二、二阶行列式与逆矩阵
矩阵的逆与行列式的计算
矩阵的逆与行列式的计算矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。
在矩阵运算中，矩阵的逆和行列式的计算是两个基本而关键的操作。
本文将介绍矩阵逆的定义、计算方法以及其应用，同时也会讨论行列式的计算方法和其相关性质。
一、矩阵逆的定义所谓矩阵的逆，即一个矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，而B为A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
二、矩阵逆的计算方法1. 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A化为一个上三角矩阵，即形式如下:[a b c] [a b c] [a' b' c']A= [0 d e] -> [0 d' e'] -> ... -> [0 0 f'][0 0 f] [0 0 f] [0 0 1]其中，a, b, c, d, e, f为实数，a'、b'、c'、d'、e'、f'是经过变换得到的新的实数。
然后，再通过行变换将上述上三角矩阵变为单位矩阵和一个下三角矩阵乘积的形式，即：A^-1 = [1/m 0 0 ... 0 ][0 1/n 0 ... 0 ][0 0 1 ... 0 ][... ... ][0 0 0 ... 1 ]其中m、n为非零实数。
通过这种方法，我们可以得到 A 的逆矩阵A^-1。
2. 列主元高斯-约当消元法这种方法与初等行变换法类似，通过一系列的行列变换将矩阵A化为一个上三角矩阵，然后再通过逆序消元将其变为单位矩阵。
三、行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，用于判断矩阵是否可逆，以及计算特征值、特征向量等。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
1. 拉普拉斯展开法对于n阶矩阵A = [a(ij)]，如果n>1，则可以使用拉普拉斯展开法求解行列式。
高一数学二 二阶行列式与逆矩阵试题
高一数学二二阶行列式与逆矩阵试题1.（2013•上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．2.（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．3.（2005•朝阳区一模）定义运算，则符合条件的复数z为（）A．3﹣i B．1+3i C．3+i D．1﹣3i【答案】A【解析】根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z== =3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．4.（2013•虹口区二模）已知，则cos2（α+β）= ．【答案】【解析】通过二阶行列式的定义，求出cos（α+β），利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．解：因为，所以cosαcosβ﹣sinαsinβ=，即cos（α+β）=．∴cos2（α+β）=2cos2（α+β）﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．点评：本题考查二阶行列式的定义、三角函数的和角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．5.（2013•徐汇区一模）方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．6.（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．7.在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．8.将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．9.不等式的解集为．【答案】[0，1]【解析】利用，将不等式等价转化为一元二次不等式，可解．解：由题意，x2﹣x≤0，∴0≤x≤1，故答案为[0，1]点评：本题主要考查二阶行列式的定义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．10.若规定，则不等式的解集是．【答案】（x﹣1）＜﹣1，再利用对数函数的单调性【解析】根据二阶行列式的定义原不等式可化为：log2去掉对数符号得出关于x的整式不等式，即可求解．解：原不等式可化为：（x﹣1）＜﹣1，log2即：⇒0＜x﹣1＜，⇒1＜x＜，故答案为：．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．。
二阶求逆矩阵的方法
二阶求逆矩阵的方法二阶矩阵的求逆是线性代数中一个基础而重要的概念。
在这篇文章中，我们将讨论二阶矩阵的求逆方法。
首先，我们需要明确二阶矩阵的定义。
一个二阶矩阵是一个2行2列的矩阵，可以用如下形式表示：\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}\]其中，a、b、c、d是矩阵中的元素。
为了求一个二阶矩阵的逆，我们需要先计算矩阵的行列式。
二阶矩阵的行列式可以通过以下公式计算：\text{det} = ad - bc\]其中，ad表示矩阵的主对角线元素之积，bc表示矩阵的副对角线元素之积。
如果矩阵的行列式(det)不等于零，那么矩阵是可逆的。
在这种情况下，我们可以使用一个公式来计算矩阵的逆：\text{inverse} = \frac{1}{\text{det}} \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}\]其中，a、b、c、d是原始矩阵的元素，det是矩阵的行列式。
下面，我们将使用一个具体的例子来演示二阶矩阵的求逆过程。
假设我们有一个二阶矩阵：\begin{bmatrix}2&3\\1&4\\\end{bmatrix}\]首先，我们需要计算行列式。
根据上述公式，行列式的值为：\]由于行列式不等于零，该矩阵是可逆的。
接下来，我们可以使用求逆公式来计算逆矩阵：\text{inverse} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix}4&-3\\-1&2\\\end{bmatrix}\]逆矩阵的值为：\begin{bmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\-\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\\end{bmatrix}\]通过求逆操作，我们得到了原始矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，如果一个二阶矩阵的行列式等于零，那么该矩阵是不可逆的。
二阶方针的逆矩阵
二阶方针的逆矩阵1.前言在线性代数中，二阶矩阵是最简单的矩阵之一。
但是，逆矩阵却是非常重要的概念，尤其在线性代数中。
在本文中，我们将讨论二阶矩阵的逆矩阵，并讲解如何计算它。
2.二阶矩阵二阶矩阵可以用以下形式表示：$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$$其中$a$，$b$，$c$，$d$是实数。
当然，也可以是复数。
我们可以将上面的矩阵记为$A$。
3.矩阵的行列式对于二阶矩阵$A$，它的行列式可以用以下公式计算：$$\det(A)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$$4.逆矩阵的定义对于任意一个$n$阶矩阵$A$，如果存在另一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I_n$，其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵，那么$A$就被称为可逆矩阵，$B$被称为$A$的逆矩阵。
式子$AB=BA=I_n$也被称为“$A$是可逆矩阵”的等价定义。
对于一个$n$阶实数矩阵$A$，它是可逆的，当且仅当它的行列式$\det(A)$不等于0。
5.逆矩阵的计算对于一个二阶矩阵$A$，如果它存在逆矩阵$A^{-1}$，那么我们可以使用以下公式计算$A^{-1}$：$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$其中，$\det(A)$是$A$的行列式。
如果$\det(A)=0$，那么$A$是不可逆的。
6.逆矩阵的验证我们可以使用以下步骤来验证一个矩阵$A$是否是可逆矩阵：1.计算$A$的行列式$\det(A)$；2.如果$\det(A)=0$，那么$A$不是可逆矩阵；3.如果$\det(A)\neq0$，那么$A$是可逆矩阵；4.计算$A$的逆矩阵$A^{-1}$；5.计算$AA^{-1}$和$A^{-1}A$，如果这两个矩阵都等于单位矩阵$I_2$，那么$A$是可逆矩阵。
二阶行列式与逆矩阵
二阶行列式与逆矩阵教学目标1. 了解行列式的概念；2.会用二阶行列式求逆矩阵。
教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。
教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。
（2）逆矩阵的性质。
二、新课讲解. 例1 设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
例2设A= ⎢⎣⎡43⎥⎦⎤21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。
思考：对于一般的二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？结论：如果矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。
表达式bcad -称为二阶行列式，记作cadb ，即cadb =bc ad -。
ad bc -也称为行列式a b c d的展开式。
符号记为：detA或|A|① 反之，当≠-bc ad 时，有⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c =⎢⎣⎡b a⎥⎦⎤d c ⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。
当矩阵A=⎢⎣⎡ba ⎥⎦⎤d c 可逆时，1-A =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-A c det det A d⎥⎥⎥⎥⎦⎤det A a det A b -。
1.计算二阶行列式： ①3142②2213λλ--2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。
①A ＝0110⎛⎫⎪-⎝⎭②B ＝1100⎛⎫⎪⎝⎭三、课堂小结1.矩阵是否可逆与其行列式的值的关系，2.逆矩阵的又一种求法。
北师大版高中数学选修4-2矩阵与变换二阶行列式与逆矩阵
D1 =
9 -3 -5 2
0ห้องสมุดไป่ตู้-6 -1 2
=81，
0 4-7 6
克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零， 则 方程组有唯一解xj=Dj/D(j=1， 2， ， n)。
2x1 x2 -5x3 x4 = 8
例1
解线性方程组
x1 x1
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
2 -3
2
6 -6
2
-
245
=
1 3 2 1
3 -3
1
-52 -21
二、行列式的乘法定理
定理 设A、B为n阶矩阵，那么|AB|=|A||B|。
推论1 设A1，A2，……，Ar都是n阶矩阵，则 | A1A2……Ar |=|A1||A2|……| Ar |。
推论2 A可逆，则|A-1|=|A|-1。
-3x2 x2
4x2
- x3 - 7 x3
- 6x4 2x4 6x4
矩阵 A 可逆|A|0 若 A 可逆 则 A-1 = 1 A* | A|
例
2
求方阵 A = 132
2 2 4
133 的逆阵
解 由|A|=20 得知A-1存在。因为
所以
A*
=
2 -3
2
6 -6
2
-54 -2
A--11
=
|
1 A
|
A*
=
1 2
(3.5)
a11 a12 a1n 行列式 D = a21 a22 a2n 称为方程组(3.5)的系数行列式。
二阶矩阵的逆矩阵
二阶矩阵的逆矩阵
什么是二阶矩阵
在线性代数中，一个二阶矩阵是一个2x2的矩阵，即有两行两列的矩阵。
通常我们将一个二阶矩阵表示为如下形式：
a b
c d
其中，a、b、c、d是实数或复数。
逆矩阵的定义
在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得乘积AB和BA都等于单位阵I，其中I是一个n 阶的单位矩阵，那么B就被称为A的逆矩阵。
也可以表示为A^-1 = B。
逆矩阵的存在性是由方阵的行列式决定的。
当且仅当一个n阶方阵的行列式不为0时，才存在逆矩阵。
二阶矩阵的逆矩阵计算方法
对于一个二阶矩阵A，我们可以通过以下公式求解其逆矩阵：
1/(ad - bc) * d -b
-c a
其中，ad - bc是矩阵A的行列式。
举例说明
下面举一个例子来说明如何计算一个二阶矩阵的逆矩阵。
假设有一个二阶矩阵A如下：
2 3
4 5
首先，我们需要计算矩阵A的行列式ad - bc。
ad - bc = (2 * 5) - (3 * 4) = 10 - 12 = -2
接下来，我们可以通过公式计算逆矩阵：
1/(-2) * 5 -3
-4 2
所以，矩阵A的逆矩阵为：
-5/2 3/2
2 -1
总结
二阶矩阵的逆矩阵可以通过求解矩阵的行列式和公式来计算。
逆矩阵的存在性由矩阵的行列式决定。
计算逆矩阵可以帮助我们解决线性方程组、求解矩阵方程等问题，是线性代数中重要的概念之一。
以上是关于二阶矩阵的逆矩阵的简要介绍，希望对你有所帮助！。
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆与行列式在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的逆和行列式是矩阵运算中的两个基本概念，对于求解线性方程组和计算矩阵的特征值等问题都具有重要意义。
本文将详细介绍矩阵的逆和行列式的定义、性质以及计算方法。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指存在一个矩阵B，与给定的矩阵A相乘等于单位矩阵。
即有AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵存在。
1. 逆矩阵的存在性若一个n阶矩阵A的行列式不等于零（|A|≠0），则矩阵A是可逆的，存在逆矩阵。
逆矩阵由A的伴随矩阵除以A的行列式得到。
即A的逆矩阵为A^-1 = adj(A)/|A|。
2. 逆矩阵的性质（1）逆矩阵的逆矩阵是它本身，即(A^-1)^-1=A。
（2）逆矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵的转置，即(A^-1)^T=(A^T)^-1。
（3）两个可逆矩阵的乘积的逆矩阵等于它们的逆矩阵的乘积，即(AB)^-1=B^-1*A^-1。
3. 逆矩阵的计算方法（1）对于2阶矩阵A = [a b; c d]，若AD-BC≠0，则A的逆矩阵为1/AD-BC * [d -b; -c a]。
（2）对于高阶矩阵A，计算逆矩阵的一种常用方法是利用初等变换将矩阵A化为一个单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，此时矩阵A就变为了单位矩阵，对应的单位矩阵就是矩阵A的逆矩阵。
二、行列式行列式是矩阵的一个标量值，用于刻画矩阵的性质和计算相关问题。
行列式的取值与矩阵的结构和元素有关。
1. 行列式的定义对于n阶矩阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，行列式用|A|表示。
当n=1时，|A|=a_11；当n>1时，行列式的定义如下：|A| = a_11*A_11 + a_12*A_12 + ... + a_1n*A_1n，其中A_ij=(-1)^(i+j)*M_ij，M_ij表示A中除去第i行第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
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二阶行列式与逆矩阵
【学习目标】了解二阶行列式的定义，掌握二阶行列式的计算方法，运用行列式求逆矩阵；
【教材解读】
一、 行列式与矩阵
1. 行列式:我们把a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦两边的“⎡⎤⎢⎥⎣⎦”改为“”，于是，我们把a b c d
称为二阶行列式，并称它为矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
2. 3. 矩阵与行列式的区别：矩阵a b A c d ⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦
表示一个数表，而行列式a b A c d =是一个数值. 二、 利用行列式求逆矩阵 设a b A c d ⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦
，记||a b A ad bc c d ==-.则 1. 矩阵
A 2. 当0A ≠时，1||||||||d b d b A A ad bc ad bc A c a c a A A ad bc ad bc --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎣⎦
【典例剖析】
例1． 设4112A -⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦，判断A 是否是可逆矩阵，若可逆，求出1A -.
例2． 判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求出逆矩阵
（1） 1111A -⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦ （2）101b B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
例3． 已知矩阵234b A ⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦
可逆，求实数b 的范围.
【自我评价】
1. 展开下列行列式，并化简
（1）10937-- （2）121m m m m +++ （3）5779
2. 矩阵00a d
可逆的条件为 .
3. 行列式(,,,{1,1,2})a b a b c d c d
∈-的所有可能值中，最大的是 .
4. 若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M
αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵.。