高二数学平面向量坐标表示及运算

我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
a=xi+yj
y yj
→ → a
j
O → i xi
图 1
我们把（x,y)叫做向量a 的 （直角）坐标，记作 a=(x，y), 其中x叫做a 在x轴上的坐标， x y叫做a在y轴上的坐标，（x ,y） 叫做向量的坐标表示。
A1 x
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
j O c
d=2i-3j=(2,-3)
已知
→
a=(x1 ,y1 ) ， b=(x 2 ,y2 )
→ →
→
你能得出
a+b
，a b
→ →
→ ， λ a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
问题：
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
练习：下列向量组中，能作为表示它 们所在平面内所有向量的基底，正确 的有（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 ) （3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
→ →
i= （1，0） j= （0，1） 0= （0，0）
→ → 其中i，j为向量 i，j
→
y yj a x
j O i xi
图 1
→ → 其中xi为x i，yj为y j
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 y y A（x,y） 置由a唯一确定。 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来， x
例5、已知 a=（4，2）， b=（6，y）， 且 a//b ，求 y 的值。
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2， 5），判断A、B、C三点的位置关系。
C B A
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。
y
A(x1,y1)
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= OB - OA
B(x2,y2) x
O
= (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)
你能在P点吗？
y A(x1,y1) B(x2,y2) O x
P
• 这就是说，实数与向量的积的坐 标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
例2 已知a＝（2，1），b＝（－3， 4），求a+b，a－b，3a+4b
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、 （－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
a j O i x
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
的坐标。因此，在平面直角坐标 系内，每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。
例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
y b A i d A2 解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3)
a
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1， 3）、（3，4），求顶点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是 共线向量如何用坐标来表 非零向量 ,那么可以知道，a//b的充 要条件是存在一实数 λ ，使 示呢？ a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) 即 x1= λx2 y1= λy2
1、平面向量的坐标表示与平面向量分 解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量
和 λ→ a
2 2
→
a1 a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→
→
→ → a 使得 a =λ λ + 1 1 2 a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。