§3.1.2等式的性质
3.1.2等式的性质
3.1.2 等式的性质一、等式的性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
二、等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
三、方程式的检验检验方程的解是否正确，可以将得到的值带入原方程式验算，看这个值能否使方程的两边相等，如果相等，那么这个值就是方程的解。
例题：利用等式的性质解方程并验算。
－31x －5=4 解：两边加5，得－31x －5+5=4+5 化简，得：－31x=9 两边乘－3，得：x=－27验算：将x=－27代入方程－31x －5=4的左边，得： －31×（－27）－5 =9－5=4方程的左右两边相等，所以x=－27是方程－31x －5=4的解四、复习巩固——P831、解：（1）a+5=8 （2）31b=9 （3）2x+10=18 （4）31x-y=6 （5）3a+5=4a （6）21b-7=a+b 2、（1）a+b=b+a （2）ab=ba （3）a （b+c ）=ab+ac（4）ab+ac=a （b+c ）3、解：（1）5x+7－7=7－2x －7 （2）6x －8=8x －4 5x=－2x 2x=－4 7x=0 x=－2 X=0（3）3x －2=4+x 2x=6x=34、解：（1）x －4+4=29+4 （2）x 21+2－2=6－2 x=33x 21=4（3）3x+1－1=4－1 x 21×2=4×2 3x=3 x=8 3x÷3=3÷3x=1（4）4x －2=24x －2+2=2+24x=44x÷4=4÷4x=1 5、解：设这个班有男生x 人，那么女生人数为（x 54+3）人，4+3）=48列方程：x+（x56、解：设获得一等奖的学生有x人，那么获得二等奖的学生有（22－x）人，列方程：200x+50×（22－x）=14007、解：设去年同期这项收入为x元，列方程：8.3%x=51098、解：设x个月后这辆汽车将行驶20800公里，列方程：12000+800x=208009、解：设内沿小圆的半径是x厘米，列方程：π（210－2x）=20010、解：设每班有x人，那么七年级2班的捐款为10x元，列方程：10x－22=42811、解：（10x+1）－（1×10+x）=1810x+1－10－x=189x－9=189x=27x=3。
3.1.2等式的性质
= =
bc bc bc
如果
= =
a 如果 a bc 0 ，那么 c
b c
阅读课本82页“例2”，然后利用等式的性质解下
列方程：
（1）x
6 5 ； （2）x 6 5
（3） 0.3x 45 ；
1 （4） x5 2
例：解方程
1 （1） 5 x 4 0 ；（2） x 2 3 4
复习回顾
1、方程的定义：
含有未知数的等式叫做方程
2、一元一次方程的定义：
只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是
整式，这样的方程叫做一元一次方程
3、方程的解的定义：
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
4、思考：
x 1000 和 x 2000 中哪一个是方程
0.52 x 1 0.52x 80 的解？
随堂检测 1、下列变形错误的是（ D A、由 ）
ab
得
a5b5
a b B、由 a b 得 3 3
C、由 D、由
x2 y2
3x 3 y
得
x y
得
x y
2、根据等式的性质，下列变形正确的是（ C ）
A、由
B、由 C、由
2 x 3 3x 得 x 3
3x 5 7 得 3x 7 5
3x 2 2 x 2 得 x 4
D、由
x 2 y 3 3
得
x 2y
3、利用等式的性质解下列方程：
（ 1） 5 x
5 6x
；
（2）0 3x 9 ； （ 3）
3 5y 2
计算并填空：
人教版数学七年级上册3.1.2《等式的性质》教案
人教版数学七年级上册3.1.2《等式的性质》教案一. 教材分析《等式的性质》是人教版数学七年级上册第三章第一节的内容，主要介绍了等式的性质，包括等式的两边同时加减同一个数、乘除同一个数不改变等式的成立性。
这一节内容是学生学习方程和不等式的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经掌握了整数、有理数的基本运算和概念，具备一定的逻辑思维能力。
但部分学生对于抽象的等式性质的理解可能存在困难，需要通过具体的例子和操作来加深理解。
三. 教学目标1.理解等式的性质，包括等式两边同时加减同一个数、乘除同一个数不改变等式的成立性。
2.能够运用等式的性质解决简单的问题。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：等式的性质的理解和运用。
2.难点：对等式性质的深入理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，通过具体例子和操作，引导学生发现和总结等式的性质，并通过练习巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的例子，引导学生思考等式的性质，激发学生的学习兴趣。
例子：有一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后到达B地，问汽车行驶的路程是多少？2.呈现（10分钟）通过PPT呈现等式的性质，引导学生观察和发现等式的性质。
性质1：等式的两边同时加减同一个数，等式仍然成立。
性质2：等式的两边同时乘除同一个数（不为0），等式仍然成立。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用等式的性质解决问题。
练习1：判断等式的正确性。
练习2：运用等式的性质，求解未知数。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对等式性质的理解。
1.判断等式的正确性。
2.运用等式的性质，求解未知数。
3.拓展（10分钟）引导学生思考等式性质在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
3.1.2 等式的性质
④－3（x－1）= 6
课后作业
1、教科书习题3.1（83- 84 页）第4、9、10题. 2、同步完成《金牌学案》 （55页）。
10
4 两边除以5，得 x＝－ . 5 4 检验：当x＝－ 时，左边＝0＝右边， 5 4 所以x＝－ 是原方程的解. 5
化简，得 5 x＝－4 .
学以致用：（83页练习）
练习：用等式的性质解下列方程并检验： （1）x－5＝6； （2）0.3x＝45； 1 （3）5x＋4＝0； （4） 2－ x＝3 . 4 1 解：（4）两边减2，得 2－ x－.2＝3－2 4 1 化简，得 － x＝1 . 4 两边乘以－4，得 x＝－4. 1 检验：当x＝－4时，左边＝2－ ×(－4)＝3＝右边， 4 所以x＝－4是原方程的解.
二、 二、等式性质
由它你能发现什么规律？如果在平衡天平的两边 都扩大或缩小相同的倍数，天平还保持平衡. 这说明等式有什么性质？ 等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为0的数，结果仍相等.
a b 如果a＝b(c≠0)，那么 c ＝ c ．
如果a＝b，那么ac＝bc；
二、等式性质
等式的性质1： 如果a＝b，那么a±c＝b±c 等式的性质2： 如果a＝b，那么ac＝bc a b 如果a＝b(c≠0)，那么 ＝ .
出它的解吗？
（1）3x－5＝22； （2）0.28－0.13y＝0.27y＋1． 用估算的方法解比较复杂的方程是困难的， 因此，我们还要讨论怎样解方程。
2、什么是等式？
像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2， 3x＋1＝5y这样的式子，都是等式.
方程是含有未知数的等式.
用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 通常可以用a＝b表示一般的等式.
3.1.2等式的性质(完成)
3.1.2等式的性质[学习目标]1、知道等式的性质；2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。
[重点难点] 理解并掌握等式的性质。
[学习过程][练习一] 已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空： ①3+a 3+b ；②3-a 3-b ；③)6(-+a )6(-+b ； ④x a + x b +；⑤y a - y b -；⑥3+a 5+b ；⑦3-a 7-b ；⑧x a + y b +。
⑨)32(++x a )32(++x b ； ⑩)32(++x a )32(++x b 。
[等式的性质1]等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等。
[练习二]已知b a =，请用等于号“=”或不等号“≠”填空： ①a 3 b 3；②4a 4b ；③a 5- b 5-；④2-a 2-b。
[等式的性质2]等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
注意：1、等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算。
2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。
3、等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.学以致用：1、若X=Y ，则下列等式是否成立，若成立，请指明依据等式的哪条性质？若不成立，请说明理由？（1）X+ 5＝Ｙ+ 5 （ ） （2）X － a = Y － a ( ) （3）（5－a ）Ｘ＝（5－a ）Y ( )（4）)0(≠=a a ya x ( )（5）55-=-a ya x ( ) 2、填空：如果2x-7=10,那么2x=10 + ; 如果 5x=4x+7, 那么 5 x - =7; 如果-3x=18,那么x= ;3、在下面的括号内填上适当的数或者代数式。
1）因为 :x －6 = 4 所以 : x －6 + 6 = 4 + ( )即：x = ( ) 2）因为: 3x = 2x ＋8所以: 3x －( ) = 2x ＋ 8 即：ｘ=（ ）试一试: 1、练习：○1.如果88+=+b a ，那么____=a ，是根据等式的性质___，两边_____ _______,○2.如果1072=+x ，那么-=102x ___,是根据等式的性质___，两边_________ __,○3.如果745+=x x ，那么7__5=-x ，是根据等式的性质___，两边____________,○4.如果183=-x ，那么=x ____，是根据等式的性质___，两边______ ______,2、下列等式的变形中，不正确的是 （ ） A.若 x=y, 则 x+5=y+5 B.若aya x =（a ≠0）,则x=y C.若-3x=-3y,则x=y D.若mx=my,则x=y3、已知等式(a+2)c=a+2得c=1不成立,则 a 2+2a+1的值为 、利用等式的性质解下列方程并检验： （1）x-5=6 (2)0.3x=45(3)5x+4=0 (4)2- x=32、填空：用适当的数或式子填空,并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的:(1)如果x+8=10,那么x=10+________； (2)如果4x=3x+7,那么4x-_______=7；(3)如果-3x=8,那么x=__________； (4)如果x 31=-2, 那么________=-6； 3、利用等式的性质解下列方程:(1)x+3=2 (2)-x 21-2=3(3)9x=8x-6 (4)8y=4y+1当堂检测：1、填空，并在括号内注明利用了等式的哪条性质。
3.1.2 等式的性质
总结反思
知识点 等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 如果a＝b，那么a±c＝___b_±_c___．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数， 结果仍相等． 如果a＝b，那么ac＝___b_c____； 如果 a＝b(c≠0)，那么ac＝____bc____． [点拨] 等式还有以下两个常见的性质：①对称性，即“若a＝b， 则b＝a”；②传递性，即“若a＝b，b＝c，则a＝c”．
【归纳总结】利用等式的性质对等式进行恒等变形的“三注意”： (1)等式的性质1和等式的性质2是对等式进行恒等变形的重要依据； (2)利用等式的性质1，等式的两边必须加或减同一个数(或式子)； (3)利用等式的性质2，等式两边必须乘同一个数或除以同一个不 为0的数．
目标二 会利用等式的性质解方程
例 2 教材例 2 针对训练 利用等式的性质解下列方程： (1)x－2＝5； (2)－23x＝6； (3)3x＝x＋6.
判断下列说法是否正确(若不正确，请说明理由)． (1)在等式 ab＝ac 的两边同除以 a，可得 b＝c.( × )
[解析] (1)中a代表任意数，当a≠0时，结论成立；但当a＝0时，不能应用 等式的性质．
(2)在等式 a＝b 的两边同除以 c2＋1，可得c2＋a 1＝c2＋b 1.( √ )
(3)若5＝x－3，则x＝2.( × )
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
第三章 一元一次方程
3．1.2 等式的性质
目标突破 总结反思
目标突破
目标一 会利用等式的性质对等式进行变形
例1 教材补充例题 (1)若m＋2n＝p＋2n，则m＝___p___，依据等 式的性质___1___，等式两边都___减__去_2_n_____； (2)若2a＝2b，则a＝b，根据等式的性质___2____， 等式两边都____除__以_2_____.
3.1.2等式的性质
想一想：
（1）从a＋b＝b＋c，能否得到a＝c，为什么？ （2）从ab＝bc能否得到a＝c，为什么？
a c （3）从 ，能否得到a＝c，为什么？ b b
（4）从a－b＝b－c，能否得到a＝c，为什么？
1 （5）从xy＝1，能否得到 x ，为什么？ y
× √
√
×
例2
利用等式的性质解下列方程
(1) x 7 26
(2) 5x 20 1 (3) x 5 4 3
解方程的结果必须化成 什么形式? 一元一次方程最终必须 化成X=a的形式.
以上面的第一题为例, 你怎样验证你所解答的方 程的结果是正确的?
• 课堂练习
1.已知:ax=ay,则下列变形不一定成立的是 (A ) A. x=y; B. ax+m=ay+m ; C.2-ax=2-ay; D.-ax=-ay
（1）若 1 a +3= b -1 ，则a+3=3b-3； 3 不正确，应该是 a+9=3b-3. （2）若 2x-6=4y-2，则 x-3=2y-2. 不正确，应该是 x-3=2y-1.
自学检测： 填空:
加上1 得2x＝５ １．在等式２x－１＝４,两边同时__________
减去5 得 x=4 ２．在等式 x＋５＝９，两边同时__________ 除以-2 得x=-4 ３．在等式-２x＝8,两边同时__________ 4．在等式
结果仍相等。
怎样用式子的形 式表示这个性质 ?
如果a b 那么a c b c
例如:
1 1 0.5 2 1 3 0.5 3 2
2
3.1.2等式的性质课件
×3 = ×3
你发现了什么规律？
结论 等式的两边同时乘以相同的 数，等式仍成立.
仔细观察，找出天平上存在的等量关系
=
÷3
÷3
=
你发现了什么规律？
等式的性质二：等式两边乘以同一个数，
或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a b，那么ac bc
如 果a bc 0 ,那 么a b
仔细观察，找出天平上存在的等量关系
+= +
-
-
=
你发现了什么规律？
结论：等式的两边同时减去同一个三角形，等式仍成立 等式的性质一： 等式两边加（或减）同一个数 （或
式子），结果仍相等.
如果a b，那么a c b c
探究二：发现等式的性质二
仔细观察，找出天平上存在的等量关系
=
×3
×3
cc
（1）x+7=26
（2）-5x=20
(3) 1 x 5 4 3
（4）2-4x=3
学到的知识：等式的性质一，等式的 性质二，解方程以及检验方程的解.
学到的方法：类比法和归纳法.
作业
B1做P83 习题 3.1的第4题. B2做P83 练习题1.2.3题
知识
创设情景
准备
你能观察出方程4x=24，x+1=3的解吗？
x=6
x=2
学习目标
1.发现等式的性质一； 2.发现等式的性质二； 3.会用等式的性质归纳解方程的过程并会察，找出天平上存在的等量关系
=
+
+
+=+
你发现了什么规律？
结论：等式的两边同时加上同一个三角 形，等式仍成立.
3.1.2等式的性质
学习目标
1、理解等式的两个基本性质 2、会用等式的性质解简单的一元一 次方程
自学指导一
认真看课本81页（5分钟） 根据实例理解等式的两个 性质
讲解释疑
等式的基本性质1、
等式的两边同时加上（或减去）同一个 数(或式子)，结果仍相等。
等式的基本性质2、
等式的两边同时乘同一个数（或除以同一 不为0的数），结果仍相等。
自学指导二
阅读课本82页例2，然后完成 83页练习（1）---(4),注意解 题格式。
【等式性质１】 如果 a b ，那么 a c b c
【等式性质 2】 如果 a b ，那 Nhomakorabea ac bc
如果 a b c 0 , 那么
注意
a c
b c
1、等式两边都要参加运算，并且是 作同一种运算。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一 定是同一个数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能 作除数或分母.
达标检测
利用等式的基本性质解下面的方程
（1）
x 2 5;
3 x 15
（2）
3 x 5.
n 3 2 10
(3)
(4)
作业: 1.课本P85-----4题
2.《导学》等式的性质
口答练习1
(1) 从 x = y 能不能得到 x +5 = y + 5 , 为什么? (2) 从 x = y 能不能得到
x 9 y 9
, 为什么?
(3) 从 a+2=b+2 能不能得到 a=b , 为什么? (4) 从－3a=－3b 能不能得到 a=b , 为什么? (5) 从 3ac=4a 能不能得到 3c=4 , 为什么?
3.1.2 等式的性质
学习目标
1. 理解、掌握等式的性质. (重点) 2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
(难点)
检验一个数值是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算，
２.将数值代入方程右边进行计算， ３.比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的 解，反之，则不是．
等式性质 2： 如果a b，那么ac bc
注意
如果a bc 0 , 那么 a b
cc
1、等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算 。 2、等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个 数或同一个式子。 3、等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母 .
a
bc
左
右
a=b
你能发现什么规律？
a
bc
左
右
a=b
你能发现什么规律？
bc 左
a=b
ac 右
你能发现什么规律？
bc
ac
左
a=b
右
a+c = b+c
你能发现什么规律？
b
c
左
a=b
ca
右
你能发现什么规律？
b
c
a
左
b
右
你能发现什么规律？
b
c
a
左
a=b
右
你能发现什么规律？
b
a
左
a=b
右
你能发现什么规律？
a
b
等式的性质１：等式的两边加
（或减）同一个数（或式子），
左
a b 结果仍相等．
=
右
a-c = b-c
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议一议
解 题 后 的 反 思
(1) (2) 怎样才叫做“方程解完了”; 使用等式的两个性质对方程两边 进行“同加减” 、 “同乘除” 对方程两边进行 “同加减” 、 的是什么? “同乘除”, 可看作是对方程
的目 (3) 的 两种变形 , 你能另一个角度来理解它们吗?
已知和与一加数， x + b = c x = c－b 求另一加数；
等式左边
等号
等式右边
天平两边同时 添上 相同质量的砝码， 天平仍然平衡。 取下
加上 等式 两边同时 等式仍然 成立。 同一个数（或式子） 减去
【等式性质 1】 等式两边同时加上(或减去)同一个数 （或式子）, 结果仍相等. 如果a=b，那么a±C= b±C
练习：下列方程变形是否正确？如果正确，说 明变形的根据；如果不正确，说明理由。 （1）由x=y，得x+3=y+3
依据：等式性质1：等式两边同时加上3.
（２）由a=b，得a－6=b＋6 （３）由m=n,得m－2x2=n－2x2
依据：等式性质1：等式两边同时减去2x2.
（４）由2x=x－5，得2x+x=－5
左边加x，右边减去x.运算符号不一致
（５）由x=y，y=5.3，得x=5.3 等式的传递性。 （６）由－2=x，得x=－2 等式的对称性。
在下面的括号内填上适当的数或者代数式
（1）∵ 2 x 6 4 ∴2 x 6 6 4 6
想一想、练一练
（2）∵3x 2 x 8
3 ∴ x 2x
2x 8 2x
9
（3）∵
10 x 9 8 9 x ∴ 10 x 9 x 9 9 8 9 x 9 x
例：解方程：
(1)x+7＝26
解：两边减7，得
(2)3x＝2x －4
解：两边减2x，得 3x－2x＝2x－2x－4 x＝－4
x＋7－7＝26－7 x＝19
【等式性质 1】 等式两边同时加上(或减去)同一个数（或 如果天平两边砝码的质量同时扩大相 式子） ,等式仍相等. 同的倍数(或同时缩小为原来的几分之一)， 【等式性质 2】 等式两边同时乘同一个数 那么天平还保持两边平衡吗? (或除以同一个不为零的数) , 结果仍是等式. 于是 , 你又能得出等式的什么性质? 注意 两个性质中同加减与同乘除的内容的不同： 试用准确、简明的语言叙述之.
( a 0) 已知积与一因数， a x = b x a 求另一因数；
b
课后任务
列方程求出下列各题，并对解进行检验。
1、某班分练习本，若每人分5本还少4本，若每 人分4本则多8本，问这个班共有多少个孩子？ 2、如果x=-1是关于x的方程x+k=3的解， 求出k的值。 变：如果方程x+2=1的解，也是关于x的方程 x+k=3的解，求出k的值。
各抒己见
生活中哪些地 方用到了平衡 的知识？
探知天平中的奥秘！
留心观察
•初始状态，天平平衡。 •天平两边都加上相同质量的物体， 天平仍平衡。 •天平两边同时加入相同质量的砝码， 天平仍平衡 •天平两边同时拿去相同质量的砝码， 天平仍平衡
探求新知
把一个等式看作一个天平，把等号两边 的式子看作天平两边的砝码，则等号成 立就可看作是天平保持两边平衡。
3、用一根长30cm的铁丝做一个长方形模型， 要使宽为5cm,那么长是多少cm?
收获体会
这节课我们利用天平原理得出 了等式的两个性质，并初步学习了 用等式的两个性质解简单方程。 所谓“方程解完了”，意味着经过对原 方程的一系列变形(两边同加减、乘除)，最终 把方程化为最简的形式：
x = c
即方程左边只一个未知数项、右边只一 个常数项，且未知数项的系数是 1.
下课了!
代数式包括了数，且可能含有字母。
解出方程4x = 3x－4的解。
由4x = 3x－4; 两边都减去3x，得 4x -3x＝－4 即 x＝－4
练习：解下列方程： (1) -5x = 20 ;
7 2 （3） x x 1 5 5
3 1 (2) x . 2 3
(4) -5x=4-6x
例：解方程： －4x＋8＝－5x －1 方程的解是否正确可以检验。 例如：(1)把x=－9代入方程： 左边=－4×（－9）＋8=44； 右边=－5×（－9）－1＝44. 左边=右边 所以x教版七年级上册§3.1.2等式的性质
主讲人：靳清华
温故知新
方程的解： 使方程中等号左右两边
相等的未知数的值．
1、你能估算出方程 x 24, x 1 3的解吗？ 4
x 6, x 2 2、你能估算出方程 x 32 x 3 12 x 4的解吗？ 4
x ？