直线的倾斜角与斜率、直线的方程与两直线的交点坐标

教师姓名学生姓名填写时间2012-06-15学科数学年级高一上课时间6.16下午1.00-3.00课时计划2教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程直线的倾斜角与斜率、直线的方程与两直线的交点坐标知识要点倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tankθ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y，则有斜率公式2121y ykx x-=-. 特别地是，当12x x=，12y y≠时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当12x x≠，12y y=时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0；当090α︒<<︒时，斜率0k>，随着α的增大，斜率k也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k<，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1.对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，有：（1）12//l l⇔12k k=；（2）12l l⊥⇔121k k⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….直线的点斜式方程1.点斜式：直线l过点000(,)P x y,且斜率为k，其方程为00()y y k x x-=-.2.斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为y kx b=+.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点000(,)P x y且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x x-=，或x x=.4.注意：0y ykx x-=-与00()y y k x x-=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1xya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线. 4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合. 2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.课前热身1.设直线l 与x 轴的交点是P,且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为α+45°, 则A.0°≤α＜180°B.0°≤α＜135°C.0°＜α≤135°D.0°＜α＜135°2.下列四个命题中真命题是A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y-y 0=k （x-x 0）表示B.经过任意两个不同点P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程（y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+by ax 表示D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y=kx+b 表示3.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程为A.2x-y-1=0B.x+y-5=0C.2x+y-7=0D.2y-x-4=04.若直线l 经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 5.一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .典例剖析例1 若α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ，则直线2xcos α+3y+1=0的倾斜角的取值范围是A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡26ππ，B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，65 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡6,0πD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,2ππ 例2 已知直线l 1:ax+2y+6=0和直线l 2:x+(a-1)y+a 2-1=0,（1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.例3 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍.例4 过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l 的方程.三角函数复习两角和与差的正弦、余弦和正切知识要点◆ 两角的和与差公式：()())()(S , sin cos cos sin sin S , sin cos cos sin sin βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+()()()())()()()(T , tan tan 1tan tan tan T , tan tan 1tan tan tan C , sin sin cos cos cos C , sin sin cos cos cos βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-++-=--+=++=--=+解三角形--正弦定理和余弦定理的应用知识要点三角形中的三角问题 ◆ 2- 22 ,22, CB AC B A C B A πππ=+=++=++()()2C sin2cos ,2C cos 2sincosC cos ,sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+B A B A B A C B A正弦定理：C B A cb a R Cc B b A a sin sin sin 2sin sin sin ++++==== 余弦定理：cos 2cos 2 , cos 2222222222C ab b a c B ac c a b A bc c b a -+=-+=-+=变形：abcb a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos ,2 cos 222222222-+=-+=-+=例1 在△ABC 中，已知a=3,b =2,B=45°,求A 、C 和c.例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-c a b+2. （1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例3 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0.（1）求角A 的大小； （2）若a=3，求bc 的最大值；（3）求c b C a --︒)30sin(的值.等比数列及其前n 项和知识要点等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =±.前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列，（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.基础自测1.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则24a S 等于A .2B .4C .215 D .217 2.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21，则公比q 的值为A .1B .-21C .1或-21D .-1或213.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么A .b =3，ac =9B .b =-3，ac =9C .b =3，ac =-9D .b =-3，ac =-94.在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11=8，则a 2a 8等于A .16B .6C .12D .45.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=41,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1等于A .16（1-4-n） B . 16（1-2-n） C .332（1-4-n） D .332（1-2-n） 典例剖析例1 已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=320，求{a n }的通项公式.等差数列及其前n 项和知识要点等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列， 公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.（6）项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 基础自测1.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=21，S 4=20，则S 6等于A .16B .24C .36D .482.已知等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 3+a 9=6,则S 11等于 A .12 B .33 C .66 D .113.已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10等于A .138B .135C .95D .23 4.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ,则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是A .2B .3C .4D .55.数列a ,b ,m ,n 和x ,n ,y ,m 均成等差数列，则2b +y -2a +x的值为A .正实数B .负实数C .零D .不确定典例剖析例1 已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-14-n a (n ≥2),令b n =21-n a .证：数列{b n }是等差数列.。