计算方法 第五章
[建筑土木]框架剪力墙计算
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第五章框架、剪力墙、框架-剪力墙结构的近似计算方法与设计概念5.1 计算基本假定1、基本假定(1)一片框架或一片剪力墙可以抵抗在本身平面内的侧向力，而在平面外的刚度很小，可以忽略。
因而整个结构可以划分成若干个平面结构共同抵抗与平面结构平行的侧向荷载，垂直于该方向的结构不参加力。
(2)楼板在其自身平面内刚度无限大，楼板平面外刚度很小，可以忽略。
因而在侧向力作用下，楼板可作剐体平移或转动，各个平面抗侧力结构之间通过楼板互相联系并协同工作。
¾弹性工作状态假定¾平面抗侧力结构和刚性楼板假定¾水平荷载的作用方向¾框架结构计算方法分类平面抗侧力结构和刚性楼板假定¾平面抗侧力结构假定¾(a)结构平面¾(b)y方向抗侧力结构¾(c)x方向抗侧力结构¾刚性楼板假定结构→构件→截面→材料2、框架结构计算方法分类框架计算方法精确法渐进法近似法位移法力法力矩分配法迭代法无剪力分配法分层法反弯点D 值法5.2 框架结构的近似计算方法5.2.1 竖向荷载下的近似计算——分层力矩分配法基本假定多层多跨框架在竖向荷载作用下，侧向位移比较小，计算时可忽略侧移的影响；本层横梁上竖向荷载对其他各层横梁内力的影响很小，计算时也可忽略，因此可将多层框架分解成一层一层的单层框架，分别进行计算。
分层法示意图计算要点¾分层方法：将多层框架分层，每层梁与上下柱构成的单层框架作为计算单元，柱远端假定为固端；¾各计算单元按弯矩分配法计算内力；¾分层计算所得的横梁的弯矩即为其最后的弯矩，每一柱（底层柱除外）属于上下两层，所以柱的弯矩为上下两层柱的弯矩叠加；¾因为分层计算时，假定上下柱的远端为固定端，而实际上是弹性支承，为了反映这个特点，减小误差，除底层柱外，其他层各柱的线刚度乘以折减系数0.9；楼层柱弯矩传递系数为1/3，底层柱为1/2；¾分层计算法所得的结果，在刚结点上诸弯矩可能不平衡，但误差也不致很大，如有需要，可对结点不平衡弯矩再进行一次分配。
平均照度计算方法
A0
As－顶棚(或地板)空间内所有表面的总面积，单位为m2 A0－顶棚(或地板)平面面积，单位为m2
ρ －顶棚(或地板)空间各表面的平均反射比
1 平均照度计算
(三) 室内平均照度的确定 1、确定房间的各特征量 计算RI、RCR、CCR、FCR 2、确定顶棚空间有效反射比ρcc
i i
A A
用一定周期后，在规定表面上的平均照度或平均 亮度与该装置在相同条件下新装时在同一表面上 所得到的平均照度或平均亮度之比。
维护系数K
环境污染特征 清洁 一般 污染严重 室外 工作房间或场所 办公室，阅览室，仪器、仪表装配车间 商店营业厅，影剧院观众厅，机加工车间 铸工、锻工车间，厨房 道路和广场 维护系数 灯具擦洗次数/(次/年) 0.8 2 0.7 2 0.6 2 0.7 2
第五章 照明计算
逐点计算法，是以被照面上的一点为对 象，计算不同形状、不同位置的光源在该点 产生的直射照度（不考虑反射光通量产生的 照度），这种计算方法称作逐点计算法。 内容包括点光源、线光源和面光源的直 射照度的基本计算公式、实用计算公式及简 化计算公式。 适用于房间高大、反射光较少的场所， 一般用于验算工作点的照度和被照面照度分 布的均匀度。
1 平均照度计算
U f S
U－利用系数 Фf－由灯具发出的最后落到工作面 上的光通量，单位为lm Фs－每个灯具中光源额定总光通 量，单位为lm
利用系数与照明器的光强分布（配光特 性）、照明器的效率、照明器的悬挂高度、 房间的大小及形状和室内各反射面的反射 比等因素有关。 美国的“带域－空间法” 法国的“实用照明计算法” 国际照明委员会的“CIE法”
1 平均照度计算
(3) 确定ρfc、γ
地板空间各面平均反射 比
第五章水资源量的计算
W设＝
F设 F代
W代
W设、F设 分别表示设计区域 的年径流量和面积，W代、F代
分别表示代表流域的天然年径 流量和集水面积
W设＝FF设 代（W代下W代上 ）
两个或两个以上代表站
1）若设计区域内气候及下垫面条件差别 较大
W 设 ＝ F F设 代 1 1W 代 1F F设 代 22W 代 2....F .F设 代 .nnW 代 n
四、径流量年内及年际变化
4.1、河川径流量的年内分配
2、本区域的自然地理特性资料。如：区域面积、地形、地貌、 土壤、植被等。 3、区域内水利工程概况。如：历年各级水库的有效库容及其灌 溉面积；引、提水量及其灌溉面积；灌溉定额、渠系有效利用 系数、田间回归系数等。 4、区域内水文地质特性资料。如：岩性分布、地下水埋深、地 下水开采情况等。 5、社会经济资料。如：人口、耕地的数量及其分布，当地经济 发展情况。 6、水质监测资料。如：主要工矿企业的排污量、排放途径、影 响范围、污染后果等。
No Image
2.等值线法
❖ 借用包括该区在内的全区多年平均年径流深等值 图，从图上查算出流域内的平均年径流深，乘以 流域面积，来计算流域多年平均年径流量。
R5
f5
R4
R3
R2
R1
f3
f2
f1
f4
图1 多年平均年径流深等值线图
No Image
❖ 流域多年平均年径流深
R'
n 1
Ri Ri1 2
由于人类活动往往形成观测站周围环境的变化，如伐木、 农田灌溉、城市化及兴修水利工程等会导致降水和径流等水文 要素的变化，使资料的一致性遭到破坏；
因观测方法变化或观测站迁移造成的资料不一致，也应该 进行修正。
计算方法PPT课件第五章 插值与拟合
因此
li (x)
(x x0 )(x x1 ) (xi x0 )(xi x1 )
(x ( xi
xi1 )(x xi1 ) ( x xi1 )( xi xi1 ) ( xi
xn ) xn
)
n x x j . j0 xi x j ji
5.2.2 拉格朗日插值多项式
设用试验或观测方法得到函数 的如下函数y 值f表(x)
xi x0 , x1, , xn
yi y 0 , y1 , , y n
(5.11)
其中：yi f (xi )(i 0,1,..., n).我们用插值基函数li (x)(i 0, 1,..., n)的线性组合来构造满足式(5.11)的插值多项式，令
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
17
(2) 将x 2.5代入，得L2 (2.5) 1.2625，因此
f (2.5) L2 (2.5) 1.2625.
(3)
f
(x)
ln(1
x), 求出f
''' ( x)
2 (1 x)3
,
从而max f ''' ( x) 1 .
1 x3
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
,
(5.6)
其中： （a,b)且依赖于x,而x [a,b].
证明（见P111)略
2020年1月26日星期日
主讲 韩光朋
9
在实际插值问题中，由 于一般不知道，且实
际插值中f (x)一般较复杂或者未知， 因此用余项公 式（5.6）求误差是较困难的， 只能对其进行估计。 若
计算方法(8) 第五章 插值法(2)
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) ali ( xi ) 2(axi b)l i ( xi )l i ( xi ) 0 i i
li ( xi ) 1, axi b 1, a 2l ( xi ) 0
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
i j 1 (2) i ( x j ) ij i j 0 'i ( x j ) 0 ( i，j 0， 1， 2， ，n)
n
利用Lagrange插值基函数li ( x ) (
j 0 ( ji )
x xj xi x j
)ห้องสมุดไป่ตู้
设
i ( x ) (ax b)l 2 i ( x )
由条件(2)可列出方程组 2 ( x ) ( ax b ) l i i i i ( xi ) 1 ' 2 ' ( x ) al ( x ) 2( ax b ) l ( x ) l i i i i i i i i ( xi ) 0
i 0
n
2
F ( t )关于t 有n 2个零点：x0，x1， ，xn，x 。 但F ' ( t )关于t 有2n 2个零点，由Rolle(罗尔)定理 必存在点 （a , b），使 F
（2 n 2）
( ) f
（2 n 2）
( ) 0 K ( x )(2n 2)! 0
n
n
i ( x )应满足条件： (1) i ( x )应是 2n 1次多项式；
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
计算方法第五章第四节其他类逼近方法
（四）快速 Fourier 变换
Fourier变换或反变换中的计算可归结为
d j ak w jk ,
k=0
N -1
称为规模为N j 0,1,..., N 1---------(5.4.20) 的变换问题
2 N i 2 N i
的计算问题，其中 w e （正变换）或 w e （反变换）， a （ ）为已知复数。 k k 0,1,..., N 1
e i 1得
i 0 i i i 0 i i i 0 i i
m
n
q ( x)
例5.4.3 P204
.
然后利用类似于Pade技术的方法
二、三角函数逼近
如果函数 g ( x)是周期为T 的函数，则函数 f ( x) g (Tx /(2 )) 的周期为2。因此，我们将针对周期为2的连续函数或分段 连续函数讨论其逼近问题。
ak N / 2 w
2 j ( k N / 2)
N / 2 -1
k=0
ak w2 jk
N / 2 -1
ak N / 2 w2 jk w jN
N / 2 -1
(ak ak N / 2 ) w2 jk .
而利用 wN / 2 e
N -1 k=0
i
2 N . N 2
2
0
0, sin lx sin jx dx ,
l j; l , j 1, 2,..., l j 1, 2,...,
2
0
sin lx cos jx dx 0,
l 1, 2,...; j 0,1,...,
函数族 1,cos x,sin x,..., cos nx,sin nx,...是区间[0, 2 ] 上正交的函数族。
第五章产品成本计算的辅助方法
最后按标准产品产量的比例计算出各种产品的完工产品 成本和在产品成本。
为保证产品成本的可比性，系数一经确定，应保持相对 稳定。
原材料费用定额＝产品原材料消耗定量×原材料计划 单价
人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率 制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费
用率
（2）定额成本与计划成本的异同
两者的相同之处，都是以产品生产的消耗定额和计划 价格确定的目标成本，其计算公式均为：
原材料费用定额＝产品原材料消耗定额×原材料计划单价 人工费用定额＝产品生产工时定额×计划小时薪酬率 制造费用定额＝产品生产工时定额×计划小时制造费用率
常用的分配标准有定额消耗量、定额工时、定额费 用、产品出厂价、产品的体积、重量、长度等。
具体进行选择时往往考虑分配标准与产品成本之间的关 联关系、分配标准取得的难易程度和计算过程是否方便 可行等因素。
企业划分类内各完工产品成本的常用方法主要是定 额比例法和系数法。
1.定额比例法
企业可以按类内各种产品的定额成本或定额消耗量 的比例，对各类产品的总成本进行分配，这种按定 额比例确定类内各种产品成本的方法，通常称为定 额比例法。其计算公式为：
以产品类别作为产品成本计算对象 产品成本计算期由产品成本计算的基本方法决定 月末通常要在完工产品与月末在产品之间分配生
产费用
（三）分类法的适用范围
凡是生产的产品品种繁多，而且可以按照一 定的要求划分为若干类别的企业或车间，都 可以采用分类法计算产品成本。
同原料、同工艺生产不同规格产品的企业 生产联产品的企业 生产出副产品的企业 生产零星产品的企业 生产等级产品的企业
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xi yi yi‘
0 2 -2
1 1 -1
2 2
P4 (0) 1 2B 2 B 0 P4 (1) (A B ) 1 A 1 P4(x ) x 3x 3x 2x 2
14
重节点牛顿法
0 2 2 0 2 5 6 2 0 2 1 7 1 4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2
xi yi yi‘
0 2 -2
1 1 -1
2 2
yi’‘ -10
P5(x ) 2 2x 5x 2 6x 3 7x 3(x 1) 4x 3(x 1)2
8
P49 习题16
求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它 满足P(0)=P’(0)=0，P(1)=P’(1)=1，P(2)=1。
方法一：先根据P(0)、P(1)、P(2)构造P2(x)， 然后设计P4(x)=P2(x)+(Ax+B)x(x-1)(x-2) 方法二：先根据P(0)、P’(0)、P(1)、 P’(1)构 造P3(x)，然后设计P4(x)=P3(x)+Ax2(x-1)2 方法三：重节点法：0和1都是重节点
27
例：已知函数
1 f ( x) 1 25 x 2
的函数表
28
解：分段三次埃尔米特插值公式
P41
x xk 1 2 x xk x xk 2 x xk 1 ~ I h ( x) ( ) (1 2 ) fk ( ) (1 2 ) f k 1 xk xk 1 xk 1 xk xk 1 xk xk xk 1 ( x xk 1 2 x xk 2 ) ( x xk ) f k ( ) ( x xk 1 ) f k1 xk xk 1 xk 1 xk
约束条件：
若只有函数值约束，则只有2个约束条件，只 能确定一个n=1的多项式（线性） 若增加导数值约束，则每段有4个约束条件， 能确定一个n=3的多项式（典型埃尔米特）
25
分段三次埃尔米特插值
26
分段三次埃尔米特插值余项
与分段线性插值比较
| R(x)|| f (x) P(x)| h2 M 2 8
4x 5 15x 4 17x 3 5x 2 2x 2
15
高次多项式插值的病态问题
龙格(Runge)现象： 求函数
f ( x)
1 , x[5,5]. 1 x2
的n次多项式插值公式． example204
16
分段线性插值
从几何上，分段线性插值就是用连结节点的折 线来逼近f(x)的图形．
其中 h max (xi1 xi), M2 max | f ''(x)|. 0in1 axb 而且, P(x)在[a, b]上一致收敛于f(x).
20
| R(x)|| f (x) P(x)| h2 M 2 8
复习：多项式插值余项
21
分段线性插值的误差估计
在每一段(xk,xk+1)中，插值多项式都是线性的， 即n=1，所以每一段的余项估计有
4 3 2 3 2
验证 : P4 (x ) 4x 9x 6x 2，P4 (0) 2，P4 (1) 1
yi’‘ -10
12
第三步：满足二阶导约束
再追加一个条件，构造5次多项式 条件：追加项不能影响之前已经满足条件的 函数值约束和一阶导约束
P5 ( x) P4 ( x) Ax2 ( x 1) 2 ( x 2) x 4 3 x 3 3 x 2 2 x 2 A( x 5 4 x 4 5 x 3 2 x 2 ) P5( x) 4 x 3 9 x 2 6 x 2 A(5 x 4 16x 3 15x 2 4 x) P5( x) 12x 2 18x 6 A(20x 3 48x 2 3 x 4) P5(0) 6 4 A 10 A 4 P5 ( x) 4 x 5 15x 4 17x 3 5 x 2 2 x 2 验证： P5( x) 20x 4 60x 3 51x 2 10x 2 P5( x) 80x 3 180x 2 102x 10 P5(0) -10 ，最好把六个条件都验 证一下
计算方法
2月29日
1
第2章 插值法
引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值多项式 埃尔米特插值（不规则） 分段低次插值 三次样条插值
2
多项式插值问题综合
拉格朗日：基函数线性组合 牛顿：均差做多项式系数 等间距牛顿：差分代替均差 典型埃尔米特：满足导数约束
它们都有一个共性：
5
方法一：完全待定系数（不算）
设P3 ( x) ax3 bx2 cx d , 则有P3' ( x) 3ax2 2bx c 带入约束条件可得联立 方程组 P3 (1) a b c d 2 P (2) 8a 3b 2c d 4 3 P3 (3) 27a 9b 3c d 12 ' P 3 ( 2) 12a 4b c 3 解方程可得：a 2, b 9, c 15, d 6 即：P3 ( x) 2 x 3 9 x 2 15x 6
xi
0
1
2
yi
yi‘
2
-2
1
-1
2
yi’‘ -10
13
第四步：余项
插值多项式是5次的，余项是6次的，而且对 已经构造满足的六个条件不能再有影响
1 (6) 3 2 R( x) f ( ) x ( x 1) ( x 2) 6!
参看P36页，反复应用罗尔定理……重点是 阶乘和求导的次数都跟条件的个数一样
9
补充习题（有二阶导约束的插值）
已知下列数值表，求符合表值的插值多项式， 并给出插值余项的表达式。
xi
yi
0
2
1
1
2
2
六个条件，可以构建5次多项 式，可以列六个方程来做，不 过……
yi‘
-2
-1
yi’‘ -10
10Байду номын сангаас
第一步：满足函数值约束的
三个函数，构造2次多项式
P2 ( x) f [ x0 ] f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) f [0] f (0) 2，f [0,1] 1，f [1,2] 1，f [0,1,2] 1 P2 ( x) 2 x x( x 1) x 2 2 x 2 验证： P2 (0) 2，P2 (1) 1，P2 (2) 2
有n+1个条件就可确定一个n次多项式
3
条件不规则的问题如何处理？
4
具体示例
求一个次数不高于3的多项式满足下列 插值条件： P3(1)=2 , P3(2)=4 , P3(3)=12 , P3’(2)=3 分析：
4个条件，能确定4个未知数 理论上来讲能构造3次多项式 不高于的意思是防止出现特殊点降次 怎么求？
f ( ) f ( ) R1 ( x) f ( x) I k ( x) 2 ( x) ( x xk )(x xk 1 ) 2 2 k 若令M 2 max f ( x) ，hk xk 1 xk，则有
xk x xk 1 k k M2 M2 max f ( x) I k ( x) max ( x xk )(x xk 1 ) hk2 xk x xk 1 2 xk x xk 1 8 于是，若令M 2 max f ( x) ，h max hk，则有 a x b k
6
方法二：仿照例6
已知f (1) 2, f (2) 4, f (3) 12, 则有 f [1] f (1) 2; f [1,2] 2; f [2,3] 8; f [1,2,3] 3 所以构造P3 ( x) 2 2( x 1) 3( x 1)(x 2) A( x 1)(x 2)(x 3) 已经满足前三个条件 P3' ( X ) 2 3[(x 1) ( x 2)] A[(x 1)(x 2) ( x 1)(x 3) ( x 2)(x 3)] 加上最后一个条件 f ' ( 2) 3 可得2 3 A 3，即A 2。所以 P3 ( x) 2 2( x 1) 3( x 1)(x 2) A( x 1)(x 2)(x 3) 2 x 3 9 x 2 15x （一样的：）） 6
lk ( x ) f ( x ) f k lk 1 ( x ) f ( x ) f k 1 f k 1 都趋近于0，于是有
f ( x) f k 和 f ( x)
lim I h ( x ) f ( x )，即一致收敛
h 0
24
改进
分段插值：若干小段连起来 节点：每个小段有2个节点xk和xk+1
xi yi yi‘ 0 2 -2 1 1 -1 2 2
yi’‘ -10
11
第二步：满足一阶导约束
追加两个条件，构造4次多项式 条件：追加项不能影响之前已经满足条件的 函数值约束
P4(x ) P2(x ) (Ax B )x(x 1)(x 2) P4 (x ) 2x 2 Ax(x 1)(x 2) (Ax B )(x 1)(x 2)