简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词同步练习题(学生版)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词同步练习题一、选择题1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A ．所有奇数都是质数B ．2,11x R x ∀∈+≥ C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数 D ．每个函数都有反函数2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>03．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 04．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是( )A ．所有被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除5.设p 、q 是简单命题，则“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的 ( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列命题中真命题的个数是 ( )①∀x ∈R ，x 4＞x 2 ②若p ∧q 是假命题，则p 、q 都是假命题③命题“∀x ∈R ，x 3＋2x 2＋4≤0”的否定为“∃x 0∈R ，x 30＋2x 20＋4＞0”A.0B.1C.2D.37.命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是 ( )A.不存在x 0∈R,2x 0>0B.存在x 0∈R,2x 0≥0C.对任意的x ∈R,2x ≤0D.对任意的x ∈R,2x >08.下列命题是真命题的为( ) A ．若11x y =,则x y = B ．若21x =,则1x = C ．若x y =,=．若x y <,则 22x y <9.命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是( ) （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R,2x >010. 下列命题中的假命题是( )A ．∀x R ∈,120x ->2x-1>0 B. ∀*x N ∈,2(1)0x -> C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x = 11. 命题“方程1=x 的解是1±=x ”中，使用逻辑词的情况是（ ）A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“或”C. 使用了逻辑联结词“且”D. 使用了逻辑联结词“或”与“且”12．已知命题x x R x p sin ,:>∈∀，则p 的否定形式为 （ ）A ．x x R x p sin ,:<∈∃⌝B ．x x R x p sin ,:≤∈∀⌝C ．x x R x p sin ,:≤∈∃⌝D ．x x R x p sin ,:<∈∀⌝13.已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1B ．¬p：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．¬p：∃x 0∈R ，sin x 0>1D ．¬p：∀x ∈R ，sin x >114.若p 是真命题，q 是假命题，则( )．A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题15. 命题p ：“不等式01≥-x x 的解集为}10|{≥≤x x x 或”；命题q ：“不等式42>x 的解集为}2|{>x x ”，则（ ）A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．命题“p 且q ”为真D ．命题“p 或q ”为假 16.命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈⊆则在下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中正确的的个数为（ ）A ．2 B.3 C.4 D ．517.下列说法错误的是： （ ）A ．命题“2430,3x x x -+==若则”的逆否命题是：“23,430x x x ≠-+≠若则”. B ．“x>1”是“x 0>”的充分不必要条件. C ．若p 且q 为假命题，则p q 、均为假命题.D ．命题”使得“01:2<++∈∃x x R x p ，则”均有“01,:2≥++∈∀⌝x x R x p .18.下列命题中的假命题是 ( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >019.命题“∀x >0，x 2＋x >0”的否定是 ( )A ．∃x >0，x 2＋x >0B ．∃x >0，x 2＋x ≤0C ．∀x >0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x >020.下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题21.下列命题中，不是真命题的为( )A ．“若b 2－4ac >0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根”的逆否命题B ．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C ．“x 2＝9则x ＝3”的否命题D ．“对顶角相等”的逆命题22．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤223.下列命题中是真命题的是( )A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a <b ，则1a >1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 24．下列命题中真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”．A ．0B ．1C ．2D ．325.下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件26．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题27．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0.”若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}C ．{a |a ≥1} D．{a |－2≤a ≤1}28．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③29.已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件30.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件二、填空题31. 命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 32.命题“0,x ∃<有20x >”的否定是 . 33．“△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题是 ____ ___ ________．34．命题“∃x ∈R ，x ≤1或x 2>4”的否定是__________________．35．下列命题中真命题的个数为__________．①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②q ：所有的正方形都是矩形； ③r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0.36.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是 .三、解答题37.已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：|1－x2|<1.若p 是真命题， q 是假命题，求实数x 的取值范围．38．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0，对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．P。
高中数学高考总复习--简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词巩固练习题(含答案解析)
则
,所以
,故原命题为真.
逆命题：若
,则 互为共轭复数. 显然逆命题为假命题.
否命题：因为否命题与逆命题的真假相同，所以否命题为假命题.
逆否命题：因为逆否命题与原命题的真假相同，所以逆否命题为真命题 故答案为 B.
4.A
【解析】“至少有一个”的否定是“没有”故答案为 A
5.A
【解析】依题意 p 假、q 真，所以 p q 为真，故答案为 A.
4.（2014 山东高考）用反证法证明命题：“已知 a,b 为实数，则方程
个实根”时，要做的假设是（）
A．方程
没有实根
B．方程
至多有一个实根
C．方程
至多有两个实根
D．方程
恰好有两个实根
至少有一
5.（2014 辽宁高考）设 a , b , c 是非零向量，已知命题 p：若 a b 0 ， b c 0 ，则 a c 0 ；命
7．命题 p: 0 不是自然数，命题 q: 2 是无理数，则在命题“p 且 q”，“p 或 q”,"非 p"，“非 qபைடு நூலகம் 中真命题是________，假命题是_________．
8．下列命题：①若 xy=1，则 x、y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是 梯形；④若 ac2＞bc2，则 a＞b，其中真命题的序号是________。
高中数学高考总复习--简单的逻辑联结词、全称量词与存在
性量词巩固练习题（含答案解析）
【巩固练习】
一、选择题
1．下列特称命题中真命题的个数是（ ）
① x R ，x≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数
③ x ∈{x|x 是无理数}，x2 是无理数
45 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-艺考生文化课百日冲刺
（四十五） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．若p 是真命题，q 是假命题，则q p A ∧⋅是真命题 q p B ∨⋅是假命题 p C ⌝.是真命题 q D -⋅是真命题2．给出下列四个命题：;0432,2>+-∈∀x x R x ①+-∈∀x x 2,.},1,1{②;01>,N x ∈∃③使*,;2N x x x ∈∃≤④使x 为29的约数．其中正确的命题有A.l 个B.2个C.3个D.4个3．下列命题中，真命题是2cos sin ],2,0[.≥+∈∃x x x A π12),,3(.2+>+∞∈∀x x x B 1,.2-=+∈∃x x R x C x x x D sin tan ),,2(.>∈∀ππ 4．已知命题p ：集合i N n ix x n ,,|{12∈=+为虚数单位}只有3个真子集；q:集合},1|{2R x x y y ∈+=与集合}1|{+=x y x 相等．则复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非g 中，真命题有A.O 个B.l 个 G.2个 D.3个5．设集合},0|{},02|{<∈=>-∈=x R x B x R x A =C },0)2(|{>-∈x x R x 则”是“B A x ∈ ”“C x ∈的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列命题是真命题的有;041,:2≥+-∈∀x x R x p ① ②q ：所有的正方形都是矩形； ;022,:2≤++∈∃x x R x r ③ ④ S ：至少有一个实数x ，使.012=+xA.l 个B.2个C.3个D.4个7．命题“存在,z x ∈使,,022≤++m x x 的否定是A ．存在,Z x ∈使022>++m x xB ．不存在,z x ∈使022>++m x xC ．对任意02,2≤++∈m x x Z xD ．对任意02,2>++∈m x x Z x8．命题p ：若,,R b a ∈则0=ab 是0=a 的充分条件，命题q ：函数3-=x y 的定义域是),,3[+∞则∨p ””、“∧”、“p q p q ⌝中是真命题的有 9．给出以下命题：①有一个α，使得;tan )90tan(αα=- ②存在实数x ，使得;2sin π=x ③对一切=-)180sin(,ααo;sin α,4560cos 45cos 60sin 15sin o o ms -=④其中既是真命题，又是存在性命题的是 10.已知命题,032,:2>++∈∀x ax R x p 如果命题p ⌝是真命题，那么实数a 的取值范围是11.若,01:)(,cos sin :)(2>++>+mx x x s m x x x r 如果对任意的)(,x r R x ∈为假命题且)(x s 为真命题，则实数m 的取值范围是。
高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习
高考第一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习一、选择题1．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列选项正确的是( )．A ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为真B ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为真C ．“p 或q ”为假，“p 且q ”为假，“p ”为假D ．“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ”为假2．下列命题中，正确的是( )．A ．命题“任意的x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 2－x ≥0”B ．命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的必要不充分条件C ．“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”的否命题为真D ．若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π43．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，设h (x )＝f (x )g (x )，则下列说法不正确的是( )．A ．存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x ) B ．任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎫x －π2＝g (x ) C ．任意的x ∈R ，h (－x )＝h (x )D ．任意的x ∈R ，h (x ＋π)＝h (x )4．(2011广东深圳调研)若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则( )．A ．命题p 不一定是假命题B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 与命题q 同真同假5．若命题p ：任意的x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤－3或a ≥2B ．a ≥2C ．a ＞－2D ．－2＜a ＜26．下列命题：①任意的x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：任意的x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：存在x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p 且(q )是真命题．其中真命题为( )．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题7．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：任意的x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0.若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是__________．8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__________．9．(2012江西赣州联考)设有两个命题：p ：不等式21+4>>23xm x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭对一切实数x 恒成立；q ：f (x )＝－(7－2m )x 是R 上的减函数，如果“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)存在x 0∈R ，2040x －＝；(2)任意的T ＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T )＝sin x ；(3)集合A 是集合A ∪B 或A ∩B 的子集；(4)a ，b 是异面直线，存在A ∈a ，B ∈b ，使AB ⊥a ，AB ⊥b .11．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．12．已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式200220x ax a ＋＋，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1．D 解析：因为p 真，q 假，由含有逻辑联结词的命题的真值表可以判断，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，p 为假．2．C 解析：A 中否定不能有等号，B 中命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的充分不必要条件，D 中概率计算错误，故选C.3．C 解析：对于A ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x ，g (x )＝sin x ，若f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )， 只需sin x ＝0，即x ＝k π，k ∈Z ，故存在x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )； 对于B ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ＝g (x )，即任意的x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝g (x )，故B 正确； 对于C ，由于h (x )＝f (x )g (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 为奇函数， 即h (－x )＝－h (x )，故C 不正确；对于D ，由h (x )＝12sin 2x 知，其最小正周期为π，故D 正确． 综上，A ，B ，D 正确，C 不正确，故选C.4．B 解析：命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则p 为假命题，q 为真命题．5．B 解析：依题意，a ＋2＞0且Δ＝16－4(a ＋2)(a －1)≤0，解得a ≥2.6．A 解析：由x 2＋2x ＞4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知，要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立，需要x ＞1，故②正确；由a ＞b ＞0得0＜1a ＜1b ，又c ＜0，可得c a ＞c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 为真命题，所以p 且(q )为假命题，所以选A.二、填空题7．⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1 解析：p ：由c 2＜c 得0＜c ＜1； q ：由Δ＝16c 2－4＜0，得－12＜c ＜12. 要使p 和q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 8．[3,8) 解析：p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.∵p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴3≤m ＜8.9．1＜m ＜3 解析：p 为真命题，则有1＜m ≤4；q 为真命题，则有7－2m ＞1，即m ＜3，∴1＜m ＜3.三、解答题10．解：它们的否定及其真假分别为：(1)任意的x ∈R ，x 2－4≠0(假命题)．(2)存在T 0＝2k π(k ∈Z )，sin(x ＋T 0)≠sin x (假命题)．(3)存在集合A 既不是集合A ∪B 的子集，也不是A ∩B 的子集(假命题)．(4)a ，b 是异面直线，任意的A ∈a ，B ∈b ，有AB 既不垂直于a ，也不垂直于b (假命题)．11．解：由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4>0，x 1＋x 2＝－2m >0 得m ＜－1，∴p ：m ＜－1；由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0知－2＜m ＜3，∴q ：－2＜m ＜3.由p 或q 为真，p 且q 为假可知，命题p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2<m <3，此时－1≤m ＜3. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．12．解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 02＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a ＞2或a ＜－2，即a 的取值范围为{a |a ＞2或a ＜－2}．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词训练题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词训练题一、题点全面练1．(2019·河南质量监测)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8x B ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16＜8x C ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0 D ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16＜8x 0解析：选C 全称命题的否定为特称命题，故命题p 的否定綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0.故选C.2．已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈R ，e x>0 B ．∀x ∈N ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin πx 02＝1解析：选B 对于选项A ，由函数y ＝e x的图象可知，∀x ∈R ，e x>0，故选项A 为真命题；对于选项B ，当x ＝0时，x 2＝0，故选项B 为假命题；对于选项C ，当x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1＜1，故选项C 为真命题；对于选项D ，当x 0＝1时，sin π2＝1，故选项D 为真命题．综上知选B.4．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy . 下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈p解析：选B 当x ＝π2，y ＝π时，满足sin x >sin y ，但x ＜y ，∴命题p 是假命题，显然命题q 是真命题．∴p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，q 是真命题，綈p 是真命题．故选B.5．已知命题p：∃x0∈N，使得x30＜x20；命题q：a，b∈R，若|a－1|＝|b－2|，则a－b ＝－1.下列命题为真命题的是( )A．p B．綈qC．p∨q D．p∧q解析：选B 由x3＜x2，得x2(x－1)＜0，解得x＜0或0＜x＜1，在这个范围内没有自然数，所以命题p为假命题；若|a－1|＝|b－2|，则a－1＝b－2或a－1＝－b＋2，即a－b ＝－1或a＋b＝3，故命题q为假命题．故綈q为真命题，p∨q与p∧q为假命题．故选B.6．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＜3x；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解析：选B 由20＝30知，p为假命题；命题q：“x>1”不能推出“x>2”，但是“x>2”能推出“x>1”，所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题．所以(綈p)∧(綈q)为真命题．故选B.7．(2019·佛山一模)已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：①命题p∧q是真命题；②命题p∧(綈q)是假命题；③命题(綈p)∧q是真命题；④命题(綈p)∨(綈q)是假命题．其中正确的结论是( )A．②③B．②④C．③④D．①②③解析：选A ∵52>1，∴命题p是假命题．∵x2＋x＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋122＋34≥34>0，∴命题q是真命题．由真值表可以判断p∧q为假，p∧(綈q)为假，(綈p)∧q为真，(綈p)∨(綈q)为真，所以只有②③正确，故选A.8．(2019·南昌模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真命题的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q解析：选A 命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3，当x 0＝3时，3＋13>3，命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x，当x ＝4时，两式相等，命题为假．则p ∧(綈q )为真，故选A.9．(2019·太原四校联考)给出下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a 0，b 0∈R ，a 20－a 0b 0＋b 20＜0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：选D 对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z)，所以p 3是真命题．所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，则k 的取值范围是________． 解析：“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，当k ＝0时，则有－1＜0；当k ≠0时，则有k ＜0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k ＜0，解得－4＜k ＜0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知命题p ：所有的指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C 命题p ：所有的指数函数都是单调函数，则綈p ：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，22]B ．(22，3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}解析：选A 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2. 3．已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集；命题q ：f (x )＝(2a －5)x在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集，所以当a ＝0时，不满足题意；当a ≠0时，必须满足⎩⎨⎧a >0，Δ＝22－4a ≤0，解得a ≥2.由f (x )＝(2a －5)x在R上满足f ′(x )＜0，可得函数f (x )在R 上单调递减，则0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3.若命题p ∧(綈q )是真命题，则p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) (二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵綈p 为假，∴p 为真，∴“p ∨q 为真”，反之不成立，可能q 为真，p 为假，綈p 为真．∴“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件．故选B.5．[数学抽象]在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )A ．(綈p )∨(綈q )为真命题B ．p ∨(綈q )为真命题C ．(綈p )∧(綈q )为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选A 命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题綈p 是“第一次射击没击中目标”，命题綈q 是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(綈p )∨(綈q )为真命题，故选A.6．[数学运算]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解：当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假． ∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a >14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.。
3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习题
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．命题p ：x ＝π是函数y ＝sin x 图象的一条对称轴；q ：2π是y ＝sin x 的最小正周期，下列复合命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q ，其中真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：由于命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 是真命题，綈q 是假命题，因此①②③④中只有①③为真． 答案：C2．命题“∀x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )． A ．∃x 0＞0，x 20＋x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2＋x ≤0D ．∀x ≤0，x 2＋x ＞0解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x 0＞0，x 20＋x 0≤0. 答案 B3．ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C. 答案 C4．下列命题中是假命题的是( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：对A ，当m ＝2时，f (x )＝1x是幂函数且在(0，＋∞)上递减；对B ，由于Δ＝1＋4a >0，故f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点；对C ，当α＝π4，β＝0时，有cos(π4＋0)＝cos π4＋sin0；对D ，当φ＝π2时，f (x )是偶函数，故D 是假命题．答案：D5.“220a b +≠”的含义为（）A．,a b不全为0B．,a b全不为0C．,a b至少有一个为0 D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0解析:,022==⇔=+baba,于是220a b+≠就是对0,0==ba即ba,都为0的否定, 而“都”的否定为“不都是”或“不全是”,所以应该是“,a b不全为0”.答案：A6．下列命题错误的是( )．A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C7．已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是( )．A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]解析(直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案 A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题8．若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析 因为“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2. 答案 －22≤a ≤2 29．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________． 解析：依题意p 假，q 真，所以p ∨q ，非p 为真． 答案：p ∨q ，綈p10.若∀a ∈(0，＋∞)，∃θ∈R ，使asin θ≥a 成立，则cos(θ－π6)的值为 .解析：∵∀a ∈(0，＋∞)，asin θ≥a ， ∴sin θ≥1，又sin θ≤1，∴sin θ＝1，∴θ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴cos (θ－π6)＝sin π6＝12.答案：1211．令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立， 当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立， 当a ≠0时，若不等式恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1.答案 a ＞112．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞三、解答题13．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； 命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立． 若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增； ∴0<a <1.又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即－2<a ≤2.∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤214．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|＞0.解 (1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．15．已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对∀x∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.16.已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求a 的取值范围. 解析：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，|a2|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为a>2或a<－2.。
高考数学一轮复习专题训练—简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.3.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥04.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝x cos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.綈pB.qC.p∧qD.p∧(綈q)答案 D解析根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝x cos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－x cos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q 为假命题，p∧(綈q)为真命题.5.(2021·郑州质检)已知命题p：∀x>0，3x>1；命题q：若a<b，则a2<b2，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)答案 B解析p：∀x>0，3x>1为真命题，则綈p为假命题，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以q为假，綈q为真命题，因此p ∧(綈q )为真命题.6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x ＋1x ≥2”是假命题的x 的值可以是________(写出一个即可). 答案 －1(任意负数) 解析 当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号， 当x <0时，x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号， ∴x 的取值为负数即可，例如x ＝－1.考点一 含有逻辑联结词的命题1.(2020·西安检测)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：m ，n 是直线，α为平面，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n .下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧(綈q ) C.(綈p )∧q D.(綈p )∧(綈q )答案 B解析 若a >|b |，则a 2>b 2，∴p 真，对于命题q ：由m ∥α，n ⊂α，则m 与n 异面或平行，∴q 假，则綈q 为真，因此p ∧(綈q )为真命题.2.(2021·成都调研)已知命题p ：函数y ＝2sin x ＋sin x ，x ∈(0，π)的最小值为22；命题q ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0.下列命题为真命题的是( ) A.(綈p )∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题.3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q答案 A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.答案 ①③④解析 p 1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p 1为真命题；p 2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p 3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p 2，綈p 3， 綈p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题. 感悟升华 1.“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假.2.p ∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p ∨q 形式是“一真必真，全假才假”，綈p 与p 的真假性相反.考点二 全称量词与存在量词【例1】 (1)(2021·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0 D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0 (2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x，命题q ：∃x ∈R ，2x ＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 (1)C (2)A解析 (1)当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1. 此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0. (2)由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图象的位置关系， 知∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x成立，p 为真命题. 又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ，即x ＝12时，上式取等号，则q 为真命题.因此p ∧q 为真命题.感悟升华 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：∀f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( )A.∀f (x )∈A ，|f (x )|∉BB.∀f (x )∉A ，|f (x )|∉BC.∃f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.∃f (x )∉A ，|f (x )|∉B(2)(2020·兰州诊断)已知命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”；命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.綈q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧q答案 (1)C (2)A解析 (1)全称命题的否定为特称命题需：改写量词，否定结论. ∴綈p ：∃f (x )∈A ，|f (x )|∉B .(2)命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”，故命题p 是真命题.命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，为真命题. 故p ∧q 为真命题，其余为假命题. 考点三 由命题的真假求参数【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A.1 B.－1 C.2D.－2(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)D (2)⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 (1)因为綈p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )∧q 为真，所以綈p 与q 同时为真. 由2x≥3x，得⎝⎛⎭⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.【迁移】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______________________________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对∀x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.感悟升华 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练2】 (2021·豫北名校联考)已知p ：函数f (x )＝x 2－(2a ＋4)x ＋6在(1，＋∞)上是增函数，q ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2a －3>0，若p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－1]解析 依题意，p 为真命题，綈q 为真命题. 若p 为真命题，则2a ＋42≤1，解得a ≤－1.①若綈q 为真命题，则∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋2a －3≤0成立. ∴a 2－4(2a －3)≥0，解之得a ≥6或a ≤2.②结合①②，知a ≤－1，即实数a 的取值范围是(－∞，－1].A级基础巩固一、选择题1.命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为()A.∀x>1，x2－1≤0B.∀x≤1，x2－1≤0C.∃x0>1，x20－1≤0D.∃x0≤1，x20－1≤0答案 C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p：∃x0>1，x20－1≤0.2.(2020·贵阳检测)给出两个命题：p：“事件A与事件B对立”的充要条件是“事件A与事件B 互斥”；q：偶函数的图象一定关于y轴对称，则下列命题是假命题的是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∨qD.(綈p)∧q答案 B解析由于“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件，故命题p 是假命题.又q为真命题，因此p∨q，(綈p)∨q，(綈p)∧q均为真命题，p∧q为假命题.3.命题“∃x0∈R，1<f(x0)≤2”的否定形式是()A.∀x∈R，1<f(x)≤2B.∃x0∈R，1<f(x0)≤2C.∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)>2D.∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为：∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2. 4.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.5.命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p ∧q B.p ∨q C.p ∧(綈q ) D.綈q 答案 B解析 由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)， 所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题，綈q 为真命题.所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题.6.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1， 命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞).7.已知命题p ：∀x >0，e x >x ＋1，命题q ：∃x ∈(0，＋∞)，ln x ≥x ，则下列命题正确的是( ) A.p ∧q B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧(綈q )答案 C解析 令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时， f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0，即e x >x ＋1，则命题p 真； 令g (x )＝ln x －x ，x >0，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0， 即当x ＝1时，g (x )取得极大值，也是最大值， 所以g (x )max ＝g (1)＝－1<0，∴g (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q 假， 因此綈q 为真，故p ∧(綈q )为真.8.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A.[e ，4]B.(－∞，e]C.[e ，4)D.[4，＋∞)答案 A解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是____________. 答案 ∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0解析 命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0”.10.若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________. 答案 1解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3. ∵“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1. ∴实数m 的最大值为1.11.下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ， sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________. 答案 p 1，p 4解析 ∀x ∈R ，2x >0恒成立，∴p 1是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题.由sin ⎝⎛⎭⎫－32π＝1>2－32π，∴p 3是假命题. 取x ＝－12时，cos ⎝⎛⎭⎫－12>cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝32， 但x 2＋x ＋1＝34<32，∴p 4为真.综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题.12.(2021·安徽六校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________. 答案 (－∞，1]解析 “∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题等价于“∀x ∈R ，都有k ≤x 2＋1恒成立”是真命题.因为x 2＋1≥1，即x 2＋1的最小值为1，要使k ≤x 2＋1恒成立，只需k ≤(x 2＋1)min ，即k ≤1.B 级 能力提升13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20 答案 D解析 改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q . 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④答案 A解析 由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，綈p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题綈q 为真命题；∴p ∨q 为真，綈p ∨q 为假，p ∧綈q 为真，綈p ∧綈q 为假. 故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q ). 答案 ②解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题，命题綈p 为真命题； 当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－f ⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，命题綈q 为假命题； 逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.16.已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.答案(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，得Δ＝m2－4<0，可得－2<m<2，若p∧q为真命题，则－2<m≤－1，因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词综合练习题(基础、好用、值得收藏)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词综合练习题一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是() A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为假D．p∨q为真3．下列命题中是假命题的是()A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数B．∀a＞0，函数f(x) ＝ln2x＋ln x－a有零点C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βD．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(x＋φ)都不是偶函数4．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x0∈R，f(x0)≤f(x1) B．∃x0∈R，f(x0)≥f(x1)C．∀x∈R，f(x)≤f(x1) D．∀x∈R，f(x)≥f(x1)5．已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q 为假命题，p∨q为真命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2 B．m≤－2或－1＜m＜2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2二、填空题6．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．7．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．8．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.若∃x0∈R使f(x0)＜b·g(x0)，则实数b的取值范围是________．三、解答题9．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．10．(2013·清远质检)已知a＞0，命题p：∀x＞0，x＋ax≥2恒成立；命题q：∀k∈R，直线kx－y＋2＝0与椭圆x2＋y2a2＝1有公共点．是否存在正数a，使得p∧q为真命题，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由．11．(2013·广东五校联考)设p：f(x)＝2x－m在区间(1，＋∞)上是减函数；q：x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个实根，不等式m2＋5m－3≥|x1－x2|对任意实数a∈[－1，1]恒成立．若綈p∧q为真，试求实数m的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】特称命题的否定是全称命题，原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”【答案】 B2．【解析】p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．【答案】 C3．【解析】当m＝2时，f(x)＝x－1是幂函数，故A正确．对于B，令ln2x＋ln x－a＝0，当a＞0时，Δ＝1＋4a＞0，函数f(x)有零点，故B正确．当α＝－π4，β＝π2时，cos(α＋β)＝cosα＋cos β，故C正确．当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )＝sin(x ＋φ)是偶函数，D 错误．【答案】 D4．【解析】 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，知f ′(x )＝2ax ＋b .依题意f ′(x 1)＝0，又a ＞0，所以f (x )在x ＝x 1处取得极小值．因此，对∀x ∈R ，f (x )≥f (x 1)，C 为假命题．【答案】 C5．【解析】 依题意，p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎨⎧m ＋1≤0，m 2－4≥0，解得m ≤－2， 若p 假q 真，则⎩⎨⎧m ＋1>0，m 2－4<0，解得－1<m <2， 综上，m ≤－2或－1<m <2.【答案】 B二、填空题6．【解析】 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0无实根”．【答案】 存在k ＞0，方程x 2＋x －k ＝0无实根7．【解析】 ∵命题p 是假命题，命题q 是真命题．∴綈p 是真命题，綈q 是假命题，∴p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∨綈q 是假命题，綈p ∧q 是真命题．【答案】 ①④8．【解】 ∵∃x 0∈R ，f (x 0)＜b ·g (x 0)，∴∃x 0∈R ，x 20－bx 0＋b ＜0，∴Δ＝(－b )2－4b ＞0，解得b ＜0或b ＞4.因此实数b 的取值范围是b ＜0或b ＞4.【答案】 b ＜0或b ＞4三、解答题9．【解】 由“p 且q ”是真命题，则p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，a ≤x 2恒成立，由x ∈[1，2]，知x 2≥1，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2， 综上，实数a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.10．【解】 对∀x ＞0，∵x ＋a x ≥2a ，(a ＞0)，所以要使x ＋a x ≥2恒成立，应有2a ≥2，∴a ≥1.∀k ∈R ，直线kx －y ＋2＝0恒过定点(0，2)，要使直线kx －y ＋2＝0与椭圆x 2＋y 2a 2＝1有公共点， 应有22a 2＋02≤1，解得a ≥2.若p ∧q 为真命题，则p 与q 都为真命题，因此⎩⎨⎧a ≥1a ≥2，所以a ≥2. 综上，存在a ≥2，使得p ∧q 为真命题．11．【解】 ∵f (x )＝2x －m在(1，＋∞)上是减函数， ∴m ≤1，即当p 为真命题，m ≤1.q ：|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，∴m ≥1或m ≤－6.若綈p ∧q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎨⎧m ＞1，m ≥1或m ≤－6⇒m ＞1.。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.答案 doc
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，否命题是“若綈p ，则綈q ”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)若命题p ，q 中至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )(5)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) 题组二 教材改编2．[P18B 组]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是_______________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由綈p 为真知，p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中， 为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0 D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈q 答案 B 解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x >0，得0<13x ＋1<1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题．故选B.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题． ∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假． 其中，正确的是________．(填序号)答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假典例 (2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＞0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫130x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R,1＜f (x )≤2B ．∃x 0∈R,1＜f (x 0)≤2C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D 解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”．思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32 B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B. (2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ， －x 0－1≤0”，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ， －x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ， －x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C 解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 [－12，－4]∪[4，＋∞) 解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真，∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是______答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞) D ．(－3,1) 答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D D ．[－2,2] 答案 A 解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时， 则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. 常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断0e x 0e x 0e x典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立． 答案 B(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p ：∀x ∈R,3x <5x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 若x ＝0，则30＝50＝1，∴p 是假命题，∵方程x 3＝1－x 2有解，∴q 是真命题，∴(綈p )∧q 是真命题．二、充要条件的判断：典例2 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则下列说法正确的是( )A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析 x 2＋xx －1≥0等价于x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x >1.由log 3(2x ＋1)≤0，得0<2x ＋1≤1，得－12<x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0. 答案 (－∞，0]课时达标 第3讲一、选择题1．(2016·浙江卷)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2D 解析 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．故选D.2．(2019·北京朝阳期中)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0；命题q ：在曲线y ＝cos x 上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题解析 易知命题p 是真命题，对于命题q ，y ′＝－sin x ，设切点坐标为(x 0，cos x 0)，则切线斜率k ＝－sin x 0≠2，即不存在x 0∈R ，使得－sin x 0＝2，所以命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故C 项正确．3．(2019·忻州二中期末)已知命题p ：x ＞2是x 2＞4的充要条件，命题q ：若a c 2＞b c2，则a ＞b ，那么( )A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假 A 解析 由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，根据真值表可知A 项正确． 4．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(綈q )是假命题C ．命题(綈p )∨q 是真命题D ．命题(綈p )∧(綈q )是假命题D 解析 取x 0＝π4，有tan π4＝1，故命题p 是真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故命题q 是假命题．再根据复合命题的真值表，知D 项正确．5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D 解析 命题p 的否定是綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0成立，即不等式ax 2＋ax ＋1<0有解．当a ＝0时，1<0，不等式无解；当a ＞0时，要使不等式有解，则a 2－4a >0，解得a >4；当a ＜0时，不等式显然有解．综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D.6．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0,2]C ．RD ．∅B 解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是[0,2]． 二、填空题7．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0.答案 08．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由题可知“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a )2－4×2×9≤0，解得－22≤a ≤2 2. 答案 [－22，22]9．(2019·黄冈中学期中)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，sin x ＝－1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0；则命题p ∧(綈q )是假命题； ②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③ 三、解答题10．(2019·岳阳一中月考)已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．解析 (1)设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≥5，1－m ≤－1，解得m ≥4.故实数m 的取值范围为[4，＋∞)．(2)根据条件可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x >6或x <－4，无解．当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧x >5或x <－1，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[－4，－1)∪(5,6]．11．(2019·忻州二中期中)已知命题p ：存在a ＞0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减；命题q ：存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0.若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．解析 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，所以0＜a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根．所以Δ＝[－16(a －1)]2－4×16＜0，所以12＜a ＜32.因为命题p ∧q 为真命题，所以命题p ，q 都为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，12＜a ＜32，所以12＜a ≤1.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1. 12．已知命题p ：∃x ∈[0,2]，log 2(x ＋2)＜2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解析 令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )最小值为f (0)＝1，故若p 为真，则2m ＞1，m ＞12；对于q ：Δ＝4－12m 2＞0，即m 2＜13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，所以－33＜m ＜33. (1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，故－33＜m ≤12，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m ＞12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33； 若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33＜m ＜33，即－33＜m ≤12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.13．[选做题]命题p ：f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q ：正数x ，y 满足x ＋2y ＝8，且a ≤2x ＋1y恒成立，若p ∨(綈q )为假命题，求实数a 的取值范围．解析 当a ≤0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ≤2，解得－1≤a ≤0； 当0<a <1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1≤2，解得0<a <1； 当a ≥1时，f (x )max ＝f (1)＝a ≤2，解得1≤a ≤2. 所以使命题p 为真的a 的取值范围是[－1,2]． 由x ＋2y ＝8得x 8＋y4＝1，又x ，y 都是正数，所以2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 8＋y 4＝12＋⎝⎛⎭⎫x 8y ＋y 2x ≥12＋2x 8y ·y2x＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 8y ＝y 2x ，x ＋2y ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，等号成立，故⎝⎛⎭⎫2x ＋1y min ＝1.因为a ≤2x ＋1y 恒成立，所以a ≤1，所以使命题q 为真的a 的取值范围是(－∞，1]．因为p ∨(綈q )为假命题，所以p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，a ≤1，则a <－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．。
限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·长沙模拟)设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是( )A ．p 、q 中至少有一个为真B ．p 、q 中至少有一个为假C ．p 、q 中有且只有一个为真D ．p 为真，q 为假2．下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>03．(2013·揭阳模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧綈q 是真命题C ．命题綈p ∧q 是真命题D ．命题綈p ∨綈q 是假命题4．已知命题p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0＝12，则綈p 为( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ＝12B ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x ≠12C ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0≠12D ．∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin x 0>125．(2013·青岛模拟)设α、β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，且m ⊂α，n ⊂β，有两个命题，p ：若m ∥n ，则α∥β；q ：若m ⊥β，则α⊥β.那么( )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题6．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，02x ＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p 、q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．②D ．④二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________．8．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”中是真命题的有________．9．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q ：∀x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根；(2)r ：有些素数是奇数；(3)s ：∃x 0∈R ，|x 0|>0.11．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，02x ＋2ax 0＋2－a ＝0，若“p且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．12．设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为∅，命题q ：函数f (x )＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －2)x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求a 的取值范围．限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词答 案1．C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C7．∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤38．p ∨q ，綈p 9.[－8,0]10．解：(1)綈q ：∃x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题．(2)綈r ：每一个素数都不是奇数，假命题．(3)綈s ：∀x ∈R ，|x |≤0，假命题．11．解：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题． p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1， 所以命题p ：a ≤1；q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0， 只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2，所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥1或a ≤－2得a ＝1或a ≤－2 故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2.12．解：①若p 正确，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，得a >1.②若q 正确，则ax 2＋(a －2)x ＋98>0解集为R . 当a ＝0时，－2x ＋98>0不合题意，舍去； 当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，(a －2)2－4a ×98<0， 解得12<a <8. ③∵p 和q 中有且仅有一个正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，12<a <8，∴a ≥8或12<a ≤1.。
高三数学一轮复习简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词提分训练题
q：方程 4x2＋ 4( m－ 2) x＋ 1
＝0 无实根．若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，求实数 m的取值范围．
解析 由已知得： p ， q 中有且仅有一个为真，一个为假．
命题 p 为真 ?
Δ >0， x1＋ x2＝－ m<0， ? m>2. x1x2＝ 1>0
命题 q 为真 ? Δ <0? 1<m<3.
且( 非 p2) ，非 p1： x≠0，非 p2： y≠0，故命题 xy＝ 0 的否定是“ x≠０且 y≠0”．
方法 2： xy＝ 0 的否定即 xy≠0，即“ x≠０且 y≠0”．
答案 x≠０且 y≠０
1－ 2m 9．已知命题 p： f ( x) ＝ x 在区间 (0 ，＋∞ ) 上是减函数；命题 q：不等式 ( x－ 1) 2>m的解集为 R.若命题“ p 或 q”为真，命题“ p 且 q”为假，则实数 m的取值范围是
0”的否定为假命题，则实数
a 的取值范围是
________ ．
解析
由“任意
x∈
R，
x
2－
5
x＋
15 2
a＞
0”的否定为假命题，
可知命题“任意
x∈
R，
x
2
－
5
x＋
15 2
a＞
0”必为真命题，
即不等式
x 2－ 5 x＋
15 2 a＞0
对任意实数
x 恒成立．
设
f
(
x)
＝ x2－5x＋
15 2 a，则其图像恒在
C． { x| x＜－ 1 或 x>3， x?Z}
D． { x| － 1＜ x＜ 3， x∈ Z}