普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷(三)
2022年广东省普通高中学业水平考试数学模拟测试卷(三)
一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)C1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是( )A.5B.6C.7D.8【解析】真子集个数为23－1=7,故选C.2.函数f(x)=lg(x－1)的定义域是( )BA.(2,+∞)B.(1,+∞)C.[ 1,+∞)D.[2,+∞)【解析】由题意得,x－1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.B3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,－3),若a⊥b,则实数x等于( )A.－1B.1C.－9D.9【解析】a·b=3x－3=0,即x=1,故选B.C5.若复数(1+a i)(3－i)(i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,B则实数a=( )【解析】(1+a i)(3－i)=3－i+3a i+a=(a+3)+(3a－1)i,由题意得a+3+3a－1=0,解得a=－ ,故选B.6.某高中有三个年级,其中高一学生900人,高二学生860人,现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况,在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人,则该高中的学生总人数应C为( )A.2600B.2580C.2540D.2500【解析】设高三学生n人,∵抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人,∴⇒n=780;∴该高中的学生总人数应为:780+860+900=2540,故选C.7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象( )C8.下列说法不正确的是( )DA.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A 正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.BC11.一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为3 cm,将一个玻璃球完全浸入水中,杯中水上升了0.5 cm,则玻璃球的半径为( )A.1 cmB.1.5 cmC.2 cmD.2.5 cmB 【解析】由设玻璃球的体积为V 1,水上升的体积为V 2,则有V 1=V 2,设玻璃球的半径为r则玻璃球的半径为1.5 cm .故选B.12.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是( )C【解析】由题意知0<a<1,故log2a<0,A错误;由0<a<1,0<b<1,故－1<－b<0.D A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>bD.b>c>aC15.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速D度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则( )【解析】设甲地到乙地的距离为s.二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)－3 16.已知向量m=(a,－1),n=(－1,3),若m⊥n,则a= . 【解析】因为向量m=(a,－1),n=(－1,3),且m⊥n,所以m·n=－a－3=0,解得a=－3.故答案为－3.17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是 .【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P= .19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于 .【解析】因为2a sin B=b,由正弦定理有2sin A sin B=sin B.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.∵F,G分别是AD,AC的中点,∴FG∥CD,且FG= DC=1.∵BE∥CD,∴FG与BE平行且相等,∴EF∥BG.又∵EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.(2)证明:由题意知△ABC为等边三角形,∴BG⊥AC.又∵DC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴DC⊥BG,∴BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,∴BG⊥平面ADC.∵EF∥BG,∴EF⊥平面ADC.又∵EF⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.22.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/12345人)已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25+y+5=40,x+30=60,解得x=30,y=10.该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”, A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为5分钟”,将频率视为概率得。
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟(三)数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．2. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．4. 在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则A．B．C．D．6. 已知函数，若，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 不等式“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于（ ）A．B．C．D．2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题(3)2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题(3)三、填空题四、解答题9.已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（ ）A．B ．函数的图象关于点对称C．D ．若，则10. 已知的展开式中所有项的系数和为3，则下列结论正确的是（ ）A．B ．展开式中的常数项为320C ．展开式中所有项的系数的绝对值的和为2187D ．展开式按的升幂排列时第2项的系数为-19211. 已知a ，b为正数，，则（ ）A．的最大值为B ．的最小值为3C ．的最大值为D．的最小值为12. 已知数列的首项是4，且满足，则（ ）A．为等差数列B．为递增数列C ．的前n项和D ．的前n项和13. 已知在中，角，，的对边分别为，，，若该三角形的面积为，且，则角，的大小分别是__________，__________.14. 已知函数，，若存在实数，，使得成立，则实数___________.15. 2021年第届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是_______________________．16. 设抛物线的焦点为F ，准线为l ，，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为，是圆M 与x 轴的不同于F 的一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)过F 且斜率为的直线n 与C 交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．17. 已知点B （0，1），点C （0，—3），直线PB 、PC都是圆的切线（P 点不在y 轴上）.（I ）求过点P 且焦点在x 轴上抛物线的标准方程；（II ）过点（1，0）作直线与（I ）中的抛物线相交于M 、N 两点，问是否存在定点R ，使为常数？若存在，求出点R 的坐标与常数；若不存在，请说明理由．18.已知正项等比数列中，,且成等差数列.求数列的通项公式；若,求数列的前n项和.19. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：20. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）若，的中线，求的面积．21. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.(1)证明：//平面BDM；(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.。
2023年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题(三)+答案解析(附后)
2023年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（三）一、单选题：本题共28小题，每小题3分，共84分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.命题“，都有”的否定为( )A. ，使得B. ，使得C. ，都有D. ，使得3.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件4.已知，a，b，c为实数，则下列不等式成立的有( )A. B.C. D.5.已知，，则( )A. B. C. D.6.代数式取得最小值时对应的x值为( )A. 2B.C.D.7.已知函数，若，则a的值为( )A. B. 2 C. 9 D. 或98.已知，则的值是( )A. 7B. 8C. 9D. 109.已知，则( )A. 3B. 5C. 7D. 910.设，则的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 911.函数的定义域为( )A. B.C.D.12.设，则大小关系为( )A. B.C.D.13.若函数是偶函数，则可取一个值为( )A. B.C.D.14.函数的最小正周期是( )A. B.C.D.15.已知，则( )A. B.C.D.16.圆心角为且半径长r 为1cm 的扇形的面积为( )A. 15B. 30C.D. 17.函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，则得到的图象对应的解析式为( )A.B.C. D.18.已知复数，则z 的虚部为( )A. 2 B. 2iC. D.19.已知，，若，则实数x 的值为( )A. B. 4C. D. 120.在中，点N 满足，记，，那么( )A.B.C.D.21.已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为( )A.B.C.D.22.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是( )A. 6，4，8B. 6，6，6C. 5，6，7D. 4，6，823.已知，，如果，那么( )A. B. C. D.24.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩单位：分分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的分位数是( )A. 88 分B. 89 分C. 90 分D. 92 分25.( )A. B. C. D.26.已知，则的最小值为( )A. 12B. 14C. 16D. 1827.在中，角的对边分别是，若，，则( )A. B. C. D.28.若，则的终边落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、解答题：本题共2小题，共16分。
2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(三)
2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(三）(时间90分钟，总分150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{}1，2，3，4，B ＝{}1，3，5，则A ∩B ＝( )A .{1,3} B.{2,4,5}C .{1,2,3,4,5} D.∅2.cos 210°＝( )A .－32 B.32 C.－12 D.123.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.AB→＋BC →＝CA → B.AB →－AD →＝BD → C.AB→＋AD →＝AC → D.BC →＋CD →＝BD → 4.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为π2的奇函数D .最小正周期为π2的偶函数 5.设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a 的值为( ) A ．±2或±4B ．±2或－4C ．2或4D ．2或－4 6.把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上都不对 7.设a ，b ，c 都是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π28.在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，若EF ，HG 交于一点P ，则( )A .点P 一定在直线BD 上B .点P 一定在直线AC 上C .点P 一定在直线AC 或BD 上 D .点P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上9.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．2710.已知2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )A .12 B.14C.16D.1811.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A .85,85,85 B.87,85,86C .87,85,85 D.87,85,9012.将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )A .8 B.22C.2D.2413.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A .钝角三角形 B.直角三角形C .等边三角形 D.等腰直角三角形14.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则p 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.1415.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM ⊥AB ，垂足为M ，EN ⊥AD ，垂足为N ，设MB ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是( )A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)16.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________17.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为________18.底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_______19.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是____________，三人中至少有一人达标的概率是____________三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(8分)已知a ，b 为两个非零向量，且||a ＝2，||b ＝1，()a ＋b ⊥b ．(1)求a 与b 的夹角；(2)求||3a －2b ．21.(14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．(1)求证：FG ∥平面PBD ；(2)求证：BD ⊥FG ．22.(14分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3．(1)求f (x)的解析式；(2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调．．．，求实数a的取值范围．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：∵集合A ＝{}1，2，3，4，B ＝{}1，3，5，∴A ∩B ＝{}1，3．故选A ．2.A 解析：cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32． 3.D 解析：根据向量的运算法则可得AB →＋BC →＝AC →，所以A 错误；根据向量的运算法则可得AB →－AD →＝DB →，所以B 错误；因为四边形ABCD 不一定是平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC → 错误，所以C 错误；根据三角形法则可得BC →＋CD →＝BD →正确，所以D 正确．故选D ．4.D 解析：函数f (x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x ，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为2π4＝π25.D 解析：当a>0时，f (a)＝a 2＝4，得a ＝2(舍去－2)；当a ≤0时，f (a)＝－a ＝4，得a ＝－4．综上，a ＝2或a ＝－4．故选D ．6.C 解析：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．7.A 解析：由a ＝b ＋c ，可知c ＝a －b ，故c 2＝a 2－2a·b ＋b 2，∴a·b ＝12． 设a ，b 的夹角为θ，即cos θ＝12．又0≤θ≤π，∴θ＝π3． 8.B 解析：如图，∵P ∈HG ，HG ⊂平面ACD ，∴P ∈平面ACD ．同理，P ∈平面BAC ．∵平面BAC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ．故选B ．9.B 解析：前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16．因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38． 所以第三组频数为38－16＝22．又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32．所以a ＝22＋32＝54．故选B ．10.D 解析：因为2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，所以x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝10＋8x y ＋2y x≥10＋28x y ·2y x ＝18．当且仅当2y x ＝8x y，即x ＝6，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值为18． 11.C 解析：∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110×(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87．12.C 解析：8个半径为1的实心铁球的体积为8×43π＝323π， 设熔成的大球半径为R ，则43πR 3＝323π，解得R ＝2．故选C ． 13.C 解析：由b 2＋c 2＝a 2＋bc 及余弦定理知A ＝π3，又由sin B·sin C ＝sin 2A 及正弦定理得bc ＝a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以(b －c)2＝0，即b ＝c ，所以△ABC 为一个内角为π3的等腰三角形，即为等边三角形． 14.C 解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P(A)＝35，P(A )＝1－35＝25，P(B)＝p ，P(B )＝1－p ，依题意得35×(1－p)＋25×p ＝920，解得p ＝34，故选C ． 15.A 解析：∵EM ⊥AB ，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x ．当点E 在BC 上运动时，即当0<x ≤3时，y ＝x(5－x)＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋254；当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x<5，y ＝－3x ＋15．所以y 与x 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－()x －522＋254(0<x ≤3)，－3x ＋15(3<x<5)，画出图象如选项A 所示．故选A ．二、填空题16.答案：27 解析：由题意得定点A 为(2,8)，设f (x)＝x α，则2α＝8，α＝3，∴f (x)＝x 3，∴f (3)＝33＝27．17.答案：4－3310 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝4－3310． 18.答案：4π3 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋(2)2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3． 19.答案：0.24，0.96 解析：由题意可知，三人都达标的概率为P ＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．三、解答题20.解：(1)∵()a ＋b ⊥b ，∴()a ＋b ·b ＝0，即a·b ＋b 2＝0，∴||a ||b cos θ＋||b 2＝0，解得cos θ＝－12．∴θ＝2π3． (2) ||3a －2b 2＝()3a －2b 2＝9a 2－12a·b ＋4b 2＝52，∴||3a －2b ＝213．21.证明：(1)连接PE(图略)，∵G ，F 分别为EC 和PC 的中点，∴FG ∥PE ．又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，∴FG ∥平面PBD ．(2)∵菱形ABCD ，∴BD ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA ．∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵FG ⊂平面PAC ，∴BD ⊥FG ．22.解：(1)由已知f (x)是二次函数，且f (0)＝f (2)得f (x)图象的对称轴为x ＝1．又f (x)的最小值为1，故设f (x)＝a(x －1)2＋1，且a>0．∵f (0)＝3，∴a ＋1＝3，解得a ＝2．∴f (x)＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3．(2)要使f (x)在区间[2a ，a ＋1]上不单调，则2a<1<a ＋1，∴0<a<12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12．。
江苏省2024年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟数学试题03
2x
2π 3
.
试卷第 4页，共 5页
(1)求 f x 在0, π 上的单调递增区间；
(2)若当
x
0,
π 4
时，关于
x
的不等式
f
x
m
恒成立，求实数
m
的取值范围.
试卷第 5页，共 5页
信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变
带宽W ，而将信噪比 S 从 1000 提升到 8000，则 C 大约增加了（ ） lg 2 0.301
N
A．10%
B．20%
C．30%
D．50%
27．已知在
ABC
中，AB
2
，AC
3 ，BAC
3
，点
D
为边
BC
上靠近
江苏省 2024 年普通高中学业水平合格性考试数学全真模拟 数学试题 03
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A x x2 x 6 0 ， B 0,1,2,3 ，则 A B （ ）
A．1, 2
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
14．已知 x R，则“ x 3 1”是“ x2 x 6 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问
题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为 1 , 3 ，且 35
D． x 0,1 ， x2 x 0
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟(三)数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）A．B．C．D ．22. 如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，以点P 为圆心，为半径的圆交y 轴于A ，B两点．若的最大值为，则C 的离心率为（）．A．B．C．D．3. 在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（ ）A．B．C．D．4. 在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（ ）A．B．C．D．5. 已知正方体中，E ，G 分别为，的中点，则直线，CE 所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6.已知函数，则下列说法正确的是（ ）①函数是最小正周期为的奇函数；②函数在的最大值为；③函数在单调递增；④函数关于对称．A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④7. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 点P 是函数f （x ）＝cos ωx （ω＞0）的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离最小值是π，则函数f （x ）的最小正周期是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9. 如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M 、N 、S 、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题三、填空题四、解答题A．B ．四边形的面积为100C．D ．的取值范围为10. 如图，棱长为的正方体的内切球为球分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有（）A ．存在点使垂直于平面B．对于任意点平面C ．直线的被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为11. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．12. 已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A．B ．的图象关于点对称C．的图象关于对称D ．在上的最大值是113.等比数列满足，则的最大值为__________.14.在等比数列中，，则______.15. 二项式的展开式中的系数等于__________.16. 已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.17. 已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)当时，记函数的两个零点为，求证：．18. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．(1)求c；(2)求的取值范围．19. 在中，角的对边分别为.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.20. 已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若存在最小值m，且，求a的取值范围.21. 已知函数（e为自然对数的底数）．(1)令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)令，若函数有两不同零点．①求实数m的取值范围；②证明：．。
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟(三)数学试题+答案解析(附后)
2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题✽一、单选题：本题共12小题，每小题6分，共72分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )A. B. C. D.2.下列函数中，是幂函数的是( )A. B. C. D.3.若均为正数，且，则的最小值等于( )A. B. C. D. 54.不等式的解集为( )A. B. 或C. D.5.已知向量，，则( )A. B. C. D.6.已知角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点，则( )A. B. C. D.7.已知，，则( )A. B. C. D.8.若将一颗质地均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和小于10的概率是( )A. B. C. D.9.设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.为了得到函数的图象，只要把函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度11.已知函数则( )A. 2B.C. 1D.12.已知表面积为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )A. 3B.C. 6D.二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
13.已知向量，，若，则__________.14.若复数为虚数单位为纯虚数，则实数__________.15.已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为__________.16.函数的定义域为__________.17.已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为__________.18.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数满分：10分分别是，，，，，9，，，，，则这组数据的中位数是__________三、解答题：本题共4小题，共42分。
2022年辽宁省大连市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷(三)
一、单选题二、多选题1. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：．A．B．C．D．2.如图，在正方体中，M ，N 分别为AD ，AB 的中点，则异面直线D 1M 与DN 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A．B．C．D．4. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分用如图所示的茎叶图表示，茎叶图中甲运动员每场比赛得分的中位数为18.5，若甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的平均数分别用，表示，标准差分别用，表示，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 已知两个等差数列和的前n 项和分别为S n 和T n ，且=，则的值为（ ）A．B．C．D．6. 已知双曲线的右焦点为F ，过F 的直线与双曲线的右支、渐近线分别交于点A ，B ，且（为坐标原点），，则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D ．47. 已知直线经过点，则的最小值为A．B．C ．4D．8.设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．当时，在有最小值1B ．当时，图象关于点中心对称2022年辽宁省大连市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（三）2022年辽宁省大连市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（三）三、填空题四、解答题C ．当时，对任意恒成立D．至少有一个零点的充要条件是10. 正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，且，；在上，点在平面内，则（ ）A ．对于任意的，且，都有平面平面B．当时，三棱锥的体积不为定值C ．若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为．D．的取值范围为11.已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在上单调递增C ．f （x ）在上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称13. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________．14.在等差数列中，若公差，且，则______.15.已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________.16. 如图椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．过椭圆的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于C ，D 两点，并与y 轴交于点M ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线AD 与直线BC 交于点N．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，当点M 异于A ，B两点时，求证：为定值．17.设函数.(1)若在上存在单调递减区间，求的取值范围；(2)若是函数的极值点，求函数在上的最小值.18. 如图所示，正方体中，棱长为2，且分别为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求四面体的体积.19. （1）已知的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含的项的系数.（2）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种?20. 2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Gup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛．为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对足球运动没有兴趣．(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男60女合计(2)从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到3女1男的概率．，21. 某厂家制造一件产品的成本为元，如果一件产品的定价为元时，可卖出个；如果定价每提高元售出的个数会减少个，试将利润表示成单价的函数，并求出利润的最大值.。
2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)03
2021年普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（03）第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（ ） A. 4 B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】解：∵{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-Z ，∴集合A 的子集个数为328=个， 故选：D.2. 函数()11f x x =-的定义域是（ ） A. ()(),11,-∞+∞B. [)2,-+∞C. [)()2,11,-⋃+∞D. ()1+∞， 【答案】C【解析】要使函数有意义，则2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，即21x x ≥-⎧⎨≠⎩，即x ≥﹣2且x ≠1，即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞）， 故选C ．3. cos24cos36sin 24cos54︒︒-︒︒的值等于( )A. 0B.12C.D. －12【答案】B【解析】原式1cos 24cos36sin 24sin 36cos602︒︒-︒︒=︒==． 故选：B.4. 已知()1,0a =，()2,1b =，向量ka b -与3a b +平行，则实数k 的值为（ ）A.117B. 117-C. 13-D.13【答案】C【解析】()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--，即()()2,17,3k λ--=，∴1273,1313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩. 故选：C.5. 在△ABC 中，2AB =，6C π=，则AC +的最大值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】在△ABC 中，2AB =，6C π=，则4sin sin sin ===AB BC ACC A B， 所以4sin =BC A ，4sin =AC B .则54sin 4sin 6π⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭AC B A A A()2cos ϕ=+=+A A A ，（其中tan 9ϕ=） 因为506π<<A ， 所以当()sin 1A ϕ+=时，AC +取得最大值故答案为：6. 已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B【解析】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立，解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3yx，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+==所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=.故选：B.7. 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A. 三棱柱的底面为三角形 B. 一个棱柱至少有五个面C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 【答案】D【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A 正确； 因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B 正确；五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C 正确；若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D 错误； 故选：D9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是 A. 222210x y x y ++-+=B. 222210x y x y +-++=C. 22220x y x y ++-=D. 22220x y x y +-+=【答案】D【解析】根据题意，要求圆的圆心为(1,1)-，且过原点，且其半径r ==，则其标准方程为22(1)(1)2x y -++=，变形可得其一般方程是22220x y x y +-+=， 故选D ．10. 与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（ ）A. 3450x y +-=B. 3450x y ++=C. 3450x y -+=D. 3450x y --=【答案】D【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),x y ，则关于原点对称点的坐标为(),x y --，该点在已知的直线上，则3450x y -++=，即3450x y --=.故选：D.11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，3122OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若OA 绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB ，则OB =（ ） A. (0,1)B. (1,0)C. ,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】3122OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭OA ∴与x 轴夹角为30 OB ∴与x 轴夹角为90又1OB OA == ()0,1OB ∴= 故选：A12. 已知直线l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是下列（ ）选项. A. 2x -y =0 B. x +y =3C. x -2y =0D. x -y +1=0【答案】C【解析】解：由题意设所求直线的横截距为a ，（1）当0a =时，由题意可设直线的方程为y kx =，将()1,2代入可得2k =，∴直线的方程为20x y -=；（2）当0a ≠时，由截距式方程可得直线的方程为1x ya a +=（截距相等）或1x y a a+=-（截距相反），将()1,2代入可得3a =或1a =-，∴直线的方程为3x y +=或10x y -+=；故选：C ．13. 已知倾斜角为α的直线l 过定点(0,2)-，且与圆22(1)1y x +-=相切，则1cos 2cos 2απα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 3-B.C. 23-D.3或3-【答案】A【解析】由题意知0180α︒<︒且90α≠︒,则直线斜率tan k α=, 直线l 方程为2y kx +=,即20kx y --=,圆心坐标(0,1),则圆心到直线l的距离1d ===,即291k =+,解得28k =,即2tan 8α=,由sin 0α>,可得sin α=, 所以()2112sin 1cos 22sin sin 3cos 2αααπαα---==-=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A .14. 函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( )A. B.C. D.【解析】由于()()'22231x fx x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确. 故选：A15. 在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于（ ）A.B. 5-C.D.【答案】D【解析】将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点()1,2B -，根据三角函数的定义可知sin 5α===.故选：D16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（ ） A. ln 1y x =+ B. ln y x =C. 2y x x =-D. 3y x =【答案】A【解析】A 选项是偶函数且在(0,)+∞为增；B 选项不是偶函数； C 选项是偶函数，但是在(0,)+∞不恒为增函数； D 选项不是偶函数，17. 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-xf x ，则( 5.5)-f 的值为（ ）A. 2B. －1C. 12-D. 1【答案】D【解析】】(2)()2f x f x T +=∴=故选：D18. 已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3α⎛⎫⎝π-⎪⎭=（ ） A.49B.13C.59D. 59-【答案】B【解析】令6πθα=-，则6παθ=-，∴21sin sin cos 323ππαθθ⎛⎫⎛⎫-=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B.19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若222sin sin sin sin sin A B C B C -=-，a =△ABC 的外接圆面积为（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π【答案】A 【解析】222sin sin sin sin sin A B C B C -=-，由正弦定理得222a b c bc-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， ()0,A π∈，3A π∴=，设△ABC 的外接圆半径为r，则22sin a r A===，1r ∴=， 因此，△ABC 的外接圆面积为2S r ππ==. 故选：A.20. 已知△ABC 中，满足02,60b B == 的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A2a << B.122a <<C. 23a <<D. 2a <<【答案】C【解析】由三角形有两解，则满足sin a B b a b <⎧⎨>⎩，即 sin 6022o a a ⎧<⎨>⎩，解得：2＜a＜，所以边长a 的取值范围（2）， 故选C ．21. 已知向量(,3)a m =，(3,)b n =-，若2(7,1)a b +=，则mn =（ ） A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】因为()27,1a b +=，所以67321m n +=⎧⎨-=⎩，得1m n ==，所以1mn =.故选C22. 已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（ ） A. 若l ∥m ，则必有α∥β B. 若l ⊥m ，则必有α⊥β C. 若l ⊥β，则必有α⊥β D. 若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】C【解析】解：对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误； 对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C 正确； 对于选项D ，直线m 可能和平面α不垂直，所以选项D 错误． 故选：C ．23. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥B. 若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C. 若,//m n αβ⊥且n β⊥，则//m αD. 若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 【答案】B【解析】A 中直线m,n 可能平行，可能相交，可能异面；B 中由平面法向量的知识可知结论正确；C 中直线a 可能与面平行，可能在平面内；D 中两平面可能平行可能相交 故选：B24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ） A.15B.25C.35D.110【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数23253220n C C A ==，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数23221222322322 8m C C A C C C A =+=，所以大夫、不更恰好在同一组的概率为82 205m p n ===． 故选：B ．25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ） A. 12x x >，甲比乙成绩稳定 B. 12x x <，乙比甲成绩稳定 C. 12x x =，甲比乙成绩稳定 D. 12x x =，乙比甲成绩稳定 【答案】A【解析】由茎叶图知： 所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定 故选：D26.在△ABC 中，90A ∠=，()2,2AB k →=-，()2,3AC →=，则k 的值是（ ） A. 5 B. 5- C.32 D. 32-【答案】A 【解析】90A ∠=，即AB AC ⊥，4260AB AC k →→∴⋅=-+=，解得：5k =.故选：A .27. 在一组样本数据中，1，4，m ，n m n +=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】由题意得样本平均值为10.140.10.40.4 2.55m n m n ⨯+⨯+⨯+⨯=∴+= 故选：A第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）设常数R a ∈，函数2()asin2x 2cos x f x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，，∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，， ∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-29.（本小题满分5分）在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，F 分别为,AD DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC . （1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：CD BE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）在ADC 中，,E F 分别为,AD DC 的中点， ∴//EF AC ，∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC .（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点， ∴BE AD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，∴BE ⊥平面ADC ，因为DC ⊂平面ADC ，所以BE DC ⊥，即CD BE ⊥. 30.（本小题满分5分）已知直线l 过定点()2,1A -，圆C ：2286210x y x y +--+=．（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 交于M ，N 两点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时l 的直线方程． 【答案】（1）2x =或34100x y --=；（2）2，30x y --=或7150x y --=.【解析】（1）由题，得圆C 的标准方程为22(4)(3)4x y -+-=，则圆心坐标为(4,3)，半径2r．①当直线l 的斜率不存在时，直线2x =，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：()12y k x +=-，即210kx y k ---=． 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心(4,3)到直线l 的距离等于半径22=，解得34k =，所以直线的方程为331042x y ---=，化为一般式为34100x y --=． 综上，l 的方程为2x =或34100x y --=；（2）由第1问知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l 的方程为210kx y k ---=，所以圆心到直线l的距离d =所以ΔCMN面积1··2S d ===所以当d =S 取得最大值2，由d ==解得1k =或7k =，所以直线l 的方程为30x y --=或7150x y --=． 31.（本小题满分4分）设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax xg x x R =-∈．（1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围．【答案】（（1）()24x xg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 【解析】解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点 由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。
广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题(三)
一、单选题二、多选题1.展开式中的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．1802. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为20，若短轴长为6，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．3.中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是A．B．C．D．4. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A．B．C．D．5. 在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则（ ）A ．0.6B ．0.8C ．-0.6D ．-0.86.已知直线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，动点P 在以点A 为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB 的面积为（ ）A．B ．1C ．2D．7. 已知函数，则下列判断中是真命题的有（ ）．①，；②是偶函数；③对于任意一个非零有理数，，；④存在三个点，，，使得为等边三角形．A ．①②③B ．①②③④C ．①③④D ．②③④8.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表空调类冰箱类小家电类其他类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断正确的是（ ）A ．该公司2019年度冰箱类电器销售亏损广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）三、填空题四、解答题B ．该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低10.已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（ ）A ．数列是等比数列B ．数列的所有项之和为729C ．数列是等差数列D ．数列的最大项为2011.如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A ．以为直径的圆与相切B．C．D ．的最小值为412. 已知向量，，，则下列结论正确的有（ ）A．B．若，则C ．的最大值为2D ．的最大值为313. 函数且的图象恒过定点_______．14.若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.15. 过点作直线与抛物线相交于，两点，且，则点到该抛物线焦点的距离为__________．16. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占．(1)现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；(2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望．17.在直角梯形 (如图1)，，，AD ＝8，AB ＝BC ＝4，M 为线段AD 中点．将△ABC 沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B －ACD (如图2)．(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值．18. “海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.海水浓度(‰)34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量.（2）①完成上述残差表：②统计学中，常用相关指数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率？（计算中数据精确到）(附：残差公式，相关指数)19.已知函数（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（2）若不等式有解，求a的取值范围．20. 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．21.在中，，，分别是内角，，的对边，且(1)求；(2)若，，求的周长.。
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重庆市普通高中学生学业水平考试
数学模拟试卷（三）
（考试时间120分钟，满分100分）
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分
第I 卷（选择题 共45分）
注意事项：第I 卷选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，则用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷和答题带上.
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题15小题，每小题3分，共45分）
以下每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的
1．已知集合{}{}1,0>=>=x x B x x A ，则=B A ( )
A ．)1,0(
B ．),1(+∞
C ．),0(+∞
D ．(]1,0
2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时2
1)(2+=x x f ，则=-)1(f （ ） A ．7 B ．5 C ．5- D ．7-
3．一个长方体的长、宽、高分别为1、6、3，则这个长方体的外接球的表面积为（ ）
A ．π16
B ．π32
C ．π36
D ．π64
4．函数⎩⎨⎧-+=x x x f 21)(2 0
0>≤x x ，则使函数值为5的x 的值是（ ）
A ．2
5- B ．2- C ．2 D ．2或2- 5．不等式062>++-x x 的解集为（ ）
A ．),3()2,(+∞--∞
B ．)3,2(-
C ．),2(+∞-
D ．)3,(-∞
6．下列函数中有两个不同零点的是（ ）
A ．x y ln =
B ．12-=x y
C ．2x y =
D ．2-=x y
7．设R b a ∈、，若0>-b a ，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．0>-a b
B ．033<+b a
C ．022<-b a
D ．0>+b a
8．若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的全等正方形，则该几何体的体积为（ ）
A ．38
B ．3
4 C ．8 D ．4
962==，且6=⋅，则与的夹角是（ ）
A ．3π
B ．6π
C ．4π
D ．2
π 10．如图所示，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE 内部的概率等于（ ）
A ．41
B ．31
C ．21
D ．3
2
11．函数=sin y x ω的图象可以看做是把函数=sin y x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
12
倍而得到，那么ω的值为（ ） A ．4 B ． 2 C ．12 D ．3 12．在ABC ∆中，已知bc c b a -+=222，则=A （ ）
A ．3π
B ．6π
C ．32π
D ．3
π或32π 13．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
14．如右图所示，饮料瓶中0.5千克的饮料高度是总高度的
31，若将瓶盖盖好倒置，其高度是总高度的2
1，则满瓶饮料的千克数是（ ） A ．1千克 B ．1.25千克 C ．1.5千克 D ．不确定
15．已知函数⎩⎨⎧--=-)1(12)(x f x f x 0
0>≤x x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实根，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]1,∞-
B ．[)+∞,0
C ．)1,(-∞
D ．)1,0(
第II 卷（非选择题 共55分）
注意事项：1．填空题的答案必须写在答题卷上，只填结果，不要过程.
2．解答题的解答必须写在答题卷上，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理
过程.
3．用钢笔或圆珠笔直接写在答题卷上.
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
16．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为
17．设3lg )(-+=x x x f ，用二分法求方程03lg =-+x x 在（2,3）内近似解的过程中得0)25.2(<f ，0)3(,0)5.2(,0)75.2(><>f f f ，则可得方程的根落在区间
18．以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为
19．已知5
3cos ,54sin ==αα，则=αtan 20．已知点)1,1(--在直线)0,0(02>>=++b a by ax 上，则
b a 11+的最小值为 三、解答题：（本大题5个小题，共40分）
21．（10分）设数列{}n a 满足n n a a a 3,111==+
（1）求{}n a 通项公式及前5项的和5S
（2）已知数列{}n b 是等差数列，且321321,a a a b a b ++==，求{}n b 的通项公式
22．（8分）在锐角ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，且b B a 3s i n 2=
（1）求角A 的大小
（2）若8,6=+=c b a ，求ABC ∆的面积
23．（8分）如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC ∆边长为2，侧棱
M AA ,31=是11C A 的中点
（1）求三棱锥M B A A 11-的体积
（2）求证：//1BC 面M AB 1
24．（8分）
一批食品，每袋的标准重量是50g ，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图）．
（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；
（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．
25．（6分）已知函数0(241)(>+-=a a a x f x 且1≠a ）是定义在R 上的奇函数
（1）求a 的值
（2）当任意R t ∈，不等式0)2()2(22>-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围 4 5 6 6 9 5 0 0 0 1 1 2。