因式分解(完全平方)
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因式分解运用公式法(完全平方公式)
说明：系数是分数时应提取，使各项系 数化为整数.
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
因式分解中的完全平方公式
思路点拨
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
因式分解-完全平方公式
因式分解 $$(x + 5)^2$$ $$(3x - 2)^2$$ $$(2x + 3)^2$$
结论
通过学习和运用完全平方公式，您将能够轻松因式分解二次方程，并更好地 理解和分析数学问题。继续锻炼和实践，您的因式分解技巧将日益提高。
完全平方公式的形式
完全平方公式的形式为：$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中a和b是实数。
解决问题的步骤
1. 将二次方程按照一般形式表示：$$ax^2 + bx + c$$ 2. 识别出平方项的系数a和常数项c 3. 计算平方项系数的一半，即$$\frac{b}{2a}$$ 4. 使用完全平方公式，进行平方项和常数项的加法和乘法操作 5. 将结果写成两个平方项相加的形式
完全平方公式的实例
例子1
假设有一个二次方程：$$x^2 + 6x + 9$$，我们可以使用完全平方公式将其因式分解为：$$(x + 3)^2$$。
例子2
另一个例子是二次方程：$$4x^2 - 12x + 9$$，使用完全平方公式进行因式分解，得到：$$(2x - 3)^2$$。
练习题目和答案
二次方程 $$x^2 + 10x + 25$$ $$9x^2 - 12x + 4$$ $$4x^2 + 12x + 9$$
因式分解-完全平方公式
本演讲将为您介绍因式分解的重要内容——完全平方公式，从定义到实例， 让您轻松学会并享受因式分解的乐趣。
完全平方公式的定义
完全平方公式是一种用于因式分解的数学技巧，适用于一元二次方程。它能够将一个二次方程转化为两个平方 项的乘积，并且是唯一的。
因式分解完全平方公式
因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。
请注意，本文不包含真实姓名和引用。
1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。
对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。
在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。
2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。
考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。
我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。
我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。
4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。
它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。
在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。
本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。
通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。
希望本文能对您的学习和应用有所帮助。
用完全平方公式进行因式分解
4y2=22y2=（2y）2
运用了积的乘方的逆 运用公式！
分解因式： (1) －2xy－x2－y2 (2) 4(m+n)2+24(m+n)+36 (3) ax2+2a2x+a3
(解析：） (1) －2xy－x2－y2
解：原式=-(2xy+x2+y2)
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2
例1：下列各式是不是完全平 方式
(1)a2+b2+2ab 是 (2)-2xy+x2+y2 是
(3)6x2-9xy+10y2不是(4)4a2+12ab+9b2 是
(5)x2+x+
1 4
是 (6)a2+6ab+b2 不是
(7)-x2+2xy-y2 是 (8)x2+y2
不是
例2：请补上一项，使下列多项式成为完全 平方式。
(2) 4(m+n)2+24(m+n)+36
解：原式=[2(m+n)]2+ 2×2（m+n)×6+62
=[2(m+n)+6]2
=(2m+2n+6)2
=[2(m+n+3)]2
=4(m+n+3)2
(3) ax2+2a2x+a3 解：原式=a.x2+a.2ax+a.a2
=a(x2+2ax+a2) =a(x2+2.x.a+a2) =a(x+a)2
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
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小结:把一个多项式进行因式分解的一般思路: 一提（提公因式法） 二用（运用公式法）
【例】分解因式：
(a2+b2)2- 4a2b2
小结 (1) 选用公式时要看多项式的特征
两项考虑平方差公式 三项考虑完全平方公式 (2)分解因式时一定要分解彻底。
【例】简便计算：
（1）9972－9 =9972－32 =（997+3）（997-3） =1000×994=994 000
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
例１、利用公式： a2±2ab+b2 ＝ （a±b）2 把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2
⑵、9a2+6ab+b2
解：原式
解：原式=52－2×5·x+x2 =(3a)2+=2（×33aa+·b）b+2b2
= （5-x）2
解完以上这两题，你发现什么？
从以上这两题可以发现：先把多项式化成符合完全平 方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式. 。
例２、把下列多项式分解因式。
⑴、x2+14x+49 解：原式=x2+2·x·7+72
=（x+7）2 ⑵、（m+n）2－6（m +n）+9 解：原式= （m+n）2 －2·（m +n）·3 +32
（1）a2-ab+b2 不是
（2）a2-4a+4 =a2 -4a +22 是 （3）x2+4x+4y2 =x2+4x + (2y)2 不是
（4）x2-6x-9 =x2-6x -32
不是
（5）-a2+2ab-b2 =-(a2 -2ab +b2) 是
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
下面的多项式能分解因式吗？
? ? (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
乘法公式——完全平方公式：
把两个公式反过来就得到
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
= （m+n-3）2
通过解这两题，你得到什么启示？
随堂练习 把下列多项式因式分解
⑴
x2－12xy+36y2
解：原式=x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2
⑵
16a4+24a2b2+9b4
解：原式=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2
随堂练习
⑶
－2xy－x2－y2
（2）522+482+52×96 =522+482+2×52×48 =（52+48）2 =10 000
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
a2 +2ab+b2= (a+b)2 a2 - 2ab+b2= (a-b)2
结构特征:
完 全
（1）三项式
平 （2）其中有两项是平方项且都是同号
方 式
（3）第三项是两平方项底数乘积的两倍
下列各式是不是完全平方式？
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
4
6 a2 2ab 4b2 否
请补上一项，使下列多项式
成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
解：原式=－（x2+2xy+y2） =－（x+y）2
⑷
4－12（x－y）+9（x－y）2
解：原式=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2
练一练:分解因式
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3xx(1-x)+25(1-x)2
【例】分解因式：
(a2+b2)2- 4a2b2
小结 (1) 选用公式时要看多项式的特征
两项考虑平方差公式 三项考虑完全平方公式 (2)分解因式时一定要分解彻底。
【例】简便计算：
（1）9972－9 =9972－32 =（997+3）（997-3） =1000×994=994 000
3 x2 _4__x_y__ 4 y2
4 a2 __a_b____ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
例１、利用公式： a2±2ab+b2 ＝ （a±b）2 把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2
⑵、9a2+6ab+b2
解：原式
解：原式=52－2×5·x+x2 =(3a)2+=2（×33aa+·b）b+2b2
= （5-x）2
解完以上这两题，你发现什么？
从以上这两题可以发现：先把多项式化成符合完全平 方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式. 。
例２、把下列多项式分解因式。
⑴、x2+14x+49 解：原式=x2+2·x·7+72
=（x+7）2 ⑵、（m+n）2－6（m +n）+9 解：原式= （m+n）2 －2·（m +n）·3 +32
（1）a2-ab+b2 不是
（2）a2-4a+4 =a2 -4a +22 是 （3）x2+4x+4y2 =x2+4x + (2y)2 不是
（4）x2-6x-9 =x2-6x -32
不是
（5）-a2+2ab-b2 =-(a2 -2ab +b2) 是
下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
下面的多项式能分解因式吗？
? ? (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
乘法公式——完全平方公式：
把两个公式反过来就得到
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
= （m+n-3）2
通过解这两题，你得到什么启示？
随堂练习 把下列多项式因式分解
⑴
x2－12xy+36y2
解：原式=x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2
⑵
16a4+24a2b2+9b4
解：原式=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2
随堂练习
⑶
－2xy－x2－y2
（2）522+482+52×96 =522+482+2×52×48 =（52+48）2 =10 000
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
a2 +2ab+b2= (a+b)2 a2 - 2ab+b2= (a-b)2
结构特征:
完 全
（1）三项式
平 （2）其中有两项是平方项且都是同号
方 式
（3）第三项是两平方项底数乘积的两倍
下列各式是不是完全平方式？
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
4
6 a2 2ab 4b2 否
请补上一项，使下列多项式
成为完全平方式
1 x2 __2_x__y__ y2
2 4a2 9b2 ___1_2_a_b_
解：原式=－（x2+2xy+y2） =－（x+y）2
⑷
4－12（x－y）+9（x－y）2
解：原式=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2
练一练:分解因式
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3xx(1-x)+25(1-x)2