微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511
考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2002年试题，二)考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．②→③→①B．③→②→①C．③→④→①D．③→①→④正确答案：A解析：由题设，分析4条性质可知，①与④没有直接联系，从而可排除C，D，关于A和B，重点在于分析性质②和③，显然性质②更强，即f的两个偏导数连续则f可微，因此②→⑧，B也被排除，从而只有A正确，选A．知识模块：多元函数微分学2．(1997年试题，二)二元函数在点(0，0)处( )．A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C解析：二元函数的连续性与可偏导性之间的关系并非与一元函数中可导与连续的关系一样，因此需要按定义一一加以判断．由已知，[*]所以f(x，y)在点(0，0)处不连续；又[*]因此f(x，y)在(0，0)点的两个偏导数都存在．综上选C．讨论分段、分块定义的函数的连续性、偏导数的存在性以及可微性一般按定义处理．知识模块：多元函数微分学3．(2012年试题，一)如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微B．若极限存在，则，(x，y)在(0，0)处可微C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在正确答案：B解析：f(x，y)在(0，0)处连续，如果存在，则f(0，0)=0．且由存在，知存在，则即fx(0，0)=0，同理可得fy(0，0)=0，再根据可微定义；0．可知f(x，y)在(0，0)处可微．选B．知识模块：多元函数微分学4．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题意可得因为所以选B．题中含有二元变限积分，求偏导时，可将一个变量视为常数，按一元函数积分学中求变限积分的导数方法求解即可．知识模块：多元函数微分学5．(2010年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则等于( )．A．xB．zC．一xD．-z正确答案：B解析：根据题意可得故而有即正确答案为B．解析二在方程两边求全微分得从而即正确答案为B．解析三方程两边分别对X，Y求偏导数，则有解得从而即正确答案为B．知识模块：多元函数微分学6．(2005年试题，二)设有三元方程xy—xlny+exy=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)正确答案：D解析：根据题意，记方程为F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=xy—zlny+exx 一1F对x，y，z均有连续偏导数，而且可知r(0，1，1)=0由于F(X，y，z)满足偏导数的连续性，根据隐函数存在定理可知，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域该方程可确定有连续偏导数的隐函数：x=x(y，z)和y=y(x，z)所以选D．求解此题应理解隐函数存在性定理的条件和结论，该知识点是2005年大纲新增加的考点．知识模块：多元函数微分学7．(2008年试题，一)函数一在点(0，1)处的梯度等于( )．A．iB．一iC．jD．一j正确答案：A解析：梯度的计算公式中涉及到函数的偏导数，故先求二元函数f(x，y)的偏导数：则fx(0，1)=lfy(0，1)=0．梯度gradf(0，1)=1×i+0×j=i，故应选A．知识模块：多元函数微分学8．(2001年试题，二)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3,fy’(0，0)=1，则( )．A．出dz｜(0,0)=3dx+dyB．曲面z=f(x，y)在点(0，0,f(0，0))的法向量为{3，1，1}C．曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{1，0，3}D．曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{3，0，1}正确答案：C解析：多元函数可偏导不一定可微，这一点与一元函数有本质区别，因此从题设给定(0，0)点有偏导数的条件无法推出在(0，0)点函数可微，因而A不一定成立；关于B，假设z=f(x，y)在(0，0,f(0，0))点法向量存在，由定义知该法向量也应为{3，1，一1}，何况题设仅给出(0，0)点处fx’，fy’的值，因此B也可排除；选项C，D是互斥的，可算出曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{3，1，一1}×{0，1，0}={1，0，3}，从而选C．本题考查了多个知识点：可微性与可偏导的关系，曲面的法向量及其求法，空间曲线的切向量及其求法．注意A选项是考生易犯的错误，简单地认为将偏导数代入全微分计算公式即得出全微分，而忽视了全微分是否存在的前提．知识模块：多元函数微分学9．(2011年试题，一)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．A．f(0)>1，f’’(0)>0B．f(0)>1，f’’(0)0D．f(0)若z=f(x)lnf(y)在(0，0)处取极值，则A=f’’(0)lnf(0)，B=0，c=f’’(0)由AC=[f’’(0)]2lnf(0)>0且A>0得f(0)>1且．f’’(0)>0，故选A．知识模块：多元函数微分学10．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则f’(x’，y’)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：考查化条件极值问题为一元函数极值问题．根据拉格朗日乘子法，令F(x，y，λ)=，(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)→λ=0或φx’(x0，y0)=0当A=0时，由(2)得fx’(x0，y0)=0；但当A≠0时，由(2)及φy’(x0，x0)≠0,fy’(x0，y0)≠0所以A，B错误．若fx’(x0，y0)≠0，由(1)→λ≠0，再由(2)及φy’(x0，x0)≠0→fy’(x0，y0)≠0故选D．知识模块：多元函数微分学11．(2003年试题，二)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( )．A．点(0，0)不是f9x,y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：A解析：根据题意，可将原式改用极坐标表示，即因此且f(pcosθ,psinθ)=ρ2cosθ.sinθ+ρ4+o(ρ4)当p充分小时，f(pcosθ，psinθ)的符号由p2cosθ.sin θ决定，但sinθ.cosθ符号不定，因此f(x，y)在(0，0)点不取极值，选A．知识模块：多元函数微分学填空题12．(2011年试题，二)设函数=____________.正确答案：涉及知识点：多元函数微分学13．(2009年试题，二)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则____________.正确答案：则解析二因f(u，v)有二阶连续偏导数，故而涉及知识点：多元函数微分学14．(2007年试题，二)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yz)．则=____________.正确答案：涉及知识点：多元函数微分学15．(1998年试题，一)设具有二阶连续导数，则=______________.正确答案：由题设，有解析：本题亦可先求再求．因为题设复合函数的混合偏导数与求导次序无关．但求导时应注意f(xy)和φ(x+y)均为一阶复合函数，对x求导时，y被视为常数；对y求导时，x视为常数，切不可与多元复合函数的求导法则混淆．知识模块：多元函数微分学16．(2005年试题，一)设函数单位向量则=____________.正确答案：由题意可知根据方向导数计算公式可得涉及知识点：多元函数微分学17．(2003年试题，一)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z=0平行的切平面的方程是________________。
微积分习题《极限与连续》
极限与连续判断题1. 函数在点 0x 处有极限，则函数在 0x 点极必连续；2. 0x → 时，x 与 sin x 是等价无穷小量；3. 若 00(0)(0)f x f x -=+，则 )(x f 必在 0x 点连续；4. 当 0x → 时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小；5. 函数 221y x =+ 在 (,)-∞+∞ 内是单调的函数；6. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； 8.1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； 9. ()sin f x x = 是一个无穷小量；10. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量；11. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义； 12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim0=+→x x x x ； 15. 01lim sin 1x x x→= ； 16. 22lim(1)x x e x-→∞+= ； 17. 11,0,,0,,0,481数列收敛2； 18. 函数 1sin y x x = 在 0x = 点连续； 19. 当0x +→x ；20. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大； 21. 当 1x → 时， ln x 与 1x - 是等价无穷小量；22. 0x = 是函数 ln(2)x y x-= 的间断点； 23. 以零为极限的变量是无穷小量；24. sin lim 1x x x→∞= ； 25. 0sin 25lim sin 52x x x →= ； 26. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；27. ln(1)x +~x ；28. 1lim sin 1x x x→∞= ； 29. 110lim(1)x x x e -→-= ； 30. 0tan lim 1x x x→= . 填空题1. sin lim x x x→∞= _______ ； 2. 711lim 1x x x →-=- ______ ； 3. xx x x sin lim+∞→ = _______ ； 4. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断； 5. 1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 6. 函数 x y ln = 是由 ______， ______ ，______复合而成的； 7. 22111arcsin x x y -+-= 的定义域是 ______ ；8. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；9. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；10. 0lim x +→= __________ ；11. 设 sin 2,0(),0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；12.0h →=___________ ； 13. 函数 y x = 在点 _________连续，但不可导；14. 2lim(1)x x x→∞-=________； 15. 0ln(13)lim sin 3x x x →+=_________ ； 16. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续； 17. 当0x →2与3是______（同阶、等价）无穷小量. 选择题1. 当 0x →时，xy 1sin = 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量(C) 有界变量但不是无穷小量 (D) 无界变量2. 1x +→ 时，下列变量中为无穷大量的是 ( ) (A) 113-x (B) 112--x x (C) x1 (D) 112--x x 3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( ) (A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞⋃+∞ (D) (,)-∞+∞5. 函数 4cos 2y x = 的周期是 ( )(A) 4π (B) 2π (C) π (D) 2π 6. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( ) (A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量9. 02lim 5arcsin x x x→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 1 10. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件11. 下列极限存在的有 ( ) (A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim x x e →(D) x 计算与应用题1. 设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a2. 求极限 20cos 1lim2x x x→-3. 求极限 121lim()21x x x x +→∞+-4. 512lim 43-+-∞→x x x x5. x x x 10)41(lim -→6. 2)211(lim -∞→-x x x7. 20cos 1limx x x -→8. 求 2111lim()222n n →∞+++9. 求极限 22lim(1)n n n→∞-10. 求极限 lim()1x x x x →∞+11. 求极限 211lim ln x x x→-12. 201lim x x e x x →--13. 21002lim(1)x x x +→∞+14. 求 lim x →-15. 21lim()1x x x x →∞-+16. 求 3131lim()11x x x→---。
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
多元函数微分学习题课 (2)
a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
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思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
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例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
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多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构 隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim
多元函数练习题及答案
1、 讨论函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,00,0,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0点处的连续性，偏导数存在性，可微性.2.求函数22yx xy z +=当2=x ，1=y ，01.0=∆x ，03.0=∆y 时的全增量和全微分.3. 设yx y z 1tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛=，求x z ∂∂及yz ∂∂.4. 设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，求222222yfx y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂。
5.()y x u f z ,,=，其中yxe u =,求函数的22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，22yz∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）6. 设,y x z xf yg x x y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,f g 均为二阶可微函数，求2z x y ∂∂∂。
7、已知()(),,,z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ均为可微函数，求dz dx。
8. 设3333z z x y +=+，求dz 和22zx∂∂。
9. 求曲线mx y 22=，x m z -=2在点()000,,z y x 处的切线和法线方程.10. 求244)(),(y x y x y x f +-+=的极值。
11.求平面1222=++z c w y b v x a u 的三截距之积在条件1222222=++cw b v a u 之下的最小值.12.在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
1．解：1）因为()2222221sin0y x yx y x +≤++≤又0lim 2200=+→→y x y x 由夹逼准则知：()01sinlim 222200=++→→y x y x y x ,又因 ()00,0=f ,所以 ()y x f ,在()0,0处连续2）根据定义()y x f ,在()0,0处的偏导数为：()()()()()01sinlim 0,00,0lim 0,02200'=∆∆⋅∆=∆-∆+=→∆→∆xx x xf x f f x x x同理可得()00,0'=y f3）()()()()[]()()22221sin0,00,0y x y x f y x f z∆+∆⋅∆+∆=-∆+∆+=∆()()()()[]()()2222''1sin0,00,0y x y x y f x f y x ∆+∆⋅∆+∆+∆+∆=而()()[]()()()()01sinlim222222=∆+∆∆+∆⋅∆+∆→∆→∆y x y x y x y x所以()y x f ,在()0,0处可微分2.02.0=∆z ，03.0=dy3. 解：两边取对数有：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y z tan ln 1ln 两边对x 求偏导有：x y xy x y x z z 22sec tan1111⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂故xyx y xx z y2112s e ct a n 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 同理：xy x y xy x y x y y y z y y2112sec tan 1tan ln tan 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂ 4. 解：22y x ye x f -=∂∂，223222y x e xy x f --=∂∂，22222222y x y x e y x e yx f ---=∂∂∂ 22y x xe y f -=∂∂，223222y x ye x yf --=∂∂，222222yf x y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂=222y x e -- 5. 解：22y x ye x f -=∂∂，223222y x e xy x f --=∂∂，22222222y x y x e y x e yx f ---=∂∂∂ 22y x xe y f -=∂∂，223222y x ye x yf --=∂∂， 222222y f x y y x f x f y x ∂∂+∂∂∂-∂∂=222y x e -- 6. 解：121221z y y f xf y g g f f yg g x x y x ⎛⎫∂⎛⎫''''''=+-++=-++ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭21122222111z y x x f f f g yg g x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=--++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122222y x x f g g g x y y'''''''=-+-- 7. 解：利用全微分的不变形计算，方程两边微分可得,x y y z dz f dx f dy dx dy dz ϕϕ=+=+消去dy 可得y y y x z y dz f dx f dx f dz ϕϕϕ-=-故y y xy z yf f dz dx f ϕϕϕ+=+ 8 解：对方程3333z z x y +=+两边求微分，得 dy dx x dz dz z 333322+=+，于是 dy z dx z x dz 111222+++=， 由dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=，得 122+=∂∂z x x z ， 22zx ∂∂=2222)1(2)1(2+∂∂⋅-+z x zzx z x =224232(1)2(1)x z x z z +-+9.切线方程：00021z z z y y y x x --=-=- 法线方程：()()()02100000=---+-z z z y y y mx x10. 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=0)(240)(2433y x y f y x x f yx ， 得驻点)1,1(，)1,1(--，)0,0(。
微积分测试题一(极限连续)答案
微积分测试题（一）极限、连续部分（答案）一、选择题（每小题3分，共21分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。
A 1sin x xB 1x e C ln x D 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（C ）。
A 连续点B 第一类非可去间断点C 可去间断点D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。
A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（A ）。
A -1B 0C 1D 25、极限201lim cos 1x x e x →--等于（D ）。
A ∞B 2C 0D -2 6、设函数11()1x x f x e-=-则（D ）。
A x=0,x=1都是()f x 的第一类间断点.B x=0,x=1都是()f x 的第二类间断点C x=0是()f x 的第一类间断点，x=1是()f x )的第二类间断点.D x=0是()f x 的第二类间断点，x=1是()f x 的第一类间断点. . D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 0lim ()x f x →=∞，所以x=0为第二类间断点；1lim ()0x f x +→=，1lim ()1x f x -→=-，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). 【评注】 应特别注意：1lim 1x x x +→=+∞-，1lim 1x xx -→=-∞- 从而+∞=-→+11lim x xx e，.0lim 11=-→-x x x e7已知lim()9xx x a x a→∞+=-，则a =( C ).； B.∞； C.ln 3； D.2ln3.二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x→∞-=2e -2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=33、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =04、 111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+=15、 若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→=1三、解答题1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞--- 解：原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++•••=•= 2、（6分）计算极限 30tan sin lim x x xx →-解：原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===3、（7分）计算极限 123lim()21x x x x +→∞++ 解：原式= 11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++ 4、（7分）计算极限 01sin 11x x x e →+--解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++6、（8分）设3()32,()(1)nx x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。
吴第8章多元函数微分学-习题课
【解】 lim f(x,y)0f(0,0)所以f 在(0,0)点连续,故否B .
x 0
y 0
f( x ,0 ) f( 0 ,0 ) x 2 s1 ix n 2 ) (
f x ( 0 ,0 ) l x 0 im x
lim 0 x 0 x
fy (0 ,0 ) ly 0 ifm (y ,0 ) yf(0 ,0 ) ly 0 iy m 2 sy i 1y n 2 ) ( 0 偏导数存在, 否A .
第八章 习题课
多元函数微分法及其应用
一、关于多元函数极限的题类 二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类 三、关于复合函数求导、隐函数求导，全微分计算题类 四、关于多元函数极(最)值的题类
一、关于多元函数极限的题类
【例1】 求
lim
x0
xy x2 y2
y0
【解】
xy
lim
x 0
x2
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
【解Ⅰ】公式法
抽象函数隐函数求导
令F(x,y,z)x2z2y(fz), y
则
Fz
2zf(z), y
Fyf(zy)zyf(zy),
z y
Fy Fz
yf( z) zf ( z)
y
y
2yz yf(z)
.
y
【例8】 设x2z2y(fz)其 , f中 可微z， . 求
y
y
抽象函数隐函数求导
【解Ⅱ】（求导直接法） z是x,y的函数
zyz 两边同时对y求导 2zyzf(zy)yf(zy)yy2 ,
yf(z) zf (z)
解得
多元函数微分学练习题及解答
是曲面在点 处的一个法向量，从而该点处曲面的切
平面方程为 又点 在曲面上，
故切平面方程可以化简为 。其在三坐标轴上的截距为 ，
，从而切平面与三坐标面围成的四面体体积为 。
2）当 最大时，体积就最小，又由于点 是椭球面的第一卦限部分曲面上任取一点，所以问题就化为求函数
在
条件 之下的最大值，为此作拉格朗日函数
1） ；
2）可能极值点唯一，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值一定在这唯一
可能的极值点处取到。
3）曲面上的点 与两定点P（1，0，1）和Q（2，0，1）的距离平方和为最小。
31、椭球面 的第一卦限部分曲面上的切平面与三坐标
面围成一四面体，试求这种四面体体积的最小值。
[解]：1）设点 是椭球面 的第一卦限部分曲面上的一点。
[Hale Waihona Puke ]：。13、设 ，，求 。
[解1]：由多元复合函数的求导公式知：
；
[解2]：将 代入方程 中，则函数化为 一元复合函数，
利用一元复合函数的求导公式知 。
14、设 而 ，求 。
[解]：由多元函数的求导公式： ， 。
，
同理 。
15、 求
[解]：设 则
； ；
，由多元隐函数的求导公式：
；
。
16、设 ，其中 是可微函数，求 。
1）
函数 在点 处方向导数的最大值
2）相应的方向就是 方向，即向量 的方向。
33、求函数 在曲线 上点 处沿曲线在该点的切线正方向（对应
增大的方向）的方向导数
[解]： 对应于 ，
1）先求出满足题目要求的切线的方向向量
在 处切线的方向向量为
， ，
多元函数微分学习题课
多元函数微分学习题课1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+ϕ，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。
2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→xy y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→kk x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。
（2）证明极限yx xy y x +→→00lim 不存在。
3．证明⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。
4.试确定α的范围，使0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→yx y x y x α。
5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？（2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？6.设F (x ,y )具有连续偏导数,已知方程0,(=z y z x F ，求dz 。
7.设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数,且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2。
8.设)(u f z =，方程⎰+=x y t d t p u u )()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ可微，)(),(u t p ϕ'连续，且1)(≠'u ϕ，求yz x p x z y p ∂∂+∂∂)()(。
9.设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求yz x z ∂∂∂∂,。
10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数,又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定：2=-xy e xy ，dt t t e zx x ⎰-=0sin ，求dxdu 。
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习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）
一．累次极限与重极限
例.1
=
例.2
例.3
，证明：
，而二重极限
不存在。
一般结论：
重极限与累次极限没有关系
重极限
与累次极限
均存在，则有
=
均存在但不等，
不存在
二．多元函数的极限与连续，连续函数性质
例.4 求下列极限：
（1）
； （2）
;
（3）
； （4）
；
（5）
。
例.5 证明：极限
．
例.6 若
在
上连续, 且
, 证明 函数
在
上一定有最小值点。
例.7
在
上连续,且
(1)
时,
(2)
例.8 若
在
点的某个邻域内有定义，
，且
为常数。证明：
（1）
在
点连续；
（2）若
，则
在
点连续，但不可微；
（3）若
，则
在
点可微。
例.9 函数
在
点是否连续?
(填是或否)；在
点是否可微? (填是或否)．
三．多元函数的全微分与偏导数
例.10 有如下做法：
设
其中
在
点连续, 则
令
,
.
(1)指出上述方法的错误；
(2)写出正确的解法.
例.11 设二元函数
于全平面
上可微，
为平面
上给定的一点，则极限
。
例.12 设函数
在
点可微，
，
，
，
，求
。
例.13 设
其中
，求
和
。
例.14 设
定义在矩形区域
上的可微函数。证明:
（1）
;
（2）
例.15
为整数，若任意
，则称
是
次齐次函数。证明：
是零次齐次函数的充要条件是
例.16 下列条件成立时能够推出
在
点可微,且全微分
的是（ ）.
(A) 在点
两个偏导数
(B)
在点
的全增量
,
(C)
在点
的全增量
(D)
在点
的全增量
例.17 设
,则在
点( B )
(A) 连续,但偏导数不存在； (B) 偏导数存在,但不可微；
(C) 可微； (D) 偏导数存在且连续.
例.18 设
，求
.
例.19
，则
例.20 设函数
，证明
．
例.21 设函数
，求
及
．
例.22 若函数
有二阶导数，设函数
，求
．
例.23 设函数
，求
，
，
例.24 设
其中
，求
和
。
*多元复合函数
设二元函数
在点
处偏导数连续，二元函数
在点
处偏导数连续, 并且
, 则复合函数
在点
处可微，且
*多元函数微分形式的不变性：设
，均为连续可微，则将
看成
的函数，有
计算
，代人，
我们将
叫做微分形式不变性。
例.25 设
，求
。
例.26 已知
，求
.
例.27 设
定义在
上, 若它对
连续,对
的偏导数在
上有界, 证明
连续．