对数函数的图象和性质高一数学总结练习含答案解析D

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高一数学必修第一册2019(A版)_4.4.2_对数函数的图像和性质_练习(2)(解析版)

4.4.2 对数函数的图像和性质基础巩固1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x ∈(0,+∞)时,f(x)=|log 2x|,若a=f(-3),b=f(14),c=f(2),则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a>b>c(B)b>a>c (C)c>a>b(D)a>c>b【答案】B 【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,所以函数y=f(x)的图象关于y 轴对称,所以函数y=f(x)是偶函数.所以a=f(-3)=f(3)=|log 23|=log 23,又b=f （14）=|log 214|=|-2|=2, c=f(2)=|log 22|=1,所以c<a<b.2.若函数y=f(x)与函数y=ln √x +1的图象关于直线y=x 对称,则f(x)等于( )(A)e2x-2 (B)e 2x (C)e 2x+1 (D)e 2x+2【答案】A【解析】若两个函数的图象关于直线y=x 对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln √x +1的反函数为y=e 2x-2,故选A.3.若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.4.已知函数f(x)=log (a-1)(2x+1)在（-12,0）内恒有f(x)>0,则a 的取值范围是( )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)【答案】D【解析】由-1<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.故选D.25.函数y=log2|x|的图象大致是( )【答案】A【解析】因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.【答案】0【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.x|的单调增区间为.7.函数f(x)=|lo g12【答案】[1,+∞)x|可得函数的大致图象如图所示,【解析】由函数f(x)=|lo g12所以函数的单调增区间为[1,+∞).8.已知f(x)=log4(4x-1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;,2]上的值域.(3)求f(x)在区间[12【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log415].【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,因此f(x)的定义域为(0,+∞).(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3)因为f(x)在区间[12,2]上单调递增,又f(12)=0,f(2)=log 415, 因此f(x)在区间[12,2]上的值域为[0,log 415].能力提升9.已知log 2b<log 2a<log 2c,则( )(A)(12)b >(12)a >(12)c(B)(12)a >(12)b >(12)c (C)(12)c >(12)b >(12)a (D)(12)c >(12)a >(12)b【答案】A【解析】因为log 2b<log 2a<log 2c,所以c>a>b,所以(12)b >（12）a >（12）c .故选A.10.已知函数f(x)={f(x +1),x <4,2x ,x ≥4,则f(2+log 23)等于( ) (A)8 (B)12(C)16 (D)24【答案】D【解析】因为1<log 23<2,所以3<2+log 23<4,所以f(2+log 23)=f(3+log 23). 又4<3+log 23<5,所以f(3+log 23)=2(3+log 23)=23×2log 23=8×3=24.故选D. 9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x与y=log a x 的图象是( )【答案】D【解析】因为函数y=a x与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D.12.已知函数f(x)=ln(ax 2+2x+1).(1)若f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a 的取值范围.【答案】（1）a 的取值范围为(1,+∞)（2）a 的取值范围为[0,1].【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax 2+2x+1>0恒成立.当a=0时,2x+1>0,x>-12,不合题意;所以a ≠0.由{a >0,Δ=4−4a <0,得a>1. 故实数a 的取值范围为(1,+∞).(2)因为f(x)的值域为R,所以{y|y=ax 2+2x+1,x ∈R}⊇(0,+∞).(也可以说y=ax 2+2x+1取遍一切正数)①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,②当a ≠0时,需{a >0,Δ=4−4a ≥0,即0<a ≤1. 综上,实数a 的取值范围为[0,1].素养达成13.已知函数f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1).(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围;(2)当x ∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.【答案】（1）[0,+∞).（2）[0,log 23).【解析】(1)因为f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1),g(x)≥f(x),所以3x+1≥x+1>0,所以x ≥0.即使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围为[0,+∞).(2)因为y=g(x)-f(x)=log 2(3x+1)-log 2(x+1) =log 23x+1x+1(x ≥0).令h(x)=3x+1x+1=3-2x+1,则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3, 故y=g(x)-f(x)∈[0,log 23),即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log 23).。

对数函数的图象及性质-课时作业(含解析) (3)

第二章 2.2 2.2.2 第二课时一、选择题1．下列函数在其定义域内为偶函数的是导学号 22840774( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x C ．y ＝log 2x D ．y ＝x 2[答案] D2．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是导学号 22840775( )[答案] A[解析] 函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象过点(0,0)，且函数值非负，故选A. 3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则导学号 22840776( ) A ．a <c 1，故b <a <c .4．已知f (x )＝log 3x ，则f (14)，f (12)，f (2)的大小是导学号 22840777( )A ．f (14)>f (12)>f (2)B ．f (14)<f (12)<f (2)C ．f (14)>f (2)>f (12)D ．f (2)>f (14)>f (12)[答案] B[解析] 由函数y ＝log 3x 的图象知，图象呈上升趋势，即随x 的增大，函数值y 在增大，故f (14)<f (12)<f (2)．5．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则导学号 22840778( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a[答案] A[解析] ∵a ＝log 3π>log 33＝1，0b >c .6．设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13，c ＝(12)0.3，则导学号 22840779( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c [答案] A[解析] ∵log 13 2＜log 13 1＝0，log 12 13＞log 12 12＝1，0＜(12)0.3＜(12)0＝1，∴a ＜c ＜b ，故选A.二、填空题7．求下列各式中a 的取值范围：导学号 22840780 (1)log a 3<log a π，则a ∈________； (2)log 5π<log 5a ，则a ∈________. [答案] (1)(1，＋∞) (2)(π，＋∞)8．函数f (x )＝lg x 2的单调减区间为________.导学号 22840781 [答案] (－∞，0)[解析] 设f (x )＝lg t ，t ＝x 2，由复合函数性质得f (x )＝lg x 2减区间即为t ＝x 2的减区间(－∞，0)．三、解答题9．已知f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(a ＞0且a ≠1).导学号 22840782 (1)求函数f (x )的定义域，值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，∴定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，令t ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， ∵x ∈(－3,1)，∴t ∈(0,4]． ∴f (t )＝log a t ，t ∈(0,4]．当0＜a ＜1时，y min ＝f (4)＝log a 4，值域为[log a 4，＋∞)．当a ＞1时，值域为(－∞，log a 4]． (2)y min ＝－2，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 4＝－2，得a ＝12.10．已知函数f (x )＝log 2(2＋x 2).导学号 22840783 (1)判断f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为2＋x 2＞0对任意x ∈R 都成立，所以函数f (x )＝log 2(2＋x 2)的定义域是R . 因为f (－x )＝log 2[2＋(－x )2]＝log 2(2＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数． (2)由x ∈R 得2＋x 2≥2， ∴log 2(2＋x 2)≥log 22＝1，即函数y ＝log 2(2＋x 2)的值域为[1，＋∞).一、选择题1．已知函数f (x )＝log a (x 2＋2x －3)，若f (2)＞0，则此函数的单调递增区间是导学号 22840784( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)∪(－∞－3)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] ∵f (2)＝log a 5＞0＝log a 1，∴a ＞1.由x 2＋2x －3＞0，得函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．又∵y ＝log a u (a ＞1)在(1，＋∞)上也为增函数， ∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，故选D. 2．函数f (x )＝lg(1x 2＋1＋x)的奇偶性是导学号 22840785( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇又是偶函数D ．非奇非偶函数[答案] A[解析] f (x )定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝lg(1x 2＋1－x)＋lg(1x 2＋1＋x )＝lg 1(x 2＋1)－x 2＝lg1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A.3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则导学号 22840786( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a[答案] A[解析] a ＝log 3π＞1，b ＝log 23＝12log 23∈(12，1)，c ＝log 32＝12log 32∈(0，12)，所以a ＞b ＞c ，故选A.4．若函数f (x )＝log 12(x 2＋ax ＋6)在(3，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是导学号 22840787( )A ．[－5，＋∞)B ．[－6，＋∞)C ．(－∞，－6]D ．(－∞，－5][答案] A[解析] ∵f (x )在(3，＋∞)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤3，32＋3a ＋6≥0，∴a ≥－5.二、填空题5．(2015·吉林高一检测)已知函数f (x )满足当x ≥4时f (x )＝(12)x ；当x <4时f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.导学号 22840788[答案]124[解析] f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1)＝f (log 224)＝(12)log 224＝12log 224＝124.6．已知函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y ＞1，则a 的取值范围为________.导学号 22840789[答案] 1＜a ＜2[解析] 若0＜a ＜1，则在[2，＋∞)上不会恒有log a x ＞1，∴a ＞1，∴y ＝log a x 为增函数．当x ∈[2，＋∞)时，log a x ≥log a 2.∵y ＞1恒成立，∴log a 2＞1，∴a ＜2，∴1＜a ＜2. 三、解答题7．设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x .导学号 22840790(1)求当x <0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )≤2.[解析] (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )．故当x <0时，f (x )＝－log 12(－x )．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12 x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－log 12 (－x )≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.8．已知函数f (x )＝log a (3＋2x )，g (x )＝log a (3－2x )(a ＞0，且a ≠1).导学号 22840791 (1)求函数f (x )－g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明； (3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[解析] (1)使函数f (x )－g (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞0，3－2x ＞0，解得－32＜x ＜32.所以函数f (x )－g (x )的定义域是{x }－32＜x ＜32}．(2)由(1)知函数f (x )－g (x )的定义域关于原点对称．f (－x )－g (－x )＝log a (3－2x )－log a (3＋2x )＝－[log a (3＋2x )－log a (3－2x )]＝－[f (x )－g (x )]，∴函数f (x )－g (x )是奇函数．(3)f (x )－g (x )＞0，即log a (3＋2x )＞log a (3－2x )．当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＞3－2x ，3－2x ＞0，3＋2x ＞0，解得x 的取值范围是(0，32)．当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ＜3－2x ，3－2x ＞0，3＋2x ＞0，解得x 的取值范围是(－32，0)．综上所述，当a ＞1时，x 的取值范围是(0，32)；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－32，0)．。

高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质

高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质，供大家参考!本文题目：高一数学下学期一单元考题：对数函数的图象及性质1.函数f(x)=lg(x-2)+5-x的定义域为()A.(2,5]B.(2,5)C.[2,5]D.[2,5)【解析】要使函数有意义，只须使x-20，x52【答案】 A2.函数y=log13x在(0,3]上的值域是()A.RB.[-1，+)C.(-，-1]D.[0,1]【解析】由y=log13x在(0,3]上单调递减，ymin=log133=-1.函数值域为[-1，+).故选B.【答案】 B3.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f(132)=________. 【解析】设f(x)=logax，则loga8=3，a3=8，a=2即f(x)=log2x，f(132)=log2132=-5.【答案】-54.已知f(x)=lg1+x1-x，x(-1,1)，若f(a)=12，求f(-a).【解析】∵f(-x)=lg1-x1+x=-lg1+x1-x=-f(x)，f(x)是奇函数，f(-a)=-f(a)=-12.一、选择题(每小题5分，共20分)1.若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A.y=log2xB.y=2log4xC.y=log2x或y=2log4xD.不确定【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax(a0，且a1，x0)，则2=loga4=loga22=2loga2，即loga2=1，a=2.故所求解析式为y=log2x.故选A.【答案】 A￥资%源~网2.函数f(x)=lg|x|为()A.奇函数，在区间(0，+)上是减函数B.奇函数，在区间(0，+)上是增函数C.偶函数，在区间(-，0)上是增函数D.偶函数，在区间(-，0)上是减函数【解析】已知函数的定义域为(-，0)(0，+)，关于原点对称，且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x)，所以它是偶函数.当x0时，|x|=x，即函数y=lg|x|在区间(0，+)上是增函数，又f(x)为偶函数，所以f(x)=lg|x|在区间(-，0)上是减函数.故选D.【答案】 D.3.若函数g(x)=logx(1-x)的定义域为M，函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则MN为()A.[0,1)B.(0,1)C.[0,1]D.(-1,0]【解析】由题意得x11-x00M=(0,1)由1-|x|0得-1N=(-1,1)，MN=(0,1).故选B.【答案】 B4.函数f(x)=log2(x+1)+1(37)的值域是()A.[3,4]B.[2,3]C.(0，+)D.(1，+)【解析】当37时，48,2log2(x+1)3.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5.若函数f(x)=ax(a0，且a1)的反函数的图象过点(3,1)，则a=________.【解析】函数f(x)的反函数为y=logax，由题意，loga3=1，a=3.【答案】 36.设g(x)=ex (x0)lnx (x0)，则g(g(12))=________.【解析】g(12)=ln120，g(ln12)=eln12=12，g(g(12))=12.【答案】12三、解答题(每小题10分，共20分)7.求下列函数的定义域：(1)y=log3(2x-1)+1log4x;(2)y=log(x+1)(16-4x);【解析】(1)要使函数有意义，则2x-10，log4x0，x0，即x12，x1，x0，x12，且x1.故所求函数的定义域是12，1(1，+).(2)要使函数有意义，则16-4x0，x+10，x+11，即x2，x-1，x0，-1故所求函数的定义域是{x|-18.求函数y=log13(x2+2x+4)的值域.【解析】∵x2+2x+4=(x+1)2+33，定义域为R，f(x)log133=-1，课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

高一对数与对数函数知识点+例题+练习含答案

1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数．答案 ①解析易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 32>43，∴c 1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________．答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________．答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则01，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a b >c解析由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,01，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0)解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案－1解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案－1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________．答案 [1,3]解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3，所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。

高中数学-对数函数的图像和性质

2
[解析] 由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log1 (3＋2x－x2)的定
2
义域是{x|－1<x<3}．
设 u＝3＋2x－x2(－1<x<3)，又设－1<x1<x2≤1，则 u1<u2，
从而 log1 u1>log1 u2，即 y1>y2，故函数 y＝log1 (3＋2x－x2)在区
2
2
2
间(－1,1 ]上单调递减．
点Q(n,m)总在函数
-4
-2
2
4
6
-1 y=logax (a>1)
-2
y 2x 的图像上,所
以这两个函数的图像关
于直线 y x 对称。
一般的，函数y=f(x)与它的反函数图像关于直线y=x对称
3.求下列函数的反函数
(1) y ln x y ex
(3) y 4x
y log4x
(2) y log1 x
y (1)x 2 2
(4) y ( )x 2
y log x
2
[例 4] 作出下列函数的图像： (1)y＝log2(x＋1)；(2)y＝lgx＋1； (3)y＝|log2x|；(4)y＝log2|x|； (5)y＝log2|x－1|. [分析] 根据对数函数的图像作出变换后的图像．
变式 1.已知 a>0，且 a≠1，则函数 y＝ax 与 y＝loga(－x) 的图像只能是( )
当x>1时， y<0 当x=1时， y=0
当0<x<1时， y<0
当0<x<1时， y>0
名称
指数函数
指一般形式
数
函

高一数学(必修一)《第五章-对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（）A ．c a b <0且a ≠1)的图象可能为（）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小：（1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3；（3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）．（2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论．（3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小．【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ．故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项；当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合；对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合；故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误；选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确；选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意；对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意；对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+；对于②，3y x =是奇函数，值域为R ；对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小；（3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2）由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ；若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性；（2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1）选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2）当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤；当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案；（2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论；（3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围．【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭．所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．（3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ．故答案为1(,0]2-．【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。

3.3对数函数y=logax的图像和性质(解析版)

3.3对数函数y=log a x 的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。

log a y x = 1a > 1a <图像性质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性向x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； a>1自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；1．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性．（1）12log ()y x =-；（2）12log y x =-；（3）12log ||y x =．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】（1）由12log ()y x =-知：定义域为(,0)-∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （2）由12log y x =-知：定义域为(0,)+∞，图象如下：∴由图知：函数在(0,)+∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （3）由12log ||y x =知：：定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且偶函数.2．设a 与b 为实数，0a >，1a ≠.已知函数log ()a y x b =+的图象如图所示，求a 与b 的值.【答案】3a =，3b =【分析】由图象可知，函数图象过点(2,0),(0,2)-，将点的坐标代入函数中，可得关于,a b 的方程组，从而可求出,a b 的值【详解】由图象可知，函数log ()a y x b =+的图象过点(2,0),(0,2)-，所以0log (2)a b =-+，且2log a b =，由0log (2)a b =-+，得21b -+=，解得3b =，则2log 3a =，得3a =，所以3a =，3b =3．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系． (1)5log y x =； (2)15log y x =；(3)5x y =．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系. (1) 如图所示； (2)如图所示，函数5log y x =与函数15log y x=的图像关于x 轴对称；(3)如图所示，函数5log y x =与函数5x y =的图像关于直线y x =对称．题型二：判断对数函数的图像 1．函数eln ||()e e x xx f x -=+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断出()f x 是偶函数，结合102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为{}0x x ≠，eln ||eln ||()()e e e e x x x xx x f x f x ----===++，所以()f x 是偶函数，函数图像关于y 轴对称，可排除 A ，B ；由11221eln 1202e e f -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=< ⎪⎝⎭+，可排除D ．故选：C2．函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【分析】当0x >时，根据函数的极值可以排除C 、D ，当0x <时，根据函数的单调性可以排除B ，从而得到结果. 【详解】当0x >时，1()f x x x=+，在1x =处取得最小值，排除C 、D ，当0x <时，1()f x x x=-为减函数，故选:A ．3（多选）．在同一坐标系中，函数x y a -=与log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当1a >时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递减，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，D 符合；当01a <<时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递增，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递减，B 符合．故选：BD ．题型三：根据对数函数图像判断参数范围1．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a << 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<，故选：D2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．3．已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（） A ．(0，1) B ．(0， +∞)C ．(0，1]D ．[1，+∞)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．【详解】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥．故选：D ．二、多选题4．已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a-=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.)x a -1．函数()log ,(01)a f x x a a =>≠且的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】(1,0)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得(1)0f =，()f x 的图象过定点(1,0)，故答案为：(1,0)2．函数()()log 111a y x a =++>必过定点___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令0x =即可确定定点. 【详解】由对数的性质知：当0x =时log 111a y =+=，所以函数必过定点(0,1). 故答案为：(0,1)3．已知0a >且1a ≠，若函数()x mf x a n +=+与()()log 14a g x x =-+的图象经过同一个定点，则m n +=__________. 【答案】1【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =可得出,m n 的值，得出答案. 【详解】函数()()log 14a g x x =-+的图象经过定点()2,4所以()x m f x a n +=+的图象也过定点()2,4，即()22=4mf a n +=+则2,3m n =-=，所以1m n += 故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1．已知函数()()log a f x x b =+的图象如图，则ab =________．【答案】8【分析】由图像可得：()f x 过点()3,0-和()0,2，代入解得a 、b ．【详解】由图像可得：()()log a f x x b =+过点()3,0-和()0,2，则有：()3log 0log 2b a a b -⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42b a =⎧⎨=⎩． ∴8ab =．故答案为：８．2．若1132log log m n >（01,01m n <<<<），则m ______n （填“<”或“>”）．【答案】< 【分析】结合1132log ,log y x y x==的图象确定正确结论. 【详解】画出1132log ,log y x y x==的图象如下图所示：通过观察这两个函数在区间()0,1上的图象可知，要使1132log log m n>，则需m n <.故答案为：<3．函数2()log (1)2f x x =++的图像是把函数2log y x =的图像先向___________平移___________个单位，再向上移动2个单位. 【答案】左 1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案；【详解】22log log (1)x x →+，图象向左平移1个单位，22log (1)log (1)2x x +→++，图象向上平移2个单位，故答案为：左，1 题型六：对数函数单调性1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（） A ．2log y x = B ．2xy -=C ．1y x =+D ．3y x =【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.2．已知2log (1)log (2)a a a a +<，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()0,1【分析】对a 进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a 的取值范围. 【详解】当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减， ()22212,2110a a a a a +>-+=->恒成立.当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增， ()22212,2110a a a a a +<-+=-<无解.综上所述，a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,13．已知log 2log 1a a >，则底数a 的取值范围为_________. 【答案】(1,)+∞【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断a 的范围．【详解】若0＜a ＜1，则log 2log 1a a <，不符题意；若a ＞1，则log 2log 1a a >，符合题意；综上，a ＞1．故答案为：(1,)+∞．题型七：对数型复合函数单调性1．己知函数()22()log 45f x x x =--+，则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．(2,1)-D ．(2,)-+∞【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数()22()log 45f x x x =--+有意义，则2450x x --+>，解得51x -<<，即函数()f x 的定义域为(5,1)-，函数245u x x =--+在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，而函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数()f x 在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以函数()f x 的单调递增区间为(5,2)--. 故选：B2．若()()22log 6f x x ax =-+在区间[2,2)-上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．[4,5]B ．(4,5]C ．[4,5)D ．[5,)+∞3．函数()2ln(421)f x x x =+-的单调递减区间是______.【答案】(,7)-∞-【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使()2ln(421)f x x x =+-有意义，则24210x x +->，解得7<-x 或3x >，()2ln(421)f x x x =+-定义域为()(),73,-∞-⋃+∞，设()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞，则ln y u =，因为ln y u =在定义域上单调递增；()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞的增区间为()3,+∞，减区间为(),7-∞-，所以根据复合函数的单调性可得()2ln(421)f x x x =+-的递减区间为(),7-∞-故答案为：(),7-∞-题型八：对数函数单调性应用1．已知lge 2ln e,10a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <，则下列结论正确的是（） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >3．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是______. 1．已知函数12log y x =，当3,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大4，则实数=a ______．2．设a ＞1，函数f (x )＝log ax 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．3．已知函数()22,4log ,4x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2-∞-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当4x <时，()2xf x a =-的取值范围是(),16a a --,当4x ≥时，()2log 42f x ≥=, 若()f x 存在最小值，则2-≥a ，解得2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.题型十：根据对数函数的最值求参数1．函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则=a ______.2．已知函数()f x 为函数(1)x y a a =>的反函数，且()f x 在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为1，则a 的值为___________. 【答案】2【分析】由题意知：()log a f x x =且在[,2]a a 上单调递增，由此即可列出等式，解出答案. 【详解】因为()f x 为函数x y a =的反函数，所以()log a f x x =，又1a >，所以()f x =log a x 在[,2]a a 上单调递增，所以当[,2]x a a ∈时min ()()log 1a f x f a a ===，()max ()(2)log 2a f x f a a ==，由题意，()log 211a a -=，所以()log 22a a =，22a a =，解得2a =或0a =（舍去）. 故答案为：2.3．已知函数41()log (41).2xf x x =+-(1)求证：44log (41)log (14)x xx -+-=+；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)0a ≤.1．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件；故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.2．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若关于x 的不等式9log 2(0xa x a -≤>且1)a ≠在02⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，则a 的取值范围为______．。

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么MlogaNloga(MN)M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)④alogaNNnlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)logba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称定义函数对数函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a1y某10a1y某1yloga某yloga某图象O(1,0)O(1,0)某某定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念设函数果对于yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将某yf(某)中反解出某f1(y)；f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(某)的图象上．③若P(a,b)在原函数④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．一、选择题：1．log89的值是log23A．（）23B．1C．32D．22．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.（）C.0D.32B.54123．已知lg2=a，lg3=b，则lg12等于lg15（）A．2ab1abB．a2b1abC．2ab1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某的值为 yA．1B．4（）C．1或4C．(C．ln5D．4或-1（）5.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）y6.已知f(e某)=某，则f(5)等于A．e57．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是yyyABCD8．设集合A{某|某10},B{某|log2某0|},则AB等于A．{某|某1}C．{某|某1}B．{某|某0}D．{某|某1或某1}2O某O某O某O某（）9．函数yln某1,某(1,)的反函数为（）某1e某1,某(0,)B．y某e1e某1,某(,0)D．y某e1e某1,某(0,)A．y某e1e某1,某(,0)C．y某e1二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg11log23＋lne＋2=10011．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.25y8413，14.y=1－2某(某∈R)，217.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a扩展阅读：高一数学上册_第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若a某N(a0,且a1)，则某叫做以a为底N的对数，记作某logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：某logaNa某N(a0,a1,N0)．（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logbaab．（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．（4）对数的运算性质如果a0,a1,M0,N0，那么①加法：logaMlogaNloga(MN)②减法：logaMlogaNlogMaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)log④aaNN⑤lognnabMblogaM(b0,nR)⑥换底公式：logbNaNloglog(b0,且b1)ba【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数yloga某(a0且a1)叫做对数函数a10a1y某1ylog某1a某yyloga某图象(1,0)OO(1,0)某某定义域(0,)值域R 过定点图象过定点(1,0)，即当某1时，y0．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数loga某0(某1)loga某0(某1)函数值的变化情况loga某0(某1)loga某0(某1)loga某0(0某1)loga某0(0某1)a变化对在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近某轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴④一般地，函数yf(某)要有反函数则它必须为单调函数．图象的影响(6)反函数的概念设函数yf(某)的定义域为A，值域为C，从式子yf(某)中解出某，得式子某(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子某(y)，某在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子某(y)表示某是y的函数，函数某(y)叫做函数yf(某)的反函数，记作某f1(y)，习惯上改写成yf1(某)．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(某)中反解出某f1(y)；③将某f1(y)改写成yf1(某)，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数②函数yf(某)与反函数yf1(某)的图象关于直线y某对称．yf(某)的定义域、值域分别是其反函数yf1(某)的值域、定义域．yf(某)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(某)的图象"1③若P(a,b)在原函数上．一、选择题：1．log89log的值是23A．23B．12．已知某=2+1,则log4(某3－某－6)等于A.3B.5243．已知lg2=a，lg3=b，则lg12lg15等于A．2ab1abB．a2b1abD．a2b1ab4．已知2lg(某－2y)=lg某＋lgy，则某y的值为A．1B．45.函数y=log1(2某1)的定义域为2A．(12，＋∞)B．［1，＋∞)1)6.已知f(e某)=某，则f(5)等于C．32（）C.0（）C．（）C．1或4C．(12，1]（）D．2D.122ab1abD．4或-1）D．(－∞，（）A．e5B．5eC．ln5D．log5e7．若f(某)loga某(a0且a1),且f1(2)1,则f(某)的图像是（）yyyyABCDO某O某某OO某8．设集合A{某|某210},B{某|lo2某g0|}则,AB等于（）A．{某|某1}B．{某|某0}C．{某|某1}D．{某|某1或某1}9．函数yln某1某1,某(1,)的反函数为（）A．ye某1e某1,某(0,)B．ye某1e某1,某(0,)C．ye某1e某1e某1,某(,0)D．ye某1,某(,0)二、填空题：10．计算：log2.56.25＋lg1100＋lne＋21log23=（11．函数y=log4(某－1)2(某＜1的反函数为__________．12．函数y=(log1某)2－log1某2＋5在2≤某≤4时的值域为______．44三、解答题：13．已知y=loga(2－a某)在区间{0，1}上是某的减函数，求a的取值范围．14．已知函数f(某)=lg[(a2－1)某2＋(a＋1)某＋1]，若f(某)的定义域为R，求实数a的取值范围．15．已知f(某)=某2＋(lga＋2)某＋lgb，f(－1)=－2，当某∈R时f(某)≥2某恒成立，求实数a的值，并求此时f(某)的最小值？一、选择题：.132，14.y=1－2某(某∈R)，15.(lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.254y817.解析：因为a是底，所以其必须满足a>0且a不等于1a>0所以2-a某为减函数，要是Y=loga(2-a某)为减函数，则Y=loga（Z）为增函数，得a>1又知减函数区间为[0,1]，a必须满足2-a某0>02-a某1>0即得a。

高一数学对数与对数函数试题答案及解析

高一数学对数与对数函数试题答案及解析1.在对数函数中，下列描述正确的是（）①定义域是、值域是R ②图像必过点(1,0).③当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.④对数函数既不是奇函数，也不是偶函数.A．①②B．②③C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】对数函数的性质可结合函数图像来进行理解.单调性，对称性都可由图可以清楚的感知.【考点】对数函数的性质.2.已知（）A．B．C．D．【答案】【解析】根据对数的运算法则,有.【考点】对数的运算法则.3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】对于任意，当时，总有，是说函数在区间上单调递增.函数是由与复合而成，因为在上单调递增，由复合函数的单调法则：同增异减，可知，只须在上单调递增即可，该二次函数的对称轴为，或，由二次函数的单调性可知在单调递增，所以区间可能是或它的子区间，故选B.【考点】函数的单调性.4.若点在函数的图象上，则函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为点在函数的图象上，所以，解得，所以，故选D．【考点】1、对数函数的图象；2、幂函数．5.已知函数（1）求函数的定义域和值域；（2）若有最小值－2，求的值.【答案】（1）的定义域是.当时，值域为；（2）【解析】（1）由对数函数的定义可得，解此不等式组，从而求得函数的定义域；首先对函数解析式进行化归，考虑到对数函数中底数的范围制约着函数单调性，影响到函数的值域，所以需要对底数的范围进行分类讨论，从求出函数的值域；（2）根据（1）中函数值的分布情况，可知只有当时，函数有最小值，所以有，从而解得所求的值.试题解析：（1）依题意得则，， 3分当时，；当时，的定义域是.当时，值域为当时，值域为. 7分（2）因为有最小值－2，由（1）可知且，12分【考点】1.函数的定义域；2.对数函数.6.已知函数（1）判断函数的奇偶性，并说明理由。

（2）若，求使成立的集合。

高中数学北师大版(2019)必修第一册：对数函数的图像和性质(含解析)

对数函数的图像和性质基础全面练 (15分钟 30分)1．函数y ＝log 2x －2 的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23 ，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4．函数y ＝log 13(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)5．已知y ＝log a (3a －1)恒为正值，求a 的取值范围．综合突破练 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )＝|log 2x |，正数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n ).若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别是( )A ．12 ，2B ．14 ，2 C ．22，2 D ．14，42．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a3．对任意实数a ，b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，＋∞4．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x与y ＝log a x 的图像是( )5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．7．已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________．8．已知函数f (x )＝log a (2x －a )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 .当a ＝12 时，函数的最小值为________；若恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．【变式训练】函数y ＝log 3(x 2－2x )的递减区间是______．三、解答题(每小题10分，共20分) 9．比较下列各组中两个数的大小： (1)log 31.9，log 32. (2)log 23，log 0.32. (3)log a π，log a 3.141.10．已知f (x )＝log 4(4x－1). (1)求f (x )的定义域． (2)讨论f (x )的单调性．(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的值域．创新练已知实数x 满足4x－10·2x＋16≤0，求函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2的值域．【变式训练】已知函数f(x)＝log a(ax2－x)，是否存在实数a，使它在区间[2，4]上是增加的？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，说明理由．参考答案：基础全面练 (15分钟 30分)1．函数y ＝log 2x －2 的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)【解析】选D.由log 2x －2≥0，得log 2x ≥log 24，所以x ≥4. 2．如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】选D.令y ＝1，如图所示．则b <c <1<a .3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23 ，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】选A.因为a ＝13 log 323＜13 log 39＝23＝c ，b ＝13 log 533＞13 log 525＝23＝c ，所以a ＜c ＜b .4．函数y ＝log 13(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】选C.因为3x>0，所以－3x<0，所以1－3x<1.令t ＝1－3x ，又y ＝log 13t 是关于t 的减函数，所以y ＝log 13t >log 131＝0.5．已知y ＝log a (3a －1)恒为正值，求a 的取值范围．【解析】当⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<3a －1<1，即13 <a <23 时，y ＝log a (3a －1)恒为正值；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3a －1>1，即a >1时，y ＝log a (3a －1)恒为正值．综上，a 的取值范围为a >1或13 <a <23 .综合突破练 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )＝|log 2x |，正数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n ).若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别是( ) A ．12 ，2B ．14 ，2 C ．22，2 D ．14，4 【解析】选A.画出函数f (x )＝|log 2x |的图象的大致示意图，如图所示已知正数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以0<m <1<n .因为f (m )＝f (n )，所以|log 2m |＝|log 2n |，即－log 2m ＝log 2n ，所以log 2mn ＝0，解得mn ＝1.结合题图知，函数f (x )＝|log 2x |在(0，1)为减函数，在(1，＋∞)为增函数．因为0<m <1，所以0<m 2<m <1.函数f (x )在区间[m 2，n ]上，当x ＝m 2时，f (x )取得最大值，即f (m 2)＝|log 2m 2|＝－log 2m 2＝2，解得m ＝12，n ＝2.2．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a【解析】选D.a ＝log 45>log 44＝1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0＝1，c ＝log 30.4<log 31＝0，所以c ＜b ＜a .3．对任意实数a ，b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，＋∞【解析】选B.在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log 2x 这两个函数的图像，如示意图1所示．所以f (x )图像如示意图2.由图可得f (x )＝212213321log x x log x x ⎧<<⎪⎨=⎪⎩，，，所以值域为(－∞，0].4．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x与y ＝log a x 的图像是( )【解析】选D.因为函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，所以它们的图像关于直线y ＝x 对称，且当0<a <1时，函数y ＝a x与y ＝log a x 都是减函数，观察图像知，D 正确．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 【解析】选C.因为f (x )＝log a x (x ≥1)是递减的，所以0＜a ＜1且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x ＜1)为递减的，所以3a －1＜0，所以a ＜13.又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17.所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 【误区】本题容易忽视函数在定义域上是递减的，而不仅是在两段上分别是递减的．二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．【解析】因为f (log 4x )<0，所以－12 <log 4x <12 ，所以log 4412-<log 4x <log 4412，所以12<x <2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <27．已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________．【解题技巧】先化简f 2(x )＝(2＋log 3x )2，f (x 2)＝2＋log 3x 2，再求出g (x )进行解答．【解析】由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9. 可得x ∈[1，3]，故g (x )的定义域为[1，3].g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6，令t ＝log 3x ，t ∈[0，1]，得g (t )＝t 2＋6t ＋6，故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝13. 答案：138．已知函数f (x )＝log a (2x －a )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 .当a ＝12 时，函数的最小值为________；若恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝12 时，函数f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 上为减函数，当x ＝34 时取最小值为log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×34－12 ＝log 121＝0.因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 上恒有f (x )>0，所以a >1，且 2×23 －a >1；或 0<a <1，且0<2×34 －a <1.解得 a ∈∅，或12 <a <1，所以12<a <1.答案：0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【变式训练】函数y ＝log 3(x 2－2x )的递减区间是______．【解析】令u ＝x 2－2x (x >2或x <0)，则y ＝log 3u ，且y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x (x >2或x <0)的递减区间是(－∞，0)，故y ＝log 3(x 2－2x )的递减区间是(－∞，0). 答案：(－∞，0)三、解答题(每小题10分，共20分) 9．比较下列各组中两个数的大小： (1)log 31.9，log 32. (2)log 23，log 0.32. (3)log a π，log a 3.141.【解析】(1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，1.9<2，故log 31.9<log 32. (2)因为log 23>log 22＝1，log 0.32<log 0.31＝0，故log 23>log 0.32.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，π>3.141，故log a π>log a 3.141；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，π>3.141，故log a π<log a 3.141. 10．已知f (x )＝log 4(4x－1). (1)求f (x )的定义域． (2)讨论f (x )的单调性．(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的值域．【解析】(1)由4x－1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)设0<x 1<x 2，则0<41x －1<42x －1，因此log 4(41x －1)<log 4(42x －1)，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上是递增的，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的值域为[0，log 415]. 创新练已知实数x 满足4x －10·2x ＋16≤0，求函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2的值域．【解析】不等式4x －10·2x ＋16≤0可化为(2x )2－10·2x ＋16≤0，即(2x －2)(2x－8)≤0. 从而有2≤2x≤8，即1≤x ≤3. 所以0≤log 3x ≤1.因为函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2，可化为y ＝(log 3x )2－12 log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －14 2＋3116 ，当log 3x ＝14 时，y min ＝3116 ，当log 3x ＝1时，y max ＝52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52 . 【变式训练】已知函数f(x)＝log a (ax 2－x)，是否存在实数a ，使它在区间[2，4]上是增加的？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，说明理由．【解析】存在实数a 满足题意．设g(x)＝ax 2－x.当a>1时，为使函数y ＝f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2，4]上是增加的，只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2，4]上是增加的，故应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ≤2，g （2）＝4a －2>0，解得a>12，所以a>1.当0<a<1时，为使函数y ＝f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2，4]上是增加的，只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2，4]上是减少的．故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，此时a 不存在．综上，当a>1时，函数f(x)＝log a(ax2－x)在区间[2，4]上是增加的．。

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2.2.3 对数函数的图象和性质一、对数函数的概念一般地,把函数①(a②0且a③1)叫作④函数,其中x是自变量.二、对数函数的图象和性质x(a>0,且a≠1)定义y=loga底数a>1 0<a<1图象定义域⑤值域⑥单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是⑦函数1=0共点性图象过点⑧,即loga函数x∈(0,1)时,y∈⑨x∈(0,1)时,y∈(0,+∞)值特点三、反函数对数函数y=logx(a>0,且a≠1)和指数函数⑩互为反函数.a一、对数函数的定义域的定义域是( )1.(2013重庆,3,5分,★☆☆)函数y=1log2(x-2)A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)思路点拨根据分母不等于零,真数大于零列不等式组求解.2. (2012山东,3,5分,★☆☆)函数f(x)=1+2( )ln(x+1)A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]思路点拨根据分母不等于零、对数的真数大于零、偶次根式被开方数不小于零,得关于x的不等式组,不等式组的解集即为所求函数的定义域.3.(2014广东深圳宝安期末,★★☆)函数y=√log0.5x的定义域为( )A.[1,+∞)B.[1,2)C.(0,1]D.(0,1)+lg(1+x)的定义域是( )4.(2014山东济南月考,★★☆)函数f(x)=11-xA.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)二、对数函数的图象x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是5.(2014福建,4,5分,★☆☆)若函数y=loga( )6.(2013湖南,6,5分,★★☆)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3思路点拨画出f(x),g(x)的图象可知交点的个数.三、对数值大小的比较方法7.(2013课标全国Ⅱ,8,5分,★☆☆)设a=log 32,b=log 52,c=log 23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>aD.c>a>b思路点拨 a 、b 、c 可先与中间量12、1比较,再判断a 、b 、c 之间的大小关系. 8.(2012天津,4,5分,★★☆)已知a=21.2,b=(12)-0.8,c=2log 52,则a,b,c 的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a思路点拨利用指数函数的单调性比较a 、b 的大小,再与c 比较,确定a 、b 、c 的大小关系. 9.(2011北京,3,5分,★☆☆)如果lo g 12x<lo g 12y<0,那么( )A.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x思路点拨依据对数函数y=lo g 12x 的单调性求解. 四、解对数不等式10.(2012课标全国,11,5分,★★☆)当0<x≤12时,4x <log a x,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2) D.(√2,2)思路点拨利用函数的图象确定a 的范围.11.(2011辽宁,9,5分,★★☆)设函数f(x)={21-x , x ≤1,1-log 2x ,x >1,则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+∞)D.[0,+∞)思路点拨分段函数需分区间讨论.12.(2014江西万年期末,★★☆)若log a 23<1,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,23)∪(1,+∞) D.(0,23)∪(23,1)13.(2014广东肇庆检测,★★☆)已知函数f(x)={log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f(x)>f(-x),则x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,0)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)▶答案见P131一、选择题1.已知函数f(x)=√1-x的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N等于( )A.{x|x>-1}B.{x|x<1}C.{x|-1<x<1}D.⌀2.已知集合A={x|y=log2(x+1)},集合B={y|y=(12)x,x>0},则A∩B=()A.(1,+∞)B.(-1,1)C.(0,+∞)D.(0,1)3.设a=lo g123,b=(13)0.3,c=213,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c4.若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)的值是( )A.4B.2C.1D.05.已知函数f(x)=lg1-x1+x ,若f(a)=12,则f(-a)等于( )A.12B.-12C.2D.-26.函数y=1+log2x(x≥4)的值域是( )A.[2,+∞)B.(3,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,+∞)7.已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )8.若函数f(x)=a x+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )A.14B.12C.2D.49.函数f(x)=lg|x|( )A.为奇函数,在区间(0,+∞)上是减函数B.为奇函数,在区间(0,+∞)上是增函数C.为偶函数,在区间(-∞,0)上是增函数D.为偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数10.已知f(x)=2+log 3x,x∈[181,9],则f(x)的最小值为( ) A.-2 B.-3 C.-4D.0二、填空题 11.已知函数f(x)={-log 3x ,x >0,2x ,x ≤0,则f(3)+f(-1)= .12.已知函数y=3+log a (2x+3)(a>0,且a≠1)的图象必经过定点P,则P 点的坐标为 . 13.函数f(x)=√2-x +ln(x-1)的定义域是 . 14.已知函数f(x)={log 2x ,x >0,3x,x ≤0,则f (f (14))= . 15.已知log 0.45(x+2)>log 0.45(1-x),则实数x 的取值范围是 . 16.函数f(x)=2x +log 2x(x∈[1,2])的值域为 .三、解答题17.求下列函数的定义域:(1)y=√32x -1-127;(2)y=√-lg (1-x ).18.比较下列各组中两个数的大小: (1)log 31.9,log 32;(2)log23,log0.32;(3)loga π,loga3.141.19.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=lg x,求满足f(x)>0的x的取值范围.20.若不等式x2-logm x<0在(0,12)内恒成立,求实数m的取值范围.21.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.22.已知函数y=(log2x-2)(log4x-12),2≤x≤8.(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围;(2)求该函数的值域.一、选择题1.(2014北京通州月考,★☆☆)若x∈(e-1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( )A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a2.(2013河南洛阳二模,★★☆)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点,那么称这个点为“好点”.下列四个点P1(1,1),P2(1,2),P3(12,12),P4(2,2)中,“好点”的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题3.(2015重庆西南大学附中期末,★☆☆)设函数f(x)=log2(1x-1)的反函数为f -1(x),则f -1(1)= .4.(2015重庆西南大学附中期末,★★☆)函数y=loga(x-a)+2的图象恒过点A(3,2),则a= .5.(2014江西南昌月考,★★☆)已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=(12)x;当x<4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log 23)= .6.(2013江苏无锡模拟,★★☆)若f(x)=lg x,g(x)=f(|x|),则g(lg x)>g(1)时,x 的取值范围是 .7.(2013山东济宁二模,★★☆)关于函数f(x)=lg x 2+1|x |(x≠0),有下列命题:①其图象关于y 轴对称;②当x>0时, f(x)是增函数;当x<0时, f(x)是减函数; ③f(x)的最小值是lg 2;④f(x)在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题8.(2015湖南娄底期末,★★☆)已知函数f(x)=log a (3-ax)(a>0且a≠1). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.9.(2015重庆西南大学附中期末,★★☆)已知f(x)=log a (x-2a)+log a (x-3a)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域,并求a 的值,使得y=f(x)的单调增区间为(6,+∞); (2)在(1)的条件下,方程f(x)=log 2m 在(7,8)上有一个实根,求m 的取值范围.10.(2013甘肃定西一模,★★☆)设f(x)=|lg x|,a,b为实数,且0<a<b.(1)求方程f(x)=1的解;>1.(2)若a,b满足f(a)=f(b),求证:a·b=1,a+b2知识清单①y=log a x ②> ③≠ ④对数 ⑤(0,+∞) ⑥R ⑦减 ⑧(1,0) ⑨(-∞,0) ⑩y=a x (a>0,且a≠1)链接高考1.C 要使函数有意义,x 应满足{x -2>0,log 2(x -2)≠0,即{x >2,x -2≠1,解得x>2且x≠3.故选C.2.B 要使函数有意义,则有{x +1>0,ln (x +1)≠0,4-x 2≥0,所以{x >-1,x ≠0,-2≤x ≤2,即-1<x<0或0<x≤2,故选B.3.C 由log 0.5x≥0,得0<x≤1,故选C.4.C 由{1-x ≠0,1+x >0得x>-1且x≠1,故选C.5.B 由题图可知y=log a x 的图象过点(3,1), ∴log a 3=1,即a=3.A 项,y=(13)x在R 上为减函数,错误; B 项,y=x 3符合;C 项,y=-x 3在R 上为减函数,错误;D 项,y=log 3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误.6.C 在同一直角坐标系下作出函数f(x)=ln x 与g(x)=x 2-4x+4=(x-2)2的图象,如图所示.由图知f(x)与g(x)的图象的交点个数为2,故选C. 7.D∵√3<2<3,1<2<√5,3>2,∴log 3√3<log 32<log 33,log 51<log 52<log 5√5,log 23>log 22,∴12<a<1,0<b<12,c>1, ∴c>a>b.故选D. 8.A a=21.2>20=1,b=(12)-0.8=245>20=1,因为a=265>245=b,所以a>b.因为c=2log 52=log 54<1,所以a>b>c.9.D 对数函数y=lo g 12x 是(0,+∞)上的单调递减函数,则由lo g 12x<lo g 12y<0=lo g 121,可得1<y<x.10.B 易知0<a<1,则函数y=4x 与y=log a x 的大致图象如下图,只需满足log a 12>2,解得a>√22,∴√22<a<1,故选B.11.D 当x≤1时,由f(x)≤2可得21-x ≤2,解得0≤x≤1; 当x>1时, f(x)=1-log 2x<1,即f(x)≤2恒成立. 故x 的取值范围是[0,+∞).12.C a>1时,y=log a x 是增函数,∴23<a,∴a>1;0<a<1时,y=log a x 是减函数,∴a<23,∴0<a<23,综上,a>1或0<a<23,故选C.13.D 当x>0时,-x<0,∵f(x)>f(-x),即log 2x>lo g 12x,∴log 2x>-log 2x,∴log 2x>0,∴x>1;当x<0时,-x>0,∴不等式可化为lo g 12(-x)>log 2(-x),∴-log 2(-x)>log 2(-x),∴log 2(-x)<0,∴0<-x<1,∴-1<x<0,综上,x>1或-1<x<0,故选D.基础过关一、选择题1.C 由题意知M={x|x<1},N={x|x>-1}.故M ∩N={x|-1<x<1}.2.D 由题意知,A={x|x>-1},B={y|0<y<1},所以A∩B=(0,1).3.A 显然c=213=√23>1,0<b=(13)0.3<(13)0=1,即0<b<1,a=lo g 123<lo g 121=0,因此c>b>a,故选A.4.C 依题意知,函数f(x)=log 2x,所以f(2)=1.5.B 由已知得f(x)的定义域为(-1,1),f(-x)=lg 1-(-x )1+(-x )=lg 1+x1-x =lg (1-x 1+x )-1=-lg 1-x1+x =-f(x),可知函数f(x)为奇函数,因此f(-a)=-f(a)=-12. 6.C ∵x≥4,∴log 2x≥2,∴log 2x+1≥3. ∴函数y=1+log 2x(x≥4)的值域是[3,+∞).7.C 函数y=log 2x 的反函数为y=2x,故f(x)=2x,于是f(1-x)=21-x=(12)x -1,此函数在R 上为减函数,其图象过点(0,2),所以选项C 中的图象符合要求.8.B 当a>1时,a+log a 2+1=a,log a 2=-1,a=12,与a>1矛盾;当0<a<1时,1+a+log a 2=a,log a 2=-1,a=12. 9.D 由已知得函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以它是偶函数.又当x>0时, f(x)=lg x 在区间(0,+∞)上是增函数,又f(x)为偶函数,所以f(x)=lg|x|在区间(-∞,0)上是减函数.10.A ∵函数f(x)=2+log 3x 在[181,9]上是增函数,∴当x=181时f(x)取最小值,最小值为f (181)=2+log 3181=2+log 33-4=2-4=-2. 二、填空题 11.答案 -12解析 f(3)+f(-1)=-log 33+2-1=-1+12=-12. 12.答案 (-1,3)解析当2x+3=1,即x=-1时,y=3+log a 1=3,因此函数图象必过点(-1,3),即P 点的坐标为(-1,3). 13.答案 (1,2]解析自变量x 满足2-x≥0且x-1>0,解得1<x≤2. 14.答案 19解析 ∵14>0,∴f (14)=log 214=-2.∴f (14)<0,∴f (f (14))=3-2=19.15.答案 (-2,-12)解析原不等式等价于{1-x >0,x +2>0,x +2<1-x ,解得-2<x<-12. 16.答案 [2,5]解析 ∵y=2x ,y=log 2x 在各自定义域上均为增函数,∴f(x)=2x +log 2x 在[1,2]上单调递增,故f(x)∈[2,5]. 三、解答题 17.解析 (1)由32x-1-127≥0得2x-1≥log 3127,解得x≥-1. ∴所求定义域为[-1,+∞).(2)由-lg(1-x)≥0得{1-x ≤1,1-x >0,即x∈[0,1),∴所求定义域为[0,1).18.解析 (1)(单调性法)因为y=log 3x 在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以log 31.9<log 32. (2)(中间量法)因为log 23>log 21=0,log 0.32<0,所以log 23>log 0.32.(3)(分类讨论)当a>1时,函数y=log a x 在定义域上是增函数,则有log a π>log a 3.141; 当0<a<1时,函数y=log a x 在定义域上是减函数,则有log a π<log a 3.141. 综上,当a>1时,log a π>log a 3.141;当0<a<1时,log a π<log a 3.141. 19.解析 ∵f(x)是R 上的奇函数, ∴f(0)=0. 当x<0时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-lg(-x), ∴f(x)={lgx ,0,-lg (-x ),x >0,x =0,x <0, 由f(x)>0得{x >0,lgx >0或{x <0,-lg (-x )>0, ∴x>1或-1<x<0.20.解析由x 2-log m x<0,得x 2<log m x,要使x 2<log m x 在(0,12)内恒成立,只要y=log m x 在(0,12)内的图象在y=x 2图象的上方即可,于是0<m<1. ∵x=12时,y=x 2=14,∴只要x=12时,y=log m 12≥14=log m m 14即可. ∴12≤m 14,即116≤m.又0<m<1, ∴116≤m<1,即实数m 的取值范围是[116,1). 21.解析 ∵f(x)=2+log 3x,x∈[1,9], ∴y=[f(x)]2+f(x 2) =(2+log 3x)2+(2+log 3x 2)=(log 3x)2+6log 3x+6=(log 3x+3)2-3. ∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴要使函数y=[f(x)]2+f(x 2)有意义,必须满足{1≤x 2≤9,1≤x ≤9,∴1≤x≤3.令u=log 3x,则0≤u≤1.又函数y=(u+3)2-3在[0,1]上是增函数,∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取最大值,y max =(1+3)2-3=13. 故当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x 2)取得最大值13. 22.解析 (1)y=12(t-2)(t-1) =12t 2-32t+1, 又2≤x≤8,∴1=log 22≤log 2x≤log 28=3, 即1≤t≤3.(2)由(1)得y=12(t -32)2-18, 1≤t≤3, 当t=32时,y min =-18;当t=3时,y max =1.∴-18≤y≤1, 即函数的值域为[-18,1].三年模拟一、选择题1.C ∵x∈(1e ,1),∴a=ln x∈(-1,0).∵b=2ln x=ln x 2,y=ln x 是增函数,x 2<x,∴b<a. ∵c -a=ln 3x-ln x=ln x(ln 2x-1)>0, ∴c>a,∴b<a<c,故选C.2.B 设指数函数和对数函数分别为y=a x (a>0,a≠1),y=log b x(b>0,b≠1).若点P 1为“好点”,则P 1(1,1)在y=a x 的图象上,得a=1,与a>0,a≠1矛盾;P 2(1,2)显然不在y=log b x 的图象上;P 3(12,12)在y=a x ,y=log b x 的图象上时,a=14,b=14;易得P 4(2,2)也为“好点”. 二、填空题 3.答案 13解析由log 2(1x -1)=1得1x -1=2,所以x=13,即f -1(1)=13. 4.答案 2解析由题意得,当x=3时,x-a=1,∴a=3-1=2.5.答案124解析因为3<2+log 23<4,所以f(2+log 23)=f(2+log 23+1)=f(3+log 23). 因为3+log 23>4, 所以f(3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3·(12)log 23=124,即f(2+log 23)=124.6.答案 (0,110)∪(10,+∞)解析因为g(lg x)>g(1),所以f(|lg x|)>f(1),由f(x)为增函数得|lg x|>1,从而lg x<-1或lg x>1,解得0<x<110或x>10.7.答案 ①③④解析根据已知条件可知f(x)=lgx 2+1|x |(x≠0)为偶函数,显然利用偶函数的性质可知命题①正确;对真数部分分析可知真数部分的最小值为2,因此命题③成立;利用复合函数的性质可知命题④成立;命题②,单调性不符合对勾函数的性质,因此错误;命题⑤,函数有最小值,因此错误,故填写①③④. 三、解答题8.解析 (1)∵当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义, ∴3-ax>0对任意的x∈[0,2]恒成立. 又a>0且a≠1, ∴3-2a>0且a≠1, ∴0<a<32且a≠1.(2)假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1,则f(1)=1,即3-a=a,解得a=1.5.则f(x)=log 1.5(3-1.5x),当x=2时,3-1.5x=0,f(x)无意义, 故a=1.5不符合题意,∴不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 9.解析 (1)定义域为(3a,+∞),设t=x 2-5ax+6a 2,则y=f(x)=log a t, ∵t=x 2-5ax+6a 2在(3a,+∞)上递增,且f(x)的增区间为(6,+∞), ∴y=log a t 为单调增函数,故a>1, ∴3a=6,∴a=2.(2)由题意及(1)得f(x)=log 2(x 2-10x+24),∴x2-10x+24=m在(7,8)上有实数根, 设g(x)=x2-10x+24-m,∵g(x)在(7,8)上递增,∴{g(7)<0,g(8)>0⇒3<m<8.10.解析(1)由f(x)=1得,lg x=±1,所以x=10或110.(2)证明:结合函数图象,由f(a)=f(b)及0<a<b可判断a∈(0,1),b∈(1,+∞),从而-lg a=lg b,从而ab=1.又a+b2=1b+b2,令φ(b)=1b+b(b∈(1,+∞)),任取1<b1<b2,则b1-b2<0,b1b2>1,∵φ(b1)-φ(b2)=(b1-b2)(1-1b1b2)<0,∴φ(b1)<φ(b2),∴φ(b)在(1,+∞)上为增函数. ∴φ(b)>2.∴a+b2>1.。