中考数学三角函数应用题-(1)
2022年中考数学专题练习锐角三角函数的应用题
ABCD中考数学专题 锐角三角函数的应用【题型1】“影子”问题【例1】（影子“上墙”）数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．【变式1】如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．【例2】（影子“上坡”）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米B ．28米C ．(73)+米D ．(143)+米AB C DE【例3】（影子“下坡”）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6 m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m ，则塔高AB 为（ ） A ．24 mB ．22 mC ．20 mD ．18 m【变式1】如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m ，塔影长DE=36m ，小明和小华的身高都是1.6m ，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m ，2m ，那么塔高AB=_________．【对应练习】1.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m ，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m ，一级台阶高为0.3 m ，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m ，则树高为_________．D 23°60°C B38°A东港口B D【题型2】一个三角形【例1】如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB ，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C 处折断倒在山坡上，树的顶部D 恰好接触到坡面AE 上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ． （1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．1.4≈1.7≈2.4）【变式1】已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16 km ，一艘货轮从B 港口以40 km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15 min 后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长．（精确到0.1 km ，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41≈2.24）北东【对应练习】1.如图，在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN ，在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A ．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°，且与点A 相距15千米的B 处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距千米的C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．【题型3】二个三角形【变式1】如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)【变式1】(2015丹东10分)如图，线段AB ，CD 表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是60米．某人站在A 处测得C 点的俯角为37°，D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)【例1】某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD 为公益广告牌的高，DM 为楼房的高，且C 、D 、M 三点共线．在楼房的侧面A 处，测得点C 与点D 的仰角分别为45°和37.3°，BM ＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD 的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)【对应练习】1.(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行41099.1 米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°，求两海岛间的距离AB （结果保留根号）。
精品 中考数学 三轮复习资料 第2课 圆 三角函数及方程应用题
第2课 圆 三角函数及方程应用题[1]例1.某中学计划购买A 型和B 型课桌凳共200套. 经招标，购买一套A 型课桌凳比购买一套B 型课桌凳少用40元，且购买4套A 型和5套B 型课桌凳共需1820元. （1）求购买一套A 型课桌凳和一套B 型课桌凳各需多少元?（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A 型课桌凳的数量不能超过B 型课桌凳数量的32，求该校本次购买A 型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低?例2.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？例3.某公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目．公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？[1]怎样避免中考考场发挥失常?避免中考考场发挥失常，还应该在考前做好以下准备：首先，知识上的准备，要充分利用最后一段时间，结合模拟考识的内容查缺补漏、狠抓双基，适当的做一些综合题，使自己在知识上做比较充分的准备；其次要对考试的心理素质要提高，首先要有自信心，自信是成功的前提，无论做什么事情失去了自信心，就为产生巨大的心理障碍，人为的增加难度。
相反竖立自信心，本来较难的自信心可能就会因其自信而化难为易，取得成功。
要调整自己的期望值，给自己正确定位，结合自己的实力，调整期望值，就会轻轻松松进考场，这样才能保证考场不出意外。
要以平常的心态对待中考，中考是对学生掌握知识及解题能力的选拔考试。
命题者对试题的难度和题型对同学们来说都是合适的，也就也就是我们常说的不会超过教学大纲和考试说明的范围。
初三数学利用三角函数解直角三角形含答案
解直角三角形中考要求知识要点模块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．cb CBA六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等．例题精讲【例2】 如图所示，O 的直径4AB =，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作O 的切线，切点为C ，连接AC ．（1）若30CPA ∠=︒，那么PC 的长为 ．为O 的切线，tan303=︒的大小没有变化七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位． （一）仰角与俯角图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB ．【答案】作DE AB ⊥于E ，作DF BC ⊥于F ，在Rt CDF ∆中30400DCF CD ∠=︒=，米，1sin304002002DF CD =⋅︒=⨯＝(米)cos30400CF CD =⋅︒=米) 在Rt ADE ∆中，60ADE ∠=︒，设DE x =米， ∴tan 60AE x =︒⋅(米)在矩形DEBF 中，200BE DF ==米，在Rt 45ACB ACB ∆∠=︒中，，∴AB BC =， 200x +=，解得200x =，∴200AB AE BE =+=（）米【巩固】如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ， 两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）【解析】过点C 作CH AD ⊥于H ，过B 作BE AH ⊥于E ，BF CH ⊥于F ，由题意得604530CBF CAH BAH ∠=︒∠=︒∠=︒，，200CH m =， 设BC x =米，在Rt BFC ∆中，由cos BF CBF BC ∠=，sin CFCBF BC∠=1cos sin 2BF BC CBF x CF BC CBF =∠==∠=，，易得 FE D BCADCB AACH ∆是等腰直角三角形，所以200AH CH ==，从而12002002AE AH EH x BE FH =-=-==，，在Rt ABE ∆中，tan30BE AE =︒，由此得12002002x ⎫=-⎪⎝⎭，解得200146.4x =≈，根据题意，电缆的实际长度约为 146.4 1.2175.7⨯≈米【答案】175.7（二）坡度与坡角图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．【答案】（1）图形补全如右图所示：O CA（2） ∵1:0.754:3i ==∴:4:3CH EH =在Rt CHE ∆中，5CE = ∴43CH EH ==， ∴437DH DE EH =+=+= 在Rt ODH ∆中，222HO DH OD += 即()()222477r r ++=+，解得83r =．（三）方向角【例8】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45︒方向、点B 的北偏东30︒方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒．（1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．【解析】（1）如图，由题意得，4530EAD FBD ∠=︒∠=︒，．∴ 451560EAC EAD DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒． ∵ AE BF CD ∥∥， ∴ 60FBC EAC ∠=∠=︒． ∴ 30DBC ∠=︒．又∵ DBC DAB ADB ∠=∠+∠， ∴ 15ADB ∠=︒．∴ DAB ADB ∠=∠． ∴ 2BD AB ==． 即B D ，之间的距离为2km ．（2）过B 作BO DC ⊥，交其延长线于点O 在Rt DBO ∆中，260BD DBO =∠=︒，．∴2sin 6022cos60DO BO =⨯︒===⨯︒ 在Rt CBO ∆中，30tan30CBO CO BO ∠=︒=⋅︒， ∴CD DO CO =-==km ）． 即C D ，之间的距离为km 【答案】（1）之间的距离为2km ； （2）之间的距离为km ．332B D ，C D ，332和平路文化路中山路30°15°45°FEDCBA 和平路文化路中山路ABC DEF45°15°30°O【巩固】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响． （1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【答案】⑴ 过A 作AD BC ⊥于D ，∵220AB =，30B ∠=︒， ∴110AD =由题意A 距台风中心不超过(124)20160-⨯=km 时，将会受到台风影响， ∴该城市会受到台风影响．⑵ 在BD 上取点E ，DC 上取点F ，使160AE AF ==，则由题意知：台风中心到达点E 时，该城市即开始受台风影响；台风中心到达点F 时，该城市即结束影响．由勾股定理得，DE∴EF =∵该台风中心以15km/h 的速度移动， ∴=． ⑶ 当台风中心位于D 时，A 市所受这次台风影响的风力最大，其最大风力为11012 6.520-=级（四）其它【例9】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【解析】在Rt ABO ∆中，可求得cos15 1.80.97 1.75AO AB =⋅︒=⨯≈米，在Rt CDO ∆中，可求得sin150.468DO AB =⋅︒≈米 ∴ 1.750.468 1.28AD =-=米【答案】1.28米【巩固】如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．（1）求AO 与BO 的长；（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．【答案】⑴ Rt AOB ∆中，90O ∠=︒，60α∠=︒∴30OAB ∠=︒，又4AB =米， ∴122OB AB ==米．sin 604OA AB =⋅==米 ⑵ 设2AC x =，3BD x =，在Rt COD ∆中，2OC x =，23OD x =+，4CD =根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234xx ++=∴(213120x x +-=∵0x ≠∴13120x +-，∴x =2AC x == 即梯子顶端A 沿NO米 ⑶ ∵点P 和点P '分别是Rt AOB ∆的斜边AB 与Rt ''A OB ∆的斜边''A B 的中点∴PA PO =，'''P A P O = ∴PAO AOP ∠=∠，P A O A OP ''''∠=∠ ∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠ ∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=︒∵30PAO ∠=︒，∴45P A O ''∠=︒∴cos454A O A B '''=⨯︒==∴AA OA A O ''=-=米【例10】 关于三角函数有如下的公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()(1tan tan 0)1tan tan αβαβαβαβ++=-⋅≠-⋅利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如图1图2图3tan 45tan 60tan105tan(4560)(21tan 45tan 60︒+︒︒=︒+︒===--︒⋅︒根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60︒，底端C 点的俯角β为75︒，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高． 【解析】过点D 作DE AB ⊥于E ，依题意在Rt ADE △中，60ADE α∠=∠=︒，tan 60tan 60AE ED BC =⋅︒=⋅︒=．在Rt ACB △中，75tan75ACB AB BC β∠=∠=︒=⋅︒， ∵tan 45tan 30tan 75tan(4530)21tan 45tan 30︒+︒︒=︒+︒==-︒⨯︒∴42(284AB =⨯+=+∴8484CD BE AB AE ==-=+（米）【答案】建筑物的高为84米．课堂检测1． （2011•遵义）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长6AB cm =，45ABC ∠=︒，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使30ADC ∠=︒（如图所示） （1）求调整后楼梯AD 的长； βαDCBAE βαDCBAACB∠=．【解析】过点C作CD PB∥，则6045ACD BCD∠=︒∠=︒，所以6045105ACB∠=︒+︒=︒【答案】105°课后作业水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B 为圆心．以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，得矩形HBFC 连接DF∵21CF DF =，2CF =(m) ∴1DF =(m)∴2CF HB ==(m)，15HC BF ==(m) 在Rt AHC ∆中，tan3015tan30AH HC =⋅︒=⨯︒=，∵210.66(m)AB AH HB =+=≈ 12(m)BE BD ED =-=F E人行道DCB AFE人行道30︒H DCBA∴,AB BE∴不需将此人行道封上．【答案】不需将此人行横道封上。
中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案
初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。
中考数学专卷2020届中考数学总复习(29)锐角三角函数-精练精析(1)及答案解析
图形的变化——锐角三角函数1一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B． C． D．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2 B．8 C．2 D．44．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2 B．1 C． D．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是_________ ．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是_________ ．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= _________ ．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=_________ ．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= _________ ．15．cos60°=_________ ．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=_________ ．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=_________ ．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）图形的变化——锐角三角函数1参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∵EF⊥AC，∴EF∥BC，∴∵AE：EB=4：1，∴=5，∴=，设AB=2x，则BC=x，AC=x．∴在Rt△CFB中有CF=x，BC=x．则tan∠CFB==．故选：C．点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．专题：网格型．分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．解答：解：作AC⊥OB于点C．则AC=，AO===2，则sin∠AOB===．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A． 2 B．8 C．2D．4考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．解答：解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选：A．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：在直角△ABC中利用正切的定义即可求解．解答：解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故选：D．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出t an∠B．解答：解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．6．计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A． 2 B．1 C．D．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=（）2+×=+=2．故选：A．点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．7．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．8．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，考点：解直角三角形．专题：新定义．分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°考点：解直角三角形．分析：利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选：D．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．二．填空题（共8小题）10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则sinB的值是．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．专题：计算题．分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，∴AB=2CD=8，则sinB===．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．解答：解：tanA==，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．12．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA= ．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．专题：网格型．分析：根据勾股定理，可得AC的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值．解答：解：如图，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，则tan∠BPC=．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE 中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案为：．点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．14．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．分析：根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．cos60°=．考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算．解答：解：cos60°=．故答案为：点评：本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．16．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=60°．考点：特殊角的三角函数值；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．解答：解：∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．17．在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0，那么∠C=75°．考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：先根据△ABC中，tanA=1，cosB=，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解答：解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2=0∴tanA=1，cosB=∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．三．解答题（共7小题）18．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．解答：解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．点评：本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．19．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．解答：解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，∴AC===13，∴sin C==．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．（结果保留根号）考点：解直角三角形．专题：几何图形问题．分析：由题意得到三角形BCD为等腰直角三角形，得到BD=BC，在直角三角形ABC 中，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．解答：解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，在Rt△A BC中，tan∠A=tan30°=，即=，解得：BC=2（+1）．点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA==，求出AD=4，则BD=AB﹣AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC==10，sinB==，cosB==，由此求出sinB+cosB=．解答：解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∴tanA===，∴AD=4，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，∴BC==10，∴sinB==，cosB==，∴sinB+cosB=+=．故答案为：点评：本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．22．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解解答：解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．23．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的长；②求tan∠C的值．考点：解直角三角形；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：（1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．解答：解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△BCD中，tan∠C===．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．24．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．。
三角函数应用题2022年天津数学中考一模汇编
三角函数应用题2022年天津数学中考一模汇编1.如图，小李欲测量一棵古树MN的高度．小李在古树前方B点处测得树顶M处的仰角为35∘，他径直走了8m后到达点A处，测得树顶M的仰角为23∘，已知小李的眼睛距离地面的高度BD=AC=1.8m，求古树的高度MN和BN的长（结果取整数）．参考数据：tan35∘≈0.70，tan23∘≈0.42．2.如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB的高度，已知山坡面与水平面的夹角为30∘，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60∘，求雕像AB的高度．3.如图，在港口A的南偏东37∘方向的海面上，有一巡逻艇B，A，B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67∘方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin67∘≈1213，cos67∘≈513，tan67∘≈125）．4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB=80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37∘，大厦底部B的俯角为48∘．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数)．参考数据：sin37∘≈0.60，tan37∘≈0.75，sin48∘≈0.70，tan48∘≈1.10．5.小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45∘，∠B=37∘，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2取1.414．6.如图，已知一居民楼AD前方30m处有一建筑物BC，小敏在居民楼的顶部D处和底部A处分别测得建筑物顶部B的仰角为19∘和41∘，求居民楼的高度AD和建筑物的高度BC（结果取整数）．（参考数据：tan19∘≈0.34，tan41∘≈0.87）7.如图所示，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF，已知CD=2m，在地面上A处测得广告牌架上端C的仰角为37∘，前进10m到达B处，在B处测得广告牌架下端D的仰角为60∘，求广告牌架下端D到地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan37∘≈0.75，√3取1.73）8.如图，高楼顶部有一信号发射塔(FM)，在矩形建筑物ABCD的D，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45∘，64.5∘，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG．（精确到1m）（参考数据：sin64.5∘≈0.90，cos64.5∘≈0.43，tan64.5∘≈2.1）9.如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在E处测得无人机C的仰角∠CAB= 45∘，在D处测得无人机C的仰角∠CBA=30∘，已知测角仪的高AE=BD=1m，E，D两处相距50m，根据所给数据计算无人机C的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）10.某地区对A，B两地间的公路进行改建．如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC= 89km，∠A=58∘，∠B=37∘．求开通隧道后的路程AB大约是多少km？（结果精确到1km）参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，sin58∘≈0.85，cos58∘≈0.53，tan58∘≈1.60．11.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53∘方向，距离灯塔100n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45∘方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）参考数据：sin53∘≈0.80，cos53∘≈0.60，tan53∘≈1.33，√2≈1.41．12.如图，两根竹竿AB和AC斜靠在墙BD上，量得∠ABD=37∘，∠ACD=45∘，BC=50cm，求竹竿AB和AC的长（结果精确到0.1cm）．参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√2≈1.41．13.如图，某同学要测量海河某处的宽度AB，该同学使用无人机在C处测得A，B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机此时离地面的高度CH为1000米，且点A，B，H在同一水平直线上，求这处海河的宽度AB（结果取整数）．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．14.如图，某学校甲楼的高度AB是18.6m，在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶D处的仰角为40∘，在甲楼楼顶B处测得乙楼楼顶D的仰角为19∘，求乙楼的高度DC及甲乙两楼之间的距离AC （结果取整数）．参考数据：cos19∘≈0.95，tan19∘=0.34，cos40∘=0.77，tan40∘=0.84．15.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为49∘，测得底部C处的俯角为58∘，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan49∘≈1.15，tan58∘≈1.60．16.如图，建筑物的高CD为10√3m．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60∘，旗杆顶部A的仰角β为20∘，请你计算：(1) 建筑物与旗杆的水平距离BD；(2) 旗杆的高度．（sin20∘≈0.342，tan20∘≈0.364，cos20∘≈0.940，√3≈1.732，结果精确到0.1米）17.综合实践课上，某兴趣小组同学用航拍无人机进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得学校1号楼顶部E的俯角为60∘，测得2号楼顶部F的俯角为45∘，此时航拍无人机的高度为50米，已知1号楼的高度为20米．且EC和FD分别垂直地面于点C和D，B为CD的中点，求2号楼的高度．18.如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45∘方向，点B的北偏东30∘方向上，AB=2km，∠DAC=15∘．(1) 求B，D之间的距离；(2) 求C，D之间的距离．19.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150∘，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30∘，试求电线杆的高度（结果保留根号）．20.如图所示，天津电视塔顶部有一桅杆AB，数学兴趣小组的同学在距地面高为 4.2m的平台D处观测电视塔桅杆顶部A的仰角为67.3∘，观测桅杆底部B的仰角为58∘．已知点A，B，C 在同一条直线上，EC=172m．求测得的桅杆部分AB的高度和电视塔AC的高度．（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan67.3∘≈2.39，tan58∘≈1.60）21. 某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度．他们在 C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48∘，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64∘，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin48∘≈710，tan48∘≈1110，sin64∘≈910，tan64∘≈2）22. 如图，利用热气球探测器测量大楼 AB 的高度，从热气球 P 处测得大楼 B 的俯角为 37∘，大楼底部 A 的俯角为 60∘，此时热气球 P 离底面的高度为 120 m ．试求大楼 AB 的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，√3≈1.73）23.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．当飞机在离地面高度CE=1500m时，测量人员从C处测得A，B两点处的俯角分别为60∘和45∘，求隧道AB的长（√3≈1.732，结果保留整数）．24.如图，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=11km，∠A=45∘，∠B=37∘，桥DC和AB平行，桥DC与桥EF的长相等．（结果保留小数点后一位．参考数据：√2≈1.41，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80）．(1) 求点D到直线AB的距离；(2) 现在从A地到B地可比原来少走多少路程？25.如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30∘，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48∘，若斜坡FA的坡比i=1:√3，求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin48∘≈0.74，cos48∘≈0.67，tan48∘≈1.11，√3取1.73．26.如图，在一个18米高的楼顶上有一座信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30∘，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60∘，CD⊥AB交AB的延长线于点E，E，B，A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度．（结果保留整数，√3≈1.7，√2≈1.4）27.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶钳着以历史题材为内容的瓷板油彩画或青石刻浮雕，乘双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学兴趣小组实地测量了致远塔的高度AB，如图，在C处测得塔尖A的仰角为45∘，再沿CB方向前进31.45米到达D处，测得塔尖A的仰角为60∘，求塔高AB．（精确到0.1米，√3≈1.732）28.如图，甲、乙两数学兴趣小组测量山CD的高度．甲小组在地面A处测量，乙小组在上坡B处测量，AB=200m．甲小组测得山顶D的仰角为45∘，山坡B处的仰角为30∘；乙小组测得山顶D的仰角为58∘．求山CD的高度（结果保留一位小数）．参考数据：tan58∘≈1.60，√3≈1.732．供选用．29.已知B港口位于A观测点的东北方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16千米，一艘货轮从B港口以48千米/时的速度沿如图所示的BC方向航行，15分钟后到达C处，现测得C位于A观测点北偏东75∘方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1千米）（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24，√6≈2.45）30.天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36∘≈0.73，结果保留整数）．31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．(1) 如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至ACʹ的位置时，ACʹ的长为m；(2) 如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54∘，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73∘，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54∘≈1.4，tan73∘≈3.3，结果保留整数）．32.如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37∘，旗杆底部B的俯角为45∘，升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）33.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘，已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)34.如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50km，∠CAB=25∘，∠CBA=45∘，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．（sin25∘≈0.42，cos25∘≈0.91，tan25∘≈0.47，√2取1.414）（结果保留小数点后一位）(1) 求改直的公路AB的长；(2) 问公路改直后比原来缩短了多少km？35.如图，我市某中学课外活动小组的同学要测量海河某段流域的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45∘．小英同学在距A处188米远的B处测得∠CBD=33∘．根据这些数据计算出这段流域的河宽和BC的长．（结果精确到1m，sin33∘≈0.54，tan33∘≈0.65，tan57∘≈1.54）．36.天津北宁公园内的致远塔，塔高九层，塔内四周墙壁上镶嵌着历史题材为内容的瓷板釉彩画或青石刻浮雕，登双向盘旋楼梯或电梯可达九层，津门美景尽收眼底，是我国目前最高的宝塔．某校数学兴趣小组实地测量了致远塔的高度AB．如图所示，在C处测得塔尖A的仰角为45∘，再沿CB方向前进31.45m到达D处，测得塔尖A的仰角为60∘，求塔高AB．（精确到0.1m，√3≈1.732）37.天塔是天津市的标志性建筑之一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45∘，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54∘，AB=112m．根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（参考数据：tan36∘≈0.73，结果保留整数）．38.如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30∘的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45∘的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．39.如图，某校数学兴趣小组在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为42∘，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为31∘．已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度（结果保留整数)．参考数据：tan42∘≈0.90，tan48∘≈1.11，tan31∘≈0.60．40.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47∘，观测旗杆底部B的仰角为42∘.已知点D到地面的距离DE为1.56m，EC=21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）．参考数据：tan47∘≈1.07，tan42∘≈0.90．答案1. 【答案】如图，延长CD交MN于点E，则EN=BD=AC=1.8，CE=AN，CD=AB=8，DE=BN．设BN=x，在Rt△MDE中，∵∠MDE=35∘，∴ME=x⋅tan35∘．在Rt△MCE中，∵∠MCE=23∘，∴ME=(x+8)⋅tan23∘，∴(x+8)⋅tan23∘=x⋅tan35∘，解得x≈12.0．∴BN≈12．∴MN=ME+EN≈12.0×0.7+1.8=10.2≈10．答：古树的高度MN约为10m，BN的长约为12m．2. 【答案】如图，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥CD于G，在Rt△DEG中，∵DE=540，∠D=30∘，=270．∴EG=DE⋅sin∠D=540×12∵BC=285，CF=EG，∴BF=BC−CF=15．，∠BEF=30∘，在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF∴EF=√3BF=15√3．在Rt△AEF中，∠AEF=60∘，设AB=x，，∵tan∠AEF=AFEF∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+15=15√3×√3，∴x=30．答：雕像AB的高度为30米．3. 【答案】过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH=67∘，∠B=37∘，AB=20．在Rt△ABH中，∵sinB=AH，AB∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37∘≈12，∵cosB =BH AB ，∴BH =AB ⋅cos∠B =20×cos37∘≈16，在 Rt △ACH 中，∵tan∠ACH =tan∠ACH =AH CH ， ∴CH =AH tan∠ACH =12tan67∘≈5，∵BC =BH +CH ，∴BC ≈16+5=21．∵21÷25<1，所以，巡逻艇能在 1 小时内到达渔船 C 处．4. 【答案】设 CD =x ，在 Rt △ACD 中，tan37∘=AD CD ，则 AD =CD ⋅tan37∘，∴ AD ≈0.75x ．在 Rt △BCD 中，tan48∘=BD CD ， 则 BD =CD ⋅tan48∘，∴ BD ≈1.10x ．∵ AD +BD =AB ，∴ 0.75x +1.10x =80，解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度约为 43 米．5. 【答案】如图，过点 C 作 CD ⊥AB ，垂足为 D ．在 Rt △ACD 中，tanA =CD AD ，sinA =CD AC ，∠A =45∘，∴AD =CDtan45∘=CD ，AC =CD sin45∘=√2CD ．在 Rt △BCD 中，tanB =CD BD ，sinB =CD CB ，∠B =37∘． ∴BD =CD tan37∘，CB =CD sin37∘．∵AD +BD =AB ，AB =63，∴CD +CD tan37∘=63．解得 CD =63⋅tan37∘1+tan37∘≈63×0.751+0.75=27.00．∴AC ≈1.414×27.00=38.178≈38.2，CB ≈27.000.60=45.0．答：AC的长约等于38.2m，CB的长约等于45.0m．6. 【答案】过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AC=30，AD=EC，由题意得，∠BDE=19∘，∠BAC=41∘，在Rt△ABC中，BC=AC⋅tan∠BAC=30×tan41∘≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE=DE⋅tan∠BDE=30×tan19∘≈10.2，所以AD=BC−BE=26.1−10.2=15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．7. 【答案】如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H．设DH=x，在Rt△DBH中，∠DBH=60∘，由tan∠DBH=DHBH ，得√3=xBH，∴BH=√33x，在Rt△AHC中，∠A=37∘，由tan∠A=CHAH ，得34=10+√33x，∴x=4−√3≈9.7，答：广告牌架下端D到地面的距离约为9.7米．8. 【答案】如图，延长AD交FG于点E．在Rt△FDE中，∠DEF=90∘，tan45∘=FEDE，∴DE=FE．在Rt△FCG中，∠FGC=90∘，tan64.5∘=FGCG ，∴CG=FG2.1．∵DE=CG，∴FE=FG2.1．∴FG−22=FG2.1，解得FG=42(米）．答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG为42米．9. 【答案】如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90∘，∵∠CAB=45∘，∴∠ACH=∠CAH=45∘，则在△AHC中，有AH=CH，设CH=x，则AH=x，∵∠CBA=30∘，则在△BHC中，tan∠CBH=CHBH，∴BH=CHtan∠CBH=√3x，由题意可知，AB=DE=50m，∴AH+BH=50m，∴x+√3x=50．解得x=1+√3≈502.73≈18.3m．∴无人机高度为18.3+1=19.3m．答：无人机C的高度约为19.3m．10. 【答案】过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90∘，由题意可知∠A=58∘，∠B=37∘，在Rt△CDB中，BD=BC⋅cos37∘≈89×0.80=71.2，CD=BC⋅sin37∘，在Rt△CDA中，tanA=CDAD，∴AD=CDtan58∘≈89×0.601.60，∴AB=AD+DB≈89×0.601.60+71.2≈105．答：路程AB约为105km．11. 【答案】根据题意，得∠A=53∘，∠B=45∘，AP=100n mile．在Rt△APC中，∵sinA=PCAP，∴PC=AP⋅sin53∘≈100×0.80=80(n mile)．在Rt△BPC中，∠B=45∘，∵sinB=PCPB，∴PB=PCsin45∘=√2=80√2≈113(n mile)．答：B处距离灯塔P大约有113n mile．12. 【答案】由题意可得：AD=DC=x，故tan37∘=ADBD =xx+50=0.75，解得：x=150，故AD=CD=150，则AC=150√2≈212.1(cm)，则BD=200cm，故sin37∘=ADAB =150BA=0.60，解得：AB=250.0．答：竹竿AB的长为250.0cm，AC的长为212.1cm．13. 【答案】由于CD∥HB，∴∠CAH=∠ACD=45∘，∠B=∠BCD=30∘，在Rt△ACH中，∵∠CAH=45∘，∴AH=CH=1200米，在Rt△HCB，∵tan∠B=CHHB，∴HB=CHtan∠B =1000tan30∘=1000√3（米）．∴AB=HB−HA=1000√3−1000=1000(√3−1)米．14. 【答案】过BE作CD的垂线，与CD交于点E；在Rt△BDE中，tan19∘=EDBE，在Rt△ACD中，tan40∘=CDAC，∵BE=AC，∴0.34AC=DE，0.84AC=CD，∵AB=CE=18米，∴AC=36米，ED=12.24米，∴CD=30.24米；15. 【答案】作DE⊥AB于E，由题意得，∠ADE=49∘，∠ACB=58∘，DE=BC=78，在Rt△ACB中，tan∠ACB=ABBC，则AB=BC⋅tan∠ACB=78×1.60=124.8≈125，在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE，则AE=BC⋅tan∠ADE=78×1.15=89.7，DC=BE=AB−AE=124.8−89.7=35.1≈35，答：甲建筑物的高度AB约为125m，乙建筑物的高度DC约为35m．16. 【答案】(1) 由题意四边形CDBE是矩形，∴CE=BD，BE=CD=10√3m，在Rt△BCE中，∠BEC=90∘，tanα=BE，CE=10（m），∴CE=√3√3∴BD=CE=10（m）．，(2) 在Rt△ACE中，∠AEC=90∘，tanβ=AEEC∴AE=10⋅tan20∘，∴AB=AE+BE=10×0.364+10×1.732≈21.0（m）．17. 【答案】过点E作EG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC=GB=20，HB=FD．∵点B为CD中点，∴EG=CB=BD=HF．由已知得：∠EAG=90∘−60∘=30∘，∠AFH=45∘，在Rt△AFG中，AG=AB−GB=50−20=30．=10√3．∴EG=AGtan30∘=30×√33在Rt△AHF中，AH=HFtan45∘=10√3．∴FD=HB=AB−AH=50−10√3．答：2号楼的高度为(50−10√3)米．18. 【答案】(1) 由题意得，∠EAD=45∘，∠FBD=30∘，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45∘+15∘=60∘．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC=∠EAC=60∘．∵∠FBD=30∘，∴∠DBC=∠FBC−∠FBD=30∘．又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，∴∠ADB=15∘．∴∠DAB=∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD=AB=2km．即 BD 之间的距离为 2 km ．(2) 如图，过 B 作 BO ⊥DC ，交其延长线于点 O ， 在 Rt △DBO 中，BD =2 km ，∠DBO =60∘，∴ DO =2×sin60∘=√3(km )，BO =2×cos60∘=1(km )． 在 Rt △CBO 中，∠CBO =30∘，CO =BOtan30∘=√33(km )， ∴ CD =DO −CO =√3−√33=2√33(km )． 即 C ，D 之间的距离 2√33km ．19. 【答案】延长 AD 交 BC 的延长线于 E ，作 DF ⊥BE 于 F ，∵∠BCD =150∘， ∴∠DCF =30∘， 又 CD =4，∴DF =2，CF =√CD 2−DF 2=2√3， 由题意得 ∠E =30∘， ∴EF =DFtanE =2√3，∴BE =BC +CF +EF =6+4√3， ∴AB =BE ×tanE =(6+4√3)×√33=(2√3+4) 米，答：电线杆的高度为 (2√3+4) 米．20. 【答案】如图，作 DF ⊥AC 于点 F ，∵DF ∥EC ，DE ∥CF ，DE ⊥EC ， ∴ 四边形 DECF 是矩形，∴DF =EC =172 m ，DE =CF =4.2 m ， 在 Rt △ADF 中，AF =DF ⋅tan67.3∘≈411.1(m )，在 Rt △BDF 中，BF =DF ⋅tan58∘≈275.2(m )，∴AB =AF −BF =411.1−275.2=135.9(m )，AC =AF +CF =411.1+4.2=415.3(m )． 答：桅杆部分 AB 的高度为 135.9 m ，电视塔 AC 的高度为 415.3 m ．21. 【答案】如图，根据题意，得 ∠ADB =64∘，∠ACB =48∘，在 Rt △ADB 中，tan64∘=ABBD ，则 BD =ABtan64∘≈12AB ． 在 Rt △ACB 中，tan48∘=ABCB ，则 CB =ABtan48∘≈1011AB ． 所以 CD =BC −BD ，6=1011AB −12AB ，AB =1329≈14.7（米）所以建筑物的高度约为14.7米．22. 【答案】延长AB，过点P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60∘，∠BPC=37∘，且由题意可知AC=120（米）．在Rt△APC中，由tan∠APC=ACPC ，即tan60∘=120PC，得PC=√3=40√3，在Rt△BPC中，由tan∠BPC=BCPC，得BC=PC⋅tan37∘=40√3×tan37∘，所以AB=AC−BC=120−40√3⋅tan37∘≈120−40×1.73×0.75=68.1≈68.答：大楼AB的高度约为68米．23. 【答案】根据题意，可知∠CBE=45∘，∠CAE=60∘，在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE ，即tan60∘=1500AE，∴AE=1500tan60∘=√3=500√3．在Rt△BEC中，tan∠CBE=CEBE ．即tan45∘=1500BE，∴BE=1500tan45∘=1500．∴AB=BE−AE=1500−500√3≈1500−866=634(m),答：隧道AB的长约为634m．24. 【答案】(1) 如图，过点D作DH⊥AB于点H，DG∥CB交AB于点G，则∠CBG=∠DGH=37∘，∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC=GB，GD=BC=11．在Rt△DGH中，DH=DG⋅sin37∘≈11×0.60=6.6，∴点D到直线AB的距离是6.6km．(2) 根据（1）得：GH=DG⋅cos37∘≈11×0.80=8.80，在Rt△ADH中，AD=√2DH≈1.41×6.6≈9.31．AH=DH=6.6，∵两条路线路程之差为AD+DG−AG，∴AD+DG−AG=(9.31+11)−(6.6+8.80)≈4.9(km)．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．25. 【答案】过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DNCM是矩形．∵DA=6，斜坡FA的坡比i=1:√3，∴DN=12AD=3．AN=3√3．设大树BC的高度为x米．在Rt△BAC中，∠BAC=48∘，tan∠BAC=BCAC，∴tan48∘=BCAC =xAC≈1.11．∴AC≈x1.11．∴DM=NC=AN+AC=3√3+x1.11．由题意得∠BDM=30∘，在Rt△BDM中，tan∠BDM=BMDM，∴BM=DMtan30∘=√33DM=√33(3√3+x1.11)．又∵BM=BC−MC=x−3，∴x−3=√33(3√3+x1.11)．∴x≈12.5．答：大树BC的高度约为12.5米．26. 【答案】根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30∘，∠EBC=60∘，在Rt△ADE中，AE=DEtan30∘=√33=18√3，所以BE=AE−AB=18√3−18，在Rt△BCE中，CE=BE⋅tan60∘=(18√3−18)×√3=54−18√3，所以CD=CE−DE=54−18√3−18≈5（米）．27. 【答案】设AB=x米，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C=45∘，∠ADB=60∘，∴CB=x，BD=√33x，又CD=31.45，∴CD=BC−BD=x−√33x=31.45，解得：x≈74.4．答：塔高AB约为74.4米．28. 【答案】过B作BE⊥AC，BF⊥DC，E，F为垂足，根据题意，有∠DAC=45∘，∠BAC=30∘，∠DBF=58∘，AB=200．∵BE⊥AC，BF⊥DC，DC⊥AC，∴四边形BECF是矩形．∴BF=EC，BE=FC．设BF=x，则CE=BF=x．在Rt△ABE中，sin∠BAE=BEAB ，cos∠BAE=AEAB，∴BE=ABsin∠BAE=200⋅sin30∘=100，AE=ABcos∠BAE=200⋅cos30∘=100√3≈173.2．在Rt△DBF中，tan∠DBF=DFBF，∴DF=BFtan∠DBF=x⋅tan58∘≈1.60x．在Rt△DAC中，∠DAC=45∘，∴AC=DC，即AE+EC=DF+FC．∴173.2+x=100+1.60x．解得，x=122.0．∴DC=AC≈173.2+122.0=295.2．山高约为295.2m．29. 【答案】BC=48×1560=12（千米），在Rt△ADB中，sin∠DAB=DBAB =√22，∴AB=√22=16√2（千米）．如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC−∠DAB=75∘−45∘=30∘,tan∠BAH=BHAH =√33，∴AH=√3BH，在Rt△ABH中，由勾股定理得BH2+AH2=AB2，∴BH2+(√3BH)2=(16√2)2，∴BH=8√2，∴AH=8√6，在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴CH=4，∴AC=AH−CH=8√6−4≈15.6（千米）．答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.6千米．30. 【答案】∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45∘，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD−AB=CD−112，∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，∠BCD=90∘−∠CBD=36∘，∴tan36∘=BDCD，∴BD=CD⋅tan36∘，∴CD⋅tan36∘=CD−112，∴CD=1121−tan36∘≈1121−0.73≈415(m)．答：天塔的高度CD约为415m．31. 【答案】(1) 23.5(2) 设PQ=x cm．在Rt△PMQ中，tan∠PMQ=PQMQ=1.4，∴MQ=x1.4．在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=PQNQ=3.3，∴NQ=x3.3．∵MN=MQ−NQ=40，即x1.4−x3.3=40，解得x≈97．答：解放桥的全长约为97m．【解析】(1) ∵点C是AB的中点，∴ACʹ=12AB=23.5m．32. 【答案】过点C作CD⊥AB于D，则DB=9，在Rt△CBD中，∠BCD=45∘，∴CD=BD=9．在Rt△ACD，∠ACD=37∘，∴AD=CD×tan37∘≈9×0.75=6.75，∴AB=AD+BD=6.75+9=15.75，(15.75−2.25)÷45=0.3（米/秒）．∴国旗以0.3米/秒的速度匀速上升．33. 【答案】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线由题意∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB∥CH∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘∵AB=4×8=32m∴AD=CD=AB⋅sin30∘=16mBD=AB⋅cos30∘=16√3m∴BC=CD+BD=16+16√3m∴BH=BC⋅sin30∘=8+8√3m34. 【答案】(1) 过点C作CD⊥AB于点D，如图，∵AC=50千米，∠CAB=25∘，∴CD=sin∠CAB⋅AC=sin25∘×50≈0.42×50=21（千米），AD=cos∠CAB⋅AC=cos25∘×50≈0.91×50=45.5（千米），∵∠CBA=45∘，∴BD=CD=21（千米），BC=CDsin∠CBA =21sin45∘≈29.7（千米），∴AB=AD+BD=45.5+21=66.5（千米）．(2) ∵AC=50千米，BC=29.7千米，∴公路改直后该段路程比原来缩短50+29.7−66.5=13.2（千米）．35. 【答案】如图，过点C作CE⊥AB于点E．根据题意，∠CAE=45∘，∠CBE=33∘，AB=188．∴AE=CE．在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEEB，∴CE=(CE+188)⋅tan33∘．CE=188×tan33∘1−tan33∘=188×0.651−0.65≈349.1≈349(m)．在Rt△CBE中，sin∠CBE=CEBC．∴ BC =CE sin33∘=349.10.54≈646(m ) 或 BC =CE sin33∘=188×0.651−0.650.54≈647(m )．答：这段流域的河宽约为 349 m ，BC 的长约为 646 m （或 647 m ）．36. 【答案】根据题意，有 ∠ACB =45∘，∠ADB =60∘，CD =31.45．∵ 在 Rt △ABC 中，∠ACB =∠CAB =45∘，有 AB =CB ． 又 CB =CD +DB =31.45+DB ， ∴ AB =31.45+DB ．∵ 在 Rt △ABD 中，tan∠ADB =ABDB ， ∴ tan60∘=ABDB ，得 AB =DB ⋅tan60∘， 于是，31.45+DB =DB ⋅tan60∘， ∴ DB =31.45tan60∘−1≈42.96(m )． ∴ AB =CD +DB ≈74.4(m )． 答：塔的高度 AB 约为 74.4 m ．37. 【答案】如题图，根据题意，有 ∠CAD =45∘，∠CBD =54∘，AB =112．因为在 Rt △ACD 中，∠ACD =∠CAD =45∘，有 AD =CD ． 又 AD =AB +BD ，所以 BD =AD −AB =CD −112．因为在 Rt △BCD 中，tan∠BCD =BDCD ，∠BCD =90∘−∠CBD =36∘， 所以 tan36∘=BDCD ，得 BD =CD ⋅tan36∘ , 于是有 CD ⋅tan36∘=CD −112． 所以 CD =1121−tan36∘≈1121−0.73≈415(m )． 答：天塔的高度 CD 约为 415 m ．38. 【答案】过 A 作 AD ⊥BC 于 D ，则 AD 的长度就是 A 到岸边 BC 的最短距离．在 Rt △ACD 中，∠ACD =45∘，设 AD =x ，则 CD =AD =x ， 在 Rt △ABD 中，∠ABD =60∘， 由 tan∠ABD =ADBD ，即 tan60∘=xBD ， 所以 BD =xtan60∘=√33x ， 又 BC =4，即 BD +CD =4，所以 √33x +x =4，解得x=6−2√3．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为(6−2√3)公里．39. 【答案】如图，过C作CE⊥AB，垂足为E．根据题意，∠ACE=42∘，∠CBD=31∘，CD=12．可得四边形CDBE为矩形，∴EB=CD，CE=DB．∵在Rt△CBD中，tan∠CBD=CDDB，∴CE=DB=CDtan31∘．∵在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE，∴AE=CE⋅tan42∘．∴AE=CDtan31∘⋅tan42∘≈12×0.900.60=18．∴AB=AE+EB≈12+18=30．答：楼的高约为30m．40. 【答案】根据题意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90∘，∠DEC=90∘．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90∘，∠ADF=47∘，∠BDF=42∘．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21，FC=DE=1.56，在直角△DFA中，tan∠ADF=AFDF，∴AF=DF⋅tan47∘≈21×1.07=22.47(m)．在直角△DFB中，tan∠BDF=BFDF，∴BF=DF⋅tan42∘≈21×0.90=18.90(m)，则AB=AF−BF=22.47−18.90=3.57≈3.6(m)．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5(m)．答：旗杆AB的高度约是3.6m，建筑物BC的高度约是20.5米．。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。
2020中考数学专项解析：解直角三角形(三角函数应用)
【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。
2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。
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应用题（三角函数）
1. （2008年南京市）23．（6分）如图，山顶建有一座铁塔，塔高30m CD =，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20o
，塔顶D 的仰角
为23o ，求此人距CD 的水平距离AB ．
（参考数据：sin 200.342o ≈，cos 200.940o ≈，tan 200.364o ≈， sin 230.391o ≈，cos 230.921o ≈，tan 230.424o ≈）
2. （2008年遵义市）某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角
60BAD ∠=o ，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45o 时，可确保山
体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？
3题图.
3. 汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）
4 ．如图，河流两岸a b ，互相平行，C D ，是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆．某人在河岸b 上的A 处测得30DAB ∠=o
，然后沿河岸
走了100m 到达B 处，测得60CBF ∠=o
，求河流的宽度CF 的值（结果精确到个位）．
5题图. 7题图
5. 如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．(精确到0．1米)
（已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．)
B
2题图.
E C
D
1题图
A
B
C D
20o 23o
Q
B C
P A 450
60︒
30︒
B
E
D C
F
a
b A
4题
A
C
D
E
F B
6题图
北
东
C D
B E
60°
76°
A
B
D
C E
6. 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角
40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ．
（1）求ADB ∠的度数；
（2）求索道AB 的长．（结果保留根号）
7. 如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．
（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，
cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）
8. 如图，AC 是我市某大楼的高，在地面上B 点处测得楼顶A 的仰角为45º，沿BC 方向前进18米到达D 点，测得tan ∠ADC ＝
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．现
打算从大楼顶端A 点悬挂一幅庆祝建国60周年的大型标语，若标语底端距地面15m ，请你计算标语AE 的长度应为多少？
9．（2009年中山）如图所示，A ．B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
8．（2009襄樊市）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护
航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C
1.4 1.7）
C
A B
60° 45°
北
北
图9。