高考数学一轮复习知识点：圆的方程
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高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第三节 圆的方程(课件)
半径：________
2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三 与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟 建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基 本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这 一条件．
2.点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＞_r_2_． (2)若M(x0，y0)在圆上，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y0_－__b_)2_＝_r_2_．
答案：B
10
考点三 与圆有关的轨迹方程 [综合性]
[例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P， Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解析：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2， 2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程 为(x－1)2＋y2＝1.
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
一题多变 (变问题)若例1中条件不变，求P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
的最大值和最小值．
答案：(1)B
12
反思感悟 建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基 本不等式、函数单调性等方法求最值．
(3)若M(x0，y0)在圆内，则_(x_0_－_a_)_2＋__(_y_0－__b_)2_＜__r2_．
二、必明2个常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2) ＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件 对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这 一条件．
圆的方程 ---2013届高考理科数学第一轮基础复习
设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因圆 C 过上述三 点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得
－1－ 1－b2＋D－1－ 1－b＋F＝0， －1＋ 1－b2＋D－1＋ 1－b＋F＝0， b2＋Eb＋F＝0 D＝2， 解上述方程组，因 b≠0，得E＝－b＋1， F＝b.
与圆有关的最值问题
(2012· 深圳调研)已知 M 为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45 ＝0 上任意一点，且点 Q(－2,3)． (1)求|MQ|的最大值和最小值； n－3 (2)若 M(m，n)，求 的最大值和最小值． m＋2
【思路点拨】 (1)利用|CQ|－R≤|MQ|≤|CQ|＋R 求范围． n－3 (2)利用斜率的几何意义求 的范围． m＋2
【答案】 (x－2)2＋y2＝10
求圆的方程 圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点 P(3，－2)，求圆的方程．
【尝试解答】 ＝r2(r＞0)，
法一
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2
b＝－4a， 3－a2＋－2－b2＝r2， 则有 |a＋b－1|＝r， 2
若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a，3)共圆， 求a的值．
【解】 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
5D＋F＋25＝0， 有－D＋F＋1＝0， －3D＋3E＋F＋18＝0.
D＝－4， 25 解得E＝－ 3 ， F＝－5.
25 故圆的方程为 x2＋y2－4x－ y－5＝0， 3 又点 D(a,3)在圆上，∴a2－4a－21＝0， 解得 a＝7 或 a＝－3， 当 a＝－3 时，点 C 与点 D 重合，故舍去． ∴a＝7.
【解析】 由题意知 a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0， ∴3a2＋4a－4＜0， 2 解得－2＜a＜ . 3
高考数学一轮单元复习：第44讲 圆的方程
不含 xy 项，即 B＝0；③ D + E − 4 F f 0 ＝ ； A A A
2 2
。
│要点探究
要点探究
► 探究点1 探究点 求圆的方程
重庆卷] 轴上， 例 1 [2009·重庆卷 圆心在 y 轴上，半径为 1， 重庆卷 ，且过点 (1，2)的圆的方程为 的圆的方程为( ) ， 的圆的方程为 A. x2＋(y－2)2＝1 － B. x2＋(y＋2)2＝1 ＋ C. (x－1)2＋(y－3)2＝1 － － D. x2＋(y－3)2＝1 －
│要点探究
思路】 二次函数图象与x轴有两个交点 【思路】 (1)二次函数图象与 轴有两个交点，与y轴 二次函数图象与 轴有两个交点， 轴 的交点中b≠0，(2)设圆的一般方程用待定系数法，(3)含 设圆的一般方程用待定系数法， 含 的交点中 ， 设圆的一般方程用待定系数法 b的两项为一组，并提取 ， 不含 的为另一组， 用恒等 的两项为一组， 的为另一组， 的两项为一组 并提取b，不含b的为另一组 式求. 式求
│要点探究
江苏卷]在平面 变式题 [2008·江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中， 江苏卷 在平面直角坐标系 记二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交 ＝ ＋ ∈ 与两坐标轴有三个交 点，经过三个交点的圆记为 C。 。 (1)求实数 b 的取值范围； 求实数 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； 求圆 的方程； (3)问圆 C 是否经过定点 其坐标与 b 无关 ？请证明你 问圆 是否经过定点(其坐标与 无关)？ 的结论。 的结论。
│要点探究
【解答】 (1)设所求圆的方程为 解答】 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有 ＋ ＋ ＝ ，
2 2
。
│要点探究
要点探究
► 探究点1 探究点 求圆的方程
重庆卷] 轴上， 例 1 [2009·重庆卷 圆心在 y 轴上，半径为 1， 重庆卷 ，且过点 (1，2)的圆的方程为 的圆的方程为( ) ， 的圆的方程为 A. x2＋(y－2)2＝1 － B. x2＋(y＋2)2＝1 ＋ C. (x－1)2＋(y－3)2＝1 － － D. x2＋(y－3)2＝1 －
│要点探究
思路】 二次函数图象与x轴有两个交点 【思路】 (1)二次函数图象与 轴有两个交点，与y轴 二次函数图象与 轴有两个交点， 轴 的交点中b≠0，(2)设圆的一般方程用待定系数法，(3)含 设圆的一般方程用待定系数法， 含 的交点中 ， 设圆的一般方程用待定系数法 b的两项为一组，并提取 ， 不含 的为另一组， 用恒等 的两项为一组， 的为另一组， 的两项为一组 并提取b，不含b的为另一组 式求. 式求
│要点探究
江苏卷]在平面 变式题 [2008·江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中， 江苏卷 在平面直角坐标系 记二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交 ＝ ＋ ∈ 与两坐标轴有三个交 点，经过三个交点的圆记为 C。 。 (1)求实数 b 的取值范围； 求实数 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； 求圆 的方程； (3)问圆 C 是否经过定点 其坐标与 b 无关 ？请证明你 问圆 是否经过定点(其坐标与 无关)？ 的结论。 的结论。
│要点探究
【解答】 (1)设所求圆的方程为 解答】 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有 ＋ ＋ ＝ ，
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与
所以圆的方程为x2＋y2－4x－235y－5＝0. 将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍)．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时 圆的方程及直线与 圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方 程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义 平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点 是圆心，定长是半径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时 圆的方程及直线与 圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方 程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义 平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点 是圆心，定长是半径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以 为半径，故圆的方程为
−
+ + ��
= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −
+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−
+ −
=
+ −
= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −
+ +
= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −
解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −
+ = ,
故 = − −
−
+ = ，即表示以点 , 为圆心， 为半径
的圆.
高考数学复习：圆的方程
所以 x2+y2 的最大值是(2+√3)2=7+4√3,最小值是(2-√3)2=7-4√3.
命题角度4 利用函数或基本不等式求最值问题
例6 设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当
x+y-2=0
|AB|取最小值时,切线l的方程为
设点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线 AB
又所求圆在直线 x-y-3=0 上截得的弦长为√6,
圆心(a,-a)到直线 x-y-3=0 的距离
∴d +
2
√6
2
2
2
(2-3)
=r2,即
2
|2-3|
d=
,
√2
3
+ =2a2,
2
解得 a=1.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
(方法二)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
例5 在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.
解 如图,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在
原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
因为圆心到原点的距离为 (2-0)2 + (0-0)2 =2,
例2 如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长
至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
解 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.
命题角度4 利用函数或基本不等式求最值问题
例6 设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当
x+y-2=0
|AB|取最小值时,切线l的方程为
设点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线 AB
又所求圆在直线 x-y-3=0 上截得的弦长为√6,
圆心(a,-a)到直线 x-y-3=0 的距离
∴d +
2
√6
2
2
2
(2-3)
=r2,即
2
|2-3|
d=
,
√2
3
+ =2a2,
2
解得 a=1.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
(方法二)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
例5 在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.
解 如图,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在
原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
因为圆心到原点的距离为 (2-0)2 + (0-0)2 =2,
例2 如图,已知点A(-1,0),B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长
至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.
解 设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.
高考数学一轮复习第八章解析几何2圆的方程课件新人教A版2
考点2
解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 u=- 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)
的斜率的最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离
|-|
2 +2
= √2,
即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b 时取等号.
≥2√2,所以|AB|的最小值为 2√2,
√2
a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0.
2
2
又|AB|=√2 + 2 =
此时 a=b,即
-21考点1
(x-1)2+(y-1)2=13
.
解析 以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得
(x-1)2+(y-1)2=13.
-8知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆心C的坐标
x2+y2-2x-4y+4=0
为 (1,2)
;圆C的一般方程是
.
解析 已知圆 x2+y2+2x=0 的圆心坐标是(-1,0),半径是 1.
设圆 C 的圆心为(a,b),则有
= 1,
+1
-1
+
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高考数学一轮复习知识点：圆的方程
(1)设直线，圆圆心到l的距离为则有
(2)设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有;;
注：如圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距
(d)之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条;
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;
当时，两圆内含;当时，为同心圆。
2019-2019高考数学一轮复习知识点：圆的方程的全部内容就为考生分享到这里，查字典数学网希望考生可以随时有进步。