二项式定理教学设计

今天是星期三，15 天后星期几，30 天后星期几， 8 (a + b )(a + b )的 (a + b ) (a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？ (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 问题 5 你能准确快速地写出 (a + b ) 的原始展开式的 16 项吗？经合并后，又只能有哪几 二项式定理一、教学目标1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理 能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁 美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别三、教学过程创设问题情境：100 天后星期几呢？前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生 试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日 历就能知道未来任何一天是星期几新课讲解：问题 1(a + b )(c + d )的展开式有多少项？有无同类项可以合并？由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速 的说出答案。

问题 2 2 原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成 的？有规律吗？学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题 3 3 是哪几项？学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题 4 4 的原始展开式有多少项？4 项？此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难， 易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）启发类比：4 个袋中有红球 a ，白球 b 各一个，每次从 4 个袋子中各取一个球，有什么样 的取法？各种取法有多少种？在 4 个括号（袋子）中(a + b ) 问题 8 那么，该如何将 (a + b ) 轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 (a + b ) 0 1 2 k (a + b ) k k(a + b ) 0 1 2 k 注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做 (a + b ) 的二项展开式 (a - b ) = C n a n - C n a n -1b n + C n a n -2b 2 + + (-1) C n a n -k b k + + (-1) C n b n (n ∈ N * ) (1+ x ) 0 1 2 k （3） 二项式展开式的通项： T k +1 = C n a 问题 6 其个数，为何恰好应为该项的系数？ 问题 7 n 在合并后的展开式中， a n -r b r 的系数应该是多少？有理由吗？n学生们快速地说出 n = C n a n + C n a n -1b n + C n a n -2b 2 + + C n a n -k b k + + C n b n (n ∈ N *) 我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？思路：证明中主要运用了计数原理！① 展开式中为什么会有那几种类型的项？n 是 n 个 (a + b )相乘，展开式中的每一项都是从这 n 个 (a + b )中各任取一个字母相乘得到的，每一项都是 n 次的。

故每一项都是 a n -k b k 的形式， k = 0,1, 2,, n ② 展开式中各项的系数是怎么来的？a n -kb k 是从 n 个 (a + b )中取 k 个 b ，和余下 n - k 个 a 相乘得到的，有 C n 种情况可以得到a n -kb k ，因此，该项的系数为 C n 定义：一般地，对于任意正整数 n ，上面的关系式也成立，即有n = C n a n + C n a n -1b n + C n a n -2b 2 + + C n a n -k b k + + C n b n (n ∈ N *) n（2）定理中的 a , b 仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相 加的 n 次幂，就能用二项式定理展开例：把 b 换成 -b ，则n k n练习：令 a = 1, b = x ，则n = C n + C n x 1 + C n x 2 + + C n x k + + C n x n (n ∈ N * ) 问题 9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性公式特征：（1） 项数：共有 n +1项（2） 指数规律：① 各项的次数都等于二项式的系数 n （关于 a 与 b 的齐次多项式）② 字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n k n -k b k ， k = 0,1, 2,, n（4） 二项式系数：依次为 C n , C n , C n ,C n , C n 。

这里 C n （k = 0,1, 2,, n ）称为二 现在同学们能告诉老师 8 8100 = (7 +1) 展开式中除了最后一项外，其余的项都是 7 的倍数，因此余数为 C n n = 1， 例 1 求的展开式 ⎛ ⎫ - （2） x - 1 ⎫ ⎪ 的展开式中 x 的系数和中间项 0 1 2 k n k 项式系数100 天后星期几吗？思考了一会儿，马上有同学大声喊：把 8 写成 7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期 几老师故意问：为什么要写成 7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期 7 天，所以100故应为星期四。

⎛ ⎝方法一：直接展开6 1 1 技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。

即原式变成 2x 2 - x 2 ⎪ ⎝ ⎭ 6 方法二：先合并化简，再展开建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？变式二：展开式中的第 3 项是多少？变式三：展开式中的第 3 项的系数是多少？变式四：展开式中的第 3 项二项式系数是多少？注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与 a , b 无关； 系数与 a , b 有关。

例 2 （1）求 (1+ 2x )7 的展开式的第 4 项的系数和第 4 项的二项式系数⎛ ⎝x ⎭ 9 3 例 3 求 (x + a )12 的展开式中的倒数第 4 项小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征（2）区别二项式系数、项的系数（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。

作业：P37 4，5教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性 都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到8100 天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。

给大家设置这个悬念后，紧接着又 进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二 项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。

1.知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.一、说教材1、地位及作用：二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

2、重点难点分析：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式系数的规律。

（2）能够应用二项式定理、对二项式进行展开。

难点：运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

A.知识与技能（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律。

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。

B.过程与方法通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力。

C.情感态度与价值观（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。

（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美。

三﹑说教法和学法1、教法为了完成本节课的教学目标，让学生主动探索展开式的由来是关键。

本节课的教法贯穿启发式教学原则，采用多媒体辅助教学方法，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。

2、学法根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。

在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。

3、教学手段利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的的兴趣。