2015中考数学冲刺复习等腰三角形与等边三角形全面版
2015年中考数学考点专项四：空间与图形 等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:等边三角ห้องสมุดไป่ตู้的性质与判定
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:等边三角形的判定
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:等腰三角形的判定与性质
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:线段垂直平分线逆定理
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:角平分线定理
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:角平分线的轴对称性
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:等腰三角形的性质
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:线段垂直平分线的定义
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:等腰三角形的判定
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
【难易度】
□已掌握
知识点:等边三角形
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
□已掌握
知识点:角平分线的逆定理
专项四
空间与图形
2015年考点：等腰三角形
2015年辽宁省地区中考数学总复习课件 第20讲 三角形与全等三角形
1．(2013·铁岭)如果三角形的两边长分别是方程x2－8x ＋15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得 到的三角形的周长可能是(A) A．5.5 B．5 C．4.5 D．4 2．(2014·营口)如图，在△ABC中，点D，E分别是边 AB，AC的中点，∠B＝50°，将△ABC沿DE折叠，点A 的对应点是A′，则∠AEA′的度数是(B) A．145° B．152° C．158° D．160°
角，∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝
122°.同理∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋ 122°＝143°≠148°，∴这个零件不合格 【点评】 有关求三角形角的度数的问题，首先要明确所求的 角和哪些三角形有密切联系，若没有直接联系，可添加辅助线 构建“桥梁”．
2．(1)(2013·宁夏)如图，△ABC中，∠ACB＝ 90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边 上的点E处，若∠A＝22°，则∠BDC等于(C) A．44° B．60° C．67° D．77°
(2)如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“＞ ”表示∠BPC，∠BDC，∠BAC之间的关系．
解：∵∠BPC是△PCD的外角 ，∴∠BPC＞∠BDC，同理 ∠BDC＞∠BAC，∴∠BPC＞ ∠BDC＞∠BAC
三角形的内角、外角的性质
【例 2】 (1)(2014· 赤峰 ) 如图 ， 把一块含有 30°角 (∠A ＝ 30°) 的直角三角板 ABC 的直角顶点放在矩形桌面 CDEF 的一个顶点 C处，桌面的另一个顶点 F与三角板斜边相交于 点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝(D)
度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(D)
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
中考数学考点20等腰三角形总复习(原卷版)
等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。
【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC 中.AB ＝AC .点E 为AC 的中点.延长BC 到点D .使得CD ＝CE ．延长DE 交AB 于点F .若∠A ＝60°.EF ＝4cm .则DF 的长为（ ）性质1. 三条边相等2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式 是等边三角形的边长.h 是任意边上的高A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．85．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个5．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．26．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8 3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3 4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4 5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．10．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10 2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6 4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2 9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128 10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．。
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）一、内容和内容解析1．内容基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.2．内容解析本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.二、目标和目标解析1．目标（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.三、教学问题诊断分析学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.四、教学过程设计引言我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.1. 复习巩固问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.2. 探究学习问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.（2）求证： AF 平分∠BFC.（3）求证： AF ＋DF=BF.师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历3. 微课展示4. 巩固应用1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .图1B图2图3BC （2）如图2，若∠BAC=90°，则∠CMB= .（3）如图3，若∠BAC=a, 直接写出∠AME 的度数（用含a 的式子表示）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，指导，师生共同评价.设计意图：巩固加深对探究学习中（1）-（3）问题的认识，再次体会由特殊到一般的探讨问题的过程.2. 如图，△AOB 是等边三角形，以直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系，若B(a,b)且a 、b 满足(20b +-=，D 为y 轴上一动点，以AD 为边作等边△ADC ，CB 交y 轴于E.（1）如图1，求点A 的坐标.（2）如图2，D 为y 轴正半轴上一点，C 在第二象限，CE 的延长线交x 轴于M ，当D 点在y 轴正半轴上运动时，M 点坐标是否变化，若不变，求M 点的坐标，若变化，说明理（3）如图3，D 在y 轴负半轴上，以DA 为边向右构造等边△DAC ，CB 交y 轴于E 点，如果D 点在y 轴负半轴上运动时，仍保持△DAC 为等边三角形，连BE ，试求CE ，OD ，AE 三者的数量关系，并证明你的结论.师生活动：用平面直角坐标系中直角的特征，用 30设计意图：直角解决问题，（3）通过有梯度的练习，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.5.小结教师与学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课解决共顶点的等腰三角形与全等问题关键是什么？（2）本节课解决一条线段为一个角的角平分线的方法有几种？（3）本节课解决线段之间的和差关系的方法是什么？（4）本节课的探究学习用到了什么思想方法？设计意图：让学生自由发表自己的看法，教师从知识内容、学习过程和思想方法三个方面进行引导. 归纳知识，小结方法，使学生建构自己的知识体系.培养学生合作交流的习惯。
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第19课时 等腰三角形(共32张PPT)
失分盲点 分类讨论防漏解 (1)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角 有底角和顶角之分； (2)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
考点聚焦 归探究四
等边三角形的判定与性质的综合应用
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
例4 [2014· 温州] 如图19－3，在等边三角形ABC中，点 D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE， 交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．
图19－3
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
例2 [2014· 襄阳] 如图19－2，在△ABC中，点D，E分 别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等 腰三角形(用序号写出所有成立的情形)? (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°. ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F， ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE， ∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD. ∵CD＝2， ∴DF＝4.
中考数学复习 《等腰三角形》练习题含答案
中考数学复习等腰三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )A．5B．6C．8D．10【解析】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AB2－AD2＝4，∴BC＝2BD＝8，故选C.,第1题图),第2题图) 2．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于( A ) A．20°B．25°C．28°D．30°3．如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( D ) A．北偏东55°B．北偏西55°C．北偏东35°D．北偏西35°,第3题图),第4题图) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( B )A．40°B．36°C．80°D．25°5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( C )A．6 B．3 C．2.5 D．2【解析】如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC ，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG ⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF ，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C. 二、填空题6．等腰三角形两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为__17__．【解析】腰只能为7，故周长为7＋7＋3＝17.7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，EF ＝BF ，则∠E FC 的度数是__45°__．,第7题图) ,第8题图)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝12BC ，等边△BEF 的顶点F 在BC 上，边EF 交AD 于点P ，若BE ＝10，BC ＝14，则PE 的长为__4__．9．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，则∠A 的度数是__12°__．【解析】设∠A ＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x .在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E .若BC ＝3，则DE 的长为__1__．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ，∵∠C ＝90°，∴3∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ，∴CD ＝DE ＝12BD ，∵BC ＝3，∴CD ＝DE ＝1. 三、解答题11．如图，在△ABC 中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于E ，F 两点，∠B ＋∠C ＝60°.(1)求∠EAF 的度数；(2)若BC ＝13，求△AEF 的周长．解：(1)∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴∠DAE ＝∠B.∵GF 是AC 的垂直平分线，∴AF ＝CF ，∴∠CAF ＝∠C.∵∠B ＋∠C ＝60°，∴∠BAE ＋∠CAF ＝60°.∵∠BAC ＝120°，∴∠EAF ＝∠BAC －(∠BAE ＋∠CAF )＝60°(2)由(1)知AE ＝BE ，AF ＝FC.∴C △AEF ＝AE ＋AF ＋EF ＝BE ＋EF ＋FC ＝BC ＝1312．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .(1)写出图中所有的等腰三角形，不需证明；(2)请你判断AD 与BE 是否垂直，并说明理由；(3)如果BC ＝12，求AB ＋AE 的长．解：(1)△ABD ，△EAD ，△CDE ，△ABC(2)AD ⊥BE.理由：∵∠BAE ＝∠BDE ，∠ABE ＝∠DBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE (AAS )，∴AB ＝BD ，又∠ABE ＝∠DBE, AD ⊥BE(3)∵∠C ＝∠DEC ＝45°，∴CD ＝DE ，∴AE ＝DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝1214．有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，求以它的腰长为边的正方形的面积． 解：如图1中，当∠A ＝30°，AB ＝AC 时，设AB ＝AC ＝a ，作BD ⊥AC 于D ，∵∠A＝30°，∴BD ＝12AB ＝12a ，∴12·a·12a ＝53，∴a 2＝203，∴以△ABC 的腰长为边的正方形的面积为20 3.如图2中，当∠ABC ＝30°，AB ＝AC 时，作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ，设AB ＝AC ＝a ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∠BAD ＝60°，在Rt △ABD 中，∵∠D ＝90°，∠BAD ＝60°，∴BD ＝32a ，∴12·a·32a ＝53，∴a 2＝20，∴以△ABC 的腰长为边的正方形的面积为2014．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与A ，C 不重合)，Q 是CB 延长线上一点，由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合)，连结PQ 交AB 于D .若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t .(1)当∠PQC ＝30°时，求t 的值；(2)过P 作PE ⊥AB 于E ，过Q 作QF ⊥AB ，交AB 的延长线于F ，请找出图中在运动过程中的一对全等三角形，并加以证明；(3)在(2)的条件下，当P ，Q 在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化，请说明理由．解：(1)t＝2(2)△APE≌△BQF或△EPD≌△FQD，证明略(3)ED的长度不变，ED＝3。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解23 等腰三角形
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题22等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。
等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线【考查题型】考查题型一等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2021·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9B．17或22C．17D．22变式1-1．（2021·广西玉林市·中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形变式1-2．（2021·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°变式1-3．（2021·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或4考查题型二 根据等边对等角求角度典例2．（2021·广西中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若∠O ＝130°，则∠BAC 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°变式2-1．（2021·甘肃兰州市·中考真题）如图，//AB CD ，AD CD =，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒变式2-2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒变式2-3．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°考查题型三根据三线合一求解典例3．（2021·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5变式3-1．（2021·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为）A．2B．3C．4D．变式3-2．（2021·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P 为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）A．2B．﹣2C．+2D．考查题型四格点中画等腰三角形典例4在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4B．6C．8D．10变式4-1．（2021·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考查题型五根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90°D．∠A+12∠B=90°变式5-1．（2021·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点O，且DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于D、E，则图中等腰三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5考查题型六 根据等角对等边求边长典例6．（2021·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A C ．．变式6-1．（2021·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上．则海岛B 到灯塔C 的距离是（）A ．15海里B ．20海里C ．30海里D ．60海里变式6-2．（2021·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，BC ＝5，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD 、AB 于点P 、Q ，再分别以P 、Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在∠DAB 内交于点M ，连接AM 并延长交CD 于点E ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．6.5考查题型七 等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD 中，BA ＝BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA ＝EC ，若∠BAE ＝90°，∠B ＝45°，求∠DAC 的度数．答案：∠DAC ＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B ＝45°”去掉，再将“∠BAE ＝90°”改为“∠BAE ＝n °”，其余条件不变，求∠DAC 的度数．变式7-1．（2021·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考数据： 1.4≈，1.7≈，结果精确到1千米）．变式7-2．（2021·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40cm AC =，求支架BC 的长．（结果精确到1cm ，参考1.414≈ 1.732≈2.449≈）考查题型八 等边三角形的性质典例8．（2021·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14变式8-1．（2021·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π变式8-2．（2021·甘肃天水市·中考真题）如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()1,1B．C．D．A．()考查题型九等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2021·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东75︒方向，然后他由B地向北偏东15︒方向骑行了6km到达C地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．变式9-1．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B'，点C的对应点为点C'．连接BB'；∠AB B＝°．②在①中所画图形中，'（2）（问题解决）如图2，在Rt ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE ，连接DE ，求∠ADE 的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝1，CD ＝3，AD ＝kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．考查题型十 含30°角的直角三角形典例10．（2021·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．变式10-1．（2021·湖北中考真题）如图，点,,,A B C D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则BC =（ ）A ．2B ．4C ．11 / 11 变式10-2．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A．(1,2-+ B．() C．(2+D．(-。
2015年河北中考数学总复习课件(第18课时_等腰三角形)
图 18－4
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第18课时┃ 等腰三角形
证明：∵OP 平分∠AOB， ∴ . ∵MN∥OB， ∴ ， 故∠1＝∠3， ∴OM＝MN. 小颖知道：污损部分的内容分别为以下四项中的两项， ①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，③∠3＝∠4，④∠4＝∠1，那么 污损的部分内容应是 ( A ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④
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第18课时┃ 等腰三角形
先求等腰三角形 ABC 的底角∠C 的大小，再 根据直角三角形的两锐角互余求∠DBC 的大小．
解 析
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第18课时┃ 等腰三角形
2．[2014· 南充] 如图 18－2，在△ABC 中，AB＝AC，且 D 为 BC 上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为( B )
第18课时 等腰三角形
第18课时┃ 等腰三角形
冀 考 解 读
常考题型 选择、填空、 等腰三角形的性质 解答 选择、填空、 等腰三角形的判定 解答 等腰三角形的 选择、填空、 判定与性质 解答 线段垂直平分线与 选择、 角平分线的性质 填空 考点梳理 年份 2015 热度预测 ☆☆☆☆☆ 2013 2014 ☆☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ ☆☆☆
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第18课时┃ 等腰三角形
考点2 等腰三角形的判定
定理
拓展
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形．其中，两个相等的角所对的 等角对等边 边相等(简称____________) (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是 等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的 三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合 的三角形是等腰三角形
全面的等腰三角形题型分类+答案
等腰三角形题型归纳：类型一：涉及到顶角和底角的问题1、若等腰三角形底角为72°，则顶角为( D)。
A.108°B.72°C.54°D.36°2、若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为50°或80°.3、(1)若等腰三角形的一个外角是40°，则这个等腰三角形的底角为____20°_______.(2)在等腰三角形中，两个内角度数的比为1:4，则它的顶角为___20°或120°_____.中，∠A=2∠B，当∠C=____45°或72°____时，它是一个等腰三角形.4、在ABC5、已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为75°度.6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D)。
A. 60°B. 120°C. 60°或150°D. 60°或120°类型二：有关等腰三角形的周长的问题1、若等腰三角形的两边长分别为8cm和5cm，则它的周长为___18cm或21cm__.2、等腰三角形的底边为7cm，一边上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为( C ).A．20cm B．10cm C．10cm或4cm D．4cm3、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm，则它的周长为___10或11_____.4、若一个等腰三角形的周长是20cm,一边长是5cm,则另两边的长是__7.5cm，7.5cm________.5、已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的三边长.解:在△ABC 中，AB=AC ，BD 是中线，设AB=x ，BC=y ，①当AB+AD=12时，x+ 1/2x=12 ，y+ 1/2x=15 ，解得x=8，y=11；腰是8cm ，底是11cm ； ②当AB+AD=15时，则x+ 1/2x=15，y+ 1/2x=12 ，解得x=10，y=7，腰是10cm ，底是7cm.6、如果等腰三角形的周长为25，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是2，则这个等腰三角形的底边长为多少？类型三：角平分线的问题1、如图，ABC △中，AB AC =，30A ∠=，DE 垂直平分AC ，则BCD ∠的度数为( D ). A.80 B.75 C.65 D.45ABD E第1题图2、如图，ABC △中，AB AC =，BD 是∠ABC 的平分线，且∠BDC=75o ,求∠BAC 的度数。
中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形
中考数学一轮复习专题解析—等腰、等边三角形复习目标1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；考点梳理一、等腰、等边三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：(1)具有三角形的一切性质.(2)两底角相等(等边对等角)(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.3.判定：(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半【答案】B.【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD△AC于D，所以△ABC=△C，△BDC=90°，所以△DBC=90°-△C=90°-(180-△A)= △A，例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分△BAC，△EBC=△E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=cm．【答案】32;【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF△BC，△AB=AC，AD平分△BAC，△AN△BC，BN=CN，△△EBC=△E=60°，△△BEM为等边三角形，△△EFD为等边三角形，△BE=30，DE=2，△DM=28，△△BEM为等边三角形，△△EMB=60°，△AN△BC，△△DNM=90°，△△NDM=30°，△NM=14，△BN=16，△BC=2BN=32，故答案为32．二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.例3．已知：在直角△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC且交AC于D.(1)若△BAC=30°，求证: AD=BD；(2)若AP平分△BAC且交BD于P，求△BPA的度数.图1 图2【答案】(1)证明：△△BAC=30°，△C=90°，△△ABC=60°又△ BD平分△ABC，△△ABD=30°，△ △BAC =△ABD，△BD=AD；(2)解法一：△△C=90°，△△BAC+△ABC=90°△=45°△ BD平分△ABC，AP平分△BAC△BAP=，△ABP=即△BAP+△ABP=45°△△APB=180°-45°=135°解法二：△△C=90°，△△BAC+△ABC=90°△=45°△BD平分△ABC，AP平分△BAC△DBC=，△PAC=△△DBC+△PAD=45°△△APB=△PDA+△PAD =△DBC+△C+△PAD=△DBC+△PAD+△C=45°+90°=135°.1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为9m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．18m B．33m C．63m D．93m【答案】C【分析】△的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三AB是Rt ABC角形的条件，可求出AB的长．【详解】解：如图，30∠=︒，9AC=m，ACB∠=︒，90BAC△AB=2BC，△222AC BC AB+=，即222+=，BC BC94解得：33BC=m，△63AB=m，故选：C．2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则△CB′C′的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】D【分析】依据旋转的性质可求得AB＝AB’，△AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到△B＝△BB’A，于是可得到△CB’C’的度数．【详解】解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，△BAB’＝80°，△AB＝AB’，△△B＝△BB’A＝50°．△△BB’C’＝50°＋50°＝100°．△△CB’C’＝180°−100°＝80°，故选：D．3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在Rt ABC中，90∠=︒，BAC将ABC绕点A顺时针旋转90︒后得到的''AB C（点B的对应点是点'B，点C的对应点是点'C），连接'∠=︒，则B的大小是（）CC．若''32CC BA．32︒B．64︒C．77︒D．87︒【答案】C【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为△CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出△C′B′A的度数，进而求出△B的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，△△CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则△CC′A=45°．△△CC′B′=32°，△△C′B′A=△C′CA+△CC′B′=45°+32°=77°，△△B=77°，故选：C．4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（）A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三个角对应相等的两个三角形全等C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半D．等边三角形是中心对称图形【答案】A【分析】根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可．【详解】解：A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确；B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，错误；D、等边三角形是轴对称图形，错误；故选：A．5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点O为ABC的外心，OCP△为正三角形，=，则ADP的度数为（）∠=︒，AB ACBACOP与AC相交于D点，连接OA．若70A ．85︒B ．90︒C ．95︒D ．110︒【答案】A【分析】 利用外心的性质，得到OA 是△BAC 的平分线，OA =OC ，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．【详解】△O 为ABC 的外心，70BAC ∠=︒，AB AC =，△OA 是△BAC 的平分线， △1352OAC BAC ∠=∠=︒，△AO CO =，△35OAC OCA ∠=∠=︒，△110AOC ∠=︒，△OCP △为正三角形，△60COP ∠=︒，△1106050AOP AOC COP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又△ADP 为AOD △的外角，△85ADP OAD AOD ∠=∠+∠=︒．故选A ．6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG△CE于点G，交AC于点H，EF△EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：△OE＝OH；△EF＝EC；△当G为CE中点时，BF＝424-；△BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（）A．△△△B．△△△C．△△△D．△△△△【答案】D【分析】△由“ASA”可证△BOH△△COE，可得OE=OH；△过点E作EP△BC于P，EQ△AB于Q，由“ASA”可证△QEF△△PEC，可得EF=EC；△由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4，由正方形的性质可求BP=PE=2可求BF的长；△通过证明△BOH△△BGE，可得BH BO=，可得BH•BG=BE•BO．BE BG【详解】解：△BG△CE，EF△EC，△△FEC＝△BGC＝90°，△四边形ABCD是正方形，△AO＝OC＝OB＝OD，AC△BD，△△ECO+△GHC＝90°＝△OBH+△BHO，△BHO＝△CHG，△△OBH＝△ECO，又△BO＝CO，△BOH＝△COE＝90°，△△BOH△△COE（ASA），△OE＝OH，故△正确；如图，过点E作EP△BC于P，EQ△AB于Q，△四边形ABCD是正方形，△△ABD＝△CBD＝45°，又△EP△BC，EQ△AB，△EQ＝EP，又△EP△BC，EQ△AB，△ABC＝90°，△四边形BPEQ是正方形，△BQ＝BP＝EP＝QE，△QEP＝90°＝△FEC，△△QEF＝△PEC，又△△EQF＝△EPC＝90°，△△QEF△△PEC（ASA），△QF＝PC，EF＝EC，故△正确；△EG＝GC，BG△EC，△BE＝BC＝4，△BP＝EP＝2，△PC＝4﹣2QF，△BF＝BQ﹣QF＝22﹣（4﹣22）＝42﹣4，故△正确；△△BOH＝△BGE＝90°，△OBH＝△GBE，△△BOH△△BGE，△BH•BG＝BE•BO，故△正确，故选：D．7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△P AB中，M、N是AB上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM△△P AN，则△APB的度数是________．【答案】120°【分析】由△BPM△△P AN，可得出△BPM=△A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论．【详解】解：△ △BPM△△P AN，△ △BPM＝△A，△ △PMN是等边三角形，△ △A+△APN＝60°，即△APN+△BPM＝60°，△ △APB＝△BPM+△MPN+△APN＝60°+60°=120°．故答案为：120°．8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，ABC是等边三角形，6AB ，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接,BM MN，则BM MN+的最小值是________．【答案】33【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．【详解】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD是BC边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．△ABC是等边三角形，6AB=，N是AB的中点，△AC=AB=6,AN=12AB=3, CN AB⊥,△2222632733CN AC AN=--=即BM+MN的最小值为33故答案为：339．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知ABCD，120ABC∠=︒，点E为线段BC上的一点，连接AE．（1）将线段AE绕点A逆时针旋转60︒得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：点F在ABC∠的平分线上．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1)作△DAT=△EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可；（2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH. 证明ΔABH是等边三角形，证明B、H、F共线可得结论.【详解】（1）如图，线段AF即为所求；（2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.△四边形ABCD是平行四边形，△AD△BC，△△DAB+△ABC=180°，△△ABC =120°， △△BAH =60°， △AH =AB ，△ΔABH 是等边三角形， △△AHB =△ABH =60°， △△EAF =60°， △ △EAF =△BAH ， △ △F AH =△EAB ， 在ΔF AH 和ΔEAB 中，AF AE FAH EAB AH AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ΔF AH △ΔEAB (SAS )， △△AHF =△ABE =120°， △△AHF +△AHB =180°， △B 、H 、F 共线， △△FBA =△FBE =60°，△点F 在△ABC 的角平分线上。
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第20课时 等腰三角形与等边三角形
1. （2014•怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点
，则S△ADE：S△ABC=
．
解：连接CD，
∵D是AB的中点，则△ADC和△BDC等底（AD=BD）同高，
数学
第20课时 等腰三角形与等边三角形
第20课时 等腰三角形与等边三角形
• 知识考点•对应精练
• 考点分类一 三角形的性质 知识考点
对应精练
1.三角形的任意两边之和大于 1．已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为
第三边，任意两边之差小于第 正整数，则这样的三角形的个数为( B )
三边．
A．2 B．3 C．5
知识考点
对应精练
1．概念:有两条边相等的三角 形叫等腰三角形；有三条边都 相等的三角形叫做等边三角形 (也叫正三角形)．
1. 如果等腰三角形的两边长是6 cm和3 cm，
那么它的周长是( D )
A．9 cm
B．12 cm
C．15 cm或12 cm
D．15 cm
2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两腰相等； 等腰三角形的两个底角相等； (2)等腰三角形的顶角角平分 线、底边上的中线和高互相重 合，简称“三线合一”； (3)等腰三角形是轴对称图形
积为S3 , 则S1___=___ S2+ S3(用“>”“=”“<”填空)；
（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明
解答： （1）解：∵S1=
（2）答： △BCD∽△CFB∽△DEC．
BD×ED，
证明△BCD∽△DEC；
S矩形BDEF=BD×ED， ∴S1= S矩形BDEF，
∴S2+S3= S矩形BDEF， ∴S1=S2+S3．
1. 在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，CB＝8，则AB上的高为
.
2. 在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
（D ）
A. a=9，b=41，c=40
B. a=b=5，c=5
C. a︰b︰c=3︰4︰5
D. a=11，b=12，c=15
第20课时 等腰三角形与等边三角形
∴S△ADC=S△BDC= S△ABC ∵E是AC的中点，则△ADE和△CAE等底（AE=CE）同高，
∴S△ADE=S△CDE= S△ADC
∴S△ADE= S△ABC
2. （广东卷•2013）如图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构
造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第20课时 等腰三角形与等边三角形
• 考点分类三 直角三角形的性质与判定
1、性质 (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于 斜边的一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对 的锐角为 30°； (5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．判定 (1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这 个三角形是直角三角形； (2)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三 角形；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°， ∠CBD+∠BDC=90°， ∴∠EDC=∠CBD， 又∵∠BCD=∠DEC=90°， ∴△BCD∽△DEC．
D．13
2.三角形的内角和是180°； 三角形的外角等于与它不相邻 的两个内角的和，三角形的外 角大于任何一个和它不相邻的 内角．
2．如图，∠BDC＝98°，∠C
＝38°，∠B＝23°，∠A的度
数是( C )
A．61°
B．60°
C．37°
D．39°
第20课时 等腰三角形与等边三角形
• 考点分类二 等腰三角形的性质与判定
1. （2014•漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2 ，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再 添加辅助线和字母）
解：AC=DF． 证明：∵BF=EC，∴BF－CF=EC－CF，∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF(SAS)．
2. （2013•深圳市）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行 直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这
• 考点分类四 三角形中位线
定理：三角形的中位线，平行于第三边，并且等于第三边的一半。
1. （2012浙江台州）如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点
，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（ C 0
D．40
2、顺次连结四边形的各边中点的四边形是 平行 四边形。
考点分类五 三角形全 等证明三角形全等有方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。对于直角三角形，还有HL.
2. 如图，在等腰⊿ABC中，分别求出它们的 底角的度数。
解：∵AB=AC， ∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°.
3．等腰三角形的判定 (1)有两条边相等的三角形是 等腰三角形；(2)有两个内角 相等的三角形是等腰三角形．
3. 下面给出的几种三角形：(1)有两个角为 60°的三角形；(2)三个外角都相等的三角形 ；(3)一边上的高也是这边上的中线的等腰三 角形；(4)有一个角为60°的等腰三角形．其 中一定是等边三角形的有( B )
③.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这 两个三角形相似；
④.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 对于直角三角形相似的判定定理还有：斜边与一条直角边对应成比例的 两直角三角形相似。
2、相似三角形的性质: ①.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外
三条平行直线上，则sinα 的值是（ C ）
A.
B.
C.
D.
第20课时 等腰三角形与等边三角形
• 考点分类六 相似三角形的判定与性质 1、判定方法：
①平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的 三角形与原三角形相似；
②.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这 两个三角形相似；