因式分解完全平方
因式分解(完全平方公式)精选教学PPT课件
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这个公式 来分解因式了，我们把它称为“完全 平方公式”
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平方式
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
因式分解-完全平方公式
a +2ab+b =3a(x+y)2
2
2
(3)-x +4xy-4y 解:原式=-(x2_4xy+4y2) 2_ 2 =-[x 2x2y+(2y) ] a 2 a b + b 2 =-(x-2y)
2_ 2
注意： 用完全平方公式分解因式： 首先要考虑能不能提取 公因式。然后观察是否 符合完全平方公式。当 平方项系数为负数时，应 先将负号提出来。
一 号 题
二 号 题
三 号 题
1号题： 对下列式子因式分解并填空： (a+3)2 ① a2+6a+9 = ________________ -s2-t2+2st=_____________ -(s-t)2 (m+n)2+4m(m+n)+4m2=___________ (3m+n)2
2号题 因式分解下列各题：
(1)-x2+2xy-y2
(2)x2-6xyz+9y2z2
(3)(x+y)2+6(x+y)+9
3号题 用简便算法计算： 20052-4010×2003+20032 的值。
用完全平方公式分解获？
1、完全平方式 a
2
2ab b
2
及特征；
2、用完全平方公式分解因式。
用完全平方公式分解因式
a 2ab b
2
2
之辨析篇
例1.判别下列各式是不是完全平方式． x2+y2 不是 x2-2xy-y2 不是
2 2 - 2 是
x2 2xy y 2 是
讨论：完全平方式有什么特点？
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
因式分解-完全平方公式
因式分解 $$(x + 5)^2$$ $$(3x - 2)^2$$ $$(2x + 3)^2$$
结论
通过学习和运用完全平方公式，您将能够轻松因式分解二次方程，并更好地 理解和分析数学问题。继续锻炼和实践，您的因式分解技巧将日益提高。
完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中a和b是实数。
解决问题的步骤
1. 将二次方程按照一般形式表示：$$ax^2 + bx + c$$ 2. 识别出平方项的系数a和常数项c 3. 计算平方项系数的一半，即$$\frac{b}{2a}$$ 4. 使用完全平方公式，进行平方项和常数项的加法和乘法操作 5. 将结果写成两个平方项相加的形式
完全平方公式的实例
例子1
假设有一个二次方程：$$x^2 + 6x + 9$$，我们可以使用完全平方公式将其因式分解为：$$(x + 3)^2$$。
例子2
另一个例子是二次方程：$$4x^2 - 12x + 9$$，使用完全平方公式进行因式分解，得到：$$(2x - 3)^2$$。
练习题目和答案
二次方程 $$x^2 + 10x + 25$$ $$9x^2 - 12x + 4$$ $$4x^2 + 12x + 9$$
因式分解-完全平方公式
本演讲将为您介绍因式分解的重要内容——完全平方公式，从定义到实例， 让您轻松学会并享受因式分解的乐趣。
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种用于因式分解的数学技巧，适用于一元二次方程。它能够将一个二次方程转化为两个平方 项的乘积，并且是唯一的。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
因式分解完全平方公式
因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。
请注意，本文不包含真实姓名和引用。
1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。
在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。
2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。
考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。
我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。
我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。
4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。
在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。
本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。
通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。
希望本文能对您的学习和应用有所帮助。
因式分解(完全平方公开课)
现实生活中的二次方程
因式分解可以帮助我们解决许多实际生活中的问题， 例如求解物体的运动轨迹识，并通过解答讲解来帮助您更好地理解因 式分解的具体步骤和方法。
总结和扩展阅读建议
本课程回顾了因式分解的定义和基本思想，介绍了一元二次方程的解法和完全平方公式。通过实际问题的应用 举例和练习题的讲解，您现在应该已经掌握了因式分解的基本技巧。 如果您对这个主题感兴趣，我们建议您阅读更多关于代数和多项式的扩展材料，以加深对因式分解的理解。
公式法
利用一元二次方程的求根公式，直接求 解方程的解。
完全平方公式
完全平方公式是求平方项的一种简便方法。当我们需要将一个二次多项式展 开时，可以使用完全平方公式来快速求解。 完全平方公式的一般形式为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，其中a和b是任意实数。
如何判断一个二次多项式是否能够被 因式分解
因式分解定理
根据因式分解定理，一个二次多项式可以被因式分解为两个一次多项式的乘积。
观察多项式的系数
通过观察多项式的系数中是否存在公因子或通过试除法来判断一个二次多项式是否可以被因 式分解。
因式分解实际问题的应用举例
古代数学问题
通过因式分解将古代数学问题转化为二次方程，并 通过求解方程来解决实际问题。
在进行因式分解时，我们首先要观察多项式中是否存在公因式，然后使用分 解公式或其他相关方法将多项式分解为可简化的形式。
一元二次方程的解法
1
配方法
2
通过配方法将一元二次方程转化为一个
平方差或差平方的形式，从而简化求解
的过程。
3
求平方根法
通过求解一元二次方程的平方根来得到 方程的解，结合因式分解的方法可以更 快地求解复杂的二次方程。
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上课班级：江苏省如东县景安初中初二（6）班邮编：226441
上课教师：唐国栋e－mail：guodong.tang@
设计思路：
教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。
教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。
教学过程：
师生问好，组织上课。
师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？
生1：（答略）
师：你能用符号语言来表示这个公式吗？
生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2
师：不错，请坐。
由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？
生齐答：两个。
师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？
a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2
生2：（答略）
师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？
生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。
师：很好。
（将四个式子分别标上○1○2○3○4）
问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？
○3、○4两个式子由左往右是什么变形？
生3：（答略）
师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书）
问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？
生齐答：因式分解。
师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。
这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题）
师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。
这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。
（经过讨论之后）
生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。
生5：左边有两项能够写成平方和的形式。
师：说得很好，其他同学有没有补充的？
生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。
师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？
生6：不是，而是刚才两项的底数。
师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。
再请一位同学来综合一下。
生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。
右边是两个数的和或差的平方。
教师在学生回答的基础上总结：
1)多项式是三项式
2)有两项都为正且能够写成平方的形式
3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负
4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
师：我们如何将符号语言转化为文字语言呢？
生8：a、b两个数的平方和加上a、b乘积的2倍，等于a与b的和的平方；
a、b两个数的平方和减去a、b乘积的2倍，等于a与b的差的平方。
师：如果不用字母a、b，又怎么表达？能否将两句合并成一句呢？
生9：两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。
师：非常好！我们以后只要遇到这种类型的多项式可以直接利用完全平方公式方便地进行因式分解了。
通过刚才的学习，我们已经初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有关知识，下面有几道练习题向我们同学提出了挑战，看你掌握知识的情况：
判断下列各式是不是完全平方式，并说出理由。
（1）a2－4a＋4(2 )x2＋4x＋4y2(3 )4a2＋2ab＋b2
(4 )a2－ab＋b2(5 )x2－6x－9(6 )a2＋a＋0.25
生10：第一题是完全平方式。
有三项，其中有两项正且能写成平方的形式，另一项是减去这两个数的积的2倍。
…… ……
生11：第四题不是完全平方式，因为中间一项不是两个数的乘积的2倍。
生12：第五题是完全平方式。
三项，有两项能写成平方的形式，另一项也是两个数的积的2倍。
师：其它同学同意他的意见吗？有没有补充的？
生13：这一题不是完全平方式，虽然有两部分能写成平方的形式，但这两项不是平方和。
师：同意他的意见吗？
生齐答：同意。
师：因此我们在观察一个多项式是否符合完全平方式的特点时，不仅要找有没有两项能够写成平方的形式，同时还要看这两项的符号是否同为正，更要看另一项是不是这两数的积的2倍。
像刚才的第2题和第4题都只满足特征中的一部分。
引例讲解：将下列各式分解因式。
1、x2＋6x＋9
2、4x2－20x＋25
问题：这两题首先怎么分析？
生14：将9改写成32，6x正好是x与3的乘积的2倍。
（学生回答，教师板书）
生15：将4x2写成（2x）2，25写成52，20x写成2×2x×5
x2＋6x＋9=x2＋2×x×3＋32=(x＋3)2
4x2－20x＋25=(2x)2－2×2x×5＋52=(2x－5)2
（联系字母表达式用箭头对应表示，加深学生印象。
）
师：由刚才的例子，我们同学能否发现将因式分解为两数的和或差的平方，如何确定是两数的和还是两数的差的平方呢？
生16：由符号来决定。
师：能不能具体点。
生16：由中间一项的符号决定，就是两个数乘积2倍这项的符号决定，是正，就是两个数的和；是负，就是两个数的差。
师：总之，在分解完全平方式时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个完全平方公式。
例题1：把25x4＋10x2＋1分解因式。
师：这道题目能否运用以前所学的方法分解？就题目本身有什么特点？可以怎么分解？
生17：题目符合完全平方式的特点，可以将25x4改写成（5x2）2，1就是12，10x2改写成2×5x2×1。
（此学生板演，过程略）
例题2：把－x2－4y2＋4xy分解因式。
师：按照常规我们首先怎么办？
生齐答：提取负号。
〔教师板书：－（x2＋4y2－4xy）〕以下过程学生板演。
师：如果是这道题：4xy－x2－4y2 怎么分解呢？（教师改变刚才题型）
提示：从项的特征进行考虑，怎样转化比较合理？四人小组讨论。
生18：同样还是将负号提取改变成完全平方式的形式。
师：从这里我们可以发现，只要三项式中能改写成平方的两项是同号，且另一项为两底数积的2倍，我们都能利用这个公式分解，若这两项同为正则可直接分解，若同为负则先提取负号再分解。
练习题：课本p21 练习：第1题，学生板演，教师讲解，学生板演的同时，教师提示注意点、多项式的特征；第2题，学生口答。
例题3：把3ax2＋6axy＋3ay2分解因式。
师：先观察，再选择适当的方法。
（学生板演，教师点评）
练习：课本p22 第3题分两组学生板演，教师评讲、适当提示注意点。
师：这一堂课我们一起研究了完全平方式的有关知识，同学们先自查一下自己的收获，然后请同学发表自己的见解。
（学生小声讨论）
生甲：我学到了如何将完全平方式分解因式，遇到三项式中有两项符号相同且能化成平方的形式，另一项为这两个数的积的2倍的形式，如果能化成平方项是负的，首先将负号提取再分解。
第二项是正的就是两数的和的平方，第二项是负的就是两数差的平方。
生乙：有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同时根据第二项的符号来选用合适的公式。
教师布置课堂作业：课本p23 习题8.2A组4～5 偶数题
例：用完全平方公式分解因式：
1．25a4-40a2b3+16b6；
2．(2x-y)2+6(2x-y)+9；
3．(x-1)2-2(x2-1)+(x+1)2；
4．(a+b)n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n．
解：1．25a4-40a2b3+16b6
＝(5a2)2-2(5a2)(4b3)+(4b3)2
＝(5a2-4b3)2
2．(2x-y)2-6(2x-y)+9
＝[(2x-y)-3]2＝(2x-y-3)2．3．(x2-1)2-2(x-1)+(x+1)2
＝(x-1)2-2(x-1)(x+1)+(x+1)2＝[(x-1)-(x+1)]2
＝[x-1-x+1]2＝22．
4．(a+b)n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n ＝(a+b)n[(a+b)2-2(a+b)+1] ＝(a+b)n(a+b-1)2．。