大学数学中几何方法的运用
大学高等几何课件
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
空间立体体积的计算方法(1)
数学积分求体积方法概述摘要：定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用，一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，在我们的生活中起着很重要的作用！空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加以解决。
本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。
关键词：积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数引言空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。
本文就主要针对各种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。
其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。
文献[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,给出了特殊的积分计算方法。
文献[10]则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。
以上文献充分体现出积分思想在解题中应用广泛,特别是在计算空间立体体积领域。
如果我们能够在积分学的基础上掌握空间立体体积的计算方法,则能使一些复杂的问题简单化,还易让人接受。
所以我们要分析掌握积分法,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题。
空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。
本文在上述文献的基础上,总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。
大学高等数学几何教材
大学高等数学几何教材大学高等数学几何教材作为数学学科中的重要一环，对于学生的学习起着至关重要的作用。
本教材的编撰旨在系统地介绍和讲解高等数学中的几何相关内容，为大学生提供坚实的数学基础，培养其几何思维和解决实际问题的能力。
本文将就该教材的内容框架、特点、教学方法以及应用前景进行探讨。
一、内容框架大学高等数学几何教材的内容框架应该能够完整、系统地覆盖几何学科的核心知识点。
首先，需要介绍基本的点、线、面及其相互关系，包括点的坐标表示、线段的长度计算、平面的方程等内容。
其次，应该深入探讨多边形、圆、曲线以及它们的性质和变换方法。
最后，还应涵盖空间几何学的基础知识，包括空间直线与平面的关系、空间曲线的参数方程等。
二、教材特点编写大学高等数学几何教材需要注意以下特点：首先，应该突出几何学的基础思想，培养学生的几何直观和几何思维能力。
其次，应该融入数学的抽象概念和演绎推理，使学生能够理解几何学与其他数学学科的联系与区别。
同时，应该注重几何学的实际应用，让学生认识到几何学在实际问题中的重要性。
三、教学方法大学高等数学几何教材的教学方法应该多样化，以满足不同学生的学习需求。
首先，可以采用理论授课的方式，结合示例和推导过程，深入讲解几何学的基本概念和定理。
其次，可以注重几何学的实际应用，通过实例分析和解决实际问题，激发学生的学习兴趣。
另外，还可以组织学生进行课堂讨论和小组合作，促进彼此之间的交流和思维碰撞。
四、应用前景大学高等数学几何教材的应用前景广阔。
首先，在数学学科中，几何学是其他分支学科的基础，掌握几何学的基本概念和方法对于学习其他数学学科具有重要意义。
其次，在理工科和社会科学中，几何学的应用十分广泛，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域，几何学都发挥着重要作用。
因此，大学高等数学几何教材的编写必须与实际应用相结合，培养学生的应用能力和创新思维。
结语大学高等数学几何教材的编写应当符合内容框架、教学特点和应用前景的要求，突出基础知识的传授、思维能力的培养以及实际问题的解决。
平面几何中三点共线的常见解法
2叙嗲活幼嫘歿讲；I中等数学平面几何中三点共线的常见解法T S J瑜(天津师范大学数学科学学院2019级硕士研究生，300387 )中图分类号:〇123.1 文献标识码:A文章编号：1005 - 6416(2021)04 - 0002 - 06(本讲适合高中）证明三点共线是数学竞赛中的一种常见 题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的 典型例题介绍几种常见的解题方法.1利用梅涅劳斯定理的逆定理例 1 已知的三条中线A4'、与其九点圆分别交于点£>、£、厂直线fiC、C4、仙上的点L、M、iV分别为A/lfiC 的三条高线的垂足，九点圆上以Z)、瓦、F为切 点的三条切线与直线M/V、L/V、L M分别交于 点'(?、/?.证明:P、<?、/?三点共线.[1](第17届地中海地区数学竞赛）证明如图1，设A/I S C的重心为C.图1由梅涅劳斯定理的逆定理，知只要证收稿日期:2020-11 -18NP MR LQ^p m'~r l'q n='A P D N c^^PMD.别得+h.NP^apdn ND1^P M~S^d m~DM2'^./i U X i U MR MF2LQ LE2类似地，RL = Fl T#= Ei y r为证式①成立，只要证ND MF LEd m'~f l'e n='②在A和A中，由正弦定理分ND ADsin Z BAG~ sin Z A N D'MD ADsin 乙 CAG sin Z A M D '两式相除得ND sin Z CAG sin AMDDM sin Z BAG sin Z ANDsin Z B'A'D B'D③sin C'A'D~C'D '类似地，MF sin Z BCGFL sin Z ACGA'FB'F，④LE sin 乙 ABG C'E⑤EN sin Z CBG A'E '对A4S C和点G应用角元塞瓦定理知sin /_ BAG sin X ACG sin X CBG_ .⑥sin CAG sin /_ BCG sin 乙ABG2021年第4期3③〜⑥四式相乘得ND MF LE BfD ArF C E----•—• — —-----•------•DM FL EN~ C'D B'F A'E'又由六点共圆，则A G D B'c^^GEA'B'D DGZ E =£G '米加她 A，F FG C，E EG类似地，C,Z)—D G W F— F G .三式相乘并代人式⑦，即得式②成立.【注】对于证明中的式⑦，由于圆内接凸 六边形水/满足氺£)、57、(：7三线共点，由角元塞瓦定理的推论也可得A'F B'D C'E~FB''15C''~EA'=j即式⑦右边=1.2利用平角的定义或角相等(1)如图，…，/)…为平面上 » +3个点，若Z A B D t +Z D'BD2+.._+Z D…B C= M)。
常用几何语言-大学数学
常用几何语言-大学数学几何学是数学的重要分支之一，研究空间中的形状、大小、位置关系以及变化等问题。
在大学数学中，学生会接触到一些常用的几何语言，用来描述几何图形、定理和性质等内容。
本文将介绍一些常用的几何语言，以帮助学生更好地理解和运用几何学中的概念和知识。
1. 点、线、面在几何学中，点、线和面是最基本的几何图形。
点表示空间中的一个位置，用大写字母标记，如点A、点B等。
线由两点确定，表示连接这两点的一条直线段，用小写的字母表示，如线段AB、线段CD等。
面是由三个或更多个点确定的平面区域，用大写字母表示，如平面ABC、平面PQR等。
2. 图形的性质几何学中的图形具有许多特定的性质，学生在研究几何时常常需要了解和运用这些性质。
- 直线的性质：直线由无限多个点组成，直线上的任意两点可以确定一条直线段。
- 角的性质：角是由两条射线共享一个端点形成的，常用字母表示，如∠ABC、∠PQR等。
角的度数用度来度量，常用的度量单位是度。
- 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的图形，满足任意两边之和大于第三边的条件。
常见的三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。
- 圆的性质：圆是由一条封闭的曲线组成的图形，圆心是圆的中心点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 几何定理几何学中的定理是通过逻辑推理得出的几何图形之间的关系和性质。
学生在研究几何时需要熟悉和掌握一些常见的几何定理。
- 垂直定理：两条直线互相垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
- 平行定理：如果两条直线与第三条直线交叉，且对应角相等，则这两条直线平行。
- 同位角定理：当一条直线与两条平行线相交时，对应角、内错角和同位角之和均为180度。
4. 几何分析方法在解决几何问题时，常常需要运用一些几何分析方法来推导和证明结论。
- 相似性分析：通过对图形的相似性进行分析，找出共有的性质和关系，从而推导出结论。
- 合同性分析：通过对图形的合同性进行分析，找出共有的性质和关系，从而推导出结论。
同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．yxzO图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -． 4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB u u u r来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c r r rL 来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB u u u r，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB u u u r 、AD u u u r分别表示a 与b ，然后以AB u u u r 、AD u u u r 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC u u u r称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1) a +b =b +a (交换律)．(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3) 0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.abcda +b +c +dabCabc =a +b由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA u u u r ，OB u u u r分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-u u u r u u u r u u u r u u u ra b =OA BO BA =+=u u u r u u u r u u u r ．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3)()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与❒a 同方向的单位向量叫做❒a 的单位向量，记做a ，即aa e a ρρρ=.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.aabb-a bBAC例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA u u u u r ,a AD =u u u r b AB =u u u r c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C u u u u r u u u u raC'B'A'D'DAC图8-9解 ''AC AB BC CC =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 'AB BC AA =++u u u r u u u r u u u r a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB u u u r的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段uuuu rA B ''的值A B ''叫做向量AB u u u r 在轴u 上的投影，记作u u u r u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当uuuu r A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''u u u u r 与轴u 反向时，投影取负号．注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN u u u u r为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN u u u u r在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．2.3.2向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．yxzOA B CM空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．事实上，设MN u u u u ra =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r a =．由于MA u u u r 与i 平行，MB u u u r与j 平行，MC u u u u r 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =u u u r i ，MB y =u u u rj ，MC z =u u u u r k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN u u u u r 及NM u u u u r 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为RPQM 1M 2xyzγβα终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN u u u u r 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM u u u u r的坐标为{5, 4, 4}-．例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB u u u r 上的点M 将它分为两条有向线段AMu u u u r和MB u u u r ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标. 图8-14解 如图8-14，因为AM u u u u r 与MB u u u r 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅u u u u r u u u r，而122{,,}AM x x y y z z =---u u u u r， 222{,,}MB x x y y z z =---u u u r222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---u u u r所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当=1, 点M 的有向线段→AB 的中点, 其坐标为221x x x += 221y y y +=221z z z +=. 2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量12a M M =u u u u u ur r 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量a的方向角.图8-15因为向量❒a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅u u u u u u r r12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅u u u u u u r r(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅u u u u u u r r公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量❒a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅v v v v{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅r r u u r{cos ,cos ,cos }a e αβγ=u u r 是与向量❒a 同方向的单位向量.而❒a =M M =12u u u u u ur,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a r 的模为a =r(8-2-3)从而向量a r的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M u u u u u u r的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-u u u u u ur2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 222αβγ=-==-；23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB u u u r同方向的单位向量e r .解 因为{74,10,35}{3,1,2},u u u rAB =---=-所以 AB ==u u u r于是 }.e =r2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB u u u r的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅u u u r．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知： (1) 2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4) 0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =． (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和． 同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则==a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-u u u r ，={3, 1, 1}AC ---u u u r，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=u u u r u u u r，所以AB AC ⊥u u u r u u u r ．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA u u u r的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =u u u r u u u rM F ,F ．M 的方向与OA u u u r 及F 都垂直，且OA u u u r，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．(2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质： 对任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律: ()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解 ⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ． 因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而32111⨯--ij kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量．例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB u u u r 、AC u u u r为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯u u u r u u u r，由于{3, 3, 4}AB =--u u u r ，{2, 1, 1}AC =--u u u r，因此33453211AB AC ⨯=--=++--u u u r u u u ri j ki j k ，所以AB AC ⨯==u u u r u u u r故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c r r r，如果先作前两个向量a r 与b r 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c r 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c r r r的混合积，记做()a b c ⨯⋅r r r 或abc ⎡⎤⎣⎦r r r.说明：三个不共面向量,,a b c r r r 的混合积的绝对值等于以,,a b c r r r为棱的平行六面体的体积V .定理 如果111a X i Y j Z k =++r r r r ，222b X i Y j Z k =++r r r r ，333c X i Y j Z k =++r r r r， 那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦r r r 习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c r r r为单位向量,且满足0a b c ++=r r r r ,求.a b b c c a ++r r r r r r gg g 6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b +c.求=-==-- 7.已知三点(3,0,2),A B AB ==u u u r求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ．10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1) ⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4) cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算（1）gg ()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯g . 13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积．15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥u u u u u u rn ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅u u u u u u rn ,而0000{, , }M M x x y y z z =---u u u u u u r，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12u u u u u u r M M 与13u u u u u u r M M ．因此可取12u u u u u u r M M 与13u u u u u u rM M 的向量积1213u u u u u u r u u u u u u rM M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =u u u u u u r u u u u u u r M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}u u u u u u r M M =--，13{2, 3, 1}u u u u u u rM M =--，因此1213-631i jkn =u u u u u u r u u u u u u rM M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
定积分的意义及其在几何中的应用
定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目：定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二Ｏ一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们的生活中也起着很重要的作用！内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。
幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。
关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限．说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b af nξ=-∑； ④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积．说明：一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值． 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ （其中a<c<b ）1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A （x ）,则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来，另0)(→x σ，我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解：以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤；则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时，有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证：nx x n +≥+1)1(证明：若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时，1)1(1<+-n x 。
大学解析几何知识点
大学解析几何知识点在大学的数学学习中，解析几何是一门重要的基础课程，它将代数与几何紧密结合，为我们提供了一种用代数方法研究几何图形的有力工具。
接下来，让我们一起深入探讨一下大学解析几何的主要知识点。
一、向量向量是解析几何中的重要概念之一。
向量可以表示空间中的位移、力、速度等具有大小和方向的量。
向量的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则。
数乘向量则是将向量的长度乘以一个实数，方向不变（当实数为正数时）或相反（当实数为负数时）。
向量的点积（内积）是两个向量的一种运算，其结果是一个标量。
若有向量 a ＝（x1, y1, z1) 和向量 b ＝（x2, y2, z2)，则它们的点积 a·b ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＋ z1z2。
点积的几何意义与向量的长度和夹角有关，a·b ＝｜a| ｜b| cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
向量的叉积（外积）也是一种运算，结果是一个向量。
叉积的方向垂直于两个向量所在的平面，其长度等于两个向量所围成平行四边形的面积。
二、空间直线空间直线可以用多种方式来表示。
点向式方程：已知直线上一点 P(x0, y0, z0) 和直线的方向向量 v ＝（m, n, p)，则直线的点向式方程为（x x0) ／ m ＝（y y0) ／ n ＝（z z0) ／ p 。
一般式方程：将两个平面方程联立，A1x ＋ B1y ＋ C1z ＋ D1 ＝ 0和 A2x ＋ B2y ＋ C2z ＋ D2 ＝ 0 ，就可以表示一条直线。
两直线的位置关系可以通过方向向量和夹角来判断。
如果两条直线的方向向量的点积为 0，则两直线垂直；如果方向向量的夹角为 0 或180 度，则两直线平行。
三、空间平面平面在空间中的表示方法通常有以下几种。
点法式方程：已知平面上一点 P(x0, y0, z0) 和平面的法向量 n ＝（A, B, C)，则平面的点法式方程为 A(x x0) ＋ B(y y0) ＋ C(z z0) ＝ 0 。
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大学数学中几何方法的运用
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针对大部分大三学生来说，大学数学课程内容难度较大，而且极为重要.大学数学是大部分理工课程的基础课程，有利于理工科学生之后的学习，对学生具有积极意义.学生在学习过程中如使用几何方法，能够有效提高自身学习质量.本文简要分析了学生在高等数学学习过程中所存在的问题，同时从阐述数学思维、简化求解过程等多方面分析了学生应如何在大学数学学习过程中应用几何方法，以期增强学生的逻辑性以及提高学生学习能力.
对理工科学生来说，大学数学是必修课程，其不仅为学生之后专业课程的学习奠定了基础，同时也培养了学生良好的逻辑思维能力，使其更为适应之后的社会生活.因此，大学数学的学习质量颇为重要.然而，就目前而言，我国大部分学生的学习水平有待提升，学习过程也存在较大的问题.几何方法可以使学生更为直观地理解逻辑内容.因此，学生应积极在大学数学学习中运用几何方法，以提高自身学习质量，同时加
深对大学数学知识的理解.
一、大学数学学习中存在的问题
(一)学习时间以及资源不足
大学数学是理工科类学生学习专业课知识的必备工具，如物理中的力学、电学等课程知识的学习都涉及了大学数学中的知识.定积分的几何运用在机械设计课程中得到广泛应用.然而，就目前而言，我国大部分大学给予大学数学课程的课时并不多，但该课程知识内容数量繁多，且学习难度较高，学生难以在课堂短时间内消化，所以学习时间明显不足.加之课堂知识内容被大幅压缩，将部分定理的证明过程直接删除，学生单纯依靠记忆进行理解与使用，忽视了以几何的角度理解定理，导致大部分学生并不理解定理的来源，也不理解定理的几何意义.除此以外，部分高校还需面对教学资源不足这一问题.部分学校的教师或是教室会存在不足的现象.受教学资源的限制，部分高校采取大班授课的方式，令多个班级甚至多个专业同时听课.如此一来，学生即使在学习状态、进度以及学习方式等方面出现问题，由于人数众多，无法直接向教师提
问.且课堂气氛沉闷单调，学生无法与教师或是其他学生进行直接交流与讨论.只好被动接受知识，无法进行自主思考以及对知识的创新，课堂学习效率自然难以提升.
(二)学生学习方式存在问题
学生在学习过程中，应注重调节自身心态，注意自身课堂细微的情感变化.学生学习状态、热情度以及积极性直接影响了其课堂教学效率.大部分学生学习时，往往只研究课本上的定理及其证明内容，但定理及其证明方面的知识晦涩难懂，且学习过程枯燥无味，导致学习过程较为沉闷无趣，久而久之，学生便会逐渐丧失学习兴趣.所以，若学生采用上述学习方式，便限制了自身思维，逐渐丧失了学习热情，甚至产生厌学的洗能力.学生采用几何方法学习，能够使数学知识更为直观，容易理解.同时也能令学习过程较为轻松.但是部分学生却过于依赖使用几何方法进行学习，忽视了对数学思想的解释，或是直接利用几何图像替代了教材中的定理以及相关证明，从而令自身无法更为深入地理解问题，从理性的角度看待以及解决问题.由此可见，部分学生无法正确使用几何方法，导致学
生学习方式存在较大问题.不仅如此，学生若不将代数与几何联系为一体，之后的学习也会收到一定影响，以建筑工程为例，建筑工程中大部分问题为几何问题，而大学数学中大部分为代数语言，若学生仅了解几何内容，则学生生无法了解两者之间的联系.同理，若学生仅了解大学数学中代数内容，则无法利用大学数学知识解决建筑工程中的问题.
(三)学生对几何方法的认识有误
随着现代科技的发展，信息技术在大学学习中的应用逐渐丰富.学生可借助目前的科技设备，如计算机、手机等设备构建更为形象以及直观的图形，图形也由平面图形转化为立体图形，使得学生突破了空间限制，也解决了之前纸笔绘制图形时，图形不准确这一问题.然而，学生在构建图形并进行研究的过程中，往往会走向误区，发生以偏概全的现象.大部分学生绘图过程中不理解几何方法的实质，错误地认为，针对定理证明问题，无需使用严谨的数学语言以及逻辑进行验证，只需绘制特定函数的函数图像即可.然而并非如此，学生运用几何方法理解定理以及定理证明内容，实质是举例，但举例并不能包括所有的状况，所以学
生在学习之前，需反复研究几何示例，同时清楚、了解几何学习方式的特殊性.学生也可选用多个几何示例作为对比，更为深入地了解几何学习方式的实质.
二、大学数学中几何方法的实际运用
(一)阐述数学定理
数学定理是课程内容的重点，学生学习数学定理的目的，不仅是要求自身对数学定理有所记忆，还需对知识有一定理解，同时能够灵活运用.然而，大学数学数学的定理知识过于抽象，大部分学生抽象思维能力不足，难以理解定理内容，对定理所描述的情况也没有清晰地认识，使得学生虽然能够记忆定理，但无法深刻理解，也难以正确运用.针对上述情况，学生便可运用几何学习方式，将定理转化为图像，使定理的表现形式更为直观，也有利于自己接受.
(二)简化题目
数形结合思想一直是数学常用的思想之一，其不仅能够令题目变得更为直观与形象，同时也能简化题
目步骤，从而提高学生的解题效率以及正确率.部分题目如果仅依靠代数进行计算，计算量较大，计算过程中容易发生错误.若学生将题目部分量转化为图形，则能够轻易观察到各量值之间的关系，同时也省去大量计算，大大降低了出错的概率.
如题：设存在一旋转抛物面，该抛物面方程为z=x2+y2，同时存在一平面，方程为x+y-2z=2，求解两面之间相距距离最短时是多少.
该问题共有两种求解方式：第一种方法，学生可使用条件极值的方式进行求解，单纯依靠代数知识解答，其中并不涉及任何几何方式.该方法具体如下：
在旋转抛物面上随意截取一点，设该点坐标为P(x，y，z)，那么点P与平面x+y-2z=2之间相距的距离可通过下列式子表示：d=16|x+y-2z-2|.此时，问题便发生了变化，即求解约束条件下，函数f(x，y，z)=(x+y-2z-2)2的极限值.学生设立拉格朗日辅助函数：F(x，y，z，λ)=(x+y-2z-2)2-λ(x2+y2-z).由上可得：计算完成后，可知拉格朗日函数有且仅有一个驻点，即x=y=14，z=18，λ=1.将上述数值代入算式
d=16|x+y-2z-2|当中，此时便能求的旋转抛物面同平面之间的距离最短时为746.
该解答方法看似步骤较为简洁，但其计算量极大，且学生在求解驻点时，方法也是极为繁琐，且会耗费学生大量时间.所以，学生可使用第二种方法，即结合几何方法进行求解.具体解法如下：
从几何的角度进行分析，若希望旋转抛物面z=x2+y2上任意一点同平面之间的为最短距离，那么旋转抛物面z=x2+y2上点的法向量应当与平面的法向量保持平行关系.在旋转抛物面z=x2+y2上任取一点，设该点为P，坐标为P(x，y，z).此时可以通过求解得出，点P处，旋转抛物面的法向量，表示为(2x，2y，-1)，还有平面的法向量(1，1，-2).所以可得：2x1=2y1=-1-2.
通过上式可以解出：x=y=14.之后将该结果代入旋转抛物面方程当中，可解得结果z=18.学生再将所得结果代入求解点与平面距离公式当中，便能够求得结果d=746.
(三)运用几何图像活跃思维
数学定理一定有其形成过程，也有其思考以及证明过程.学生若只是背诵了定理，而不了解其产生的原因以及过程，便无法灵活运用.学生应结合图像探索定理的实质内容.以极为重要的极限limx→0sinxx=1为例，该极限在之后的使用都较为频繁.然而学生是无法通过定义以及极限运算的方式了解该极限的含义，需要使用夹逼准则进行证明.然而，以学生的能力，难以找到与sinxx相关的不等式.学生需使用x同正弦函数sinx之间的联系作为引入，复习高中所学的有关
图3单位圆示意图三角函数的知识，构建单位圆，寻找x、sinx以及tanx之间的关系.具体如图3所示，设定∠AOB=x，其中x的取值范围为0，π2，使得BC 与OA为垂直关系.学生可知sinx=2S△AOB，x=2S扇形AOB.之后学生寻找tanx的代表式，构建圆的切线，令圆过点A，且与OB延伸线相交，交点为点D，此时tanx=2S△AOD，通过面积大小的对比，学生较为容易得出sinx结束语
大学数学是理工科学生学习其他专业课程必备的
知识，所以对学生之后的学习生活尤为重要.作为学生，应灵活运用几何学习方式辅助自己进行学习，从而提高自身学习效率，提升数学水平.
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