2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷(3)
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1. 直线x+y+1=0的倾斜角是( )A.3π4B.2π3C.π4D.π62. 命题“若x2<4，则−2<x<2”的逆否命题是( )A.若x2≥4，则x≥2或x≤−2B.若−2<x<2，则x2<4C.若x>2或x<−2，则x2>4D.若x≥2或x≤−2，则x2≥43. 已知椭圆x2m2+y29=1(m为实数)的左焦点为(−4,0)，则该椭圆的离心率为( )A.3 5B.45C.53D.544. 设a∈R，则“a>2”是“a2>4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知命题p：设x∈R，若|x|=x，则x>0；命题q：设x∈R，若x2=3，则x=√3．则下列命题为真命题的是（）A.p∨qB.p∧qC.(¬p)∨qD.(¬p)∧q6. 曲线x225+y29=1与曲线x225−k+y29−k=1(k<9)的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等7. 已知圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y2−5x+4=0，则两圆的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离8. 已知圆C1：(x+1)2+(y−1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x−y−1=0对称，则圆C2的方程为（）A.(x+2)2+(y−1)2=1B.(x−2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x−2)2+(y−2)2=19. 点M(1,1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )A.4B.√5C.√3D.210. 椭圆mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n)与直线y=1−x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为12，则mn的值是( )A.12B.√22C.9√22D.2√3311. 已知A，B是圆O:x2+y2=10与x轴的两个交点，以A，B为焦点的椭圆与圆O的一个交点为P，且△PAB 的面积为5，则椭圆的离心率e的值为( )A.√63B.2√33C.√22D.2√5512. 设点M(−1,y0)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30∘，则y0的取值范围是（）A.[−1,1]B.[−√33,√33] C.[−√2,√2] D.[−√3,√3]二、填空题椭圆2x2+y2=8的短轴长为________.命题“存在x∈R，使得x2+2x−5=0”的否定是________．已知A(1,0)，点B是圆F:(x+1)2+y2=16(F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程是________.已知a∈R且为常数，圆C：x2+2x+y2−2ay=0，过圆C内一点(1, 2)的直线l与圆C相交于A，B两点. 当∠ACB最小时，直线l的方程为2x−y=0，则a的值为________.三、解答题已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0．(1)当l1 // l2时，求a的值；(2)当l1⊥l2时，求a的值．已知p ：存在x 0∈R,mx 02+1≤0，q ：任意x ∈R, x 2+mx +1>0，若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围．已知动点M 到定点F 1(−2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4√2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)直线x −y +1=0交C 于不同两点A ，B ，求线段AB 的长度．已知圆C 经过点A(2, −1)，和直线x +y =1相切，且圆心在直线y =−2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为√22，直线y =k (x −1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在以MN 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出k 的值；若不存在说明理由．已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y =32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，椭圆C 另一个焦点是F 1，且MF 1→⋅MF 2→=94． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点(−1, 0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△F 2PQ 的内切圆面积的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A【考点】直线的倾斜角【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=−1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=3π4．故选A.2.【答案】D【考点】四种命题间的逆否关系【解析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2<4，则−2<x<2”的逆否命题是“若x≤−2或x≥2，则x2≥4”.故选D.3.【答案】B【考点】椭圆的离心率【解析】由题意可得椭圆的焦点在x轴上，可得b=3，c=4，由a，b．c的关系，解得a=5，再由离心率e=ca，计算即可得到所求值．【解答】解：∵椭圆x 2m +y29=1(m为实数)的左焦点为(−4,0)，∴a=|m|，b=3，c=4，由c2=a2−b2，可得16=m2−9，∴a=|m|=5，∴离心率e=ca=45.故选B．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求解a2>4，得出a>2或a<−2，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【解答】解：∵a2>4，∴a>2或a<−2，根据充分必要的定义判断：“a>2”是“a2>4”的充分不必要条件.故选A.5.【答案】C【考点】复合命题及其真假判断【解析】根据绝对值的代数意义，我们可得|x|=x，则x≥0，即命题p为假命题，由平方根的定义，我们可得若x2= 3，则x=±√3，即命题q假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表，我们可以判断出四个答案的真假，进而得到结果．【解答】解：∵命题p：设x∈R，若|x|=x，则x>0为假命题；命题q：设x∈R，若x2=3，则x=√3为假命题．故p∨q为假命题，故A错误；p∧q为假命题，故B错误；(¬p)∨q为真命题，故C正确；(¬p)∧q为假命题，故D错误.故选C.6.【答案】C【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线x225+y29=1表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8．曲线x 225−k +y 29−k =1(k <9)表示焦点在x 轴上的椭圆，长轴长为2√25−k ，短轴长为2√9−k ， 离心率为25−k ，焦距为8．对照选项，则C 正确． 故选C . 7. 【答案】 C【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】由已知圆的方程，求出两圆的圆心坐标和半径，求出圆心距，利用圆心距与半径的关系得答案． 【解答】解：圆C 1：x 2+y 2=1的圆心为C 1(0, 0)，半径为r 1=1； 圆C 2：x 2+y 2−5x +4=0化为标准方程为(x −52)2+y 2=(32)2，∴ 圆C 2的圆心为C 2(52, 0)，半径为r 2=32．∵ |C 1C 2|=52，且r 1+r 2=52， ∴ 两圆外切． 故选C ． 8.【答案】 B【考点】关于点、直线对称的圆的方程 【解析】求出圆C 1：(x +1)2+(y −1)2=1的圆心坐标，关于直线x −y −1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C 2的方程． 【解答】解：圆C 1：(x +1)2+(y −1)2=1的圆心坐标(−1, 1)， 关于直线x −y −1=0对称的圆心坐标为(2, −2)， 所求的圆C 2的方程为：(x −2)2+(y +2)2=1. 故选B . 9.【答案】 B【考点】点到直线的距离公式 两点间的距离公式【解析】由于直线y =k (x +1)恒过定点N(−1,0)，将问题转化为M ，N 之间的距离.【解答】解：直线y =k (x +1)是过定点N(−1,0)且斜率存在的直线，点M (1,1)到直线y =k (x +1)距离的最大值在直线y =k (x +1)与直线MN 垂直时取得， 此时|MN|=√(−12+(0−1)2=√5. 故选B . 10. 【答案】 A【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题 中点坐标公式 直线的斜率【解析】联立直线方程和椭圆的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及直线的斜率公式，计算可得所求值． 【解答】解：将直线y =1−x 与椭圆mx 2+ny 2=1联立， 可得(m +n )x 2−2nx +n −1=0， 设M (x 1,y 1) ，N (x 2,y 2)， 可得x 1+x 2=2nm+n ，∴ y 1+y 2=1−x 1+1−x 2=2−(x 1+x 2)=2m m+n，∴ MN 的中点为(n m+n ,mm+n)，∵ 由过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为12， ∴ mn =12. 故选A ． 11.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 圆的综合应用【解析】根据圆的性质可得△PAB 是直角三角形，根据三角形面积公式和勾股定理可知 PA ⋅PB =10，PA 2+PB 2=40，然后根据椭圆的定义可得PA +PB =2a ，所以(PA +PB )2=PA 2+2PA ⋅PB +PB 2=40+20=60=4a 2，即可求出a =√15， 最后根据椭圆的离心率e =ca 求出答案. 【解答】解：∵ 圆O ：x 2+y 2=10，∴圆的半径r=√10，A(−√10,0)，B(√10,0)，根据圆的性质：直径所对的圆周角是直角，可知，△PAB是直角三角形，∴S△PAB=12PA⋅PB=5，PA2+PB2=AB2=(2√10)2=40，∴PA⋅PB=10，PA2+PB2=40，又∵点P在椭圆上，∴PA+PB=2a，∴(PA+PB)2=4a2，即PA2+2PA⋅PB+PB2=40+20=60=4a2，∴a=√15，∴椭圆的离心率e=ca =√10√15==√2√3=√63.故选A.12.【答案】D【考点】圆的综合应用圆的切线方程【解析】由圆的性质可知：圆上一点T与M，O所组成的角∠OMT，当MT与圆相切时,∠OMT最大．所以若圆上存在点N，使得∠OMN=30∘，则∠OMT≥30∘．由M(−1,y0)和x2+y2=1可知过M且与圆相切的一条直线为x=−1，切点T(−1,0)，所以在Rt△OMT中，tan∠OMT=OTTM =1|y0|≥tanπ6=3，从而−√3≤y0≤√3，当y0=0时，显然满足题意，故y0∈[−√3,√3].【解答】解：易知M(−1,y0)在直线x=−1上，设圆x2+y2=1与直线x=−1的交点为T，由圆的性质可知：圆上一点T与M，O所组成的角∠OMT，当MT与圆相切时∠OMT最大，显然假设存在点N，使得∠OMN=30∘，则必有∠OMN≤∠OMT，∴ 要是圆上存在点N，使得∠OMN=30∘只需∠OMT≥30∘，∵T(−1,0)，∴只需在Rt△OMT中，tan∠OMT=OTTM =1|y0|≥tanπ6=√3，解得−√3≤y0≤√3且y0≠0，当y0=0时，显然满足题意，故y0∈[−√3,√3].故选D．二、填空题【答案】4【考点】椭圆的标准方程【解析】将椭圆方程化为标准方程，求得a，b，c，由椭圆的性质，结合离心率公式，即可的所求．【解答】解：椭圆2x2+y2=8即为x24+y28=1，即有b=2，则短轴的长为2b=4．故答案为：4.【答案】∀x∈R，使得x2+2x−5≠0【考点】命题的否定【解析】因为特称命题p:∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p:∀x∈M，￢p(x)，即可得答案【解答】解：“∃x∈R，使得x2+2x−5=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，为∀x∈R，使得x2+2x−5≠0. 故答案为：∀x∈R，使得x2+2x−5≠0.【答案】x24+y23=1【考点】椭圆的标准方程轨迹方程【解析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．【解答】解：由题意得圆心F(−1,0)，半径r=4，|PA|=|PB|，∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=r=4>|AF|，故点P的轨迹是以A(1,0)和F(−1,0)为焦点的椭圆，∴2a=4，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1.故答案为：x24+y23=1．【答案】3【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，要使得∠ACB取得最小值，则弦AB为最短，故当点C(1，2)是弦AB 的中点时， ∠ACB 取得最小值， 圆心为(−1，a),所以根据距离公式得，√5=√22+(2−a)2,(2+a)2=20+5(2−a)2, a 2−6a +9=0, (a −3)2=0, 解得：a =3. 故答案为：3. 三、解答题 【答案】解：(1)解：由l 1//l 2知{A 1B 2−A 2B 1=0,A 1C 2−A 2C 1≠0,则有{a(a −1)−1×2=0,a(a 2−1)−1×6≠0，解得a =−1.(2)因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2+B 1B 2=0， 即a +2(a −1)=0，解得a =23. 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（I ）由a(a −1)−2＝0，解得a ＝2或−1．经过验证即可得出．(II)a ＝1时，两条直线不垂直，舍去．a ≠1时，由l 1⊥l 2时，∴ −a2×(−1a−1)=−1，解得a ． 【解答】解：(1)解：由l 1//l 2知{A 1B 2−A 2B 1=0,A 1C 2−A 2C 1≠0,则有{a(a −1)−1×2=0,a(a 2−1)−1×6≠0，解得a =−1.(2)因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2+B 1B 2=0， 即a +2(a −1)=0，解得a =23.【答案】解：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p,q 一真一假，当p 真q 假时{m <0,m ≥2或m ≤−2, 所以m ≤−2；当p 假q 真时 {m ≥0,−2<m <2,所以0≤m <2．故实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪[0,2)．【考点】全称命题与特称命题 逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】 解：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p,q 一真一假．当p 真q 假时{m <0,m ≥2或m <−2, 所以m ≤−2；当p 假q 时 {m ≥0,−2<m <2,所以0≤m <2．所以实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪(0,2)． 【解答】解：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p,q 一真一假，当p 真q 假时{m <0,m ≥2或m ≤−2, 所以m ≤−2；当p 假q 真时 {m ≥0,−2<m <2,所以0≤m <2．故实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪[0,2)． 【答案】解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是 以F 1，F 2为焦点，4√2为长轴长的椭圆, 由c =2，a =2√2，得b =2, 故动点M 的轨迹C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由{x 28+y 24=1,x −y +1=0⇒3x 2+4x −6=0,设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 {Δ=42−4×3×(−6)>0,x 1+x 2=−43,x 1x 2=−2,所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√(−43)2−4×(−2)=4√113．【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题 椭圆的标准方程 轨迹方程【解析】 ．【解答】解：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是 以F 1，F 2为焦点，4√2为长轴长的椭圆, 由c =2，a =2√2，得b =2,故动点M 的轨迹C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由{x 28+y 24=1,x −y +1=0⇒3x 2+4x −6=0, 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 {Δ=42−4×3×(−6)>0,x 1+x 2=−43,x 1x 2=−2, 所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√(−43)2−4×(−2)=4√113．【答案】解：(1)设所求圆心坐标为(a, −2a)， 由条件得√(a −2)2+(−2a +1)2=2，化简得a 2−2a +1=0， ∴ a =1.∴ 圆心为(1, −2)，半径r =√2.∴ 所求圆方程为(x −1)2+(y +2)2=2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =0， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx ， 由题意得√1+k 2=1，解得k =−34，∴ 直线l 的方程为y =−34x ．综上所述，直线l 的方程为x =0或y =−34x ．【考点】直线与圆的位置关系 圆的标准方程 点到直线的距离公式【解析】（1）设出圆心的坐标为(a, −2a)，利用两点间的距离公式表示出圆心到A 的距离即为圆的半径，且根据圆与直线x +y =1相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．（2）分类讨论，利用被圆C 截得的弦长为2，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程． 【解答】解：(1)设所求圆心坐标为(a, −2a)， 由条件得√(a −2)2+(−2a +1)2=√2，化简得a 2−2a +1=0， ∴ a =1.∴ 圆心为(1, −2)，半径r =√2.∴ 所求圆方程为(x −1)2+(y +2)2=2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =0， 此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx ， 由题意得√1+k2=1，解得k =−34， ∴ 直线l 的方程为y =−34x ．综上所述，直线l 的方程为x =0或y =−34x ． 【答案】解：(1)由题意得， {a =2,c a =√22,a 2=b 2+c 2, 解得c =√2,b =√2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)由{y =k(x −1),x 24+y 22=1, 得(1+2k 2)2−4k 2x +2k 2−4=0,假设存在这样的直线使以MN 为直径的圆过坐标原点O ，设点M ，N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则 y 1=k (x 1−1),y 2=k (x 2−1), x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2……①Δ=(−4k 2)2−4(1+2k 2)(2k 2−4)=24k 2+16>0， 所以OM ⊥ON ，即OM →⋅ON →=0，所以x 1x 2+y 1y 2=0，⇒x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1) ……② =(1+k 2)x 1x 2+k 2[1−(x 1+x 2)] =0，把①代入②得：k 2+41+2k =0，无解．所以假设不成立，故不存在这样的直线使得以MN 为直径的圆过坐标原点O . 【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题 椭圆的标准方程 【解析】解：（1）由题意得 解得a =√2,b =√2 所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．（2）由error 得(1+2k 2)2−4k 2x +2k 2−4=0假设存在这样的直线使以MN 为直径的圆过坐标原点O ，设点M ，N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则 y =k (x 1−1),y 2=k (x 2−1) x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2,……① Δ=(−4k 2)2−4(1+2k 2)(2k 2−4)=24k 2+16>0 所以OM ⊥ON ，即OM →⋅ON →=0 所以x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1) ……② =(1+k 2)x 1x 2+k 2[1−(x 1+x 2) =0把①代入②得：k 2+41+2k 2=0，无解． 【解答】解：(1)由题意得， {a =2,c a=√22,a 2=b 2+c 2,解得c =√2,b =√2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)由{y =k(x −1),x 24+y 22=1,得(1+2k 2)2−4k 2x +2k 2−4=0,假设存在这样的直线使以MN 为直径的圆过坐标原点O ， 设点M ，N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，则 y 1=k (x 1−1),y 2=k (x 2−1), x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−41+2k 2……①Δ=(−4k 2)2−4(1+2k 2)(2k 2−4)=24k 2+16>0， 所以OM ⊥ON ，即OM →⋅ON →=0， 所以x 1x 2+y 1y 2=0，⇒x 1x 2+k 2(x 1−1)(x 2−1) ……② =(1+k 2)x 1x 2+k 2[1−(x 1+x 2)] =0，把①代入②得：k 2+41+2k 2=0，无解．所以假设不成立，故不存在这样的直线使得以MN 为直径的圆过坐标原点O . 【答案】解：(1)根据直线y =32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ， 点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，可知焦点在x 轴上且M 点坐标(c, 32c)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0).∵ MF 1→⋅MF 2→=94， ∴ 94c 2=94，即c =1． 设椭圆C 方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，M 点坐标(1, 32)代入椭圆C 方程得1a 2+94b 2=1，∵ c =√a 2−b 2=1， ∴ a =2，b =√3， ∴ 椭圆C 方程为x 24+y 23=1.(2)要使△F 2PQ 的内切圆面积最大，即使△F 2PQ 的面积最大， ∵ F 2F 1为定长，∴ 当且仅当直线l 过(−1, 0)，与x 轴垂直时△F 2PQ 的面积最大， 此时P(−1, 32)，Q(−1, −32)，∴ |F 2P|=|F 2Q|=52，|PQ|=3.设△F 2PQ 的内切圆半径为r ，则12×3×2=12×(3+52+52)r ，∴ r =34，其面积S =9π16.【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 平面向量数量积的运算 【解析】（1）根据直线y =32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，可知焦点在x 轴上且M 点坐标(c, 32c)．F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)．利用MF 1→⋅MF 2→=94，可得c =1，设椭圆C 方程x 2a 2+y 2b =1(a >b >0)M 点代入椭圆C 方程，即可求得椭圆C 方程；（2）要使△F 2PQ 的内切圆面积最大，即使△F 2PQ 的面积最大，根据F 2F 1为定长，可得当且仅当直线L 过(−1, 0)，与x 轴垂直时△F 2PQ 的面积最大． 【解答】解：(1)根据直线y =32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ， 点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2，可知焦点在x 轴上且M 点坐标(c, 32c)，F 1(−c, 0)，F 2(c, 0).∵ MF 1→⋅MF 2→=94， ∴ 94c 2=94，即c =1． 设椭圆C 方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，M 点坐标(1, 32)代入椭圆C 方程得1a 2+94b 2=1，∵ c =√a 2−b 2=1， ∴ a =2，b =√3， ∴ 椭圆C 方程为x 24+y 23=1.(2)要使△F 2PQ 的内切圆面积最大，即使△F 2PQ 的面积最大， ∵ F 2F 1为定长，∴ 当且仅当直线l 过(−1, 0)，与x 轴垂直时△F 2PQ 的面积最大， 此时P(−1, 32)，Q(−1, −32)，∴ |F 2P|=|F 2Q|=52，|PQ|=3.设△F 2PQ 的内切圆半径为r ， 则12×3×2=12×(3+52+52)r ，∴ r =34，其面积S =9π16．。
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷(2)
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1. 在直角坐标系中，直线2x−1=0的倾斜角是( )A.2π3B.π3C. 不存在D.π22. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是( )A.空间两条直线B.空间任意三点C.一条直线和一个点D.空间两条平行直线3. 已知椭圆C：x28+y212=1，则C的长轴长为( )A.2√2B.4√2C.2√3D.4√34. 在空间直角坐标系中，点(−2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(2,−1,9)B.(−2,1,9)C.(−2,−1,−9)D.(2,1,−9)5. 圆x2+y2−2x−3=0的圆心到直线y=x距离为( )A.√2B.12C.2 D.√226. 双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A.√3B.2C.√2D.327. 椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )A.1 4B.12C.√22D.138. 已知两个不同的平面α，β和两个不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m // n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α // β；③若m⊥α，m // n，n⊂β，则α⊥β；④若m // α，α∩β=n，则m // n，其中真命题的个数是( )A.1B.3C.0D.29. 设θ∈(3π4, π)，则关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的椭圆B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线10. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=π2，D是棱AC的中点，且AB=BC=BB1=2.求异面直线AB1与BC1所成的角( )A.π3B.π6C.π2D.π411. 设e是椭圆x28+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围为( )A.(0,3)∪(163,+∞) B.(0,6) C.(0,2) D.(0,6)∪(323,+∞)12. 已知动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线的最大距离为3，则12a+2c的最小值为( )A.94B.1C.9D.92二、填空题与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为2的双曲线标准方程是________.空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x，−1，6)的距离为√86，则x等于________.设点P是双曲线x29−y216=1上任意一点，F1，F2分别是其左，右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=________.已知点P是椭圆x24+y23=1上任一点，则点P到直线l:x+2y−12=0的距离的最小值为________．三、解答题(1)求经过点P(3,0)，且离心率为√55的椭圆的标准方程；(2)经过两点A(7,6√2)，B(2√7,−3)的双曲线标准方程.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.(1)求AC边所在直线方程；(2)求过顶点C且与BH平行的直线．已知动圆C经过点A(2, −3)和B(−2, −5).(1)当圆C面积最小时，求圆C的方程；(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点，AB=BC= AA1=1.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求BE与平面BCC1B1所成角的正弦值．已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点(0,12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得k MQ+k NQ=0？若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】平面的基使性质及钡论【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】空间明角钙标系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】圆的正且方程点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲三定定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题两条平行射线间面距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标直线的都特式方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系两条直根平行与亮斜角感斜哪的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质圆的射纳方程两点间来距离循式直线的较般式划程皮直校的垂直关系中点较标公洗【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系轨表方擦直线的三般式方疫【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆水明心率椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 点关于轴的对称点的坐标为（ ）A.B.C.D.2. 直线在两坐标轴上的截距之和为( )A.B.C.D.3. 已知双曲线：的右焦点为，以双曲线的实轴为直径的圆与其渐近线在第一象限交于点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.4. 已知和为圆的两条互相垂直的弦，垂足为求四边形的面积最大值 A.B.C.D.A(1,2,3)x (−1,2,3)(1,−2,3)(1,−2,−3)(1,2,−3)3x −5y −15=08−32−2C −=1x 2a 2y 2b 2(a >0，b >0)F C P PF −b aC ()y =±xy =±2xy =±3xy =±4xAC BD O :+=4x 2y 2M (1,)2–√ABCD ()34565. 设数列前项和为，已知，则 A.B.C.D.6. 如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角是( )A.B.C.D. 7. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则的取值范围是A.B.C.D.8. 过点作抛物线的切线，，切点分别为，，若的重心坐标为，且在抛物线上，则的焦点坐标为 A.B.{}a n n S n S n =3−n a n =a 3()98158198278ABCD −A 1B 1C 1D 1A =AB =2A 1AD =1E F G DD 1AB CC 1E A 1GF π6π4π3π2{}a n =a a 1n S n +=4(n ≥2,n ∈)S n S n−1n 2N +n ∈N +<a n a n+1a ()(3,5)(4,6)[3,5)[4,6)P C :=2y x 2l 1l 2M N △PMN (1,1)P D :=mx y 2D ()(,0)14(,0)12,0)–√C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值10. 在平行四边形中， ， 则下列选项正确的是（ ）A.的最小值是B.的最小值是—C.的最大值是D.的最大值是11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，点是圆关于直线对称的曲线上任意一点，若的最小值为，则下列说法正确的是( )A.椭圆的焦距为B.曲线过点的切线斜率为C.若，为椭圆上关于原点对称的异于顶点和点的两点，则直线与斜率之积为D.的最小值为12. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：，，，，，，，…，把这列数记作数列，其前项和记作，则（ ）(,0)2–√4(,0)2–√2l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C ABCD AB =2,AD =2,⋅=−6,=λ3–√AB −→−AD −→−AM −→−AD−→−λ∈[0,1]⋅MB −→−MC −→−−3⋅MB −→−MC −→−2⋅MB −→−MC −→−10⋅MB −→−MC −→−25C :+=1(0<b <)x 25y 2b 25–√F 1F 2P Q +=1x 2(y −4)2x −y =0E |PQ|−|P |F 25−25–√C 2E F 2±3–√3A B C P PA PB −15|PQ|+|P |F 2211235813{}a n n S nA.在第条斜线上，各数之和为B.在第条斜线上，最大的数是C.…D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. ，，如果与为共线向量，则________．14. 设圆，定点，若圆上存在两点到的距离为，则的取值范围________．15. 若数列是等差数列，首项，，．，则使前项和最大时，自然数是_______.16. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论：①曲线与直线交于不同于原点的两点，则；②存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）；③存在一个以原点为中心、半径为的圆，使得曲线在此圆面内（含边界）；④曲线上至少有一个点，使得点到两坐标轴的距离之积大于.其中，正确结论的序号是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 已知直线过点和两点．（1）求出该直线的直线方程（用点斜式表示）；105510C 27(−)(−)(−)a 1a 3a 22a 2a 4a 23a 3a 5a 24(−)=1a 2019a 2021a 22020=−1S 2019a 2021=(2x,1,3)a →=(1,−2y,9)b →a →b →x +y =O :+=(r >0)x 2y 2r 2A(3,4)O A 2r {}a n >0a 1+>0a 2003a 2004a 2003<0a 2004n S n n C :=4(+)x 2y 23x 2y 2C y =ax (a ≠0)O A (,),B (,)x 1y 1x 2y 2+++=0x 1x 2y 1y 21C 1C C M M 12A(2,1)B(6,−2)（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在轴和轴上的截距．18. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前项和．19. 在直角梯形中，，，（如图）．把沿翻折，使得二面角的平面角为（如图）（1）若，求证：；（2）是否存在适当的值，使得，若存在，求出的值，若不存在说明理由；（3）取中点，中点，、分别为线段与上一点，使得．令与和所成的角分别为和．求证：对任意．，总存在实数，使得均存在一个不变的最大值．并求出此最大值和取得最大值时与的关系．20. （湖南雅礼中学月考八）已知点到点的距离与它到直线的距离之和等于．求点的轨迹的方程；设过点的直线与轨迹相交于，两点，求线段长度的最大值．21. 在等比数列中，，且），且，，成等差数列．求数列的通项公式；若，求数列的前项和.22. 求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程．x y {}a n d ≠0=10a 4a 3a 6a 10(1){}a n (2)=(−1b n )n a n {}b n n T n ABCD AD //BC BC =2AD =2AB =22–√∠ABC =90∘1△ABD BD A −BD −C θ2θ=π2CD ⊥AB θAC ⊥BD θBD M BC N P Q AB DN ==λ(λ∈R)AP PB NQQD PQ BD AN θ1θ2θ∈(0π)λsin +sin θ1θ2θλP F (0,1)y =34P C F l C M N MN {}a n =8(n ≥4a n a n−3n ∈N ∗4a 1a 22a 3(1){}a n (2)=(n ∈)b n ()log 2a n+12N ∗{}(−1)n b n n S n 9−16=144y 2x 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】空间直角坐标系空间中的点的坐标【解析】在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数【解答】解：∵在空间直角坐标系中，一个点关于坐标轴对称，则这个点的坐标只有这个对称轴对应的坐标不变，其他的要变化成相反数，∴点关于轴的对称点的坐标为故选．2.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】将直线转化为直线截距方程，求出截距即可得到答案.【解答】解：由题意得直线方程转化为，所以直线方程在坐标轴上的截距依次为，所以截距之和为.故选.3.【答案】AA(1,2,3)x (1,−2,−3)C −=1x 5y 35，−32C【考点】双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：得或据题设知，点，故，解得，所以所求渐近线方程为.故选.4.【答案】C【考点】圆的综合应用【解析】设圆心到、的距离分别为、，则，代入面积公式，使用基本不等式求出四边形的面积的最大值．【解答】解：如图，连接，作垂足分别为，，∵，∴四边形为矩形，已知，，设圆心到，的距离分别为，，+=，x 2y 2a 2y =x ，b ax =，a2c y =，ab cx =−，a 2c y =−.ab c P (,)a 2c ab c =−−0ab c−c a 2c b a =1b 2a 2y =±x A AC BD d 1d 2+=3d 21d 22S =|AC ||BD |12ABCD OA OD OE ⊥AC ，OF ⊥BD E F AC ⊥BD OEMF OA =OC =2OM =3–√O AC BD d 1d 2+=O =3d 2d 2M 2则，四边形的面积为：，从而：，当且仅当时取等号，故选.5.【答案】C【考点】数列递推式【解析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：当时，，整理得，.又，得，∴，得,∴，得.故选.6.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，+=O =3d 21d 22M 2ABCD S =⋅|AC |(|BM |+|MD |)12S =|AC ||BD |12=2≤8−(+)=5(4−)(4−)d 21d 22−−−−−−−−−−−−−√d 21d 22=d 21d 22C n ≥2=−a n S n S n−1=3−n −[3−(n −1)]a n a n−12=3+1a n a n−1==3−1S 1a 1a 1=a 1122=3+1=+1a 2a 132=a 2542=3+1=+1a 3a 2154=a 3198C D DA x DC y DD 1z E A 1GF D DA x DC y DD 1z则，，，，，.设异面直线与所成角为，则，∴异面直线与所成角为．故选.7.【答案】A【考点】数列与函数的综合数列递推式【解析】由化简可得，从而可得，由知，，，从而解得．【解答】解：∵，，∴，即，即，故，，且，∴，，；若对任意，恒成立，只需使，即，解得，，故选．8.【答案】(1,0,2)A 1E(0,0,1)G(0,2,1)F(1,1,0)=(−1,0,−1)E A 1−→−=(1,−1,−1)GF −→−E A 1GF θcos θ=|cos <，>|E A 1−→−GF −→−=|⋅E A 1−→−GF −→−||⋅||E A 1−→−GF −→−|=|=0−1×1+(−1)×(−1)||⋅||E A 1−→−GF −→−|E A 1GF π2D +=4S n S n−1n 2−=8n +4S n+1S n−1−=8a n+2a n =a a 1=16−2=16−2a a 2a 1=4+2a a 3=24−2a a 4+=4S n S n−1n 2+=4(n +1S n+1S n )2−=8n +4S n+1S n−1+=8n +4a n+1a n +=8n +12a n+2a n+1−=8a n+2a n +=+2=16S n+1S n a 2a 1=a a 1=16−2=16−2a a 2a 1=8×2+4−(16−2a)=4+2a a 3=24−2a a 4n ∈N +<a n a n+1<<<a 1a 2a 3a 4a <16−2a <4+2a <24−2a 3<a <5AA【考点】抛物线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，由，得，所以，故直线的方程为，即，同理直线的方程为，联立，的方程可得，．设的重心坐标为（），则，，即则的坐标为，从而，即，故的焦点坐标为．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.M (,)x 1x 212N (,)x 2x 222=2y x 2y =x 22=x y ′l 1y −=(x −)x 212x 1x 1y =x −x 1x 212l 2y =x −x 2x 222l 1l 2x =+x 1x 22y =x 1x 22△PMN ,x 0y 0==1x 0++x 1x 2+x 1x 223==1y 0++x 212x 222x 1x 223{⇒{+=2,x 1x 2++=6,x 21x 22x 1x 2+=2,x 1x 2=−2,x 1x 2P (1,−1)=m ×1(−1)2m =1D (,0)14A ABC l C CP D解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.10.【答案】B,C【考点】向量在几何中的应用数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：，则最大值为，最小值为.故选.11.【答案】B,C【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义和性质【解析】由题意得，的最小值为，结合椭圆的性质可判断，根据直线与圆的位置关系可判断；设出点，，坐标，代入椭圆的方程可判断；结合图像判断．l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD ⋅=(+)(+)MB −→−MC −→−MA −→−AB −→−MD −→−DC −→−=(−λ+)((1−λ)+)AD −→−AB −→−AD −→−AB −→−=12−2λ210−2BC |PQ|⋅|P |F 25−25–√A B P A B C D由题意得，，即，则，由曲线和圆关于直线对称，得曲线的方程为.，由的最小值为，得，即，当且仅当点位于椭圆的右顶点，且点位于圆与轴的左交点时，等号成立，此时，即 ，所以，所以椭圆的方程为，故椭圆的焦距为，故错误；，由，得点坐标为，由题意知，曲线过点的切线的斜率必然存在，设直线方程为，则点到直线距离为，即 ，解得 ，故正确；，设点，，坐标分别为，， ，得，故正确；，当且仅当点位于椭圆的右顶点，且点位于圆与轴的左交点时，取得最小值，易知，故错误．故选．12.【答案】A,B,D【考点】数列的求和数列的应用【解析】由上往下每条线上各数之和为，由此可得规律为，然后再对选项一一进行分析判断即可得.2a =25–√|P |+|P |=2F 1F 25–√|P |=2−|P |F 25–√F 1E +=1x 2(y −4)2x −y =0E +=1(x −4)2y 2A |PQ|−|P |F 25−25–√|PQ|−|P |=F 2|PQ|+|P |−2≥5−2F 15–√5–√|PQ|+|P|≥5F 1P Q E x c +3=5c =2b =1+=1x 25y 2C 2c =4A B c =2F 2(2,0)E F 2y =k (x −2)E 1=1|2k|1+k 2−−−−−√k =±3–√3B C P A B (,)x P y P (,)x 0y 0(−,)x 0y 0(≠0,≠0,≠)x 0y 0x 0x P ⋅=⋅k PA k PB −y P y 0−x P x 0+y P y 0+x P x 0==−y 2P y 20−x 2P x 20=−(1−)−(1−)x 2P 5x 205−x 2P x 2015CD P QE x |PQ|+|P |F 2[|PQ|+|P |=3−2=1F 2]min D BC1，1，2，3，4，8，13，21，34，55+=a n a n+1an+2ABCD解：由上往下每条线上各数之和为，，，，，，，…，由此可得规律为，所以可得在第条斜线上，各数之和为，故正确；在第条斜线上的数有：所以在第条斜线上的数有，所以最大的数为，故正确；对于每相邻三项，都有，当为偶数时，，当为奇数时，，所以，故错误.因为，所以，所以正确 .故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】共线向量与共面向量【解析】利用向量共线的充要条件即可求出．【解答】解：∵与为共线向量，∴存在实数使得，∴解得∴．故答案为：．14.【答案】【考点】圆与圆的位置关系及其判定11235813+=a n a n+1a n+21055A n ，，，...,，，C 0n−1C 1n−2C 2n−3C k−1n−k C k n−(k+1)10，，，，...C 09C 18C 27C 36C 27B ⋅−=±1a n a n+2a 2n+1n ⋅−=−1a n a n+2a 2n+1n ⋅−=1a n a n+2a 2n+1(⋅−)(⋅−)...(⋅−)=−1a 1a 3a 22a 2a 4a 23a 2019a 2021a 22020C =+++⋯+S n a 1a 2a 3a n =(−)+(−)+(−)+⋯+(−)a 3a 2a 4a 3a 5a 4a n+2a n+1=−1a n+2=−1S 2019a 2021D ABD −43a →b →λ=λa →b →2x =λ，1=−2λy ，3=9λ， x =，16y =−，32λ=，13x +y =−=−163243−43(3,7)根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，分析圆的圆心、半径，求出圆心距，分析可得圆与圆相交，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，设以为圆心，半径为的圆为圆，圆，其圆心为，半径为，则，若圆上存在两点到的距离为，则圆与圆相交，则有，解可得，即的取值范围为；15.【答案】【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】对于首项大于零的递减的等差数列，第项与项的和大于零，积小于零，说明第项大于零且项小于零，且项的绝对值比项的要大，由等差数列前项和公式可判断结论．【解答】解：∵，，∴和两项中有一正数一负数.又，∴公差为负数，否则各项总为正数，∴，即，，∴前项和最大，即.故答案为：.16.【答案】①③【考点】两点间的距离公式基本不等式在最值问题中的应用曲线与方程【解析】A 2A O O A r −2<5<r +2r A 2A O :+=(r >0)x 2y 2r 2(0,0)r |OA |==59+16−−−−−√O :+=(r >0)x 2y 2r 2A 2O A r −2<5<r +23<r <7r (3,7)2003200320042003200420032004n +>0a 2003a 2004⋅<0a 2003a 2004a 2003a 2004>0a 1>a 2003a 2004>0a 2003<0a 20042003S n n =20032003解：曲线关于原点对称，所以，所以①正确；由，所以，即： ，当时取等号，此时，点在曲线上，而，所以②错误，③正确；因为，所以④错误；综上所述，①③正确．故答案为：①③．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】∵直线过点和，∴直线的斜率为，故直线的点斜式方程为：．把直线的方程化为斜截式：，一般式：＝，截距式：，故直线在轴上的截距为；在轴上的截距为．【考点】直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】解：等差数列的公差为，又，可得，，，由，，成等比数列，得，解得(舍去)或．当时，则，．故；∵，∴，O +=+=0x 1x 2y 1y 24≤4=x 2y 2()+x 2y 222(+)x 2y 22≤(+)x 2y 23(+)x 2y 22+≤1x 2y 2==x 2y 212P (,)2–√22–√2|PO|=1|x|⋅|y|≤≤+x 2y 2212A(2,1)B(7AB AB l 3x +6y −100l x y (1){}a n d =10a 4=10−d a 3=10+2d a 6=10+6d a 10a 3a 6a 10(10+2d =(10−d)(10+6d))2d =0d =1d =1=−3d =10−3×1=7a 1a 4=+(n −1)d =n +6a n a 1=n +6a n (2)=(−1b n )n a n =(−1⋅(n +6)b n )n当为偶数时：，当为奇数时：.【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设出等差数列的公差为，又，把，，用表示，结合，，成等比数列求得，则等差数列的通项公式可求；（2）把（1）中求得的代入，然后利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和．【解答】解：等差数列的公差为，又，可得，，，由，，成等比数列，得，解得(舍去)或．当时，则，．故；∵，∴，，当为偶数时：，当为奇数时：.19.【答案】（1）证明：由已知条件可得，，．∵平面平面，平面平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：不存在．∵，，，∴平面，∵平面，∴，与矛盾，故不存在；（3）证明：在线段取点使得n =⋅1=T n n 2n 2n =1⋅+(−1⋅(n +6)T n n −12)n =−1⋅(n +6)n −12==−−n −132n +132{}a n d =10a 4a 3a 6a 10d a 3a 6a 10d a n =(n ∈)b n 2a n N ∗n {}b n n S n (1){}a n d =10a 4=10−d a 3=10+2d a 6=10+6d a 10a 3a 6a 10(10+2d =(10−d)(10+6d))2d =0d =1d =1=−3d =10−3×1=7a 1a 4=+(n −1)d =n +6a n a 1=n +6a n (2)=(−1b n )n a n =(−1⋅(n +6)b n )n =++⋯+T n b 1b 2b n =−1×7+(−1×8+⋯+(−1(n +6))2)n n =⋅1=T n n 2n 2n =1⋅+(−1⋅(n +6)T n n −12)n =−1⋅(n +6)n −12==−−n −132n +132BD =2CD =2CD ⊥BD ABD ⊥BCD ABD∩BCD =BD CD ⊥ABD AB ⊂ABD CD ⊥AB AC ⊥BD CD ⊥BD AC ∩CD =C BD ⊥ACD AD ⊂ACD BD ⊥AD ∠ABC =90∘BN R ===λ(λ∈R)AP PB NR RB NQ QD∵，，，∴，∵，，∴，从而有，∴当且仅当，即时取得最大值．此时有，又∵，，∴…【考点】与二面角有关的立体几何综合题【解析】（1）先证明，利用平面平面，可得平面，利用线面垂直的性质可得；（2）不存在．由，，，可得平面，，与矛盾；（3）线段取点使得，从而易得且，，，确定，利用基本不等式，即可求的最大值．此时有，利用比例关系，结合余弦定理，即可得出取得最大值时与的关系．【解答】（1）证明：由已知条件可得，，．∵平面平面，平面平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：不存在．∵，，，∴平面，∵平面，∴，与矛盾，故不存在；（3）证明：在线段取点使得从而易得且，，另一方面，，，从而．∵，，，∴，∵，，∴，从而有，AM ⊥BD MN ⊥BD AM ∩MN =M BD ⊥AN PR //AN RQ //BD ∠PRQ =π2+=⇒+=1θ1θ2π2sin 2θ1sin 2θ2sin +sin ≤=θ1θ22(+)sin 2θ1sin 2θ2−−−−−−−−−−−−−−−√2–√sin =sin θ1θ2=θ1θ2PR =QR ==⇒PR =AN ==PR AN BP BA 11+λ11+λ11+λA +M −2MN ⋅AN cos θM 2N 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√==⇒QR =BD =⋅2=QR BD NQ ND λ1+λλ1+λλ1+λ2λ1+λPR =QR ⇒=⇒=2λ⇒λ==sin 11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√2λ1+λ2−2cos θ−−−−−−−−√1−cos θ2−−−−−−−−√θ2CD ⊥BD ABD ⊥BCD CD ⊥ABD CD ⊥AB AC ⊥BD CD ⊥BD AC ∩CD =C BD ⊥ACD BD ⊥AD ∠ABC =90∘BN R ===λ(λ∈R)AP PB NR RB NQ QD PR //AN RQ //BDA =∠PQR θ1=∠QPR θ2+θ1θ2sin +sin θ1θ2PR =QR θλBD =2CD =2CD ⊥BD ABD ⊥BCD ABD∩BCD =BD CD ⊥ABD AB ⊂ABD CD ⊥AB AC ⊥BD CD ⊥BD AC ∩CD =C BD ⊥ACD AD ⊂ACD BD ⊥AD ∠ABC =90∘BN R ===λ(λ∈R)AP PB NR RB NQ QDPR //AN RQ //BDA =∠PQR θ1=∠QPRθ2AM ⊥BD MN ⊥BD θ=∠AMN AM ⊥BD MN ⊥BD AM ∩MN =M BD ⊥AN PR //AN RQ //BD ∠PRQ =π2+=⇒+=1θ1θ2π2sin 2θ1sin 2θ2−−−−−−−−−−−−−−−又∵，，∴…20.【答案】故点的轨迹是抛物线在直线的下方部分（包括它与直线的交点）与抛物线在直线的上方部分所组成的曲线，如图所示．【考点】圆锥曲线的综合问题轨迹方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设点的坐标为，则，①当时，由①得，②化简得；当时，由①得，③化简得，故点的轨迹是抛物线在直线的下方部分（包括它与直线的交点）与抛物线在直线的上方部分所组成的曲线，如图所示．==⇒PR =AN ==PR AN BP BA 11+λ11+λ11+λA +M −2MN ⋅AN cos θM 2N 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√==⇒QR =BD =⋅2=QR BD NQ ND λ1+λλ1+λλ1+λ2λ1+λPR =QR ⇒=⇒=2λ⇒λ==sin 11+λ2−2cos θ−−−−−−−−√2λ1+λ2−2cos θ−−−−−−−−√1−cos θ2−−−−−−−−√θ2P C :=4y C 1x 2y =3y =3:y =−+4C 2112x 2y =31163P (x ，y)+|y −3|=4+x 2(y −1)2−−−−−−−−−−√y ≤3=1+y +x 2(y −1)2−−−−−−−−−−√=4y x 2y >3=7−y +x 2(y −1)2−−−−−−−−−−√y =−+4112x 2P C :=4y C 1x 2y =3y =3:y =−+4C 2112x 2y =31【名师指导】【名师指导】本题考查曲线与方程、抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系．利用两点间的距离公式，再分类讨论求解，注意对曲线方程化简；如图所示，易知直线与的交点是，，直线，的斜率分别为．当点在上时，由②知；④当点在上时，由③知，⑤若直线的斜率存在，则直线的方程为，（1）当，即时，直线与轨迹的两个交点都在上，此时由④知，，由得，则，所以，当且仅当时，等号成立．（2）当或，即或时，直线与轨迹的两个交点分别在上，不妨设点在上，点在上，则由④⑤知．设直线与的另一交点为，则，，，所以．而点，都在上，且，由（1）知，所以．若直线的斜率不存在，则，此时．综上所述，线段长度的最大值为．【名师指导】【名师指导】本题考查曲线与方程、抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系．分类讨论直线的斜率，再设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用抛物线的定义、韦达定理和放缩法求解．21.2y =3C A (2,3)3–√B(−2，3)3–√AF BF =，=−k AF 3–√3k BF 3–√3P C 1|PF|=1+y P C 2|PF|=7−y l k l y =kx +1≤k ≤k BF k AF −≤k ≤3–√33–√3l C M (,)，N (,)x 1y 1x 2y 2C 1|MN|=|MF|+|NF|=(1+)+(1+)=2+(+)y 1y 2y 1y 2{y =kx +1，=4y x 2−4kx −4=0x 2+=4k x 1x 2|MN|=2+(+)=k (+)+4y 1y 2x 1x 2=4+4≤+4=k 243163k =±3–√3k <k BF k >k AF k <−3–√3k >3–√3l C M(,)，N(,)x 1y 1x 2y 2,C 1C 2M C 1N C 2|MF|=1+，|NF|=7−y 1y 2AF C 1E (，)x 0y 0>，>3y 0y 1y 2|MF|=1+<1+=|EF|y 1y 0|NF|=7−<7−3=|AF|y 2|MN|=|MF|+|NF|<|EF|+|AF|=|AE|A E C 1=k AE 3–√3|AE|=163|MN|<163l =0，=4y M y N |MN|=4<163MN 163l l解：设公比为，则，解得因为，，成等差数列，所以 ．所以，即，解得（舍去）或，所以.，所以当为偶数时，；当为奇数时，，所以【考点】数列递推式等差中项等比数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：设公比为，则，解得因为，，成等差数列，所以 ．所以，即，解得（舍去）或，所以.，所以当为偶数时，；当为奇数时，，所以(1){}a n q (q ≠0)==8a n a n−3q 3a n−3q =2.4a 1a 22a 32=4+a 22a 1a 32=4+×(×2)a 12a 1a 1228−8=0a 21a 1=0a 1=1a 1=a n 2n−1(2)===b n ()log 2a n+12()log 22n 2n 2=−+−++⋯+⋅S n 12223242(−1)n n 2n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [n +(n −1)][n −(n −1)]=1+2+3+4+⋯+(n −1)+n =+n n 22n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [(n −1)+(n −2)][(n −1)−(n −2)]−n 2=[1+2+3+4+⋯+(n −2)+(n −1)]−n 2=−+n n 22=S n −，n 为奇数，+n n 22，n 为偶数.+n n 22(1){}a n q (q ≠0)==8a n a n−3q 3a n−3q =2.4a 1a 22a 32=4+a 22a 1a 32=4+×(×2)a 12a 1a 1228−8=0a 21a 1=0a 1=1a 1=a n 2n−1(2)===b n ()log 2a n+12()log 22n 2n 2=−+−++⋯+⋅S n 12223242(−1)n n 2n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [n +(n −1)][n −(n −1)]=1+2+3+4+⋯+(n −1)+n =+n n 22n =(2+1)(2−1)+(4+3)(4−3)+⋯+S n [(n −1)+(n −2)][(n −1)−(n −2)]−n 2=[1+2+3+4+⋯+(n −2)+(n −1)]−n 2=−+n n 22=S n −，n 为奇数，+n n 22+n n 2【答案】解：把双曲线方程化为由此可知实半轴长，虚半轴长，，焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．【考点】双曲线的标准方程【解析】把双曲线方程化为，由此利用双曲线的性质能求出结果．【解答】解：把双曲线方程化为由此可知实半轴长，虚半轴长，，焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．9−16=144y 2x 2−=1y 216x 29a =4b =3c ==5+a 2b 2−−−−−−√(0,−5)(0,5)e ==c a 54y =±x 439−16=144y 2x 2−=1y 216x 299−16=144y 2x 2−=1y 216x 29a =4b =3c ==5+a 2b 2−−−−−−√(0,−5)(0,5)e ==c a 54y =±x 43。
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1. 在直角坐标系中，直线2x−1=0的倾斜角是( )A.2π3B.π3C. 不存在D.π22. 在空间直角坐标系中，点(−2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(2,−1,9)B.(−2,1,9)C.(2,1,−9)D.(−2,−1,−9)3. 双曲线x2−y2=a2(a>0)的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点重合，则实数a的值为( )A.4B.√2C.8D.24. 命题“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是( )A.∃x0∈R，x03−x02+1<0B.∀x∈R，x3−x2+1≤0C.不存在x∈R，x3−x2+1>0D.∃x0∈R，x03−x02+1≤05. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A.√22B.12C.√2D.16. 条件p:x>1，y>1，条件q:x+y>2，xy>1，则条件p是条件q的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.即不充分也不必要条件D.充要条件7. 已知两个不同的平面α，β和两个不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m // n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α // β；③若m⊥α，m // n，n⊂β，则α⊥β；④若m // α，α∩β=n，则m // n，其中真命题的个数是( )A.1B.3C.0D.28. 已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A.20√6B.10√6C.40√6D.30√69. 设θ∈(3π4, π)，则关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的椭圆B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线10. 设e是椭圆x28+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围为( )A.(0,3)∪(163,+∞) B.(0,6) C.(0,2) D.(0,6)∪(323,+∞)11. 已知动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线的最大距离为3，则12a+2c的最小值为( )A.94B.1C.9D.9212. 若直线y=x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是（）A.[1−2√2,3]B.[−1,1+2√2]C.[1−√2,3]D.[1−2√2,1+2√2]二、填空题与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为2的双曲线标准方程是________.空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x，−1，6)的距离为√86，则x等于________.直线kx−y=k−1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，则k的取值范围是________．已知点P是椭圆x24+y23=1上任一点，则点P到直线l:x+2y−12=0的距离的最小值为________．三、解答题(1)求经过点P(3,0)，且离心率为√55的椭圆的标准方程；(2)经过两点A(7,6√2)，B(2√7,−3)的双曲线标准方程.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.(1)求AC边所在直线方程；(2)求过顶点C且与BH平行的直线．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点，AB=BC= AA1=1.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求BE与平面BCC1B1所成角的正弦值．已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．已知命题p：方程x2t+1+y23−t=1所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数t满足不等式t2−(a−1)t−a<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点(0,12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO？若存在，请求出定点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】空间明角钙标系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】曲常与树程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题两条平行射线间面距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标直线的都特式方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系两条直根平行与亮斜角感斜哪的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系轨表方擦直线的三般式方疫【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题椭圆较标准划程命题的真三判断州应用一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年四川省成都市新津中学高二上学期12月月考数学(理)试题 word版
成都市新津中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题（理）（满分：150分 考试时间：120 分钟）第I 卷 选择题（60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（ ） A. 椭圆B. 两条射线C. 双曲线D. 线段2．若直线3x+y+a=0过圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ ）A.-1B.1C.3D.-33．已知直线()()()12:120,:1430l mx m y l m x m y +++=+++-=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑i ＝110x i ＝17，则∑i ＝110y i 的值等于( )A ．3B ．4C ．0.4D ．40 5．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）A.B.C.D.6．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．1407．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab＝( )A.32 B.233 C.932 D.23278．F 为抛物线的焦点，P 为C 上一点，M(3,3)，求的最小值是 ( )A. 2B.C.D. 49． 斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.810510.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为( )A ．9B ．18C ．20D ．3511．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，P 是准线l 上的一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则 ||QF =（ ） A ．72 B ．52C ．3D ．2 12．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.B. C. D.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)，”否命题的真假性为________．14．过圆O ： x 2+y 2=4外一点P(23，2)作圆的两条切线PA 、PB ，A 、B为切点，则直线AB 的方程为_______.15．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为________．16．有公共焦点F 1，F 2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A 为两曲线的一个公共点，且满足∠F 1AF 2＝60°，则221213e e +的值为_______． 三、解答题．（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内）17．（本小题满分10分）已知p “直线0=-+m y x 与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交”；:q “042=-+-m x mx 有一正根和一负根”。
2020-2021学年四川成都高三上数学月考试卷
，
所以 .
故选 .
2.
【答案】
D
【考点】
共轭复数
复数的模
复数的பைடு நூலகம்算
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用共轭复数的概念得 ，再利用复数的运算得 ，进而求模.
【解答】
解：由题 ，
所以 ，
，
.
故选 .
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数解得 ，再利用对数的性质得解.
，
将 代入得：
，
解得 ，故 .
又因为 ，
所以 .
故选 .
11.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
余弦定理的应用
【解析】
利用余弦定理，首先求出 ，再利用对边对角解三角形的范围问题处理即可.
【解答】
解：由题意得：如图，连接 ，则 ，
在 中，由余弦定理得：
.
设 ， ，
在 中，由余弦定理得：
，
即 .
又由基本不等式得： ，
【解答】
解：由题设得 .
故选 .
4.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.
【解答】
解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：
目标函数 可化为 ，
平移直线 ，当直线经过 时，直线在 轴上截距最大，此时目标函数有最大值.
联立
易求得 ，
∴目标函数的最大值为 .
A. B. C. D.
11.如图，某市一个圆形公园的中心为喷泉广场， 为入口， 为公园内紧贴围墙修建的一个凉亭， 为公园内紧贴围墙修建的公厕，已知 ， ， ，计划在公园内 处紧贴围墙再修建一座凉亭，若要使得 ， ， 和 的总长度 最大，则 的长度应为( )
2020-2021学年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2，=2，故f（x）＞不成立，故①不正确；=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正②当x确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得：=，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），，=（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2016，故满足条件的n的最小值为2016．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成，+x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．。
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷
2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1. 在直角坐标系中，直线2x−1=0的倾斜角是( )A.2π3B.π3C. 不存在D.π22. 在空间直角坐标系中，点(−2,1,9)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(2,−1,9)B.(−2,1,9)C.(2,1,−9)D.(−2,−1,−9)3. 双曲线x2−y2=a2(a>0)的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点重合，则实数a的值为( )A.4B.√2C.8D.24. 命题“∃x0∈R，x03−x02+1>0”的否定是( )A.∃x0∈R，x03−x02+1<0B.∀x∈R，x3−x2+1≤0C.不存在x∈R，x3−x2+1>0D.∃x0∈R，x03−x02+1≤05. 直线x+y+1=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为( )A.√22B.12C.√2D.16. 条件p:x>1，y>1，条件q:x+y>2，xy>1，则条件p是条件q的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.即不充分也不必要条件D.充要条件7. 已知两个不同的平面α，β和两个不重合的直线m，n，有下列四个命题：①若m // n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α // β；③若m⊥α，m // n，n⊂β，则α⊥β；④若m // α，α∩β=n，则m // n，其中真命题的个数是( )A.1B.3C.0D.28. 已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A.20√6B.10√6C.40√6D.30√69. 设θ∈(3π4, π)，则关于x，y的方程x2sinθ−y2cosθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的椭圆B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线10. 设e是椭圆x28+y2k=1的离心率，且e∈(12,1)，则实数k的取值范围为( )A.(0,3)∪(163,+∞) B.(0,6) C.(0,2) D.(0,6)∪(323,+∞)11. 已知动直线l：ax+by+c−2=0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线的最大距离为3，则12a+2c的最小值为( )A.94B.1C.9D.9212. 若直线y=x+b与曲线y=3−√4x−x2有公共点，则b的取值范围是（）A.[1−2√2,3]B.[−1,1+2√2]C.[1−√2,3]D.[1−2√2,1+2√2]二、填空题与椭圆x29+y24=1有相同的焦点，且离心率为2的双曲线标准方程是________.空间直角坐标系中，点A(−3，4，0)与点B(x，−1，6)的距离为√86，则x等于________.直线kx−y=k−1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，则k的取值范围是________．已知点P是椭圆x24+y23=1上任一点，则点P到直线l:x+2y−12=0的距离的最小值为________．三、解答题(1)求经过点P(3,0)，且离心率为√55的椭圆的标准方程；(2)经过两点A(7,6√2)，B(2√7,−3)的双曲线标准方程.已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.(1)求AC边所在直线方程；(2)求过顶点C且与BH平行的直线．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点，AB=BC= AA1=1.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求BE与平面BCC1B1所成角的正弦值．已知圆M:x2+(y−2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．已知命题p：方程x2t+1+y23−t=1所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数t满足不等式t2−(a−1)t−a<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为12，点M为椭圆上的动点，△F1MF2面积最大值为√3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)M，N是椭圆C上的动点，且直线MN经过定点(0,12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO？若存在，请求出定点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】空间明角钙标系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】曲常与树程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题两条平行射线间面距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标直线的都特式方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系两条直根平行与亮斜角感斜哪的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系轨表方擦直线的三般式方疫【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题椭圆较标准划程命题的真三判断州应用一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 已知集合，集合，则 A.B.C. D.2. 角的终边经过点，那么 A.B.C.D.3. 若方程＝的两根满足一根大于，一根小于，则的取值范围是（ ）A.，）B.（，C.（，D.，）A ={x |−3<x <1}B ={x |−2x <0}x 2A ∪B =(){x|0<x <2}{x|0<x <1}{x|−3<x <0}{x|−3<x <2}θP(−3,4)sin θ+2cos θ=()15−15−2525−2mx +4x 2021m (−∞+∞)3)(1=1=−214. 若函数的图象平移变换后为函数的图象，则平移方法可以是 （ ）A.先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度B.先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度C.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度D.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度5. 已知点在幂函数的图象上，则的表达式为( )A.B.C.D.6. 已知函数若，则（ ）A.B.C.D.7. 已知 ，则 的值为( )A.B.C.D.8. 已知每枝笔售元，则总售价元与售出数量枝的函数图象是( )A.一条直线y =12x 2y =−212(x +1)212211221(,)2–√22–√4y =f(x)f(x)f(x)=x3f(x)=x 3f(x)=x −2f(x)=(12)x{，x ≤0,2x a −x,x >0,log 2f (f (−1))=−1a =−2−12cos(−α)=π623cos(+2α)5π35919−19−592y xB.一条射线C.一条线段D.呈射线排列的无限个点9. 已知函数满足，且，当时，，求( )A.B.C.D.10. 化简等于 A.B.C.D.11. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为 A.B.C.D.12. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 A.B.C.D.卷II （非选择题）f(x)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)1≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=−1121+tan 15∘1−tan 15∘()33–√23–√1f(x)1y >>1x 2x 1[f()−f()](−)<0x 2x 1x 2x 1a =f(−)12b =f(2)c =f(3)a b c ()c >a >bc >b >aa >c >bb >a >cl :y =x +m y =1−x 2−−−−−√m ()(−2,2)(−1,1)[1,)2–√(−,)2–√2–√二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则的值为________.14. 已知函数，则________.15. 定义在上的奇函数满足，当时，，则________．16. 函数的单调递增区间是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 17. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤求函数的定义域；若，求函数的解析式．18. 化简：；. 19. 若函数在区间内有最值，则的取值范围为________. 20. 设()，曲线在点（）处的切线垂直于轴．求的值； 求函数的极值．21. 已知定义域为的函数是奇函数．求的值；判断在上的单调性（不用证明）；若对于任意，不等式恒成立，求的范围．f (x)=ln x +2x (1,f(1))ax +by −1=0a b f(x)= 3x +1(x ≥0)(x <0)1+2x 2f[f(−1)]=R f (x)f (x +2)=f (−x)x ∈[−1,0]f (x)=+2x x 2f (2021)=f (x)=2x −ln x (1)f (x)=−−3x +4x 2−−−−−−−−−−−√lgx(2)f (2x −1)=+4x −1x 2f (x)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2f(x)=sin(ωx +)(0<ω<1)π6(π，2π)ωf(x)=a ln x −x +4a ∈R y =f(x)1,f(1)y (1)a (2)f(x)R f(x)=a −2x +12x (1)a (2)f(x)(−∞,+∞)(3)t ∈R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2k f(x)=−x 222. 已知函数．求曲线在处的切线方程；求证：当时，．f(x)=−e x x 2(1)f(x)x =1(2)x >0≥ln x +1+(2−e)x −1e x x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】求出集合，根据交集定义进行求解．【解答】解：，则.故选.2.【答案】C【考点】三角函数【解析】根据任意角的三角函数的定义求得 和 的值，从而求得的值．【解答】解：∵角的终边经过点，∴，，，∴，，∴.故选.3.B B ={x |−2x <0}={x |0<x <2}x 2A ∪B ={x |−3<x <2}D sin θ=y r cos θ=x r sin θ+2cos θθP(−3,4)x =−3y =4r =|OP|=5sin θ==y r 45cos θ==−x r 35sin θ+2cos θ=−25C【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数为，把点代入函数解析式求得的值，可得函数的解析式．【解答】解：设幂函数的表达式为，根据幂函数的图象过点，y =x ααy =x α(,)2–√22–√4(–√–√可得，解得，故幂函数的表达式是.故选．6.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由题意得， ，∴∴．，故选．【解答】解：由题意得， ，∴．∴.故选．7.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知,=(2–√42–√2)αα=3f(x)=x 3B f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A cos(−α)=π623cos(+2a)=cos(−2a)5π3π3=2(−a)−1cos 2π6−1.故选.8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】根据题意，列出函数解析式即可画出函数图象．【解答】解：根据题意得，，为正比例函数，由于铅笔为非负整数枝，故函数为呈射线排列的无限个点.故选．9.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得＝＝，从而得到＝，再由当时，＝，能求出的值．【解答】解：∵，且，∴.令，得，∴，∴以为周期的周期函数.∵当时，，∴．故选．10.【答案】C=−19C y =2x D f(1+x)−f(1−x)−f(x −1)f(x +4)f(x)1≤x ≤2f(x)−12x f(2017)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)f(1+x)=−f(1−x)=−f(x −1)x −1=t f(t +2)=−f(t)f(x +4)=−f(x +2)=f(x)f(x)41≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=−1=211C【考点】两角和与差的正切公式【解析】先把代入原式，根据正切的两角和公式化简整理即可求得答案．【解答】解：.故选.11.【答案】D【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】根据函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，可得函数关于对称；由当时，（ ）恒成立，可得函数在上为单调减函数，利用单调性即可判定出、、的大小．【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，∴函数关于对称,∴，∵当时，恒成立，∴ ，即 ，∴函数在上为单调减函数,∵,∴，即.故选．12.【答案】C【考点】tan =145∘=1+tan 15∘1−tan 15∘tan +tan 45∘15∘1−tan tan 45∘15∘=tan(+)=tan =45∘15∘60∘3–√C f(x)1y f(x)x =1>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1−x 2x 1<0f(x)(1,+∞)a b c f(x)1y f(x)x =1a =f(−)=f()1252>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1(−)x 2x 1<0f()−f()<0x 2x 1f()<f()x 2x 1f(x)(1,+∞)1<2<<352f(2)>f()>f(3)52b >a >c D函数的零点与方程根的关系【解析】画出图象，当直线经过点，时，求出的值；当直线与曲线相切时，求出．即可．【解答】解：画出图象，当直线经过点，时，，此时直线与曲线有两个公共点；当直线与曲线相切时，．因此当时，直线与曲线有两个公共点．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，所以切线的斜率．又直线的斜率为，所以，解得．故答案为：．14.【答案】l A C m l m l A C m =1l y =1−x 2−−−−−√l m =2–√1≤m <2–√l :y =x +m y =1−x 2−−−−−√C −3f (x)=ln x +2x (x)=+2f ′1x k =(1)=3f ′ax +by −1=0−a b −=3a b =−3a b−32【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，则，∴.故答案为：. 15.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为.所以，故是以为周期的周期函数，则．故答案为：．16.【答案】【考点】x =−1<0f(−1)==1(−1+2)213f[f(−1)]=f()=3×+1=2131321f (x)f (x +2)=f (−x)=−f (x)f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x)f (x)4f (x +4)=f (x)f (x)4f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[−2]=1(−1)21[,+∞)12利用导数研究函数的单调性【解析】求导，令，解不等式即可.【解答】解：函数的定义域为，∴ ，令，解得，∴函数的单调递增区间为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】得，即________的定义域为（．）．（2）4，则………则故【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】略略18.【答案】(x)=2−≥0f ′1x f (x)=2x −ln x (0,+∞)(x)=2−f ′1x(x)=2−≥0f ′1xx ≥12f (x)=2x −ln x [,+∞)12[,+∞)12{(−−3x +4≥0x 2{lgx ≠0x >0x ∈(0,1)f (x)0.1≥2x −1=t x =t +12f (t)=+4×−1=+t +t +()t +122t +1214t 2525254f (x)=+x +14x 25254−sin(+α)+sin(−α)180∘解：..【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简，即可得出结论；利用诱导公式化简可得结论．【解答】解：..19.【答案】∪【考点】函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由于函数取最值时，，即，(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(1)(2)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(，)1613(，1)23f(x)=sin(ωx +)π6ωx +=kπ+,k ∈Zπ6π2x =(kπ+)1ωπ3(π，2π)又因为在区间内有最值，所以时，有解，所以，即得，由得，当时，，当时，又，所以的范围为∪故答案为：∪. 20.【答案】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】求导函数，利用曲线在点（）处的切线垂直于轴，可得，从而可求的值；由知，，，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．【解答】(π，2π)(kπ+)∈(π,2π)1ωπ3k 1<(k +)<21ω13 ω<k +，13+<ω，k 216+<ω<k +k 21613+<k +k 21613k >−13k =0<ω<1613k =10<ω<1，<ω<123ω(，)1613(，1)23(，)1613(，1)23(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)y =f(x)1,f(1)y f'(1)=0a (2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f(x)(1)f(x)=a ln x −x +4解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．21.【答案】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．【考点】奇函数函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】（1）为上的奇函数，由即可求得的值；（2）分离出常数，即可判断在上的单调性（直接写出答案，不用证明）；（3）利用奇函数在上单调递减的性质，可将恒成立转化为恒成立，利用，即可求的取值范围．【解答】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13f(x)R f(0)=0a −1f(x)(−∞,+∞)f(x)R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 23−2t −k >0t 2△=4+12k <0k (1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)2222，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．22.【答案】解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】Ⅰ求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线在处的切线方程；Ⅱ 猜测：当，时，的图象恒在切线的上方，只证：当时，，又，即，即可．【解答】(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x xx =1()f(x)x =1()x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x (1)f (x)=−2x′x解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x x =1。
2020-2021学年四川成都高二上数学期中试卷(1)
2020-2021学年四川成都高二上数学期中试卷一、选择题1. 命题“ ∀x∈R，x2+x+2>0”的否定是( )A.∃x0∈R,x02+x0+2<0B.∃x0∈R,x02+x0+2≤0C.∃x0∈R,x02+x0+2>0D.∀x∈R,x2+x+2≤02. 已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与l2:mx+3y−6=0平行，则实数m的值( )A.2B.−3C.±2D.−3或23. 在空间直角坐标系O−xyz中，点M(0,m,0)到点P(1,0,2)和点Q(1,−3,1)的距离相等，则实数m的值为( )A.−2B.−1C.1D.24. 圆(x+3)2+(y+4)2=16与圆x2+y2=4的位置关系为( )A.相离B.内切C.外切D.相交5. 曲线方程√x2+(y+4)2+√x2+(y−4)2=10的化简结果为( )A.x2 25+y216=1 B.y225+x216=1 C.y225+x29=1 D.x225+y29=16. 如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.1 5B.25C.35D.457. 设m→，n→为非零向量，则“存在负数λ，使得m→=λn→”是“m→⋅n→<0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S4S2=3，则S6S4=()A.2B.73C.310D.1或29. 圆x2+y2+2x−6y+1=0关于直线ax−by+3=0(a>0, b>0)对称，则1a+3b的最小值是( )A.2√3B.203C.163D.410. 方程√x−1⋅ln(x2+y2−1)=0所表示的曲线的图形是( )A. B.C. D.11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”．设F是椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)的左焦点，直线y=√3x交椭圆于A，B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为( ) A.√3−1 B.√32C.√3−12D.1212. 如图，圆C 与x 轴相切于点 T(1,0) ，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方）且 |AB|=2，过点A 任作一条直线与圆O ： x 2+y 2=1 相交于M ，N 两点，|NB||NA|+|MA||MB|的值为( )A.2B.3C.2√2D.√2−1二、填空题等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=150，则a 2+a 8=________．设点A (−2,0)和B (0,3)，在直线l:x −y +1=0上找一点P ，使|PA|+|PB|取到最小值，则这个最小值为________.已知平面区域{x ≥0，y ≥0，x +2y −4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x −a)2+(y −b)2=r 2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．已知边长为2√3的菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，沿对角线BD 折成二面角A −BD −C 为120∘的四面体ABCD ，则该四面体的外接球的表面积为________． 三、解答题已知△ABC 的三个顶点坐标为A(−3, 1)，B(3, −3)，C(1, 7)． (1)求BC 的中线所在直线方程的一般式方程；(2)求△ABC 的面积．设命题p ：实数x 满足x 2−4ax +3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x−32−x ≥0. (1)若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3 ，c =√2 ，∠B =45∘. (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值.如图，已知以点A(−1, 2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切．过点B(−2, 0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ．(1)求圆A 的方程；(2)当MN =2√19时，求直线l 的方程.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是AA 1，A 1C 1的中点.(1)设棱BB1的中点为D，证明：C1D // 平面PQB1；(2)若AB=2，AC=AA1=AC1=4，∠AA1B1=60∘，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，求二面角Q−PB1−A1的余弦值.已知点A(0, −2)，椭圆E:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】B【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：全称命题的否定是特称命题，故命题“∀x∈R，x2+x+2>0”的否定是“∃x0∈R，x02+x0+2≤0.”故选B.2.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】由m(m+1)−6＝0，解得m＝−3或2．经过验证即可得出．【解答】解：由m(m+1)−6=0，解得m=−3或2．经过验证：m=−3时两条直线重合，舍去．∴m=2．故选A.3.【答案】B【考点】空间两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，点M(0, m, 0)，∵|MP|=|MQ|，∴√1+m2+4=√1+(m+3)2+1，即m2+5=m2+6m+11，∴m=−1.故选B．4.【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】解：圆(x+3)2+(y+4)2=16的圆心为O1(−3,−4)，半径为r1=4，圆x2+y2=4的圆心为O2(0,0)，半径为r2=2,圆心距为|O1O2|=√32+42=5，∵|r1−r2|<5<|r1+r2|，∴圆(x+3)2+(y+4)2=16与圆x2+y2=4相交.故选D.5.【答案】C【考点】椭圆的标准方程【解析】解：方程√x2+(y+4)2+√x2+(y−4)2=10表示(x,y)与(0,4)，(0,−4)两点的距离和为10，大于两点的距离，所以点的轨迹是以(0,4)，(0,−4)为焦点的椭圆，且a=5，c=4，可得结论.【解答】解：方程√x2+(y+4)2+√x2+(y−4)2=10表示(x,y)与(0,4)，(0,−4)两点的距离和为10，大于两点间的距离，所以点的轨迹是以(0,4)，(0,−4)为焦点的椭圆，且a=5，c=4，所以b=3.故选C.6.【答案】D【考点】余弦定理异面直线及其所成的角【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角， 设AB =a ，AA 1=2a ，∴A 1B =C 1B =√5a ，A 1C 1=√2a ， ∠A 1BC 1的余弦值为： cos ∠A 1BC 1=(√5a)2+(√5a)2−(√2a)22⋅(√5a)⋅(√5a)=45.故选D . 7.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 平面向量数量积【解析】本题考查平面向量的计算与充分必要条件的判断． 【解答】解：设m →，n →的夹角为θ，若m →，n →是非零向量，且存在负数λ，使得m →=λn →， 则由λ<0得m →⋅n →=λn →2=λ|n →|2<0，充分性成立； 反之，若m →⋅n →=|m →||n →|cos θ<0，则cos θ<0， 即π2<θ≤π，当π2<θ<π时，不存在负数λ，使得m →=λn →，必要性不成立．综上所述，则“存在负数λ，使得m →=λn →”是“m →⋅n →<0”的充分不必要条件． 故选A ． 8.【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和【解析】利用等比数列的前n 项和公式求解． 【解答】解：∵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4S 2=3，∴a 1(1−q 4)1−q a 1(1−q 2)1−q=1+q 2=3，∴ q 2=2，∴ S6S 4=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 4)1−q=1−q 61−q =1−81−4=73．故选B . 9.【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 关于点、直线对称的圆的方程【解析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可． 【解答】解：∵ 圆x 2+y 2+2x −6y +1=0⇔(x +1)2+(y −3)2=9，圆x 2+y 2+2x −6y +1=0关于直线ax −by +3=0(a >0, b >0)对称， ∴ 该直线经过圆心(−1, 3)，把圆心(−1, 3)代入直线ax −by +3=0(a >0, b >0)，得：−a −3b +3=0， ∴ a +3b =3，a >0，b >0， ∴ 1a+3b=13(1a+3b)(a +3b)=13(10+3b a+3ab)≥163，当且仅当3b a =3a b时取得最小值.故选C .10. 【答案】 C【考点】 曲线与方程 函数的图象【解析】方程x =1(y ≠0)，或x 2+y 2=2(x ≥1)，由此得到方程表示的曲线． 【解答】解：方程√x −1⋅ln (x 2+y 2−1)=0， 即：x =1(y ≠0)或x 2+y 2=2(x ≥1)，表示一条直线x=1（去掉点(1, 0)）以及圆x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分，故选C．11.【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】可得A(c2, √3c2)，即可得c24a2+3c24b2=1⇒a2−b2a2+3⋅a2−b2b2=1，⇒b2a2=2√3−3，e2＝1−b2a2=4−2√3，∴e=√3即可得e．【解答】解：∵|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，∴AF⊥BF，∴OA=OB=OF=c．∴A(c2, √3c2)，∴c24a2+3c24b2=1⇒a2−b2a2+3⋅a2−b2b2=1⇒b2a2=2√3−3，e2=1−b2a2=4−2√3，∴e=√3−1．故选A.12.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：连接CB，过C作CE垂直于y轴于E，如图所示：CE=OT=1，BE=12AB=1，∴ BC=r=√2，即得圆C的方程为(x−1)2+(y−√2)2=2，可以求得A(0，√2−1)，B(0，√2+1).∵M，N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M(cosα，sinα)，N(cosβ，sinβ)，∴|NA|=√(cosβ−0)2+[sinβ−(√2−1)]2=√2(√2−1)(√2−sinβ)，|NB|=√(cosβ−0)2+[sinβ−(√2+1)]2=√2(√2+1)(√2−sinβ)，∴|NB||NA|=√2+1，同理可得：|MA||MB|=√2−1，∴|NB||NA|+|MA||MB|=2√2.故选C.二、填空题【答案】60【考点】等差数列的性质【解析】由题意和等差数列的性质化简：a3+a4+a5+a6+a7=150，求出a5的值，代入a2+a8求值即可．【解答】解：由题意知，a3+a4+a5+a6+a7=150，则由等差数列的性质得，5a5=150，即a5=30，所以a2+a8=2a5=60.故答案为：60．【答案】√17【考点】两点间的距离公式中点坐标公式【解析】设B (0,3)关于直线l:x −y +1=0的对称点为B ′(m,n )，则|PB |=|PB ′|，根据两直线垂直即斜率乘积为−1及BB ′的中点在直线l:x −y +1=0上，解得B ′(2,1)，连接AB ′与交于点P ，根据三角形两边之和大于第三边此时|PA |+|PB |=|PA |+|PB ′|=|AB ′|，即为所求最小值. 【解答】解：设B (0,3)关于直线l:x −y +1=0的对称点为B ′(m,n )， 设BB ′与直线l 交于点Q ， 所以|QB |=|QB ′|，由{0+m 2−3+n 2+1=0，n−3m−0=−1，解得{m =2，n =1.即B ′(2,1)，连接AB ′与直线l 交于点P ,此时|PA |+|PB |=|PA |+|PB ′|=|AB ′| =√(−2−2)2+(0−1)2=√17， 即为|PA |+|PB |的最小值. 故答案为：√17. 【答案】(x −2)2+(y −1)2=5 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 圆的标准方程【解析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得． 【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O(0, 0)，P(4, 0)，Q(0, 2)构成的三角形及其内部， 且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆， 故圆心是(2, 1)，半径是√5，所以圆C 的方程是(x −2)2+(y −1)2=5． 故答案为：(x −2)2+(y −1)2=5． 【答案】 28π【考点】球的表面积和体积 【解析】【解答】 解：如图1，取BD 的中点E ，连接AE ，CE ． 因为四边形ABCD 是菱形， 所以AE ⊥BD ，AC 在平面ABD 上的投影为AE ，所以AC ⊥BD ，所以平面ACE ⊥平面BCD ． 易得外接球的球心在平面ACE 内，如图2，在CE 上取点G ，使CG =2GE ，过点G 作l 1垂直CE ，过点E 作l 2垂直于AC ． 设l 1与l 2交于点O ，连接OA ， 则OA =OC ，则O 为球心．易得OG ⊥CD ，OE 垂直平分AC ， 其中CG =2GE =2，∠CEA=120∘，所以OG =GE.tan 60∘=√3，所以R =OC =OA =√7，即外接球的表面积为28π. 故答案为：28π. 三、解答题【答案】解：(1)B(3, −3)，C(1, 7)， 可得BC 边上的中点：D(2, 2)．可得中线所在直线的一般式方程：y −2=2−12−(−3)(x −2)， 即为：x −5y +8=0． (2)k AC =7−11−(−3)=32，k AB =−3−13−(−3)=−23，k AC ⋅k AB =−1， ∴ AC ⊥AB .|AC|=√(1+3)2+(7−1)2=2√13，|AB|=√(3+3)2+(−3−1)2=2√13， ∴ △ABC 的面积S =12×2√13×2√13=26．【考点】两点间的距离公式 直线的一般式方程 【解析】（1）B(4, 1)，C(3, 6)．可得：BC 边上的中点：D(72, 72)．可得中线所在直线的点斜式：y −2=72−272−1(x −1)．化为一般式．(2)|AB|=√10，利用点斜式可得直线AB 的方程：x +3y −7＝0．利用定点直线的距离公式可得点C 到直线AB 的距离d ．即可得出△ABC 的面积S ． 【解答】解：(1)B(3, −3)，C(1, 7)， 可得BC 边上的中点：D(2, 2)．可得中线所在直线的一般式方程：y −2=2−12−(−3)(x −2)，即为：x −5y +8=0． (2)k AC =7−11−(−3)=32，k AB =−3−13−(−3)=−23，k AC ⋅k AB =−1， ∴ AC ⊥AB .|AC|=√(1+3)2+(7−1)2=2√13，|AB|=√(3+3)2+(−3−1)2=2√13， ∴ △ABC 的面积S =12×2√13×2√13=26． 【答案】解：(1)若a =1，则p:1<x <3； 对于q:x−32−x ≥0等价于{x −2≠0，(x −2)(x −3)≤0, 解得：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p ，q 同时为真， 即{2<x ≤3，1<x <3， 解得2<x <3， ∴ 实数x 的取值范围是(2, 3)． (2)对于p ：由x 2−4ax +3a 2<0， 得：(x −3a )(x −a )<0. 又a >0，∴ a <x <3a .若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 即q 是p 的充分不必要条件， ∴ {3a >3,0<a ≤2, 即{a >1,0<a ≤2,解得1<a ≤2,∴ 实数a 的取值范围是(1,2]. 【考点】复合命题及其真假判断 逻辑联结词“或”“且”“非”根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）若a ＝1，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； （2）利用￢p 是￢q 的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)若a =1，则p:1<x <3； 对于q:x−32−x ≥0等价于{x −2≠0，(x −2)(x −3)≤0,解得：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即{2<x ≤3，1<x <3， 解得2<x <3， ∴ 实数x 的取值范围是(2, 3)． (2)对于p ：由x 2−4ax +3a 2<0， 得：(x −3a )(x −a )<0. 又a >0，∴ a <x <3a .若¬p 是¬q 的充分不必要条件， 即q 是p 的充分不必要条件， ∴ {3a >3,0<a ≤2, 即{a >1,0<a ≤2,解得1<a ≤2,∴ 实数a 的取值范围是(1,2]. 【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B =cos 45∘=a 2+c 2−b 22ac=26√2=√22， 因此b 2=5，即b =√5. 由正弦定理c sin C =b sin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C =√55. (2)因为cos ∠ADC =−45<0 ，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35，∠ADC ∈(π2, π)，所以∠C ∈(0, π2)，所以cos ∠C =√1−sin 2∠C =2√55， 所以sin ∠DAC =sin (π−∠DAC)=sin (∠ADC +∠C)=sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525. 因为∠DAC ∈(0, π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 故tan ∠DAC =sin ∠DACcos ∠DAC =211 . 【考点】 正弦定理 余弦定理同角三角函数间的基本关系 两角和与差的正弦公式【解析】(1)首先根据余弦定理求得b 的值，再根据正弦定理即可求得sin C 的值；(2)利用同角三角函数的基本关系可以求得sin ∠ADC 和cos C ，再利用两角和与差的正弦函数求得sin ∠DAC ，易求得cos ∠DAC ，即可求得tan ∠DAC . 【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B =cos 45∘=a 2+c 2−b 22ac=26√2=√22， 因此b 2=5，即b =√5. 由正弦定理csin C =bsin B ，得 √2sin C =√5√22，因此sin C =√55. (2)因为cos ∠ADC =−45<0 ，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35，∠ADC ∈(π2, π)， 所以∠C ∈(0, π2)，所以cos ∠C =√1−sin 2∠C =2√55， 所以sin ∠DAC =sin (π−∠DAC)=sin (∠ADC +∠C)=sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525. 因为∠DAC ∈(0, π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 故tan ∠DAC =sin ∠DAC cos ∠DAC=211.【答案】解：(1)设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线l 1:x +2y +7=0相切， ∴ R =√5=2√5，∴ 圆A 的方程为(x +1)2+(y −2)2=20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−2，符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +2)，即kx −y +2k =0， 连接AQ ，则AQ ⊥MN ，∵ MN =2√19，∴AQ =√20−19=1， 则由AQ =√k 2+1=1，得k =34，∴ 直线l:3x −4y +6=0．故直线l 的方程为x =−2或3x −4y +6=0. 【考点】直线与圆相交的性质 圆的标准方程 点到直线的距离公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线l 1:x +2y +7=0相切， ∴ R =√5=2√5，∴ 圆A 的方程为(x +1)2+(y −2)2=20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−2，符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +2)，即kx −y +2k =0， 连接AQ ，则AQ ⊥MN ，∵ MN =2√19，∴ AQ =√20−19=1， 则由AQ =√k 2+1=1，得k =34，∴ 直线l:3x −4y +6=0．故直线l 的方程为x =−2或3x −4y +6=0. 【答案】(1)证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP // DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD // PB1.∵P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴AC1 // PQ，∴平面AC1D // 平面PQB1，又C1D⊂平面AC1D，∴C1D // 平面PQB1.(2)解：在平面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，在平面AA1B1B内作MN⊥PB1于点N，连接QN，C1P，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴∠QNM是二面角Q−PB1−A1的平面角.∵AC=AA1=AC1=4，易证△AC1C为正三角形，又P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴△A1PQ也为正三角形.易求QM=12C1P=12×2√3=√3，MN=1×sin60∘=√32.设二面角Q−PB1−A1的大小为θ，则tanθ=QMMN=2，∴cosθ=√55.【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AD，推导出四边形ADB1P是平行四边形，从而AD // PB1，再求出AC1 // PQ，从而平面AC1D // 平面PQB1，由此能证明C1D // 平面PQB1．（2）以P为原点，在平面ABB1A1内过P作AA1的垂线为x轴，以PA1为y轴，PC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q−PB1−A1的余弦值．【解答】(1)证明：连接AD，∵D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知AP // DB1，且AP=DB1，∴四边形ADB1P是平行四边形，∴AD // PB1.∵P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴AC1 // PQ，∴平面AC1D // 平面PQB1，又C1D⊂平面AC1D，∴C1D // 平面PQB1.(2)解：在平面AA1C1C内作QM⊥AA1于点M，在平面AA1B1B内作MN⊥PB1于点N，连接QN，C1P，∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∴QM⊥平面AA1B1B，∴∠QNM是二面角Q−PB1−A1的平面角.∵AC=AA1=AC1=4，易证△AC1C为正三角形，又P，Q分别是AA1，A1C1的中点，∴ △A 1PQ 也为正三角形. 易求QM =12C 1P =12×2√3=√3， MN =1×sin 60∘=√32. 设二面角Q −PB 1−A 1的大小为θ，则tan θ=QM MN=2，∴ cos θ=√55. 【答案】解：(1)设F(c, 0)， ∵直线AF 的斜率为2√33， ∴ 2c =2√33， 解得c =√3． 又ca =√32，b 2=a 2−c 2，解得a =2，b =1． ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx −2． 联立{y =kx −2,x 2+4y 2=4,化为(1+4k 2)x 2−16kx +12=0，当Δ=(−16k)2−4×12(1+4k 2)=16(4k 2−3)>0时，即k 2>34时，x 1+x 2=16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2．∴ |PQ|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(1+k 2)[(16k 1+4k 2)2−481+4k 2]=4√1+k 2√4k 2−34k 2+1，点O 到直线l 的距离d =√1+k 2．∴ S △OPQ =12d ⋅|PQ|=4√4k 2−34k 2+1，设√4k 2−3=t >0，则4k 2=t 2+3， ∴ S △OPQ =4tt 2+4=4t+4t≤2√4=1，当且仅当t =2，即√4k 2−3=2， 解得k =±√72时取等号． 满足Δ>0，∴ △OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：y =±√72x −2．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）设F(c, 0)，利用直线的斜率公式可得2c =2√33，可得c ．又ca =√32，b 2=a 2−c 2，即可解得a ，b ；（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx −2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S △OPQ ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：(1)设F(c, 0)，∵ 直线AF 的斜率为2√33， ∴ 2c =2√33， 解得c =√3． 又ca =√32，b 2=a 2−c 2，解得a =2，b =1．∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 2=1. (2)设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx −2．联立{y=kx−2,x2+4y2=4,化为(1+4k2)x2−16kx+12=0，当Δ=(−16k)2−4×12(1+4k2)=16(4k2−3)>0时，即k2>34时，x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．∴|PQ|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[(16k1+4k2)2−481+4k2]=4√1+k2√4k2−34k+1，点O到直线l的距离d=√1+k2．∴S△OPQ=12d⋅|PQ|=4√4k2−34k2+1，设√4k2−3=t>0，则4k2=t2+3，∴S△OPQ=4tt2+4=4t+4t≤2√4=1，当且仅当t=2，即√4k2−3=2，解得k=±√72时取等号．满足Δ>0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：y=±√72x−2．。
2020-2021学年四川成都高三上数学月考试卷(2)
2020-2021学年四川成都高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知A={x|0<x<2}，B={x|x(1−x)≥0}，则A∩B=( )A.[1,2)B.⌀C.(0,1]D.(−∞,1]2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.y=x3B.y=tan xC.y=x2D.y=ln x3. 若a<b<0，则下列不等式中成立的是( )A.a+1b >b+1aB.1a<1bC.(a−1)2>(b−1)2D.1a−b>1a4. 函数f(x)=sin(π2x+π4)的图象的一条对称轴是( )A.x=π2B.x=−32C.x=−3D.x=05. 函数f(x)=x ln|x|+2x的大致图象是( ) A. B. C. D.6. 已知命题p：△ABC中，若cos A=cos B，则A=B；命题q：向量a→与向量b→相等的充要条件是|a→|=|b→|，且a→//b→. 下列四个命题中是真命题的是( )A.(¬p)∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.p∧q7. 若曲线y=−√x在点(1,−1)处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，则点P的坐标为( )A.(2,ln2)B.(e,1)C.(12,−ln2) D.(1,0)8. 若log a34<1，其中a>0，且a≠1，则实数a的取值范围是( )A.(34, 1)∪(1, +∞)B.(0, 34) C.(34, +∞) D.(0, 34)∪(1, +∞)9. 已知菱形ABCD的对角线相交于点O，点E为AO的中点，若AB=2，∠BAD=60∘，则AB→⋅DE→=( )A.−72B.−2C.12D.−1210. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=t⋅2n−1−1，则t=( )A.2B.−2C.3D.111. 某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧.设∠MON=2α(α<π2)，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cosα=( )A.√3−12B.12C.√22D.√3212. 若2a+1=3，2b=83，则以下结论正确的有（）①b −a <1 ；②1a+1b>2 ；③ab >34；④b 2>2aA.3个B.1个C.4个D.2个 二、填空题已知向量a →=(1, 0)，b →=(1, 1)，且a →+λb →与a →垂直，则实数λ=________.若实数x ，y 满足 {x ≥0，x ≤y ，x +2≥2y ，则z =2x +y 的最大值为________.已知sin x +cos y =14，则sin x −sin 2y 的最大值为________.若函数f (x )=(x 2+ax +2a )e x 在区间(−2,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________. 三、解答题已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 3=15，a 1⋅a 2=a 7. (1)求a n ；(2)若b n =2a n +a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .已知函数f (x )=2√3cos x ⋅sin (x +π6)−√32(x ∈R ).(1)判断函数f (x )在[0,π2]上的单调性；(2)将函数f (x )的图象向右平移14个周期后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0,π2]上的值域．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin A =a cos (C −π6). (1)求角C 的大小；(2)若cos B =−17，c =7，求AB 边上的高．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+1x+1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对于任意的x >0，不等式f (x 2)+2af (x )≥−1恒成立，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )=x 3−ax 2+4a (a ∈R ). (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若方程f (x )=m 有三个不相等实数根时，实数a 的取值范围恰好是(−∞,−6)∪(2,3)∪(3,+∞)，求实数m 的值.已知函数f (x )=|2x +1|−|2x −3|.(1)在如图的网格图中画出函数f (x )的图象；(2)若实数m 满足f (2m −1)<f (2m +1)，求m 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】不等式射基本性面【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】正弦函较的对盛性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用必要条水表综分条近与充要条件的判断逻辑使求词“或”“且”“非”【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】对数射数长单介性与滤殊点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】向明的月响分其几何意义平面常量么量积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质等射中经【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值正因归理二倍角三余弦公最【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式指数体数白单调员与说殊点不等式于较两姆大小对数根助运算二次于数在落营间上周最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯求线性目于函数虫最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】同角正角测数解的当本关系二次于数在落营间上周最值正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利来恰切研费函数的极值函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和等差数来的通锰公式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长二倍角明正推公式二倍角三余弦公最三角根隐色树恒等变换应用函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正较夏造纵定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理两角和与验流余弦公式两角和与表擦正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质利用都数资究不长式化成立问题不等式都特立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性由函水都读求参向取值范围问题根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分段函常的至析式呼法及其还象的作法分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。