4 倒格空间

第一章 晶体的结构
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§1.5 倒格空间 在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中 在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质， 的波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 年提出的物质波的概念， 的波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念， 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物理 学中也是一个贯穿始终的概念： 学中也是一个贯穿始终的概念：
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普遍而言， 普遍而言，正空间中的点阵与其倒易点阵属于同一 种晶系。 种晶系。 一般正、倒点阵是同一种布喇菲点阵。 一般正、倒点阵是同一种布喇菲点阵。 例外的情况，面心和体心类型的布喇菲点阵互为对方 例外的情况， 的倒易点阵。 的倒易点阵。
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h1,h2,h3为整数，这样可设倒格矢的基矢为： 为整数，这样可设倒格矢的基矢为：
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b1 , b2 , b3 K h = h1b1 + h2b2 + h3b3 LL (5)
显然，当倒格子基矢bj(j=1,2,3)与正格子基矢ai(i=1,2,3) bj(j=1,2,3)与正格子基矢ai(i=1,2,3)之间符合正交 显然，当倒格子基矢bj(j=1,2,3)与正格子基矢ai(i=1,2,3)之间符合正交 归一关系
h
F ( K h ) 称为傅里叶系数， 称为傅里叶系数，
1 F ( K h ) = ∫ F (r ) exp(−iK h ⋅ r )dr Ω Ω
显然由
F (r + Rl ) = F (r ) L (1)
1 F ( K h ) = ∫ F (r + Rl ) exp(−iK h ⋅ r )dr Ω Ω
倒易空间对理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。 对理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。
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一、倒格子定义
v v v 是一个晶格的基矢，该点阵的位移矢量 位移矢量为 a1 , a 2 , a 3 是一个晶格的基矢，该点阵的位移矢量为： r v v v R l = l1 a1 + l 2 a 2 + l 3 a 3 v v v 原胞体积是： 原胞体积是： Ω = a1 • (a 2 × a 3 ) v v v 现在定义另一晶格的3个基矢： 现在定义另一晶格的3个基矢： b1 , b 2 , b3
有
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引入
r ′ = r + Rl
1 F ( K h ) = ∫ F (r ′) exp[− iK h ⋅ (r ′ − Rl )]dr ′ Ω Ω 1 = ∫ F (r ′) exp(−iK h ⋅ r ′)dr ′ exp(iK h ⋅ Rl ) Ω Ω
= F ( K h ) exp(iK h ⋅ Rl ) F ( K h )[1 − exp(iK h ⋅ Rl )] = 0
倒易点阵例子
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倒易点阵例子
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倒易点阵例子
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倒易点阵例子
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（2）倒格子原胞体积与正格子原胞体积互为倒数 为倒格子原胞体积， 令Ω’为倒格子原胞体积， 为倒格子原胞体积
r r r ( 2π ) 3 [a 2 × a 3 ]⋅ [a 3 × a 1 ` ]× [a 1 × a 2 ]; Ω = b1 • ( b 2 × b 3 ) = 3 Ω A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C 利用三重矢积公式
简立方的倒格子在其所处的空间（倒空间）也是简立方。 简立方的倒格子在其所处的空间（倒空间）也是简立方。 从关系式可知，倒格子只由正格子原胞基矢确定，而与具体正格子空 从关系式可知，倒格子只由正格子原胞基矢确定， 间中的晶体结构究竟是布喇菲格子还是复式格子无关。 间中的晶体结构究竟是布喇菲格子还是复式格子无关。 如一复式格子是由若干相同的布喇菲格子穿套而成，则其倒格子也就 如一复式格子是由若干相同的布喇菲格子穿套而成， 是此布喇菲格子的倒格子。 是此布喇菲格子的倒格子。
Ω为三维布拉菲点阵的原胞体积。 为三维布拉菲点阵的原胞体积。 以立方晶系为例，如为简立方结构，则有： 简立方结构， 以立方晶系为例，如为简立方结构 则有：
a1
r r r = i a ,a2 = ja ,a3 = ka
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则倒格子基矢为： 则倒格子基矢为：
r 2π b1 = i a r 2π b 2 = j a r b 3 = k 2π a
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二、正倒格子间的关系 （1）倒格子基矢与正格子原胞基矢间关系： ）倒格子基矢与正格子原胞基矢间关系： 设某晶体结构原胞的基矢为a1.a2.a3, 设某晶体结构原胞的基矢为a1.a2.a3,则， a1.a2.a3,则
2π ( a 2 × a 3 ) b1 = Ω 2π ( a 3 × a 2 ) b2 = Ω b = 2π ( a 1 × a 2 ) 3 Ω
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实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可 实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量， 以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的 Fourier变换 以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换， Fourier逆变换。 Fourier逆变换。 逆变换 正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l 正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1， 称作波矢空间。例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1。 cm,倒易点阵是 称作波矢空间。例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的， 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一 种晶体结构，都有2个点阵与其相联系。 种晶体结构，都有2个点阵与其相联系。 一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像； 一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像； 另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。 另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。 后面我们将看到： 后面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
= 2π (i = j ) ai ⋅ b j = 2πδij LL(6) = 0(i ≠ j )
K h ⋅ Rl = 2πµ
（5）式自然满足。 式自然满足。
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同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从Fourier 同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中的表述之间服从Fourier 变换关系。 变换关系。
证明
= 2π ( i = j ) a i ⋅ b j = 2πδ ij = 0( i ≠ j )
i , j = 1, 2 ,3
式中，两组基矢满足正交归一的关系，数学地体现了倒易点阵和布喇菲点 式中，两组基矢满足正交归一的关系， 阵互为傅里叶空间的关系。 阵互为傅里叶空间的关系。 晶体具有平移同期性，晶体中任一处的物理量F(r)也具有周期性（ 晶体具有平移同期性，晶体中任一处的物理量F(r)也具有周期性（质 量密度、电子云密度、离子实产生的势场），故可写成： 量密度、电子云密度、离子实产生的势场），故可写成： ），故可写成 其中
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本节内容
在K空间看晶体结构 倒格子 倒格子基矢 正格子和倒格子之间的关系 本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间）与后面将要提及的布里 本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间） 渊区，就是试图给出晶体中传播的波的一些普遍的几何特性。 渊区，就是试图给出晶体中传播的波的一些普遍的几何特性。 1913年 德国人厄瓦耳（P.P.Ewald18881913年， 德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888-1985 ）为解释X射线的单 为解释X 晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念，同时引进倒易空间的概念。 晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念，同时引进倒易空间的概念。
假设
= 2π ( i = j ) v v 它们的关系满足： 它们的关系满足： a ⋅ b = 2πδ i , j = 1, 2 ,3 i j ij = 0 (i ≠ j ) v v v 则称这两种格子互为正倒格子。 的格子为正格子， 则称这两种格子互为正倒格子。若基矢 a1 , a 2 , a 3 的格子为正格子，则 v v v b1 , b 2 , b3 的格子就是倒格子。反之亦然。 的格子就是倒格子。反之亦然。 v v v v K h = h1b1 + h 2 b 2 + h3 b3 位移矢量就构成了倒易点阵。 位移矢量就构成了倒易点阵。
在研究晶体结构时，必须分析X射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射； 在研究晶体结构时，必须分析X射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射； 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶体 在解释固体热性质的晶格振动理论中， 中传播； 中传播； 在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。 在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。
上讲内容： 上讲内容： 晶体结构=空间点阵+ 晶体结构=空间点阵+基元 原胞 布喇菲格子 每个格点周围情况完全相同的格子称为布喇菲格子，基元代表点 每个格点周围情况完全相同的格子称为布喇菲格子， （格点）形成的格子都是布喇菲格子。 格点）形成的格子都是布喇菲格子。 复式格子 由两个以上布喇菲格子套合而成的格子称为复式格子，若以 由两个以上布喇菲格子套合而成的格子称为复式格子， 原子为组成单位，多原子基元组成的晶体为复式格子结构。 原子为组成单位，多原