全等三角形难题题型归类及解析精编版
全等三角形难题(含规范标准答案解析)
全等三角形难题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形ADBC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
初中数学全等相似三角形难题汇总(附答案)
1．如图所示，S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=（）A．B．C．D．2．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．3．已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC﹣CD B．AD=BC﹣AC C．AD=BC﹣AP D．AD=BC﹣BD5．在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是（）A．∠A′=30°B．∠C′=60°C．∠C=60° D．∠A′=2∠C′6．设a，b，c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1，则S与S1的大小关系一定是（）A．S＞S1B．S＜S1C．S=S1 D．不确定8．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC=AB•BD B．AB2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．AB•BC=AC•BD9．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△=2，S△OBE=3，S△OBC=4，则S△ABC=．OCD10．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于．11．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．12．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．14．如图表示甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为l甲、l乙、l丙．已知AB=DE=GH，试猜想l甲、l乙、l丙的大小关系，并说明理由．15．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．16．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．1．如图所示，S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=（）A．B．C．D．【考点】K3：三角形的面积．=S△DEC，【解答】解：∵S△BDE∴BD=DC，=S△ABC=，∴S△ABD∵S=1，S△BDE=S△DEC=S△ACE，△ABC=S△DEC=S△ACE=，∴S△BDE=S△ABD﹣S△BDE=﹣=．∴S△ADE故选B．2．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．【考点】KE：全等三角形的应用；KM：等边三角形的判定与性质．【解答】解：连接QR，过Q作QD⊥PR，∴∠AQD=45°，∵∠QAR=180°﹣75°﹣45°=60°，且AQ=AR，∴△AQR为等边三角形，即AQ=QR，∵∠AQD=45°∴∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，∴△DQR≌△PRA（ASA），∴QD=PR，即w=h．故选A．3．已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE．∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，∴AE=（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360﹣（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE ﹣S△BCE=S△ACE﹣S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．4．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC﹣CD B．AD=BC﹣AC C．AD=BC﹣AP D．AD=BC﹣BD【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：因为∠A=2∠B，所以∠A＞∠B，所以BC＞AC．在BC上截取CA′=CE，连接DE′（如图），易证△ACD≌△EC′D，所以AD=ED，且∠CED=∠A=2∠B，又∠CED=∠B+∠EDB，所以∠B=∠EDB，所以AD=ED=EB，所以BC=E′C+E′B=AC+AD，所以AD=BC﹣AC．故此题选B．注意到：若AD=BC﹣CD，则CD=BC﹣AD=A′C=AC，此时∠CDA′=∠CDA=∠A=2∠B，所以∠ADA′=4∠B，又∠ADA′+∠2=4∠B+∠B=180°，所以∠B=36°，所以∠C=72°，与已知矛盾，故A排除，易证BD＞BA′=AD，所以PB＜BD，PA＞AD．所以AD＜BC﹣AP，排除C，AD＞BC﹣BD，排除D．5．在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是（）A．∠A′=30°B．∠C′=60°C．∠C=60° D．∠A′=2∠C′【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【解答】解：A、∵∠A′=30°，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；B、∵∠C′=60°，∴∠A′=30°，∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；C、∠C=60°，无法确定△A′B′C′中各角的度数，故无法证明△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确；D、∵∠A′=2∠C′，∠A′+∠C′=90°，∴∠A′=30°，∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误．故选C6．设a，b，c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K8：三角形的外角性质．【解答】解：由=得=，延长CB至D，使BD=AB，于是CD=a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC：AC=AC：DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC=∠D，∵∠BAD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC．故选B．7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1，则S与S1的大小关系一定是（）A．S＞S1B．S＜S1C．S=S1 D．不确定【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K3：三角形的面积．【解答】解：分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然=＞1，即S＞S1；②设a=b=，c=20，则h c=1，S=10，a1=b1=c1=10，则S1=×100＞10，即S＜S1；③设a=b=，c=20，则h c=1，S=10，a1=b1=，c1=10，则h c=2，S1=10，即S=S1；因此，S与S1的大小关系不确定．故选D．8．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC=AB•BD B．AB2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．AB•BC=AC•BD【考点】S8：相似三角形的判定．【解答】解：A、因为AD•BC=AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；D、因为AB•BC=AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，故选B．9．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△=2，S△OBE=3，S△OBC=4，则S△ABC=16.8．OCD【考点】K3：三角形的面积．【解答】解：连接DE，如图则有，，将已知数据代入可得S=1.5，△DOE=x，则由，设S△ADE，所以得方程：，解得：x=6.3，所以四边形ADOE的面积=x+1.5=7.8．=2+3+4+7.8=16.8．所以S△ABC故填：16.8．10．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：如图，延长FM到N，使MN=MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM=CM，∠BMN=∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN=CF，∠N=∠MFC，又∵∠BAD=∠CAD，MF∥AD，∴∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N，∴AE=AF，BN=BE，∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=BN+FC=2FC，∴FC=（AB+AC）=5.5．故答案为5.5．11．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是5．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC=BC=5，∴∠CAB=∠CBA=50°，∵∠OAB=10°，∴∠CAD=∠OAD===20°，∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°，∴∠DAB=30°=∠DBA，∴AD=BD，∠ADB=120°，在△ACD与△BCD中⇒△ACD≌△BCD⇒∠CDA=∠CDB，∴∠CDA=∠CDB===120°，在△ACD与△AOD中⇒△ACD≌△AOD⇒AO=AC，∴AO=5．故答案为5．12．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：（1）在边BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD≌△DBE，∴AD=DE，∴∠A=∠BED，∵∠A=100°，∴∠BED=100°，∵∠C=50°，∴∠CDE=50°，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE，∵BC=BE+CE，∴BC=BA+AD；（2）如图，以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，∴∠ACA′=∠ABD=20°，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACD'（SAS），∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，∴∠AD′C=60°，连接AA′，∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，∴A'D'=AD'，∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即BC=BD+AD．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：延长BC到F，使CF=DE，连接AF（如图）∵DE+BC=1，∴BF=BC+CF=BC+DE=1∵BE=AC，∠DEB=∠ACF=90°，DE=CF，∴△BDE≌△AFC（SAS），∵BD=，∴AF=BD=，∠B=∠1，∴AF=BF，∵∠B+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ABC=30°．14．如图表示甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为l 甲、l 乙、l 丙．已知AB=DE=GH ，试猜想l 甲、l 乙、l 丙的大小关系，并说明理由．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；K6：三角形三边关系．【解答】解：猜想l 甲＜l 乙＜l 丙．（5分）理由：在甲三角形中，作∠ABF′=65°，交AC 的延长线于点F′．在△DEF 和△BAF′中，∵∠D=∠ABF′=65°，DE=BA ，∠E=∠A=55°，∴△DEF ≌△BAF′（ASA ）．（3分）∵F′C +F′B ＞BC ，∴△BAF′的周长大于l 甲．即 l 甲＜l 乙．（3分）同理可说明l 乙＜l 丙．（3分）∴l 甲＜l 乙＜l 丙．15．已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD=2CE ．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．16．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，。
全等三角形题型归类及解析
全等三角形题型归类及解析文章已经没有格式错误和明显问题的段落了，但为了更好的表达，可以对每段话进行简单的改写：1.角平分线型利用角平分线的轴对称性，我们可以通过截取线段或作垂线来构造全等三角形。
同时，掌握角平分线与平行线或垂线构成等腰三角形的结论。
例如，在已知条件下求线段BC的长度，就可以通过构造全等三角形来解决问题。
2.中点型中点型题目中，我们可以联想到中线、中心对称图形、直角三角形的中线和中位线等概念。
例如，通过构造8字型全等三角形或利用中点对称性来求证等式等问题。
3.多个直角型多个直角型题目中，我们需要注意各个直角之间的关系，例如利用勾股定理或相似三角形来解决问题。
同时，也可以通过构造全等三角形来简化问题。
1.已知在三角形ABC中，AD是BC的中线，且DF=DE。
证明BE∥CF。
在三角形ABC中，由中线定理可知AD=DC。
又因为DF=DE，所以AD+DF=DC+DE，即AF=CE。
根据平行线的性质，BE∥CF。
2.已知在三角形ABC中，XXX于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC=DF。
证明AC=EF。
由题意可知，三角形DEF与三角形ABC相似，且比例系数为1:2.因此，DE=AC/2，EF=BC/2=DF/2=BC/2=AC/4.又因为EF⊥AC，所以三角形AEF与三角形ABC相似，且比例系数为1:2.因此，AC=2EF。
3.在直角三角形ABC中，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，且AD=4，EC=2.求DE的长。
由题意可知，三角形ABP与三角形CBP相似，且比例系数为1:2.因此，BP=2AB=2BC。
又因为AD⊥BP，CE⊥PB，所以三角形ADE与三角形CEB相似，且比例系数为AD/CE=2.因此，DE=CE/2=2，答案为2.4.在三角形ABC中，AD和BE是两条高，且AD=BD。
证明：（1）∠DBH=∠DAC；（2）三角形BDH与三角形ADC全等。
由高的性质可知，∠ABD=∠XXX°。
全等三角形难题(含答案.解析)
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
8. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
ED
C
F
AB
AB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，
1＜AD＜3
∴AD=2
1
2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
CDAB
2
A
D
CB
延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A
2
1
F
C
D
E
B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD
DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角）
∴△EFD≌△CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠EFD
又，EF∥AB
∴，∠EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD＝∠2
全等三角形的重难点模型(八大题型)(解析版)—八年级数学上册(浙教版)
全等三角形的重难点模型（八大题型）【题型01：平移型】【题型02：翻折型】【题型03：旋转型】【题型04：一线三等角型（三类型）】【题型05：手拉手模型（四大类型）】【题型06：半角模型】【题型07：对角互补模型】【题型08：平行+线段中点构造全等模型】【题型1 平移型】【方法技巧】【典例1】如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，BE=CF，AC=DF．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=45°，∠F=85°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．（1）首先根据BE=CF可得BC=EF，即可判定△ABC≌△DEF；（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得∠ACB=∠F=85°，在△ABC中根据三角形内角和定理即可求出∠A．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AB=DE AC=DF BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠B=45°，∠F=85°，∴∠ACB=∠F=85°，∴∠A=180°―∠ACB―∠B=50°．【变式1-1】如图、点B、E、C、F在一条直线上AB=DE，AC=DF，BE=CF．(1)求证：∠A=∠D；(2)求证：AC∥DF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．（1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理SSS得到△ABC≌△DEF，再由三角形全等的性质即可得证；（2）由（1）中△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠F，再由同位角相等两直线平行即可得证．【详解】（1）证明：∵BE=CF，∴BC=FE，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE AC =DF BE =CF∴△ABC≌△DEF (SSS)，∴∠A =∠D ；（2）证明：由（1）知△ABC≌△DEF ，∴ ∠ACB =∠F ，∴ AC∥DF ．【变式1-2】如图，在△ABC 和 △DEF 中，边AC ，DE 交于点H ，AB∥DE ，AB =DE ，BC =EF ．(1)若∠B =55°，∠ACB =100°，求∠CHE 的度数；(2)求证：△ABC≌△DEF ．【答案】(1)∠CHE =25°；(2)证明见解析．【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理求出∠A ，再根据平行线的性质得出∠CHE =∠A 即可；（2）根据平行线的性质得出∠B =∠DEF ，求出BC =EF ，再根据全等三角形的判定定理推出即可；【详解】（1）解：∵∠B =55°，∠ACB =100°，∴∠A =180°―∠B ―∠ACB =25°，∵AB∥DE ，∴∠CHE =∠A =25°；（2）证明：∵AB∥DE ，∴∠B =∠DEF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠DEF BC =EF∴△ABC≌△DEF (SAS)．【变式1-3】如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，∠A =∠D =90°，BE =CF ，AC =DF ．求证：∠B =∠DEF ．【答案】答案见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案．根据BE =CF 得到BE +EC =EC +CF 即BC =FE ，之后利用HL 证明Rt △ABC≌Rt △DFE 即可得到答案．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EC =EC +CF ，即BC =FE ．∵∠A =∠D =90°，则在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，BC =FE AC =DE ，∴Rt △ABC≌Rt △DFE(HL)．∴∠B =∠DEF ．【题型2 翻折型】【方法技巧】【典例2】如图，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．【变式2-1】如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：AC=BD【答案】证明见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等的判定定理AAS 得到△ABC≌△BAD (AAS)，再由三角形全等性质即可得证，熟练掌握两个三角形全等判的定定理AAS 及性质是解决问题的关键．【详解】证明：在△ABC 与△BAD 中，∠1=∠2∠C =∠D AB =AB，∴△ABC≌△BAD (AAS)，∴AC =BD ．【变式2-2】如图，已知AD 平分∠BAC ，AB =AC ．求证：△ABD≌△ACD ．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据AD 平分∠BAC ，可得∠BAD =∠CAD ，再根据边角边可证明△ABD≌△ACD ．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，∵AB =AC ，∠BAD =∠CAD ，AD =AD ，∴△ABD≌△ACD (SAS)．【变式2-3】如图，AB =AC ，BO =CO ，求证：∠ADC =∠AEB ．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA ，证明△AOB≌△AOC (SSS)得出∠B =∠C ，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA ，在△AOB 和△AOC 中，AB =AC OB =OC OA =OA，∴△AOB≌△AOC (SSS)，∴∠B =∠C ，∵∠DOB =∠EOC ，∴∠B +∠DOB =∠C +∠EOC ，∴∠ADC =∠AEB ．【题型3旋转型】【方法技巧】【典例3】如图，在△ABC 和△AEF 中，点E 在BC 边上，∠C ＝∠F ，AC ＝AF ，∠CAF ＝∠BAE ，EF 与AC 交于点G ．（1）试说明：△ABC ≌△AEF ；（2）若∠B ＝55°，∠C ＝20°，求∠EAC 的度数．【答案】（1）见解答；（2）35°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（ASA）；（2）解：∵∠B＝55°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣55°﹣20°＝105°，∵△ABC≌△AEF，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝55°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝70°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝105°﹣70°＝35°．【变式3-1】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，若∠1＝∠2，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：AB＝AD．【答案】证明见解答．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AB＝AD．【变式3-2】如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠BAC＝∠ADE．（1）求证：△ABC≌△DEA；（2）若∠CAD＝30°，求∠BCD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BCD＝105°．【解答】（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAE．在△ABC和△DEA中，∵，∴△ABC≌△DEA（AAS）．（2）解：由（1）知△ABC≌△DEA（AAS），∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝30°，∴，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+75°＝105°．∴∠BCD＝105°．【变式3-3】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS）．【变式3-4】如图，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，AC＝AE，求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．【题型4 一线三等角型】【方法技巧】模型一一线三垂直如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
(完整word版)全等三角形难题(含答案),推荐文档
全等三角形难题（含答案）1.已知：AB=4, AC=2 D 是BC 中点，AD 是整数，求 AD解：延长AD 至U E,使AD=DE •/ D 是BC 中点 ••• BD=DC在^ ACD^n ^ BDE 中AD=DE/ BDE=Z ADCBD=DC••• AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BEv AE< AB+BE •/ AB=4即 4-2 v 2AD< 4+2 1v ADV 3••• AD=2延长CD 与 P,使D 为CP 中点。
连接 AP,BP •••DP=DC,DA=DB •••ACBP 为平行四边形又/ ACB=90•••平行四边形ACBP 为矩形2.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90，求证: CD 1 -AB2••• AB=C P=1/2ABBC=DE / B=/ E ,/ C=/ D, F 是 CD 中点，求证：/ 仁/ 2证明：•/ BC=ED,CF=DF,/ BCF=/ EDF•••三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）••• BF=EF, / CBF=/ DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF••• / EBF=/ BEF•/ / ABC / AED••• / ABE=/ AEB •• AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,/ ABF=/ ABE+/ EBF=/ AEB+Z BEF=/ AEF•••三角形ABF 和三角形AEF 全等。
••• / BAF=/ EAF （ / 1 = / 2）。
4.已知：/ 仁/ 2, CD=DE EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG/ EF 交AD 的延长线于点GCG/ EF ，可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE =/ GDC （对顶角）3.已知: 连接BF 和EFEF= CG/ CGD=/ EFD又，EF// AB•••/ CGD=/ 2 :.△ AGC为等腰三角形,AG= CG又EF = CG ••• EF= AC5.已知：AD平分/ BAC AC=AB+BD 求证：/ B=2/ C证明：延长AB取点E,使AE= AC连接DE•/ AD平分Z BAC• / EAD=/ CAD•AE= AC, AD= AD.△ A ED^A ACD (SAS• / E=/ C•AC= AB+BD• AE= AB+BD•AE= AB+BE• BD= BE• / BDE=/ E-/ ABC=/ E+Z BDE• / ABC= 2/ E• Z ABC= 2/ C6.已知：AC平分/ BAD CE丄AB, / B+Z D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF= EB,连接CF• CE 丄AB• / CEB=/ CEF= 90°•EB= EF, CE= CE,.△ CEB^A CEF• / B=/ CFE•/ B+/ »180°，/ CFE+/ CFA= 180• / CFAAC平分/ BAD./ DAC=/ FAC•AC= AC• △ ADC^A AFC( SAS• A» AF• AE= AF+ FE= AD+ BE12.如图，四边形ABCD中, AB// DC BE、CE分别平分/ ABC / BCD且点E在AD上。
全等三角形题型归类及解析汇报
全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。
1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且B E A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。
八年级数学上册全等三角形章末重难点题型(举一反三)(含解析版)
专题01 全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 利用全等三角形的性质求角】【方法点拨】全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
【例1】（2019春•临安区期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°【变式1-1】（2018秋•绍兴期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【变式1-2】（2018秋•厦门期末）如图，点F，C在BE上，△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，AC，DF交于点M，则∠AMF等于（）A．2∠B B．2∠ACB C．∠A+∠D D．∠B+∠ACB【变式1-3】（2018秋•桐梓县校级期中）如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点B′在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【考点2 全等三角形的判定条件】【方法点拨】寻找并证明全等三角形还缺少的条件，其基本思路是：（1）有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者利用SSS判定. （2）有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定，后者利用AAS 判定.（3）有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等.利用AAS判定.（4）有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等.前者利用SAS判定，后者利用AAS判定.【例2】（2019春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△AED中，已知∠1＝∠2，AC＝AD，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△AED，这个条件是（）A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E【变式2-1】（2019秋•潘集区期中）在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F（4）AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF，其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式2-2】（2018春•渝中区校级期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．BC＝EF C．∠ACB＝∠DFE D．AC＝DF【变式2-3】（2018秋•鄂尔多斯期中）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（）A．BD＝CE B．∠ABD＝∠ACE C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE【考点3 全等三角形判定的应用】【方法点拨】解决此类题型的关键是理解题意，利用全等三角形的判定.【例3】（2019春•郓城县期末）如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B 两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由．【变式3-1】（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【变式3-2】（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【变式3-3】如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．【考点4 利用AAS证明三角形全等】【方法点拨】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)【例4】（2018秋•仙游县期中）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．并证明结论．【变式4-1】（2018春•揭西县期末）如图，∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，试说明：△ABD ≌△ACE．【变式4-2】（2018秋•杭州期中）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．【变式4-3】（2018•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．【考点5 利用SAS证明三角形全等】【方法点拨】两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)【例5】（2018春•金山区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，试说明△ACE≌△DCB 的理由．【变式5-1】（2018春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE 全等吗？请说明理由．【变式5-2】（2018秋•仪征市校级月考）如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE，说明△ABC与△DEF全等的理由．【变式5-3】（2019秋•东莞市校级月考）如图：△ABC和△EAD中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE．求证：△ABD≌△AEC．【考点6 利用ASA证明三角形全等】【方法点拨】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)【例6】（2019秋•利辛县期末）如图，已知AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE ≌△ACD．【变式6-1】（2018•双柏县二模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；【变式6-2】（2019•陕西模拟）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．【变式6-3】（2019秋•乐清市校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，求证：△BDH≌△ADC．【考点7 利用SSS证明三角形全等】【方法点拨】三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)【例7】（2019春•渝中区校级月考）如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：△ABE≌△CDF．【变式7-1】（2019秋•扶余县校级月考）如图，在△ABC中，AD＝AE，BE＝CD，AB＝AC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：∠BAE＝∠CAD．【变式7-2】（2019秋•保亭县校级月考）如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？【变式7-3】（2019秋•蓬江区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC，求证：DE⊥AB．【考点8 利用HL证明三角形全等】【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例8】（2018秋•思明区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥CB，BD＝AC．求证：△ABD≌△BAC；【变式8-1】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN 全等？并证明你的结论．【变式8-2】（2019秋•合浦县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【变式8-3】（2019春•醴陵市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：△ABE≌△ADF．【考点9 全等三角形的判定与性质综合】【例9】（2019•南岸区）如图，在△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交AB于点G，过点A作AF⊥AD交CE于点F．（1）求证：△AGE≌△AFC；（2）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD．【变式9-1】（2019•福州模拟）（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．【变式9-2】（2018秋•天台县期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b，（1）如图1，求BE的长，写出求解过程；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，点D在△ABC内部时，直接写出BE的长．（用含a，b的式子表示）【变式9-3】（2019春•道外区期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，点E在BC边上，∠AED＝90°（1）求证：∠BAE＝∠CED；（2）若AB+CD＝DE，求证：AE+BE＝CE；（3）在（2）的条件下，若△CDE与△ABE的面积的差为18，CD＝6，求BE的长．【考点10 动点问题中的全等三角形应用】【例10】（2019春•平川区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？【变式10-1】（2019春•永新县期末）△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D、E分别是AB，AC上的不动点．且BD+CE＝BC，点P是BC上的一动点．（1）当PC＝CE时（如图1），求∠DPE的度数；（2）若PC＝BD时（如图2），求∠DPE的度数还会与（1）的结果相同吗？若相同，请写出求解过程；若不相同，请说明理由．【变式10-2】（2019春•宝安区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E 从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．【变式10-3】（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．专题01 全等三角形章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 利用全等三角形的性质求角】【方法点拨】全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
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3. 全等三角形难题题型归类及解析
、角平分线型
角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助 线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的 垂线。
另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分 线与垂线构成等腰三角形。
如图，在△ ABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分/ BAC 在AB 上截取AE=AC
连结DE 已知DE=2cm BD=3cm 求线段BC 的长。
已知：如图所示，BD 为/ ABC 的平分线，AB=BC
在 BD 上, PM L AD 于 M ?PNICD 于 N,判断 与PN 的关系.
如图所示，P 为/ AOB 勺平分线上一点，PC 丄0A 于C,
OAP /OBP=180，
若OC=4cm 求AO+BO 勺值.
1. 2. PM
已知：如图E 在^ ABC 的边AC 上，且/ AEB 玄ABC
求证：/ ABE=/ C;
若/ BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F , FD// BC 交 AC 于
D,
的长。
5、如图所示，已知/ 仁/2, EF 丄AD 于P ,交BC 延长线于M ，求证：2/ M=
(/ACB- / B
)
4. 设 AB=5 AC=8 求 DC
已知在△ ABC中,/ BAC为直角，AB=ACD为AC上一点，CEL BD于E.
(1) 若BD平分/ ABC求证CE=2BD (2) 若D为AC上一动点，/ AED如何
变化，若变化，求它的变化范围;
若不变，求出它的度数，并说明理由。
7、如图:
BE。
四边形ABCD中, AD// BC，AB=AD+BC，E是CD的中点, 求证：AE1 6如图,
8、如图，在△ ABC 中，/ ABC=60° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB , 求证：AC=AE+CD .
二、中点型
由中点应产生以下联想: 1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线
〔、△ ABC 中，/ A=90° , AB=AC , D 为BC 中点，E、F 分别在AC、AB 上, 且DE丄DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由.
2、已知：如图，△ ABC 中，NABC =45° , CD 丄 AB 于 D , BE 平分 N ABC ，且
BE 丄AC 于E , 与 CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点
=AC ; 二1
BF 2
3、如图，△ ABC 中，D 是BC 的中点，DE 丄DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小
系，并证明你的结论。
（第19题）
4、如图，已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE=AC ，
求证:
BF 求证: (2) CE
延长BE交AC于F,求证：AF=EF
A
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个
直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知：AD是BC上的中线,
C
2、如图,已知：AB丄BC于B , EF丄AC于G, DF丄BC于D , BC=DF求证：AC=EF
3、女口图，/ ABC=90 , AB=BC BP 为一条射线，ADI BP, CEL PB,若 AD=4 EC=2.
A ABC 的两条高AD BE 相交于H,且AD=BD
试说明下列结论成立的
4、如图,
理由。
(1) / DBH=/ DAC (2) A BDH^ A ADC
求DE 的
如图/ACB=90 ,AC=BC,BE1 CE,ADICE于D, AD=2 5cm DE=1.7cm,求BE
的长
C在A、E的异侧,BD丄AE于D, CE丄AE于E
5.
6. 如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEI AC于E, BF丄AC于F,
7. 若AB=CD
(2)
如图⑴,
AF=CE BD交AC于点M.
求证：MB=MD ME=MF
当E、F两点移动到如图②的位置时,
否成立？若成立请给予证明；若不
成立请说明理由
.
已知△ ABC中,/ BAC=90 AB=AC, AE是过A的一条直线,且B、A
其余条件不变，上述结论能
②
(1) 试说明：BD=DE+CE.
(2)若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BDVCE),其余条件不变, CE 的关系如何？为什么?
(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,
(4)归纳前二个问得出BD DE CE 关系。
用简洁的语言加以
说明。
四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等 三角形，另外等边三角形又具有 60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋 转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当 我们看到
问 BD 与 DE
A E
CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明. I
B
问 BD 与 DE
有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。
1、如图，已知心ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB 上, 且也DEF 也是等边三角形.
(2)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的
猜想是正确的；
(3)你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化
过程.
2、已知等边三角形ABC中，BD = CE,AD与BE相交于点P,求/AP
E的大小。
3、如图，D是等边△ ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△ EDC 连接AE,找出图中的一组全等三角形，并说明理由.
4、已知，△ ABC 和^ ECD 都是等边三角形，且点 B , C , D 在一条直线上■求
已知P 是等边△ ABC 内的一点，P A = 5, PB=4, PC =3,则NBPC 的度数为
多少? 已知P 是正方形ABCD 内的一点，PA ： PB ： PC=1 : 2 : 3,贝/APB 的度证: BE=AD
5、
6、
数为多少？.
五、等腰三角形型 由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三 角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行 解答
1、如图所示，已知 AEL AB, AF 丄 AC , AE=AB AF=AC
求证：(1) EC=BF (2) EC L BF
2.在^ ABC中，，AB=AC 在AB边上取点D,在AC延长线上取点E ,使CE=BD,
连接DE交BC于点F,求证DF=EF .
3.如图所示,已知D是等腰△ ABC底边BC上的一点,它到两腰AB AC的距离分
别为DE DF,CM L AB,垂足为M,请你探索一下线段DE DF CM三者之间的数
量关系，并给予证明.
折叠型
2 3、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD& EF折叠（点E、F分别在边
AB CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.
（1）如图②，若M为AD边的中点,
①,△ AEM的周长= ___ cm
②求证：EP=AE+DP
⑵ 随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A D重合），△ PDM的周长是否发生变化？请说明理由.。