经济增长模型

经济增长模型：线性拟合
Matlab代码
运 行 结 果
差异：非线性拟合和线性拟合
非线性拟 合运行结 果 线性拟合 运行结果
Why？
0.72 0.78 0.84 0.73 …
0.95 0.96 0.99 0.96 …
0.78 0.81 0.85 0.77
0.72
… … … 1922 2.24 4.54 1923 2.56 4.58 1924 2.34 4.58
1925 2.45 4.58
… 1.67 1.82 1.60
1.61
1894 0.72 0.93
• 现有美国马萨诸塞州1890~1926年上述 三个经济指数的统计数据。 • 先建立产值和资金、劳动力关系的数 学模型，再用数据拟合的办法确定模 型的参数。
Байду номын сангаас
表 美国马萨诸塞州1890~1926年产值、资金、劳动力统计数据
年
产值 资金 劳动力
年
产值 资金 劳动力
1890 1891 1892 1893 …
经济增长模型
问题：增加生产、发展经济所依靠的主要 因素有增加投资、增加劳动力以及技术革 新等，在研究国民经济产值与这些因素的 数量关系时，由于技术水平不像资金和劳 动力那样容易定量化，作为初步的模型， 可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、 劳动力之间的关系。在科学技术发展不快 的时期，如资本主义经济发展的前期，这 种模型是有意义的。
ln a ln K ln L ln Q
经济增长模型：线性拟合
ln a ln K ln L ln Q
K 1 , L1 , Q 1 , K 2 , L 2 , Q 2 , , K n , L n , Q n
ln a ln K 1 ln L1 ln Q 1 ln a ln K 2 ln L 2 ln Q 2 ln a ln K ln L ln Q n n n
…
1926 2.58 4.54
1.64
建模
• 用 Q , K , L 分别表示产值、资金、劳 动力，对要寻求的数量关系 Q ( K , L ) 作如下简化假设：
1、产值依赖于每个劳动力的投资 强度，并且与劳动力数量成正比，即 有(用 G 表示某一函数)
Q (K , L) G ( y)L, y K / L
——优化命令lsqcurvefit的用法
M-函数
运 行 结 果 ：
对 应 的 程 序
经济增长模型：直接拟合
——优化命令lsqnonlin的用法
M-函数
对 应 的 程 序
运 行 结 果 ：
经济增长模型：线性拟合
模 型
Q (K , L ) aK L , 0 , 1

取 对 数

(4)
(4)式对参数 , , a是非线性的，但是只 要对(4)式取对数，即可化为对 , , a 的 线性最小二乘拟合，可以用Matlab提供 的左除实现。 接下来我们要直接对(4)式用非线性最小 二乘拟合，将会看到，两种方法所得结 果相差甚大。
非线性最小二乘拟合
有一组数据 t i , y i , i 一个已知函数，
最基本格式： x=lsqnonlin(@f,x0) x=lsqcurvefit(@f,x0,t,y)
非线性最小二乘拟合：matlab实现
常用格式： x=lsqnonlin(@f,x0,[ ],[ ],opt) x=lsqcurvefit(@f,x0,t,y ,[ ],[ ],opt)
经济增长模型：直接拟合
拟合误差定义为 ri ( x ) 的平方和，于是 问题表示为如下的模型：
m in R ( x ) r ( x ) r ( x )
T x
非线性最小二乘拟合：matlab实现
完全格式： [x,norm,res,ef,out,lam,jac]=lsqnonlin(@ f,x0,v1,v2,opt,P1,P2,…) [x,norm,res,ef,out,lam,jac]=lsqcurvefit( @f,x0,t,y,v1,v2,opt,P1,P2,…)
1, , n ， 要拟合
y f t , x , x x1 , x 2 , , x m

T
, m n,
x 为待定系数，记
ri ( x ) y i f ( t i , x ), r ( x ) r1 ( x ), , rn ( x )
T
非线性最小二乘拟合
(1)
建模
2.产值随资金、劳动力的增加而增长， 但是增长得越来越慢.根据这个假设选 择(1)式中函数 G 的形式，常用的函数 是 (2) G ( y ) ay , 0 1 其中 a 为大于零的常数.将(2)式代入(1) 得
Q (K , L ) aK L

1
,0 1
(3 )
这就是经济学中著名的柯布—道格拉斯 (Cobb-Douglas)生产函数，其更一般的 形式为
Q (K , L ) aK L , 0 , 1

(4)
式中 , , a 可由表中的数据拟合来确定.
Q (K , L ) aK L , 0 , 1