3.2.1几类不同增长的函数模型
常见的增长模型
1．线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增
长速度不变．
2．指数函数模型 指数函数(底数a>1) 能利用______________________________ 表达的函数模型 叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函 数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．
4．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个 公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：
“在10天内，我们公司每天捐款 5万元给灾区．”乙公司的代
表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前 一天多捐款 1 万元．”丙公司的代表说：“在10 天内，我们公 司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．” 你觉得哪个公司最慷慨？
钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
①通话2分钟，需付电话费________元． ②通话5分钟，需付电话费________元． ③如果 t ≥ 3 ，则电话费 y ( 元 ) 与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为________．
[思路探究] 1．月收入和月销售量存在何种关系？如何求月收入关于 月销售量的函数关系？ 2．通过观察题2的图象可以确定此函数是什么函数？
x
1
ln x<0，所以 3 >x3>ln x.
答案： 3 >x3>ln x
x
1
图象信息迁移题
(1)某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的 销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信
息可知，营销人员没有销售量时的收入是(
A．310元 C．290元 B．300元 D．280元
)
(2) 如图所示，折线是某电信局规定打长 途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分
解得 a＝1，b＝7，c＝0，
则 f(x)＝x2＋7x，故 f(4)＝44，与计划误差为 1.
(2)构造指数函数模型 g(x)＝a· bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)， ab＋c＝8， 2 将点坐标代入，可得ab ＋c＝18， ab3＋c＝30， 125 6 解得 a＝ ，b＝ ， 3 5
2 x x0 满足 0.3ex0－3＝x2 － 2 ，当 x > x 时， ln( x ＋ 2)< x － 2<0.3e －3. 0 0
答案： (1)C
对于三种函数增长的几点说明： (1)对于幂函数y＝xn，当x>0，n>0时，y＝xn才是增函数， 当n越大时，增长速度越快． (2)指数函数与对数函数的递增前提是 a>1，又它们的图象
特别提醒：上述结论体现了指数函数的爆炸式增长．
1．若 x∈(0,1)，试分析三个函数模型 y＝3 ，y＝x3，y＝ln x 的 增 长 差 异 ， 用 “>” 把 它 们 的 取 值 大 小 关 系 连 接 起 来 为 ________．
解析： 当 x∈(0,1)时，3 >1,1>x3>0，
x 1 x 1
6.4 12.8 25.6 51.2 102.3
第10天
总计
由上表可以看出，丙公司捐款最多为 102.3 万元，即丙公 司最慷慨.
合作探究 课堂互动
函数模型的增长差异
(1) 下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是 ( ) A．y＝60x B．y＝x60
C．y＝60x
∞)上的增长情况．
D．y＝log60x(x∈N*)
指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝ logax (a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较
1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 增函数 ，但______________ 增长速度 y＝xn(n>0)都是_________ 不同，且不在同 一个“档次”上． 2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度 ____________ 越来越快 ，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y 越来越慢 ＝logax(a>1)的增长速度则会_______________ ．
[问题] 请问你会选择哪种投资方案？
[提示]
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案
供你选择，这三种方案的回报如下： 解：设第x天所得回报是y元． 方案一：每天回报40元， y＝40(x∈N*)，常函数；
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元， y＝10x(x∈N*)，正比例函数；
(2)研究函数y＝0.3ex－3，y＝ln(x＋2)，y＝x2－2在[0，＋
[思路探究]
1．处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？
2．对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
[ 边听边记]
(1)由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当
x 越来越大时，函数 y＝60x 增长速度最快．故选 C. (2)分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象(如图)，从 图象上可以看出函数 y＝0.3ex－3 的图象首先超过了函数 y＝ ln(x＋2)的图象，然后又超过了 y＝x2－2 的图象，即存在一个
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(
)
A．y＝3x
C．y＝log2x 答案： A
B．y＝103x
D．y＝x3
解析： 指数函数模型增长速度最快，故选A.
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有( A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3
)
C．y1>y3>y2
解析：
18(万)
30(万)
如果我们分别将 2011 、 2012 、 2013 、 2014 定义为第一、
二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，指数函数模型 g ( x ) ＝ a · b x ＋ c ( a ≠ 0 ， b >0 ， b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？ [思路探究] 1 ．根据所给的数据怎样确定各个函数模型中的各个参
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________．
解析：
看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与
时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶
解析： 三个公司在10天内捐款情况如下表所示：
公司
捐款数量
（万元） 时间 第 1天 第 2天
甲公司
乙公司
丙公司
5 5 5 5 5 5
1 2 3 4 5 6
0.1 0.2 0.4 0.8 1.6 3.2
第 3天
第 4天 第 5天 第 6天
第 7天
第 8天 第 9天
5 5 5 5 50
7 8 9 10 55
关于 y ＝ x 对称，从而可知，当 a 越大， y ＝ a x 增长越快；当 a 越
小，y＝logax增长越快，一般来说，ax>logax(x>0，a>1)． (3)指数函数与幂函数，当x>0，n>0，a>1时，可能开始时 有xn>ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值 x0后，就一定有ax>xn.
的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正 确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确；④错误． 答案： ①②③
函数模型的选取
某汽车制造商在2014年初公告：公司计划2014年 生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表
所示：
年份 2011 2012 2013
产量
8(万)
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一
倍， y＝0.4×2x－1(x∈N*)，指数型函数．
1．掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增
长快慢．(重点)
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三 种函数模型的性质的比较．(易混点) 3．会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．(难 点)
3．对数函数模型 对数函数(底数a>1) 能用________________________ 表达的函数模型叫做对数 随自变量的增大 ，函 函数模型，对数函数增长的特点是 ___________________ 越来越慢 数值增长速度_____________ ． 4．幂函数模型 幂函数 y＝xn ( n>0) 的增长速度介于指数增长和对数增长之
125 125 6x 6 4 c＝－42，则 g(x)＝ · －42，故 g(4)＝ 3 · 5 －42＝ 5 3
③当 t≥3 时，y 关于 t 的图象是一条直线，且经过(3,3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b，
3k＋b＝3.6， 则 5k＋b＝6， k＝1.2， 解得 b＝0.
故电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为 y＝ 1.2t(t≥3)．
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型
自主学习 新知突破
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选 择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元．
方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元． 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一 倍．
答案： (1)B (2)①3.6 ②6 ③y＝1.2t(t≥3)
1.图象信息题的解答策略
几类不同增长的函数模型
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(3)由04.≤75xx≤－50.5x2－0.5≥0 或x1>25－0.25x≥0 得 0．1≤x≤5 或 5<x≤48，即 0.1≤x≤48. ∴产品年产量在 10 台到 4800 台时工厂不亏本．
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类型三
指数函数、对数函数模型应用题
●想一想：当0<a<1，n<0时，y＝ax，y＝xn，y＝logax为减函 数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？
提示：如下图所示：
对于函数y＝ax(0<a<1)，y＝xn(n<0)，y＝logax(0<a<1)尽管都是 减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x 的增大，y＝ax(0<a<1)的衰减速度越来越慢，会远远小于y＝xn(n<0)的 衰减速度，而y＝logax(0<a<1)的衰减速度则越来越快，因此总会存在 一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.
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温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函 数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这 些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关 系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系．
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的 单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等 问题．
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热点提示 学习本节内容时，应充分利用计算器或计算机等工具作出一些 特殊的指数函数、对数函数的图象，利用图象的形象直观得到这几类 函数图象的增长规律，进而归纳总结出一般规律．熟练掌握这一规律 后，还应注意灵活地运用它在实际问题中建立函数模型.
3.2.1几类不同增长的函数模型(一)课件
(1) 0< x< 2或x>4时,
(2) 2< x < 4时,
log2 x x 2 ;
2 x
log 2 x 2 x .
x 2
3.2.1几类不同增长的函数模型
观察函数y = 2x 与 y=x2之间的增长情况 y 观察图象,试求出可使下 16 列不等式成立的x的取值 2 x x 2 范围.x 2 ; 2 x . (1)0<x<2或x>4时,
当 x >x0时,就会有
log a x a x .
x n
3.2.1几类不同增长的函数模型
你能根据问题中的数据，判定所给的奖励 模型是否符合公司要求吗？
奖励模型符合公司要求就是依据这个模 型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.
因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个 函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到 初步的结论,再通过具体计算确认结果.
3.2.1几类不同增长的函数模型
3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0<a<1), y=ax(0<a<1)与幂函数y=xn(n<0)在区间(0,+∞)上 衰减情况吗? 结 论 : 在 区 间 (0,+∞) 上 , 尽 管 对 数 函 数 y=logax (0<a<1), y = ax (0<a<1)与y=xn (n<0) 都是减函数, 但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次” 上. 随着x的增大, y=log x (0<a<1)的衰减速度 a 越来越快,会超过并远远大于y = ax (0<a<1)的衰 减速度,而y=xn (n<0)的衰减速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
必修1 新课标 数学 《3.2.1 几类不同增长的函数模型》测试题
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过的时候，小白鼠将会死亡.如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
⑴为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？
⑵第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(答案精确到天，已知：lg2=0.3010)
考查目的：考查函数建模及运用指数函数、对数函数解决实际问题的能力.
答案：⑴27；⑵33.
解析：⑴由题意知，病毒细胞个数关于天数的函数关系式为，则，两边取常用对数得，得，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
⑵由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为，再经过天后小白鼠体内病毒细胞个数为.由题意得，，两边取常用对数得，
，解得，即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物.
8.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度(km/h)与时间(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(，0)作横轴的垂线，梯形OABC在直线左侧部分的面积即为(h)内沙尘暴所经过的路程(km).
⑴当时，求的值；
⑵将随变化的规律用数学关系式表示出来；
⑶若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
考查目的：考查分段函数和一次函数、二次函数的应用，以及函数建模能力和运算能力等.
答案：⑴24；⑵；⑶沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.
解析：⑴由图象可知：当时，，∴.
⑵当时，；
当时，；
当时，.
综上可知，.
⑶∵当时，；当时，
，∴当时，令，解得，
.∵，∴，即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城.。
3.2.1第二课时_几类不同增长的函数模型
3.2.1第二课时。
几类不同增长的函数模型1、某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )A．300只 B．400只 C．500只D．600只2、马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )A．1535.5元 B．1440元C．1620元D．1562.5元3、为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( )4、某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为( ) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3D．26 m35．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x6、某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711B.712C.127－1 D.117－17、假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A，那么广告效应D＝a A－A，当A ＝________时，取得最大值．8、将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．9、燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？10、众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润．生产成本(a 元)与饼干重量成正比，包装成本(b 元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．11、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？12、 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.13、 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a21x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？。
高中数学同步学案 几类不同增长的函数模型
3.2.1 几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大,函数值的增长速度越来越快,常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型,对数函数增长的特点是随自变量的增大,函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化,n值越小(n≤1)时,增长较慢；n值较大(n>1)时,增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1),对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0,＋∞)上,函数y＝a x(a>1),y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上．2．在区间(0,＋∞)上随着x的增大,y＝a x(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度,而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1,n>0时,在区间(0,＋∞)上,对任意的x,总有log a x<x n<a x成立．( )答案：(1)×(2)×2．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝3x B．y＝1 000xC．y＝log2x D．y＝x3解析：指数函数模型增长速度最快．答案：A3．设a＝log123,b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2,c＝213,则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c解析：∵由指数函数、对数函数的性质可知：a＝log123<log121＝0,0<b＝⎝⎛⎭⎪⎫130.2<1,c＝213>1,∴有a<b<c.故选A.答案：A4．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝aln x＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B类型一几类函数模型的增长差异例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( )A．y＝2 018x B．y＝x2 018C．y＝log2 018x D．y＝2 018x(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知,指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2,(1)由题意,指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1,y2,y3,y4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x呈指数型函数变化跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1,＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x,当x由x1＝1增加到x2＝3时,x2－x1＝2,而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知,在区间[1,＋∞)上,指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快,而对数函数y＝log2x 的增长速度缓慢．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象,从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2,y2＝2x,作出这两个函数的图象,由图象知,方程一定有一个负根,当x>0时,开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方,但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快,所以存在x0当x>x0时,y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方,故此时产生一个实根x0,但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快,故存在x1,当x>x1时,y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方,故又产生一个实根x1,以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了,故再没有实根了,故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题,利用数形结合法较为方便,其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察,其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2 函数f(x)＝lg x,g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知,C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1,C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x)；当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x)；当x∈(x2,＋∞)时,g(x)>f(x)．f(x)＝lgx图象是曲线．g(x)＝0.3x－1图象是直线．类型三函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双．由于产品质量好、款式新颖,前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量．厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长,就月份x,产量为y给出三种函数模型： y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】由题意,将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时,将B,C 两点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的． (2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下 ,对称轴为x ＝3.5),不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时,将A,B,C 三点的坐标代入函数式,得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①,得ab ＝1－c,代入②③,得⎩⎪⎨⎪⎧b 1－c ＋c ＝1.2，b 21－c ＋c ＝1.3.则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.2－b 1－b ，c ＝1.3－b21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0.5，c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,如：增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际.通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型． 方法归纳数学知识来源于客观实际,服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具,其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题,选择合适的数学模型是一件非常重要的事情,根据三种不同的增长模型的特点,选择符合自己的模型,才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 1626年,有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛,并在借据上注明：归还此岛时,对方要还本付息,年利率是6%,但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年,双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公,要求法院判明是非．法官请数学家作了计算,结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算,本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算,本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1,y＝x,y＝2x及y＝log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么最能拟合诗句“红豆生南国,春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知,与指数函数拟合最贴切,故选A.答案：A3．已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝x 12,f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )A．a B．bC．c D．d解析：根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数．当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体．答案：D4．在同一坐标系中画出函数y＝log a x,y＝a x,y＝x＋a的图象,可能正确的是( )解析：函数y＝a x与y＝log a x的单调性相同,由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a,则选项A中0<a<1,选项B中a>1,显然y＝a x的图象不符,排除A,B,选D.答案：D5．y1＝2x,y2＝x2,y3＝log2x,当2<x<4时,有( )A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2,y1＝2x,y3＝log2x,故y2>y1>y3.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．已知函数f(x)＝3x,g(x)＝2x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x,g(x)＝2x的图象,如图所示,由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方,则f(x)>g(x)．答案：f(x)>g(x)7．据报道,青海湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2013年的湖水量为m,从2013年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%,则(q%)50＝0.9,所以q%＝0.9150,所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y ＝0.950x ·m8．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t(年)的函数关系如图所示,以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变,其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1),反应了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知,总产量C 没有变化,即第三年后停产,所以②③正确．答案：②③三、解答题(每小题10分,共20分)9．每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动,某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)． 方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米), 因为15.386>15,所以方案二较好．10．某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%,按单利计算,5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解析：本金100万元,年利率为10%,按单利计算,5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元,年利率为9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见,按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的更有利,5年后多得利息3.86万元． [能力提升](20分钟,40分)11．四个函数在第一象限中的图象如图所示,a 、b 、c 、d 所表示的函数可能是( )∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45,∴x>45.45.故经过46 h,细胞总数超过1010个．14．某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为上午7：00,问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t≤1，－23t ＋203，1<t≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时,则－23t 1＋203＝4,解得t 1＝4,因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4,解得t 2＝9,故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量应为第二、第三次的和,即有－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4,解得t 3＝13.5,故第四次服药应在20：30.。
3.2.1几类不同增长的函数模型
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长
差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函
数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛
应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其
在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆
炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：。
3.2.1几类不同增长的函数模型(1)(29)
1 40 2 40 3 40 4 40
5 40 6 40 7 40 8 40 9 40
……
10 10 供的0.数4 据,你对三种方
0 20 10 案分0.8别表现出的0.回4 报
0 0
0 0 0 0 0
30
40
10 10
资金13..26的么增认长识差？异01..有68 什
50 60 70
10 6.4
请作y = log2 x 的图像
描点法画图.
x … 1/4 1/2 1 2 4
…
y y=log2x … -2 -1 0 1 2
…
3
2
● y=l 2 345 6 7
8x
-1 ●
思考：该函数的单调性如何？ 单调递增
-2
创设情境 探究新知 理解新知 运用新知 闯关竞技 小结提升 课后作业
为哪个模 6
y=5
型符合公 5
司的奖励 4 方案？ 3
y log7 x 1
2
1
o 200 400 600 800 1000 1200
x
创设情境 探究新知 理解新知 运用新知 闯关竞技 小结提升 课后作业
通过观察图象,你认为哪个模型符合公司
的奖励方案？ y
10≤x≤1000 0≤y≤5 且0≤y≤25%x
只需log7x+1≤0.25x 成立， 即log7x+1-0.25x ≤0.
令f(x)= log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是 否有f(x) ≤0恒成立?
即当x∈[10,1000]时,f(x)= log7x+1－0.25x 的图象是否在x轴下方?
创设情境 探究新知 理解新知 运用新知 闯关竞技 小结提升 课后作业
人教A版必修一3.2.1几类不同增长的函数模型
上升
上升
上升
增函数
增长速度
越来越慢 （3）存在一个x0，使得当x>x0时，有 logax<. xn<ax 。
D
Hale Waihona Puke A3.一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，若弹簧未达到 最大弹性限度，则弹簧伸长（ D ） （A）3 cm （B）5 cm （C）25 cm （D）30 cm
（1）计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ （2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
探究要点一：几种函数模型 一次函数型模型：f（x）=kx+b（k、b为常数，k≠0）； 二次函数型模型：f（x）=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）； 指数函数型模型：f（x）=abx+c（a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1）； 对数函数型模型：f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，a>0，a≠1）； 幂函数型模型：f（x）=axn+b（a、b、n为常数，a≠0，n≠1）. 探究要点二：几类函数模型的增长差异
4.已知放射性物质镭经过100年剩留原来的95.76%，则经过200年剩留原来的___________. 解析：设每年的衰减率为x，则（1－x） 100=95.76%， 令（1－x）200=y，将第一个式子两边平方 ， 得（1－x）200=y=（95.76%） 2≈0.9170=91.70%. 答案：91.70%
规律方法：指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考 查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型 表示，通常可以表示为y=N·（1+p）x（其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的 形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.
3.2.1 几类不同增长的函数模型
图3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
[探究共研型]
函数模型的选择
探究1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？
根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢 来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋 于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.
[再练一题] 2．函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1 的图象如图 322 所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行 比较)．
函数
性质 在(0，＋∞)上 的增减性 图象的变化
y＝ax(a>1)
增函数
y＝logax(a>1)
增函数
y＝xn(n>0)
增函数
随x的增大逐渐与 随x的增大逐渐与 随n值的不同而不 y轴平行 x轴平行 同
2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增 函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上． (2)随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢． (3)存在一个 x0，当 x>x0 时，有 ax>xn>logax.