｎｇ［ｅａｓｔ．ｓｑｕａｒｅｓ ａｐ— ｐｍｘｌｍａｔｉｏｎ
无网格法,会是CAE未来的发展趋势吗？
无网格法，会是CAE未来的发展趋势吗？
由于传统的基于网格的算法，存在形成网格时的计算成本高、应力精度低、自适应分析困难、对某些问题分析的局限性（如冲压变形等大变形问题、裂纹扩展问题、流固耦合问题、爆炸问题）等问题，而无网格法可以避开网格重构，有效解决网格算法难以分析的数值模拟问题，因此，无网格法越来越受到人们的重视。
无网格法的前生今世
随着计算技术和计算机计算水平的不断提高，数值模拟方法逐渐应用到了力学的各个领域。网格离散法，包括有限元、有限差分、有限体积等方法，作为出现较早的数值模拟方法，广泛地应用到了力学的相关计算中。
但是，网格数值模拟方法并非完美无缺，也存在一些难以解决的问题。例如在流体力学模拟中，由于流体力学模拟是个复杂的过程，存在极端变形、自由液面以及物质运动交界面等问题，在应用网格数值模拟时，会出现网格扭曲导致计算不收敛或者产生很大的计算误差；再如在模拟大变形问题时，包括高速碰撞、水底爆炸现象、裂纹动态扩展、流固耦合以及金属冲压成型等，用网格数值模拟方法也不能得到理想效果。无网格法正是在这些背景下发展起来的。
基于无网格Galerkin法锻造模型
无网格法 (Meshless Method or Mesh-Free Method) 最早出现于19世纪70年代，这时候发展较为缓慢。1977年，Lucy L B、Gingold R A等人首次提出了光滑质点流体动力学方法 (SPH)，并将该方法成功应用于天体物理的领域中。1981年，Lancaster较为系统地研究了移动最小二乘法。
无网格法——基于SPH算法的案例
20世纪90年代，国际计算力学界掀起了无网格法的研究热潮，涌现了10余种无网格方法，主要包括：辐射元法 (DEM)、无网格Galerkin法 (EFG)、重构核粒子法 (RKPM)、有限点法 (FPM)、Hp云团法 (Hp clouds)、径向基函数法 (RBF)、无网格局部Petrov Galerkin法 (MLPG)、单元分解法
无网格法的应用
无网格法的应用
无网格方法的研究应用与进展
引言
有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA 是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
无网格方法的概述
无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds 无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
无网格方法国内外研究的进展 无网格法起源于20 世纪70 年代。Perrone，Kao 最早采用任意网格技术将传统有限差分进行扩展，提出了有限差分法，这可看作无网格技术的最初萌芽。
有限元、边界元、无网格法的比较
1 首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数
的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：
1、网格划分
有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结
构。单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时
间。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，
因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格
来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。节点的生成可完全由计算机自
动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行
重新划分。几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的
任意一点可由近似函数插值。
(a) 有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替 (b)无网格法中光滑边界由节点替代
图1 网格-节点示意图
2、形函数的产生：
有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是
形函数的构造。有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连
续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。形
函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。
无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有
不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理
过程。
3、边界条件
有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边
界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。
无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格
法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本
质边界条件的精确实现造成困难。，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方
法。
2 4、系统离散方案
有限元法是建立在虚功原理上的。若给出控制微分方程，对于固体结构或流
无网格法大作业
二、利用伽辽金无网格法实现悬臂梁弯曲问题
算例描述：悬臂梁自由度受集中力作用如图1所示，编写2D FEGM程序计算位移、应变、应力。
梁的尺寸：𝐿 = 42𝑚, D = 12𝑚, 厚度默认为1m;
弹性常数：E = 30MPa, ν = 0.3;
不考虑梁的自重，在自由端施加的集中载荷为P = -1000 N;
图1自由端受集中力作用的悬臂梁
弹性力学解析解
x方向位移：22(,)[(63)(2)(+)(]642PyDDuxyLxxyDyEI
y方向位移：222(,)[3()(45)(3)]64PDxvxyyLxLxxEI
梁截面的法向应力：()(,)xxPLxyxyI
y方向正应力：0yy 梁截面剪应力：22(,)()24xyPDxyyI
应变能：14.452TEDd
1、 节点间距收敛性分析
为研究节点间距对计算结果的影响，考虑如下5种等间距节点分布情况：
3X3(轴向X竖向)、6X3、11X3、11X5、11X7。依次增加轴向和竖向的节点数，考察应变能残量和悬臂梁中心轴y=0的计算位移的收敛性，以及某一梁截面(x=23.667)的计算应力收敛性。此部分程序与相应结果见附录1。 不同节点网格数目对能量误差范数的影响
不同节点数目计算得到中心轴y=0的梁的位移与解析解比较 0102030405060708000.10.20.30.40.50.60.70.80.9场节点数目能量误差范数05101520253035404550-9-8-7-6-5-4-3-2-101x 10-3x位移3X3场节点6X3场节点11X3场节点11X5场节点11X7场节点解析解 不同节点数目计算得到x=23.667的截面法向应力与解析解比较
不同节点数目计算得到x=23.667的截面剪应力与解析解比较
从上述结果可以发现，随着节点数的增加，FEGM计算收敛于解析解。考虑应变能和位移以及应力的收敛性可以发现，节点数从3X3增加至6X3，应变能残量迅-6-4-20246-1500-1000-500050010001500ystress(xx)3X3场节点6X3场节点11X3场节点11X5场节点11X7场节点解析解-6-4-20246-140-120-100-80-60-40-200204060ystress(xy)3X3场节点6X3场节点11X3场节点11X5场节点11X7场节点解析解速减小，中心轴位移迅速向解析解逼近，截面正应力始终非常接近于解析解，而截面剪应力则不然，虽然有向解析解逼近的趋势，但是与解析解相距仍甚远。节点数进一步增加至11X3，发现不管是应变能残量还是截面应力都没有明显进一步收敛至解析解，究其原因是仅增加轴向节点数，导致不能进一步精确的描述截面剪应力。当增加竖向节点数后，可以发现截面剪应力迅速逼近解析解，从而应变能残量随之减小，再进一步增加竖向节点数，不管是位移还是应力已基本没有太大变化，且与解析解吻合很好。
无网格法和有限元法的比较
收稿日期:2006-08-15作者简介:胡玮军,女,邵阳学院机械与能源工程系,讲师,硕士研究生。文章编号:1001-4179(2007)02-0128-03
无网格法和有限元法的比较
胡玮军
(邵阳学院机械与能源工程系,湖南邵阳422004)
摘要:无网格法是在有限元的基础上发展起来的新的数值方法,在处理大变形或网格畸变等问题时具有明显的优势。有限元法的形函数和离散系统方程是建立在网格上的,而无网格法在问题域中采用一系列分散节点来建立场变量插值,形函数定义于全域,随插值节点的移动而变化,故无网格法具有更高的计算精度,前处理工作量大大减少,无需后处理过程。由于无网格法中系统刚度矩阵较大,因此需要更多的CPU计算时间。关键词:有限元法;无网格法;比较;数值方法中图分类号:O241文献标识码:A
1概述有限元法(FiniteElementMethod)是基于网格的数值方法,它通用、灵活并被作为一种工业标准广泛遵循,但其在分析涉及特大变形(如:加工成型、高速碰撞、流固耦合)、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。在有限元法中,单元和网格既是分析解决问题的载体,同时也是对其应用的制约,主要表现在:单元网格剖分等前处理数据准备工作量大,尤其是对三维问题;在分析大变形问题时必须防止网格畸变或缠结;在求解裂纹扩展、液体晃动、材料相变和成形等不定边界或可动边界问题时,需要随时找出新的边界位置,并在新的解域内重新划分网格;对时间相关问题更要按时段反复重分网格,工作量惊人,甚至使分析失败。近年来,无网格法(MeshfreeMothed)得到了迅速发展,它不需要划分网格,克服了有限元法对网格的依赖,在涉及网格畸变、网格移动等问题时显示出明显的优势,同时无网格法的前处理过程也比有限元更为简单。2有限元法和无网格法的比较2.1网格划分在有限元法中,连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。单元划分是前处理过程中非常重要的部分,通常占整个分析过程中大部分时间。由于单元能按不同的联结方式进行组合,且单元本身又可以有不同的形状,因此可以模拟几何形状复杂的求解域。结构边缘的曲线或曲面由单元网格的曲线或曲面来近似,如果使用线性单元,就存在着用直线或平面来代替曲线或曲面的问题,如图1所示。目前许多商业有限元软件中可以自动划分二维平面或三维立体三角形单元网格,这种单元可以较灵活地近似几何模型及其边界,但它的精度却比四边形单元低,而四边形单元却较难进行网格自动生成。在处理大变形问题时,由于网格畸变或单元分裂需不断重新划分网格,大大增加了计算工作量,而且对于有些问题单单重新划分网格并不能解决问题。