2020年江西省中等学校中考数学模拟试卷

中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列四个数中，最大的是（）A. -1B. 0C.D.2.将不等式1-2x≤3的解集表示在数轴上，正确的是（）A. B.C. D.3.在第15届中国（上海）国际茶产业博览会上，上海世博展览馆展出一只如图所示的紫砂壶，以箭头所指方向为主视方向，则该紫砂壶的主视图是（）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）A. （-3a4）2=9a6B. 6ab5÷2ab3=3ab2C. +=a+1D. ÷=5.如图，在边长为1的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．图中①、②、③、④四个格点多边形的面积分别记为S1，S2，S3，S4，下列说法正确的是（）A. S1=S2B. S2=S3C. S1+S2=S4D. S1+S3=S46.对于二次函数y=ax2+（1-2a）x（a＞0），下列说法错误的是（）A. 当a=时，该二次函数图象的对称轴为y轴B. 当a＞时，该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧C. 该二次函数的图象的对称轴可为x=1D. 当x＞2时，y的值随x的值增大而增大二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.分解因式：2x2-18=______．8.改革开放40年来，我国国内生产总值增长到827000亿元，其中827000用科学记数法表示为______．9.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点A1，点C的对应点为点C1，当点A1恰好落在边BC上时，连接CC1，若∠ABC=40°，则∠C1CB的度数为______．10.如图，BD为⊙O的直径，=，∠ABD=35°，则∠DBC=______°．11.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，且x1+x2≥0，则k的取值范围是______．12.如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，tan∠ABC=2，AB=2，BC=10，点P为边AD上的动点，若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则PD的长为______．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）13.（1）先化简，再求值：3a（a-b）-（a-b）（2a+b），其中a=+1，b=-1．（2）解二元一次方程组．14.如图，矩形ABCD中，E、F为CD边的三等分点，连接AF、BE交于点G，求S△EFG：S△ABG．15.2019年3月16日，由中国科协主办的第六届全国青年科普创新实验暨作品大赛启动，重点围绕“智能，环保、教育”三大主题，某中学派出甲、乙两组队伍参加本次大赛，有四个命题供他们选择：①智能：智能控制及人工智能命题（用A表示）②环保：包括生物环境、风能两个命题（分别用B1、B2表示）③教育：未来教育命题（用C表示）（1）甲组队伍在四个命题中随机选取一个报名恰好选择“教育”主题的概率是多少？（2）若甲、乙两组队伍各随机从四个命题中选一个报名，请用树状图法或列表法求出他们都选择“环保”主题的概率．16.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为BC的中点，以BC为底边的等腰△BCD按如图所示位置摆放，且∠DBC=∠ABC．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）：（1）如图①，在AB上求作一点F，使四边形BDCF为菱形；（2）如图②，过点C作线段CP，使得线段CP将△BCD的面积平分．17.为加强公民节电意识，某县将居民用电量分为两个阶梯，月用电量不超过150度时按第一个阶梯费用收费，超过150度时，超出的部分按第二个阶梯费用收费．下表是该县居民肖伟家2019年3月和4月所交电费的收据．求该县居民用电第一阶梯电费和第二阶梯电费分别为每度多少元？18.为响应市政府关于“垃圾不落地，市区更美丽”的主题宣传活动，某校随机调查了部分学生对垃圾分类知识的了解情况，对该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四类（其中A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”）．根据调查结果得到如下不完整（），；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1400人，估计该校对垃圾分类知识“非常了解”的有多少人？19.清代诗人高鼎的诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”描绘出一幅充满生机的春天景象．小明制作了一个风筝，如图1所示，AB是风筝的主轴，在主轴AB上的D、E两处分别固定一根系绳，这两根系绳在C点处打结并与风筝线连接．如图2，根据试飞，将系绳拉直后，当∠CDE=75°，∠CED=60°时，放飞效果佳．已知D、E两点之间的距离为20cm，求两根系绳CD、CE的长．（结果保留整数，不计打结长度．参考数据：，）20.如图，点A（a，b）是双曲线y=（x＞0）上的一点，点P是x轴负半轴上的一动点，AC⊥y轴于C点，过A作AD⊥x轴于D点，连接AP交y轴于B点．（1）△PAC的面积是______；（2）当a=2，P点的坐标为（-2，0）时，求△ACB的面积；（3）当a=2，P点的坐标为（x，0）时，设△ACB的面积为S，试求S与x之间的函数关系．21.如图①，线段AB是⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，∠CAB=30°，点P在射线AC上运动（点P不与点A重合），直径AB的垂线OD与AB的平行线PD相交于点D，连接PB，设PB=x．（1）求x的取值范围；（2）如图②，点E是线段PB与的交点，若EB=，求证：直线PD与⊙O相切；（3）如图③，当x=4时，连接AD，判断四边形ABPD的形状，并说明理由．22.已知抛物线l1：y1=ax2-2的顶点为P，交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），且sin∠ABP=．（1）求抛物线l1的函数解析式；（2）过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1：4两个部分，求直线AC的解析式；（3）在（2）的情况下，将抛物线l1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线l2，点M 为抛物线l2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？23.如图①，在△ABC中，若点D在边AB上，且∠ACD=∠B，则点D定义为△ABC的边AB上的“金点”（1）已知点D是△ABC的边AB上的“金点”：①若AB=9，AC=8，BC=6，则AD的长为______；②若∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则CD的长为______；（2）在图①中，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“金点”，并说明理由；（3）如图②，已知点A，O，B为同一直线上三点，且AO=2，OB=3，CO⊥AB，∠ACB=45°，在AB所在直线上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“金点”，若存在，求出线段OD的长；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵＞＞0＞-1，∴四个数中，最大的是．故选：C．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.【答案】A【解析】解：不等式1-2x≤3，解得：x≥-1，表示如下：故选：A．求出不等式的解集，表示在数轴上即可．此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.【答案】A【解析】解：从几何体的正面看可得，故选：A．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：∵（-3a4）2=9a8，故选项A错误；∵6ab5÷2ab3=3b2，故选项B错误；∵===a+1，故选项C正确；∵==，故选项D错误；故选：C．根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．本题考查分式的混合运算、幂的乘方与积的乘方、整式的除法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．5.【答案】B【解析】解：∵S1=2.5，S2=3，S3=3，S4=6，∴S2=S3，S3+S2=S4，故选：B．依据S1=2.5，S2=3，S3=3，S4=6，即可得到正确的结论．本题主要考查了三角形的面积，三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．6.【答案】C【解析】解：该抛物线的对称轴为：x==1-，（A）当a=时，此时x=0，即二次函数的图象对称轴为x=0，即y轴，故A正确；（B）当a＞时，此时x=1＞0，此时对称轴在y轴的右侧，故B正确；（C）由于a＞0，故对称轴不一定是x=1，故C错误；（D）由于1＜1，所以对称轴x＜1，由于a＞0，∴抛物线的开口向上，∴x＞2，y的值随x的值增大而增大，故D正确；故选：C．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．7.【答案】2（x+3）（x-3）【解析】解：原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3），故答案为：2（x+3）（x-3）原式提取2，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8.【答案】8.27×105【解析】解：827000=8.27×105，故答案为：8.27×105．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9.【答案】70°【解析】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转，∴∠ABC=∠A1BC1=40°，BC=BC1，∴∠C1CB=70°由旋转的性质可得∠ABC=∠A1BC1=40°，BC=BC1，即可求∠C1CB=70°．本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．10.【答案】20【解析】解：连接DA、DC，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠ABD=35°，∴∠ADB=55°，由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB=55°，∵=，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=55°，∴∠BAC=70°，由圆周角定理得，∠BDC=∠BAC=70°，∴∠DBC=20°，故答案为：20．连接DA、DC，根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=90°，求出∠ADB，根据圆周角定理、等腰三角形的性质计算即可．本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．11.【答案】k≤-【解析】解：∵原方程有两个实数根，∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0∴1-4k≥0，∴k≤．∵x1，x2是原方程的两根，x1+x2≥0，∴x1+x2=-（2k+1）≥0，∴k≤-，∴k的取值范围是k≤-．故答案为：k≤-．根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．12.【答案】10或9或4【解析】解：如图，作EH⊥AD于H，过A作AO⊥BC于O，∴AH=OE，HE=AO，∵BC=10，点E是BC的中点，∴BE=5，∵tan∠ABC==2，∴设AO=2x，BO=x，∴AB=x=2，∴x=2，∴OA=4，OB=2，OE=3，∴AH=3，HE=4，如图1，当EP=EB=5时，PH=3，∴PD=10-3-3=4或PD=10；如图2，当BP=BE=5时，过P作PQ⊥BC于Q，∴PQ=AO=4，∴BQ==3，∴AP=OQ=1∴PD=10-1=9，综上所述，PD的长为10或9或4，故答案为：10或9或4．分两种情形分别讨论求解即可．本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．13.【答案】解：（1）3a（a-b）-（a-b）（2a+b）=3a2-3ab-（2a2+ab-2ab-b2）=3a2-3ab-2a2+ab+b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，把a=+1，b=-1代入上式得：原式=（+1）2=4；（2），①+②得：3x=6，解得：x=2，故2+y=2，解得：y=0，故方程组的解为：．【解析】（1）直接利用多项式乘以多项式进而合并同类项进而把已知代入求出答案；（2）直接利用加减消元法解方程组得出答案．此题主要考查了整式的混合运算以及二元一次方程组的解法，正确掌握相关运算法则是∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴．【解析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查矩形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】解：（1）甲组队伍在四个命题中随机选取一个报名恰好选择“教育”主题的概率为；（2）画树状图如图所示：共有16种等可能的结果，甲、乙两组队伍都选择“环保”主题的结果有4种，∴甲、乙两组队伍都选择“环保”主题的概率为=．【解析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果数，甲、乙两组队伍都选择“环保”主题的结果有4种，然后根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16.【答案】解：（1）如图①，点F为所作；（2）如图②，CP为所作．【解析】（1）延长DE交AB于F，利用△BDC为等腰三角形，E为BC的中点，则DF 垂直平分BC，再根据∠DBC=∠ABC得到BF=BD，所以BE垂直平分DF，然后根据菱形的判定方法得到四边形BDCF为菱形；（2）由（1）得到CD为斜边上的中线，连接AE交CD于点O，则点O为△ABC的重心，连接BO并延长交AC于Q，则Q点为AC的中点，延长QE交BD于P，则CP为BD边的中线，线段CP将△BCD的面积平分．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定和三角形重心的性质．17.【答案】解：设该县居民用电第一阶梯电费每度x元，第二阶梯电费每度y元，解得：．答：该县居民用电第一阶梯电费每度0.6元，第二阶梯电费每度0.8元．【解析】设该县居民用电第一阶梯电费每度x元，第二阶梯电费每度y元，根据肖伟家2019年3月和4月所交电费的收据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18.【答案】20% 10%【解析】解：（1）本次调查的人数为：25÷50%=50，a==20%，m=1-20%-50%-20%=10%，故答案为：20%，10%；（2）调查结果为D的学生有：50×10%=5（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）1400×20%=280（人），答：该校对垃圾分类知识“非常了解”的有280人．（1）根据结果为B的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以求得a 和m的值；（2）根据（1）中的结果可以求得结果为D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得该校对垃圾分类知识“非常了解”的有多少人．本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.【答案】解：如图，作CH⊥DE于H，在CH上取一点N，使得DN=CN，设DH=x．∵∠CDH=75°，∠CHD=90°，∴∠DCH=15°，∵NC=ND，∴∠NCD=∠NDC=15°，∴∠DNH=15°+15°=30°，∴DN=CN=2x．NH=x，∵∠CEH=60°，∴EH=•（2x+x）∴x=5（3-），∴CD==（+）x≈24（cm），EC=2EH=•（2x+x）≈27（cm）．解法二：作DH⊥CE于E，把问题转化为两个特殊三角形，即可解决问题．【解析】如图，作CH⊥DE于H，在CH上取一点N，使得DN=CN，设DH=x．构建方程求出x，即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】（1）4（2）∵a=2，∴b=4，∴AC=2，AD=4，A（2，4），设直线AP的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线AP的解析式为y=x+2，∴B（0，2），∴S△ABC=AC•BC==2；（3）同理直线AP的解析式为y=-，∴B（0，-），∴BC=4+=∴S=×2×=．【解析】解：（1）∵点A（a，b）是双曲线y=（x＞0）上，∴ab=8，∵AC⊥y轴于C点，AD⊥x轴于D点，∴AC=a，AD=b，故答案为：4；（2）见答案（3）见答案【分析】（1）由点A（a，b）是双曲线y=（x＞0）上，得到ab=8，根据反比例函数系数k的几何意义，就看得到△PAC的面积=AD•AC=ab=4；（2）先求出直线AP的解析式为y=x+2，得到B（0，2），即可求出S△ABC=AC•BC==2；（3）求出直线AP的解析式为y=-，得到B（0，-），代入三角形的面积公式即可求出S=×2×（-）=-．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确理解k的几何意义是解题的关键．21.【答案】解：（1）当点P在点C处，PB取得最小值，即x=AB=2，故x≥2；（2）如图②，点E是PB的中点，则AP=2OE=4，AH==，HP=4-，HD=HP sin∠DPA=2-，则OH=，OD=OH+HD=2，故线PD与⊙O相切；（3）如图③∵PB=x=AB，则∠PAB=∠APB=30°，∵PD∥AB，∴∠APD=∠APB=∠PAB=30°过点P作PM⊥AB交直线AB于点M，则四边形DPMO为矩形，∠BPM=30°，则BM=BP=2=OA，∴DP=OB+MB=4=AB，又PD∥AB，∴四边形ABPD是平行四边形，又PD=PB=4，∴四边形ABPD是菱形．【解析】（1）当点P在点C处，PB取得最小值，即x=AB=2，即可求解；（2）证明OD=OH+HD=2，故线PD与⊙O相切；（3）先四边形ABPD是平行四边形，又PD=PB=4，即可证明四边形ABPD是菱形．此题属于圆的综合题，涉及了特殊四边形的性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．22.【答案】解：（1）当x=0时，y1=ax2-2=-2∴顶点P（0，-2），OP=2∵∠BOP=90°∴sin∠ABP=∴BP=OP=2∴OB=∴B（4，0），代入抛物线l1得：16a-2=0，解得：a=∴抛物线l1的函数解析式为y1=x2-2（2）∵知抛物线l1交x轴于A、B两点∴A、B关于y轴对称，即A（-4，0）点A代入得：-4k+b=0∴b=4k∴直线AC：y=kx+4k，D（0，4k）∴S△AOD=S△BOD=×4×|4k|=8|k|∵x2-2=kx+4k整理得：x2-8kx-32k-16=0∴x1+x2=8k∵x1=-4∴x C=x2=8k+4，y C=k（8k+4）+4k=8k2+8k∴C（8k+4，8k2+8k）∴S△ABC=AB•|y C|=32|k2+k|①若k＞0，则S△AOD：S四边形OBCD=1：4∴S△AOD=S△ABC∴8k=×32（k2+k）解得：k1=0（舍去），k2=∴直线AC解析式为y=+1②若k＜0，则S△AOD=S△BOD=-8k，S△ABC=-32（k2+k）∴-8k=×[-32（k2+k）]解得：k1=0（舍去），k2=（舍去）综上所述，直线AC的解析式为y=+1．（3）由（2）得：D（0，1），B（4，0）∵将抛物线l1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线l2∴抛物线l2解析式为：y2=-x2-2设点M坐标为（m，-m2-2）①若∠BDM=90°，如图1，则m＜0过M作MN⊥y轴于点N∴∠MND=∠BOD=∠BDM=90°，MN=-m，DN=1-（-m2-2）=m2+3∴∠MDN+∠BDO=∠MDN+∠DMN=90°∴∠BDO=∠DMN∴△BDO∽△DMN∴，即BO•MN=DN•OD解得：m1=-16+2，m2=-16-2②若∠DBM=90°，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q∴∠BQM=∠DBM=∠BDM=90°，BQ=4-m，MQ=-（-m2-2）=m2+2∴∠BMQ+∠MBQ=∠MBQ+∠DBO=90°∴∠BMQ=∠DBO∴△BMQ∽△DBO∴，即BQ•BO=MQ•OD∴4（4-m）=m2+2解得：m1=-16+4，m2=-16-4③若∠BMD=90°，则点M在以BD为直径的圆除点B、D外的圆周上显然以AB为直径的圆与抛物线l2无交点，故此情况不存在满足的m综上所述，点M的横坐标为-16+2或-16-2或-16+4或-16-4时，△BDM为直角三角形．【解析】（1）求抛物线l1的顶点P（0，-2）得OP=2，由sin∠ABP=求得BP的长，进而求得OB即点B坐标，代入抛物线l1的解析式即求得a的值．（2）求点A坐标为（-4，0），设直线AC解析式为y=kx+b，把点A代入得b=4k，所以能用k表示点D坐标，进而用k表示△AOD和△BOD的面积．把直线AC解析式与抛物线l1解析式联立方程，即y相等时得到一个关于x的一元二次方程，解即为点A、C横坐标，利用韦达定理求出点C横坐标（用k表示），进而可用k表示C的纵坐标，再得到用k表示的△ABC面积．当k＞0时，显然S△AOD：S四边形OBCD=1：4，即S△AOD=S△ABC，故得到关于k的方程，求解即得k的值．当k＜0，则得到的方程与k＞0时相同，求得的k不满足题意．综合即求得直线AC的解析式．（3）由于不确定点B、D、M哪个为直角顶点，故需分三种情况讨论．设点M横坐标为m，①若∠BDM=90°，过M作MN⊥y轴于点N，可证△BDO∽△DMN，用m表示MN、DN的长，代入相似三角形对应边成比例即列得方程求m的值．②若∠DBM=90°，过点M作MQ⊥x轴于点Q，可证△BMQ∽△DBO，用m表示BQ、MQ的长，代入相似三角形对应边成比例即列得方程求m的值．③若∠BMD=90°，则点M在以BD为直径的圆除点B、D外的圆周上，但显然以AB为直径的圆与抛物线l2无交点，故此情况不存在满足的m．本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，一次函数的图象与性质，求一次函数与二次函数图象交点，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质．第（2）题由于直线AC中k的值不确定需分类讨论计算；第（3）题直角三角形的分类讨论，常规解题方法包括构造相似三角形进行计算和圆周角定理的应用．23.【答案】或5【解析】解：（1）①当∠ACD=∠B时，点D是△ABC的边AB上的“金点”，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC2=AD•AB，∴AD=．当∠BCD=∠A时，点D是△ABC的边AB上的“金点”，同法可得BC2=BD•BA，∴BD==4，∴AD=AB-BD=9-4=5．综上所述，AD的长为或5．故答案为或5．②∵点D是△ABC的“理想点”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，当∠ACD=∠B时，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠CDB=90°，当∠BCD=∠A时，同法证明：CD⊥AB，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=3=5，AC=4，∴AB==5，∵•AB•CD=•AC•BC，∴CD=．故答案为（2）解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．理由：如图①中，∵D是AB中点，AB=4，∴AD=DB=2，∵AC2=（2）2=8，AD•AB=8，∴AC2=AD•AB，∴=，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴∠ACD=∠B，∴点D是△ABC的“理想点”，（3）如图③中，存在．有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y轴于H．∵∠MAC=∠AOC=∠AHM=90°，∠ACM=45°，∴∠AMC=∠ACM=45°，∴AM=AC，∵∠MAH+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，∴∠MAH=∠ACO，∴△AHM≌△COA（AAS），∴MH=OA，OC=AH，设OC=a∴OA=MH=2，OB=3．AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，∵MH∥OC，∴=，∴=，解得a=6或-1（舍弃），经检验a=6是分式方程的解，∴OC=6，①当∠D1CA=∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”．设OD1=m，∵∠D1CA=∠ABC，∠CD1A=∠CD1B，∴△D1AC∽△D1CB，∴CD12=D1A•D1B，∴m2+62=（m-2）（m+3），解得m=42，∴OD1=42．②当∠BCA=∠CD2B时，点A是△BCD2的“理想点”．易知：∠CD2O=45°，∴OD2=OC=6，③当∠BCA=∠AD3C时，点B是△ACD3的“理想点”．易知：∠CD3O=45°，∴OD3=OC=6，综上所述，满足条件的OD的长为42或6．（1）①分两种情形，利用相似三角形的性质解决问题即可．②利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）结论：点D是△ABC的“理想点”．只要证明△ACD∽△ABC即可解决问题；（3）如图③中，存在．有三种情形：过点A作MA⊥AC交CB的延长线于M，作MH⊥y 轴于H．构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．第21页，共21页。