第三章 1.2.3平动和转动
刚体及其运动规律
解： 设轴反力为 Nx，Ny。
由转动定律： 由质心运动定律：
O c
得： 讨论： 当 l =2l/3 时， Nx =0 。 l > 2l/3 时，Nx >0 ，l < 2l/3 时， Nx <0 。
[例] 半径为 R1 和 R2、转动惯量为 J1 和 J2 的两个圆柱 体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现将 小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着 转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相 反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？
M
m
[例] 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点，距A 端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1) 水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度 和角加速度。 c B A 解： O
(1) 方向：
(2)
A
c
Bபைடு நூலகம்
O
[例] 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水 平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过 多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）
x
转动平面
2. 刚体的角速度 角加速度
角速度
的方向：
角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。
3. 线量与角量的关系：
j
r
匀角加（减）速转动：
匀加(减)速直线平动：
式中：
是 t =0 时刻的角速度和角位置。
说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的质点具有不同的线量。
1
2 得：
[例] 均质细棒：m1、 l ，水平轴O，小球：m2与棒 相碰，碰前 碰后 如图，设碰撞时间很短，棒保 持竖直，求碰后棒的角速度。 O 解： 系统对O轴角动量守恒
第三章刚体力学(《普通物理学》精编版)讲义.
2.转动动能
设系统包括有 N 个质量元
ri
mi
r1 , r2 ,.....ri , .....rN v1 ,v 2 ,......,v i ,......v N
m1 , m2 ,......., mi ,......, m N
设转动角速度为，第i个质元mi 的速度为:
二、刚体定轴转动的转动定律
1. 力矩
z
P
(a) 外力在垂直于转轴的平面内
(b) 外力不在垂直于转轴的平面内 图3-6 力矩示意图
M rF
力矩大小
M Fd
M Frsin
力矩的方向可由右手螺旋法则来确定。
在SI制中，力矩的单位为N· m。
2．转动定律
M Jβ = J
dω dt
J 表示转动惯量
a R
从已知数据J0 、R、h、t即可算出待测的转动一、力矩的功 转动动能
1．力矩的功 力F在这段位移中所做的元功
z
dW Md
W Md
1 2
图3-14 力矩的功
力对定轴转动的刚体所做的功等于力矩与刚体角位移乘积的积分
比较：
力矩的功就是力的功。
3. 转动惯量
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大 小反映了改变刚体转动状态的难易程度。
J mi ri
i
2
J r 2 dm
转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布 ②转轴的位置 关于质量连续分布的物体可分为：线分布、面分布、体分布。
J r 2dm r 2dl
各质量元速度不同， 但角速度相同
1 2 2 1 2 其动能为 Eki miv i mi ri 2 2
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
第三章知识点总结0702
解：（1） 0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
飞轮做匀减速运动 0 0 5π rad s1 π rad s2
t
30
6
飞轮 30s 内转过的角度 2 02 (5π )2 75π rad 2 2(π 6)
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
第3章 知识点总结
本章题型：本章考试题型主要分布在填空、判断、计算 题。 本章重点：蓝色底色部分，其余知识作为辅助理解。
一、刚体的平动
刚体的平动：在运动中，如果刚体内任意两点的连线始终保持平行移动， 这样的运动称为刚体的平动。
平动特点：刚体上所有点运动都相同。所以，平动的刚体，可以作为质 点来处理。即，可用质心或其上任何一点的运动来代表整个刚体的运动。
定轴转动的刚体，半径不同的各质元在同一时间内都具有相同的角位移，在同 一时刻都具有相同的角速度和角加速度，因此，用角量描述刚体的定轴转动比较方 便。
刚体绕 OZ 轴，一维转动，为了反映刚体绕瞬时轴的方向及转动快慢等，引 入角速度矢量和角加速度矢量:
角速度：矢量方向（右手螺旋），大小为
d
dt
角加速度：大小为
2l
初始条件θ=0时，ω0=0，夹角为任意θ时，棒的角速度为ω。
两边积分：
d
3gcos d
0
0 2l
解得
3g sin
l
速度 加速度
质点的运动
v
dr
dt
a
dv dt
d 2 r dt 2
刚体的定轴转动
角速度 角加速度
d dt
d dt
d 2 dt 2
质量 力 运动规律
m
F
F
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
物理刚体的转动
例题
均匀圆环 ： m i
JC mi R R
2
2
m
i
C R
J C mR
2
例题
均匀圆盘：
m dm ds 2 R ds 2rdr
2 R 0
面密度rJ 源自 dm r 2 2 rdr R4
2
1 2 mR 2
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
J
r
2
dm
转动惯量与下列三个因素有关：
⑴形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 ⑵总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ⑶同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转 动惯量不同。
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia 例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系通过A点和O点，且垂直于 三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
4、刚体的一般运动
A r 1
A' B r 2
o1
o2
B'
刚体的一般运动可看作 是平动和转动的叠加
5、角速度矢量：
z
, α
v
angular velocity vector
刚体作定轴转动时，各质元 的线速度、角加速度一般是 不同的，但由于各质元的相 对位置保持不变，所以描述 各质元的角量，如角位移、 角速度、角加速度都是一样 的。因此描述刚体的整体运 动时，用角量最为方便
⑶ v R 78.5m s
1
a R an R 2
2 a a2 a n 6.16 m s 1
平动与转动
平动与转动1. 引言平动和转动是物体在空间中运动的两种基本形式。
平动指的是物体整体保持形状和位置不变，在空间中沿直线方向移动。
转动则指的是物体整体绕某个固定轴旋转。
本文将对平动和转动进行详细的介绍与分析。
2. 平动2.1 定义平动是指物体整体保持形状和位置不变，在空间中沿直线方向移动的运动形式。
在平动过程中，物体的各个点具有相同的速度和加速度。
2.2 物体的平动运动方程物体在平动过程中，可以用平动运动方程来描述其位置变化。
平动运动方程可以表示为：S = V * t运动的时间。
2.3 物体的平动运动特点物体的平动运动具有以下特点：•物体保持形状和位置不变；•物体各个点的速度和加速度相同；•物体的位移与速度成正比。
3. 转动3.1 定义转动是指物体围绕某个固定轴旋转的运动形式。
在转动过程中，物体的不同点具有不同的速度和加速度。
3.2 物体的转动运动方程物体在转动过程中，可以用转动运动方程来描述其位置变化。
转动运动方程可以表示为：θ = ω * t物体运动的时间。
3.3 物体的转动运动特点物体的转动运动具有以下特点：•物体围绕固定轴旋转；•物体不同点的速度和加速度不同；•物体的角位移与角速度成正比。
4. 平动与转动的联系与区别平动与转动是物体运动的两种基本形式，它们之间有着联系和区别。
4.1 联系平动和转动都是物体在空间中的运动形式，它们都涉及到物体的位置变化。
4.2 区别平动和转动的区别在于运动方式和运动轨迹。
在平动中，物体整体保持形状和位置不变，沿着直线方向移动，位移与速度成正比。
而在转动中，物体围绕固定轴旋转，不同点的速度和加速度不同，角位移与角速度成正比。
5. 结论平动和转动是物体在空间中运动的两种基本形式。
平动指的是物体整体保持形状和位置不变，在空间中沿直线方向移动；转动则指的是物体整体绕某个固定轴旋转。
平动和转动的联系在于都是物体的运动形式，区别在于运动方式和运动轨迹的不同。
对于理解和描述物体的运动规律，平动和转动的概念具有重要的意义。
刚体的平动和转动
刚体的平动和转动刚体是物理学中的重要概念，它是指在力的作用下不会发生形变的物体。
刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
本文将就刚体的平动和转动进行详细阐述。
一、刚体的平动刚体的平动是指整个物体在空间中沿直线运动，其每一部分都以相同的速度和方向移动。
刚体的平动可以用质心的运动来描述。
质心是刚体在空间中的一个点，刚体的质量集中于此点。
在刚体平动的过程中，质心的位置发生变化。
根据牛顿第二定律，刚体所受的合外力等于质量乘以加速度。
因此，刚体平动的加速度与合外力成正比，与质量成反比。
刚体平动时，其质心的速度与作用在质心上的合外力成正比，与质体的质量成反比。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转。
刚体转动的基本量是角速度和角加速度。
角速度是刚体每单位时间转动的角度，通常用符号ω表示。
角加速度是角速度变化的速率，通常用符号α表示。
刚体的转动是由力矩产生的。
力矩是力对轴线的垂直距离乘以力的大小。
根据力矩定理，一个物体的转动平衡需要满足合外力矩为零的条件。
根据转动定律，刚体的转动惯量与其质量和形状有关。
转动惯量用符号I表示，它与质体质量的分布以及围绕的轴线位置有关。
转动惯量越大，刚体越难以改变其转动状态。
三、刚体的平动与转动的联系刚体的平动和转动是密切相关的。
根据转动定律，刚体的转动加速度与转动力矩成正比，与转动惯量成反比。
因此，当一个刚体在平动时，可以通过产生合适的力矩使其发生转动。
进一步地，根据动量定理，刚体的平动动量等于质量乘以质心的速度。
而角动量定理则表明刚体的转动动量等于转动惯量乘以角速度。
刚体的平动和转动动量都遵循守恒定律，在运动过程中保持不变。
在实际应用中，刚体的平动和转动经常同时发生。
比如，汽车在行驶的过程中既存在平动又存在轮胎的转动。
为了描述这种情况，物理学家提出了受力分析的方法，将平动和转动各自相关的力和力矩进行分析。
总结：刚体的平动和转动是物理学中重要的运动形式。
刚体的平动是指整个物体沿直线运动，由质心的运动来描述；刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转，由角速度和角加速度来描述。
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d: 两平行轴间的距离
例6.右图示刚体对经过棒端且 Z
与棒垂直的轴的转动惯量如何
mL
计算？(棒长L、圆球半径R）
J棒Z
1 3
mLL2
J 球c
2 5
m0 R2
mO
J系Z Jc m0d 2 Jc m0 (L R)2
J系Z
1 3
mLL2
2 5
mo
R2
mo(L
R)2
1 2
R11 R22 （3）
J1
1 2
m1 R12 （4）
1
J2
1 2
m2 R22 （5）
2
（1）
（2）
§3. 3 刚体转动的动能定理（功能关系）
一、力矩的功
dA
F
•
dr
F
cos
|
dr |
F cosrd
F cos Ft F cos r M
dA Md
A Md O
F
drdr P
x
i
▲一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全
部质量都集中在质心时所具有的势能。
▲对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有
保守内力作功,则此系统的机械能守恒。
E
1 2
J 2
mghc
常量
前面的例7另解如下： 例１0、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的 定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一 端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略 轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落高度 ｈ时的速度和此时滑轮的角速度。
据质心定义 xdm＝mxC
mg
M
1
dmg
m gl cos
M mgxC
重力对整个棒的合力矩与全部 重力集中在质心所产生的力矩 一样。
2
M J
1 m glcos
2 1 ml2
3
又xc
1 l cos
2
3 g cos
2l
（2）M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd
◆J的三要素：•刚体的质量 •转轴的位置
•刚体的形状
●m连续 J r2dm
●SI，J ：kg●m2
★m连续：
线分布
dm dl 。
面分布
dm ds
体分布
dm dV
线分布
面分布
体分布
例2.三个质点的质量均为m，组成边长a的正△。 求：系统对过三角形中心o、点A并垂直于纸面
的转轴的J0、 JA
M1,R1 M2,R2 解：受力分析如图所示 列方程
T1
T2
a1 a2
mT12g
m1 g T2
m1a1 m2a2
(1) (2)
T1
m1 T2
T2 R2
T1 R1
(
1 2
M1 R12
1 2
M 2 R22
)
(3)
m1 g
m2
m2 g
aa21
R1 R2
(4) (5)
→由（1）（2）（3）（4）（5）解得： α、T1、T2
称为力矩的功。
x
力矩作功是力作功的角量表达式
二、转动动能 所有质元的动能之和为：
EK
1 2
i
mi vi2
1 2
i
mi (ri )2
1
( 2i
mi ri2 ) 2
1 2
J 2
三、刚体定轴转动的动能定理
定轴转动的动能变化的原因：用力矩做 功的效果来解释。
转动定律： M＝J α
2 Md 2 J d d 2 J ddt
－：刚体顺时针转
一、转动定律★
对mi用NⅡ：
Fi fi mi
ai
●法向
Fi cosθi fi cosφi miai
●切向：
Fisini+fisini= miait
ait=riα
两边乘以ri
Firi sini firi sini miri2
z
fi
O ri i mi
Fi
i
外力矩
内力矩
→ 对所有质元的同样的式子，求和：
L＝L0＝C1
M
d
1 J 2
2
1 2
J02
例9、一根长l、质量m的均匀细直棒，其一端有一固定
的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒
静止在水平位置，求它由此下摆角时的α和ω。
解（1）棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆
O
xcx
X
角时，重力矩为：
C dm
M＝ gxdm g xdm
R
o
J0
13 mR2 24
结论：刚体的转动惯量与三要素有关：
•刚体的质量
•转轴的位置
•刚体的形状
思考：如果 “圆板” 改为 “圆柱”，J0 = ？
[问题] A、B两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A挂 一质量为M的物体，B受拉力F，而且F=Mg，设 A、B两滑轮的角加速度分别为βA、βB，不计滑 轮轴的摩擦，问：
A
解:
O
B
C
注 ★公式法：建立坐标 dm dJ J
意
例3、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。（轴与圆环平面垂直并通过圆心。）
解: J R2dm R2 dm mR2
J 是可加的，所以若为薄圆
筒（不计厚度）结果相同。
OR dm
●思考：如果环的质量分布不均匀，J=？
例4、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。（轴与盘平面垂直并通过盘心。）
运动形式:平动和转动。 2.1 平动： v, a相同
如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终 保持它的方向不变。
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a
bb
平动和转动
刚体的平动过程
c a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c a
b
平动和转动
对M：M＝TR＝J J＝1 MR2
解 得 ：a
m
m M
2
2
g
v 2ah 4mgh v 1 4mgh
2m M
R R 2m M
例8、一个飞轮的质量为69kg，半径
为0.25m,正在以每分1000转的转速转
F
动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内 N
使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦 对轮子（μ0.46）的压力N为多大？
a d d (a 3bt2 4ct3 ) 6bt 12ct2
dt dt
变加速转动。
§3.2. 刚体定轴转动的转动定律
■力对转轴的力矩
r × f 1 只能引起轴的 变形，对转动无贡献。
(1) Z Mz
Od rP
f
(2) Z
f
f1
O r P f2
转动平面
Mz
r
f
转动平面
Mz fr sin 方向如图 ＋：刚体逆时针转
z ●垂直转轴的平面内作圆周运动。
A
A
r1 o1Δmi
B
r2
o2
B
定轴转动
（a）角位移 、d 逆时针取 .
(b)角速度
d
dt
(c)角加速度
d
dt
●匀变速转动 (为常量)
0
0t
1 2
t
2
0 t
2 02 2( 0 )
4. 角速度矢量★
●方向：与刚体转动方向 呈右手螺旋关系。
●在定轴转动中，角速度的
[讨论]：A轮：R1,m1, 受恒力矩M.
B轮：R2,m2
M
轮与皮带间无滑动。
•
A
T1
1
求：两轮的角加速度。
R1
2
B
•
R2
解：A、B
正确解： T2
M J11 J22
A: M T1R1 T2R1 J11 （1）
R11 R2 2
J1
1 2
m1R12
J2
1 2
m2 R22
B: T2R2 T1R2 J22 （2）
第三章 刚体的转动
第三章 刚体的转动
3.1. 刚体的运动 3.2. 刚体的转动定律 3.3. 刚体转动中的功能关系 3.4. 刚体的角动量和角动量守恒定律
§3- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 1. 刚体
一种特殊的质点系统，无论它在多大 外力作用下，系统内任意两质点间的 距离始终保持不变。
2. 平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
c a b
平动和转动
刚体的平动过程
在任意一段时间内，刚体中所有质点的位移都是
相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加
c 速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的
运动，都可代表整个刚体的运动。
a
b
2.2 转动：如果刚体的各个质点都绕同一直线圆周运
动;该直线叫做转轴。
（2.3 平动＋转动×）
3. 刚体的定轴转动
定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆 转 轴
周运动，且在相同时间内转过相同的角度。
●基本研究方法：
质点运动规律
＋
微积分
刚体基本运动规律
（大量质点运动的总效应）
★ 定轴转动的特点: 各质量元Δmi 有不同的速度和
加速度， 但有相同的角位移、角速度、角加速度。所 以对刚体运动的描述，常用角量表示。