无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
无网格伽辽金方法在钢筋混凝土梁开裂问题中的应用分析
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建 筑 技 术
无网 格 伽辽金方 法在 钢筋混 凝土梁 开裂问 题中的 应用分 析
王难 烂
（ 武汉科技 大学理学院 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ ６ ５ ）
三种 ，一种 是本 思想 简 单 ， 并 且 其 和真 实情 况 比较符 合 ，但 是 计算 过 程 中 比较 繁 琐 ， 并 且需 要 增加 新 的节 点和 单元 ， 计 算效 率 非 常 低 ；第二 种是 采 用 弥散 裂缝 的 方法 ， 该 方 法 使 用 简单 ， 易 于实 现 程 序 ， 目前 是 一 种 使 用 最 为广 泛 的方 法 ， 但是 ， 该方法 的 不 足是 很难 得 到单 条裂 缝 的宽 度 ， 裂缝 扩 展 方 向等相 关信 息 ； 第 三种 是 利用 断 裂力 学方法 ， 构造 一 个 包含 裂 缝 的单 元 ， 这 种 方 法 的优 势是 计算 结果 精 度 高 ， 但 是 随着 裂 缝 发展 的需 要 ， 要 不 断 的修 改单 元类 型 和放 置新 型 的包 含 裂缝 的单元 ， 因此 该方 法使 用起 来过 程也 非 常 繁琐 ， 并 且效 率低
ｌ概述
某个 边 界具 有相 交 的关 系 ， 则假 设 这个 节 Ｑｍａ ） 【 。
在现代建筑施工中， 混凝土是一种非 点 该边 界覆 盖 了 ， 则 无 需在 计算 该 高斯 积 （ ５ ） 如果 Ｑ ｍ ａ ｘ 大于 Ｑ， 则此 时 的裂 缝 常 重要 的建 筑材 料 ， 由于混 凝 土结构 在 通 分 点 。 深 度 比给定 的深 度要 大 ， 需 要重 新修 正 裂
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
王难烂 武汉科技大学理学院 ， 湖北武汉 430065 摘 要 随着我国计算力学的快速发展 ， 无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法 ， 已经得到了 诸多学者的关注 ， 诞生了很多优秀的算法。本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理 ， 同时将其应用于尖端 裂纹应力计算 ， 对其核心问题加以研究 ， 包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。 关 键 词 固体力学 ； 无网格 ； 最小二乘 ； 基函数 中图分类号 O302 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进 ， 在计算力学领域中 ， 无 网格方法脱颖而出。由于无网格方法拥有超强的计算数值的生 命力 ， 摆脱了网格单元 ， 仅需详细的节点信息 ， 因此 ， 在工程 应用中倍受青睐 ， 特别是无网格方法可以以精度高、处理过程 简单等方法处理不连续问题。现在面临的最大问题是 ， 无网格 方法还只是在研究阶段 ， 渴望得到更大更深层次的研究。发展 比较早的边界元法和有限元法等数值方法 ， 虽然技术已经相对 成熟 ， 拥有了自己的商用软件 ， 但是在处理诸如形状优化问题、 非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心 ， 困难多多。 当前已经研发出一部分的网格自动生成器 ， 但是在处理复 杂的几何模型时 ， 计算成本投入非常昂贵 ， 使用的普及率低。 为了降低投入成本 ， 人们希望研究出一种脱离网格单元的数值 方法 ， 在探索研究的过程中 ， 无网格方法应运而生。无网格方 法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。根据 笔者多年的研究经验 ， 简单论述了无网格方法的成长史 ， 并详 细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法 ， 为无网 格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
随机无网格伽辽金法在疲劳断裂可靠性分析中的应用
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第 ２ ４卷 第 ５ 期
２１ ０ ０年 ９月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
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Ｋｅ ｒ ｓ：ｓ ｏｃ ａ ｔｃ ｅ ｅ ｅ —ｒ ｅ Ｇａ ｅ ｋｉ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ｔ ｈ ｓ ｉ ｌｍ ｎｔｆ ｅ ｌｒ ｎ ｍｅ ｈ ｄ；ｒ ｎｄ ｍ ｉｌ ａ ｏ ｆｅｄ；ｆ ｔｇｕ ａ ｉ ｅ；ｆ ａ ｔ ｅ；ｒ ｌａ ｉｉｙ ｒ ｃ ｕｒ ｅ ｉ ｂ ｌｔ
无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用
第38卷第3期2021年6月Vol.38,No.3June2021计算力学学报Chinese JournM of ComputQtionM Meeh斸ticsDOI：10.7511棷1x2()21))1150()1无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用王莉华灣，刘义嘉，钟伟，钱志浩(同济大学航空航天与力学学院，上海200092)摘要：伽辽金型无网格法具有精度高、稳定性好的优点，但是实现高阶准确积分过程复杂，计算效率低暎配点型无网格法的计算效率高，但是其在求解复杂问题时往往会出现精度和稳定性较差的结果暎本文介绍一种新的无网格法-无网格稳定配点法，采用重构核近似作为近似函数，在规则子域内非常容易实现高阶准确积分，既保留了配点型无网格法效率高的特点，又具备伽辽金型无网格法精度高和稳定性好的特点，而且还兼具有限体积法满足局域离散方程守恒的特点。
通过弹性力学算例验证了该算法的优越性，未来可将其进一步应用于流体和流固耦合问题分析暎关键词：无网格稳定配点法；重构核近似；精度；稳定性；效率中图分类号：TU311.4；()343.1文献标志码：A文章编号：10074708(2()21)03-03()5-081引言无网格法［"］在数据输入时不需要提供单元连接信息，即节点之间不受网格结构限制，很大程度上节省了建模的时间和成本，而且可以在计算中根据需要改变节点的位置而不存在网格畸变问题，因此在大变形、高速碰撞、断裂破坏、金属成型以及微观粒子运动等复杂问题分析中具有明显优势，常应用到一些传统的数值计算方法(如有限元法和边界元法等)无法很好解决和尚未触及的领域。
常用的无网格法主要分为基于伽辽金法的弱形式和基于配点法的强形式两类。
伽辽金型无网格法主要包括扩散单元法dem［5］、无网格伽辽金法EFG［°］、重构核粒子法RKPM［7］、hp云团法［8］、单位分解法PUM［9］、无网格局部彼得洛夫-伽辽金法MLPG®］、径向点插值法RPIM［11］和光滑粒子伽辽金法SPG®］等。
无网格方法的研究应用与进展
第24卷第4期(总第109期)机械管理开发2009年8月Vol.24No．4(SUM No．109)MECHANICAL MANAGEMENT AND DEVELOPMENT Aug．20090引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
1无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin 方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
2无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20世纪70年代。
基于能量范数的EFG方法权函数影响半径的研究
基于能量范数的EFG方法权函数影响半径的研究贾亚茹; 付伟; 曹健【期刊名称】《《太原学院学报：自然科学版》》【年(卷),期】2018(036)004【总页数】6页(P31-36)【关键词】无单元伽辽金方法; 移动最小二乘法; 权函数; 影响半径; 误差的能量范数【作者】贾亚茹; 付伟; 曹健【作者单位】[1]太原科技大学应用科学学院山西太原030024【正文语种】中文【中图分类】O242无网格方法是近年来兴起的一种数值计算方法。
1994年,Belyschko等人[1]通过采用MLS法计算形函数,并利用Lagrange乘子法引入本质边界条件,提出了无单元伽辽金法(EFG),改进了之前Nayroles等[2]提出的弥散单元法(DEM),提高了算法质量,为无网格方法的发展迈出了关键一步,掀起了无网格方法研究的热潮。
使用MLS方法构造形函数时,所得到的最后的代数方程组有可能是病态的,导致得不到理想的数值解。
2013年,顾天奇、张雷等人[3]提出了改进的MLS方法,解决了这一问题。
2013年,张赞等人[4]提出了关于三维瞬态热传导问题的改进无网格伽辽金法。
2014年,王聚丰、程玉民等人[5]对插值型移动最小二乘法进行了误差估计,得出结论,如果多项式基函数的阶足够大且原始函数足够光滑,则逼近函数及其偏导数在影响域的最大半径上收敛到精确值。
2015年,孙凤欣等人[6]在n维空间内对插值型最小二乘法进行了误差估计,在王聚丰、程玉民等人的基础上提出了基于IMLS方法的插值无单元Galerkin(IEFG)方法。
2018年,蔡小杰等人[7]建立了弹塑性大变形问题的改进的无单元Galerkin方法,此方法是基于改进的移动最小二乘法建立形函数,根据弹塑性大变形问题的Galerkin弱形式建立离散方程,利用罚函数法施加位移边界条件,推导了弹塑性大变形问题的改进的无单元Galerkin方法的公式,采用Newton-Raphson迭代法进行求解。
无网格迦辽金法及其在固体力学中的应用
元的存在 ， 其存在许 多 固有 缺陷…． 使 在有 限单
元 法 思 想 的 基 础 上 ， 网 格 方 法 （ ｓ ｒｅ 无 Ｍｅｈ Ｆｅ
通常具有高阶连续性 ， 从而提高 了对应力场的求 解精度 ， 省去了大量 的后处理过程． 本文主要研究 无网格伽辽金法并将其运用于固体力学中．
ｏ ｕ ｉ ｓ ｉ ｌｔ ｘ ｅ ｍｅ ｔｌ ｓ ｌ ｓ ｏ ｔ Ｇ ｔ ｄ ｉ ａｒ ｏ ｄ ｔ ｈ ｎ ｌ ｒ ｂ ｅ ｎ ｓ ｌ ｔ ｎ ．Ｓ ｍｕ ａｉｎ ｅ ｐ ｒ ｎ ａ ｅ ｕ ｔ ｈ ｗ ｔ ａ Ｆ ｍｅ ｏ ｓｆｉ ｙ ｇ ｏ ａ ｄ ｅｐ ｏ ｌｍｓｉ ｏ ｏ ｉ ｒ ｓ ｈ Ｅ ｈ ｌ ｏ ｓ ｌ ｃ ａ ｉｓ ｏ ｉ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ． ｄ Ｋｅ ｒ ｓ ｍｅ ｈ ｆ ｅ ｍｅ ｏ ；ＭＬ ｔ ｏ Ｅ Ｇ ｔ ｏ ； ａ ｔ ｅ ｅ ； ｏｉ ｃ ａ ｉ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｓ — ｅ ｔｄ ｒ ｈ Ｓ ｍｅ ｈ ｄ； Ｆ ｍｅ ｄ ｃ ｎ ｉ ｖ ｒ ｓ ｌ ｍｅ ｈ ｎ ｃ ｈ ｌ ｄ
２ 世纪 ５ Ｏ Ｏ年代 以来 ， 限元法 已经 成为工 有 程 分 析 和计 算 中不 可 缺少 的最 重 要 的工 具 之一 ，
目前 人们 已经 成 功 开 发 了 大 量 的有 限 元 商 业 软 件 ， 在工 程分 析 中得到 了广泛 应用 ． 而 由于单 并 然
过离散的节点构造近似场 函数． 节点之 间不受单 元的约束 ， 相互独立 ， 这使得无 网格法在解决涉及
Ｍ ｔ ｄ 舍弃了限制有限单元法发展的单元 ， ｅ ｏ） ｈ 只通
无网格——精选推荐
第一章绪论计算流体力学的发展现状计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是现代流体力学中的一个重要学科分支。
作为一门多学科交叉融合而形成的新兴学科，它是流体力学、计算数学和计算机科学相结合的产物。
随着计算机性能的飞速提高以及数值计算方法的不断发展，计算流体力学技术正在逐渐走向成熟。
计算流体力学经历了数值求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程、Euler方程和Navier-Stokes方程等发展阶段。
20世纪80年代以前，由于受到计算机技术的限制，计算流体力学的数值模拟主要以求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程为主，其中有代表性的是基于拉普拉斯方程的面源法以及有限差分法求解小扰动速势方程和全速势方程。
在随后的二十多年中，在计算机技术发展的推动和广大计算流体力学工作者的努力下，计算流体力学在求解Euler方程和Navier-Stokes方程以及数值模拟复杂流场方面都取得了重大突破。
在此期间，计算流体力学数值模拟的方法以有限差分法、有限体积法、有限元法为主。
随着诸如TVD格式、ENO格式、NND格式等高阶精度、高分辨率差分格式的提出，计算流体力学对激波、漩涡等复杂问题的模拟能力也有了很大的提高。
目前，计算流体力学工作者正致力于研究和发展更高精度(二阶以上)的计算格式和方法，以适应更精细、更复杂的流动研究和设计的需要。
计算流体力学研究的一个重要分支是计算网格的生成技术，它是计算流体力学走向工程实用阶段所必须面临的关键技术之一。
一般来讲，适合工程使用的网格生成技术应该具备以下特点:(1) 网格生成过程直观明了、简单易行、效率高、自动化程度好。
(2) 通用性、普适性好，对复杂外形、复杂流动的适应能力强。
(3) 网格几何灵活性好，尺度变化易于控制，网格自适应加密简便易行。
目前，已经成熟并走向工程实用中的计算网格有结构网格、非结构网格以及结构非结构的混合网格。
在结构网格方面，出现了代数生成网格法、解微分方程生成网格法、保角变换法等多种网格生成方法，网格类型也由单一的C型网格、0型网格、H型网格发展到嵌套网格和多块对接网格等。
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无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究摘要随着我国计算力学的快速发展，无网格方法已经成为固体力学计算领域中较为经典的方法，已经得到了诸多学者的关注，诞生了很多优秀的算法。
本文详细的介绍了无网格伽辽金方法的基本原理，同时将其应用于尖端裂纹应力计算，对其核心问题加以研究，包括为最小二乘近似引入扩展的基函数、处理不连续域的基本方法等。
关键词固体力学；无网格；最小二乘；基函数
中图分类号o302 文献标识码a 文章编号1674-6708（2013）82-0103-02
0 引言
随着科学技术的不断发展和前进，在计算力学领域中，无网格方法脱颖而出。
由于无网格方法拥有超强的计算数值的生命力，摆脱了网格单元，仅需详细的节点信息，因此，在工程应用中倍受青睐，特别是无网格方法可以以精度高、处理过程简单等方法处理不连续问题。
现在面临的最大问题是，无网格方法还只是在研究阶段，渴望得到更大更深层次的研究。
发展比较早的边界元法和有限元法等数值方法，虽然技术已经相对成熟，拥有了自己的商用软件，但是在处理诸如形状优化问题、非线性问题等复杂的工程问题时还是显得力不从心，困难多多。
当前已经研发出一部分的网格自动生成器，但是在处理复杂的几何模型时，计算成本投入非常昂贵，使用的普及率低。
为了降低
投入成本，人们希望研究出一种脱离网格单元的数值方法，在探索研究的过程中，无网格方法应运而生。
无网格方法备受关注的原因在于其所具有的最大优势—节点离散。
根据笔者多年的研究经验，简单论述了无网格方法的成长史，并详细分析了当前无网格方法的具体应用情况和研究方法，为无网格方法的进一步发展尽自己的一点微薄之力。
1 无网格伽辽金方法
最近几年出现了一种和有限元法及其相近的一种数值方法，它就是无网格伽辽金法[1]。
这种方法拥有后处理简单易行、精度高、收敛快、能够消除体积闭锁现象等优势。
无网格伽辽金法在构造形函数中使用了移动最小二乘法，并在能量泛函的弱变形式中得出控制方程，同时沿用了拉式乘子以达到其本证条件，最终得出偏微分方程的数值解[2]。
虽然优势多多，但是还存在比较明显的缺点，例如无网格伽辽金法不便于求解方程，求解速度慢，耗费的时间长等。
需要强点的一点是，无网格伽辽金法不是一个完全的无网格，他的位移函数虽然已经摆脱了网格，但是如果达到实现区域积分还是要依靠背景网格[3]。
为了有效的解决这个问题，面向对象的无网格伽辽金法由此被提出。
面向对象的无网格伽辽金法使用了schmidt 法，此方法可以帮助无网格伽辽金法形函数的基函数实现正交化，在提高了计算精度的同时也省去了形函数中矩阵求逆运算，发挥了一举两得的作用。
2 无网格迦辽金法在固体力学中的应用研究
目前，无网格伽辽金法已经在固体力学应用广泛，本文基于笔者多年的经验，详细的研究了无网格伽辽金法在计算裂纹问题时的应用原理。
3 结论
随着计算力学的快速发展，在未来时间内，无网格方法必将得到更多的关注，尤其是无网格伽辽金方法，在固体力学计算领域纵向研究领域得到诸多学者的更加广泛的应用研究和长远发展，使得固体力学计算数值方法更加精确。
参考文献
[1]庞作会，葛修润，郑宏，王水林.一种新的数值方法——无网格伽辽金法（efgm）[j].计算力学学报，1999（3）.
[2]孟闻远，赵妍，柴福鑫.无单元伽辽金法新形函数技术[j].兰州理工大学学报，2004（5）.
[3]司建辉，李九红，简政.非线性无网格伽辽金法的实现[j].武汉大学学报（理学版），2005（s2）.
[4]李卧东，王元汉，陈晓波.无网格法在断裂力学中的应用[j].岩石力学与工程学报，2001（4）.。