第六章 正弦稳态电路的分析
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正弦稳态电路的分析
Z1=Z2=-j200Ω
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
14、如图所示14正弦稳态电路，R=XL=5Ω，I1=10A，
UC=100V，XC=10Ω，
试求U和I。
解：设 2=I2 A
=50 V
=100 2=10 A 1=10 A
所以，I= =10 AI12+I2=I22
易知 与 同相
U= UC=100 V
15、如图15a所示正弦稳态电路，R1=1KΩ，R2=2KΩ，L=1H，求Ucd=Uab时C的值。
解：电路的总阻抗为
Z=-jXC+ = +j( -XC)
当XC=1Ω和XC=2Ω，可以列出如下两个方程
(1)
(2)
解（1）、（2）得，R=2 Ω，XL=2Ω
4、图4所示工频正弦电流电路中，U=100V，感性负载Z1的电流I1=10A，功率因数λ1=0.5，R=20Ω。
（1）求电源发出的有功功率、电流I、功率因数λ
(3)u= u1+u2+u3的表达式
解：（1）将 ， 写成标准指数形式，即
=-100∠150°V=100∠-30°V
=-100+j100 V=100 ∠135°V
根据相量和正弦量的关系，可得
u1=50 cos(314t+60°) V，u2=100 cos(314t-30°) V
u3=200cos(314t+135°) V
解： =Y =( ) = 45°
I= A
11、列出图11所示电路相量形式的回路方程和结点方程。
解：设各回路方向如图所示。
回路方程如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
- = S（5）
选结点0作为参考结点，结点方程如下:
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
电路设计--正弦稳态电路的分析
试求电流i1(t)
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中
30 V, U S1
jL j1,
j4V 4 90 V U S2
1 j1 jω C
1. 支路分析 以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的KCL 和KVL方程
I I I I I I 11 22 3 3 00
和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析
差别仅在于所得电路方程为以相量形式表
示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，
而计算则为复数运算。
基本分析思路： 1) 从时域电路模型转化为频域模型: 正弦电流、电压用相量表示； 无源支路用复阻抗表示。 2）选择适当的电路分析方法： 等效变换法（阻抗等效变换、电源等效变换） 网孔法、 节点法、应用电路定理分析法等； 3）频域求解（复数运算）得到相量解； 4）频域解转化为时域解。
由电流相量得到相应的瞬时值表达式
i1 (t ) 3.162 2 cos(2t 18.43 )A
3. 结点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参 数的相量模型，如图所示，其中
1 jω L
j1S, jωC j1S
选择参考结点如图所示，用观察法列出结点电压方程
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
由式(1)、(2)得到
(2 j3) I3 I 6 j3
图(d)
代入式(3)得到
2 j3 8 j9 U j2 I I I 6 j3 6 j3 8 j9 U Zo 1.795 74.93 6 j3 I
( j1) 3 j1 ( j4) (1 j1 j1)U
正弦稳态电路分析PPT课件
Q，并计算电源的视在功率S和功率因素cos 。
2
解法二： 采用阻抗Z计算；
·IS
+ 1
U·
2 Z 2 (1 j)(2 j) 2 3 j
1 j 2 j
3
_ j1
-j1
3 j 1 ()
Z
•
U
ZIS
(3
3j 1)50 3
(15
j 5)(V ) 3
P IS 2 Re[Z ] 52 3 75(W )
3 32 (1/ 3)2
75(W )
Q UIS sin φ
152 (5 / 3)2 5
1/ 3 32 (1/ 3)2
8.3(Var)
S UIS 152 (5 / 3)2 5 75.5(VA) cos φ 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is 5 2 sin 2（t A ），求电源提供的P、
+
U·S_
·I1
5
j5
3 -j4
解：U s 100V I1 2 45（ A） I2 253.1（ A）
P1 I12R1 （ 2）2 5 10（W）
或： P1 USI1 cos φ1=10 2 cos 45 10(W)
P2
I
2 2
R2
22
3
12（W）
或： P2 USI2 cos φ2=10 2 cos 53.1 12（W）
例：电路如图，已知 us (t) 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5 R2 3 L 1H C 0.05F
+
2
解法二： 采用阻抗Z计算；
·IS
+ 1
U·
2 Z 2 (1 j)(2 j) 2 3 j
1 j 2 j
3
_ j1
-j1
3 j 1 ()
Z
•
U
ZIS
(3
3j 1)50 3
(15
j 5)(V ) 3
P IS 2 Re[Z ] 52 3 75(W )
3 32 (1/ 3)2
75(W )
Q UIS sin φ
152 (5 / 3)2 5
1/ 3 32 (1/ 3)2
8.3(Var)
S UIS 152 (5 / 3)2 5 75.5(VA) cos φ 0.993
第6章 正弦稳态电路分析
例：如图电路中，已知 is 5 2 sin 2（t A ），求电源提供的P、
+
U·S_
·I1
5
j5
3 -j4
解：U s 100V I1 2 45（ A） I2 253.1（ A）
P1 I12R1 （ 2）2 5 10（W）
或： P1 USI1 cos φ1=10 2 cos 45 10(W)
P2
I
2 2
R2
22
3
12（W）
或： P2 USI2 cos φ2=10 2 cos 53.1 12（W）
例：电路如图，已知 us (t) 10 2 sin 5（t V） ，求电阻R1，R2
消耗的功率，并分析功率关系。
·I2
+ uS(t)_
R1 5 R2 3 L 1H C 0.05F
+
正弦稳态电路分析和功率计算
仍为感性。
(5) 导纳三角形
Y G B
2 2
|Y|
|Y|
|B| G
(6) 导纳是频率的函数
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 2 cos 500 t V 2 cos 3000 t V 为 120 与 120 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
1 I 记为 Y。 即 Y 。单位：西门子（S）. Z U
元件
I
Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
U Z I
1 I Y Z U
一端口
+ U
I
N0
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为： ，不再表现为微积分的关系； I Y U I (2) Y 为一复数，记为 Y = G + jB . U 其中： G — 电导分量 (S)； B — 电纳分量 (S) 1 BL — 感纳 BC = C — 容纳； L I I I 2 2 (3) Y Y i u Y G B U U U
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
Z Im Im2 Z Im m U 11 1 Z 12 1 m S 11 I Z I Z I U Z 21 m 1 22 m 2 2m m m S22 Z I Z I Z I U 1 m 1 m 2 m 2 m mm m Sm m m
正弦稳态电路的分析
正弦稳态电路的分析1.复数法分析：a. 复数电压和电流表示：将正弦波电流和电压表示为复数形式，即I = Im * exp(jωt)，V = Vm * exp(jωt)，其中Im和Vm为幅值，ω为角频率，j为虚数单位。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立复数表达式。
c.找到电路中的频域参数，如电阻、电感和电容等，并使用复数法计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，这会决定电路中的功率因数。
2.相量法分析：a.相量表示：将电路中的电流和电压表示为相量形式，即以幅值和相位角表示，例如I=Im∠θ，V=Vm∠θ。
b.使用欧姆定律和基尔霍夫定律来建立相量表达式。
c.对电路中的频域参数应用相量法，计算电路中的电流和电压。
d.计算电源电压和电流的相位差，以确定电路中的功率因数。
无论是复数法还是相量法，分析正弦稳态电路的关键是计算电路中的电流和电压的幅值和相位。
在计算过程中，需要使用复数代数、欧姆定律、基尔霍夫定律以及频域的电路参数等相关知识。
在实际应用中，正弦稳态电路的分析主要包括以下几个方面：1.交流电路中的电阻：电阻对交流电流的影响与直流电路相同，即按欧姆定律计算。
复数法计算时，电流和电压与频率无关，可以直接使用欧姆定律计算。
2.交流电路中的电感：电感器对交流电流的响应取决于电流的频率。
复数法计算电感电压和电流时，需要将频率变量引入到电感的阻抗中。
3.交流电路中的电容：电容器对交流电压的响应取决于电压的频率。
复数法计算电容电压和电流时，需要将频率变量引入到电容的阻抗中。
4.交流电路中的复数阻抗：电路中的电感、电容和电阻组成复数阻抗。
复数阻抗可以用来计算电路中的电流和电压。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，可以建立复数电流和电压之间的关系。
5.交流电路中的功率因数：功率因数是电路中有功功率与视在功率之比。
在分析正弦稳态电路时，可以计算电路中电源电压和电流的相位差，从而确定功率因数。
总结起来，正弦稳态电路的分析步骤包括选择复数法或相量法、建立复数或相量表达式、计算电流和电压的幅值和相位、计算功率因数等。
正弦稳态电路的相量分析法
i + vR − + vL −
İ + VR1 − + VL −
+
R1
v
−Hale Waihona Puke (a)L iC + iR2
+
R1
C vC R2 V
−
−
(b)
jωL İC + İR2
1 jωC
VC
R2
−
(c)
图5.14 例5.6图
İ İC
İR2
V VL VR1
VC=VR2
2006-1-1
！
3
正弦稳态电路的相量分析法(3)
解 根据电路图画出其相应的相量模型如图5.14(b)所示。感抗和容抗分别为
进而得到电容和电阻上的电流
IC
VC jX C
89.4 26.6 j100
0.89463.4(A)
IR
VR R
89.4 26.6 50
1.79 26.6(A)
各电流、电压的相量关系如图5.14(c)所示。
2006-1-1
！
5
正弦稳态电路的相量分析法(5)
当然，电压 和 也V可C 以V利R 用分压公式求得。下面应用PSpice对该 题进行仿真。电路如图5.14(d)所示，这里使用电压源VSIN元件， 其参数设置如下：偏置值VOFF=0，幅值VAMPL=141.4，频率 FREQ=159.15，其他为默认值。采用瞬态仿真，参数为：采样步 长Print Step=1ms，终了时间Final Time=40ms。因篇幅有限，且 使结果清晰，只显示电压源v和电容电压vC的波形，如图5.14(e)所 示。两个电压的相邻幅值的时间差为Δt = 14.6 − 14.137 = 0.463(ms)，则相位差为φ = Δt∙ω = 0.463(rad) = 26.53°，且电压 源v超前电容电压vC，这与前面结果是吻合的。将幅值转换为有效 值后，与计算结果也是相同的。
06正弦稳态电路的分析 [兼容模式]
正弦稳态电路的分析第6章 正弦稳态电路的分析§6.1 正弦量及其相量表示 §6.2 电路定律的相量表示 §6.3 阻抗和导纳 §6.4 正弦稳态电路的分析 §6.5 6 5 正弦稳态电路的功率 弦稳态电路的功率 应用——电吹风、日光灯 电吹风 日光灯返回 上页 下页正弦稳态电路的分析本章重点1. 相量与正弦量的对应关系 2. 相量图 3. 阻抗和导纳 4. 正弦稳态电路的分析与计算 5. 正弦稳态电路的功率返回 上页 下页正弦稳态电路的分析§6.1 6 1 正弦量及其相量表示一、正弦量的三要素设图中正弦电流 i 的数学表达式为 振 幅 ωt +ψ ) i = Imcos( i 角频率 初相 (位) +i u _1 ω T = 2 π， ω = 2 π f ， f = T返回 上页 下页正弦稳态电路的分析初相单位用弧度或度表示，常取|ψi |≤180o。
它 与计时零点有关。
对任一正弦量，初相是允许任意 指定的，但对于一个电路中的许多相关的正弦量， 它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相 位。
正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分 的依据。
返回 上页 下页正弦稳态电路的分析4 正弦波形(waveform) 4. ( f ) 正弦量随时间变化的图形称为正弦波。
Im Oi = ImcosωtIm i = Imcos(ωt +ψ i )2ππ 2πωtπ 2π(ψ i = 0)ψiωti = Imcos(ωt +ψ i ) Im 2 π(ψ i > 0)π 2π ω tψi(ψ i < 0)返回 上页 下页正弦稳态电路的分析返回 上页 下页正弦稳态电路的分析返回 上页 下页正弦稳态电路的分析二、两个同频率正弦量之间的 相位差(phase difference)设u 和 i 分别为：u = U m cos(ωt + ψ u ) i = I m cos(ωt + ψ i )设ϕ 表示 u 和 i 间的相位差，并在主值范围内 取值。
电路原理与电机控制第6章正弦稳态电路分析
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感谢您的观看
正弦稳态电路的功率分析是电路分析中的重要内容之一，主要涉及到有功功率、无功功率和视在功率 等概念。
有功功率是指电路中消耗的电能，用于驱动负载或产生热量。无功功率是指电路中交换的能量，用于 维持电源与负载之间的电压和电流相位关系。视在功率是指电路中电压和电流的有效值之积，用于表 示电源的总功率容量。
03
正弦稳态电路实验的目的和要求
目的
通过实验，使学生掌握正弦稳态电路 的基本原理和分析方法，培养学生对 电路理论的实际应用能力。
要求
学生需要掌握正弦稳态电路的基本概 念、元件特性、电路分析方法等理论 知识，能够独立完成实验操作，并分 析实验数据。
正弦稳态电路实验的步骤和方法
01
步骤
02
1. 准备实验器材，包括电源、电阻、电容、电感等 元件和测量仪表。
工程设计依据
正弦稳态电路的分析结果可以为工程设计提供依 据，帮助工程师更好地设计、分析和优化电路。
正弦稳态电路的应用场景
电力系统
正弦稳态电路广泛应用于电力系统的分析、设计和优化，如变压 器的设计、输电线路的参数计算等。
电子设备
在电子设备中，正弦稳态电路常用于信号处理、放大和传输等环节， 如音频设备和通信系统。
变压器和电动机在正弦 稳态电路中的特性分析
变压器在正弦稳态电路中的特性分析
变压器在正弦稳态电路中主 要起到电压变换和隔离的作 用，通过改变一次侧和二次 侧线圈的匝数比，实现电压
的升高或降低。
在正弦稳态电路中，变压器 的一次侧和二次侧电流、电 压的有效值与匝数成正比，
而相位则与匝数成反比。
变压器在正弦稳态电路中的 磁通量与电源频率、线圈匝 数和磁导率有关，而铁芯的 磁导率是常数。
《电路分析》_卢小芬 主编_课后答案_第六章 正弦稳态电路的分析-答案01
=7
并且
I = U1 = 8 = 2 A
R1 4
故阻抗 Z 吸收的功率为
P = U2I cosθ = 7 × 2 = 14 W
6-11 如 题 6-11 图 所 示电路， U&S = 100∠0o V , 电 路吸收的功率 P = 300 W ， 功率因数
λ = cosϕ = 1 。求 IC 。
+ U& S
间关系为
I = IG2 + IB2 由于 I&C 与 I&L 的相位相差 180°， 故 IB = IC − IL = 9 − 6 = 3 A，因此
IG = I 2 − IB2 = 52 − 32 = 4 A
类似于 RLC 串联电路和 GCL 并联电路， 对于 n 个元件串联组成的电路， 等效阻抗 Z 为
+
jωC6
+ Y3 ⎞⎟U&C ⎠
−
1 jω L4
U&
a
−
jωC6 U&b
= U& sY3
从本例可知， 电阻电路的节点分析法乃至一般分析方法可以直接推广到相量法中。
6-6 电路如题 6-6 图所示，虚线框内是一电感线圈的电感和电阻，已知 r=200 Ω， L1 =0.8H，
U1 =190 V，电源电压U =220 V，频率 f =50Hz，求其串联的电感 L。
L
1L
Q C
=
I
2 2
X
C
= 12
12 = 12 Var
Q = Q - Q = 32 -12 = 20 Var
C
L
C
S = P2 + Q2 = 24 + 16 = 40 VA
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2.复数运算
1）复数乘/除
c1 r1θ 1, c2 r2θ
2） 复数加/减
2
c1c2 r1r2 (θ1 θ2 ) c1 r1 (θ1 θ2 ) c2 r2
c1 a1 jb1, c2 a2 jb2 c1 c2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
第六章
正弦稳态电路的分析
电路的激励是正弦量，响应也是正弦稳态量的电 路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。
正弦稳态分析的重要性在于：
1. 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多 数电路。 2. 用相量法分析正弦稳态十分有效。 3. 已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形
信号激励下的响应。
相位差：同频率正弦量的相位之差,为其初相位之差。
= （ωt+u）- （ωt+i）= u - i 当>0 时，称u在相位上超前i相位角 ，或称i滞后u相位角， 特例： 当 =0 时， 称u与i同相， 当 =180º 时，称u与i反相， 当 =90º 时， 称u与i正交
一般情况：| |
复习复数知识
1. 复数的表示
欧拉公式: e cos θ jsin θ
jθ
c rθ re j r cos jr sin a jb b 2 2 r a b θ arctan a a r cos Re[re j ] b r sin Im[re j ]
c1 c2 ( a1 a2 ) j(b1 b2 )
电路分析中采用符号 应用欧拉公式
j 1
e jθ cos θ jsin θ 可以得到
cos90 j sin 90 j
j90
e
j90
j 1 e e
j90
190
cos(90 ) j sin(90 ) j
m m u
旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影
一个随时间按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个称为 相量的复数来表示。
已知正弦电压电流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电
流相量。反过来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压
电流的瞬时值表达式。即
u (t ) U m sin( t u ) U m U m u U U u
5e j60A 5 60 A i1 (t ) 5sin(314t 60 )A I1m
正弦电流i2(t)=10cos(314t+60)A
i2 (t ) 10cos(314t 60 )A
三角公式 sinx=cos(x-90)
注意：今后在用相量法分析电路时， 10sin(314t 60 90 )A 应该将各正弦电压电流的瞬时表达式 10cos(314t 150 )A I 2 m 10150 A全部用正弦函数(余弦函数)表示
1 2 1 2
Im[ 2 I1e jt 2 I 2e jt ] Im[ 2( I1 I 2 )e jt ] Im[ 2 Ie jt ]
练习： 1.写出这两个正弦电流的电流相量,画出相量图
i1 5 2 sin(t 30 )
o
i2 10 2 cos(t 60 )
o
2.
二、基尔霍夫定律的相量形式
1. 基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一 结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。 i i i Im[ 2 I e jt ] Im[ 2 I e jt ] n=2
o
I
T
o
i 2 dt
I称为i的有效值，两者的热效应相同 一个正弦交流电流（压）的有效值实为该电流（压）的方均根值
1 1 Im o o U U m 0.707U m 2 2 正弦电流的有效值为其最大值的1/ 2 倍 。
T 2 T
1 I T
1 i dt T
I m sin 2 tdt
解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为
(180 ) (45 ) 135
电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为
(180 ) 60 240
习惯上将相位差的范围控制在 -180°到+180°之间， 我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240 ，而说电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120。
一 、 正弦量的三要素
i (t ) I m sin(t i )
上式称为正弦量的瞬时值表达式，式中3个常量Im 、ω 、i
称为表征正弦量的三个要素:
Um 称为最大值，
ω称为角频率，
i称为初相位。
这三个要素与正弦量具有一一对应的关系。
1. 最大值、有效值
最大值：正弦量在变化过程中所能达到的最大值， 又称振幅或幅值 峰-峰值：通常将正弦量的最大值与最小值之差， 即2Im称为正弦量的峰—峰值 有效值：一个正弦电流流过一个电阻，在时间内产生的热量 与一个直流电流通过同一电阻，在同一时间内产生 的热量相等，即 T i 2 Rdt I 2 RT 1 T
平时所用交流电表测的数值，通常都是有效值
2. 相位、初相位、相位差
i (t ) I m sin(t i ) u (t ) U m sin(t u )
相位（角） :（ω t+i）称为正弦量的相位（角） 初相位：当t=0 时，（ω t+i）= i ，即初相位。
i
是t=0时的相位角。
第六章
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 本章重点：
正弦稳态电路的分析
正弦量的基本概念 正弦量的相量表示法 电路元件伏安关系的相量形式 无源二端网络的等效电路 正弦稳态交流电路的分析 正弦稳态电路的功率 三相电路 *变压器电路
相量表示法 正弦稳态电路的分析 正弦稳态电路的功率
采用复数运算可以得到更精确的结果
I m I1m I 2 m 560 10150 ( 2.5 j4.33) ( 8.66 j5) ( 6.16 j9.33) 11 .8123 .4 A
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) I m sin(314t ) 11.8sin(314t 123.4 )A
方括号内是一个复函数，符号Im是表示对其取虚部
2 Ie j i 是一个复常数，用 Im 表示
I m 2 Ie j i 2 I i
正弦量与其相量对应的关系：
称为表示正弦量i 的相量
i I m 2 I i u U m 2U u
2.相量图 相量是复数，就可以把它画在复平面中，所得到的图形称为相量图
3.周期、频率和角频率
周期T：正弦量是周期量，变化一周所需的时间称为周期，
用T表示，单位为秒。
频率f：正弦量在一秒内重复的次数称为频率，用f表示，
单位为赫兹(Hz)。 我国规定工业用电频率为50Hz，称为工频。
频率与周期关系：互为倒数 角频率 ：正弦量的角速度=2f= 2/T工程上，
常称ω为角频率，单位为弧度/秒。
解：根据以下关系 i1 (t ) 5sin(314 t 60 )A
Im[5e
j60
e j314t ]A Im[I1m e j314t ]A
正弦电流 i1(t)=sin(314t+60)A的相量为
I 1m 5e
j60
A 560 A
正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为
由于ω与f 成正比，有时它们统称为频率，但须注意单位不同
例 已知正弦电压的振幅为10伏,周期为100ms,初相为 /6。试写出正弦电压的函数表达式。
解：正弦电压的角频率 2 2 20 62.8 rad/s 3 T 100 10 正弦电压的函数表达式为
u (t ) U m sin( t u )
+j
Im
i
+1
i I m 2 I i
用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。 在复数平面上可以用一个有向线段来表示 =cost+jsin t
相乘可以得到以下数学表达式
U m e j t U m e j( t ψu ) U m cos( t ψu ) jU m sin( t ψu )
10sin(20 t )V 10sin (62.8 t 30 ) V 6
例 已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式,试求电压 u(t)与电流i1(t)和i2(t)的相位差。
u (t ) 311sin( t 180 ) V i1 (t ) 5sin( t 45 ) A i2 (t ) 10 sin( t 60 ) A
＝ 将各电流相量 I1m 560 A 和 I 2 m 10150 A 画在一
个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正 弦电压电流的相位关系。
用相量图求得几个同频率正弦电压或电流之和:
用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流相量， 从而知道电流i(t)=Imsin(314t+ψ)的振幅大约为12A，初相大约 为124°。 作图法的优点是简单直观，但不精确
第二节
正弦量的相量表示法
分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的 基础是用一个称为相量的向量或复数来表示正弦 电压和电流。
复数
工程中通常采用复数表示正弦量，把对正弦量的 各种运算转化为复数的代数运算，从而大大简化正弦
交流电路的分析计算过程，这种方法称为相量法。
1）复数乘/除
c1 r1θ 1, c2 r2θ
2） 复数加/减
2
c1c2 r1r2 (θ1 θ2 ) c1 r1 (θ1 θ2 ) c2 r2
c1 a1 jb1, c2 a2 jb2 c1 c2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
第六章
正弦稳态电路的分析
电路的激励是正弦量，响应也是正弦稳态量的电 路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。
正弦稳态分析的重要性在于：
1. 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多 数电路。 2. 用相量法分析正弦稳态十分有效。 3. 已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形
信号激励下的响应。
相位差：同频率正弦量的相位之差,为其初相位之差。
= （ωt+u）- （ωt+i）= u - i 当>0 时，称u在相位上超前i相位角 ，或称i滞后u相位角， 特例： 当 =0 时， 称u与i同相， 当 =180º 时，称u与i反相， 当 =90º 时， 称u与i正交
一般情况：| |
复习复数知识
1. 复数的表示
欧拉公式: e cos θ jsin θ
jθ
c rθ re j r cos jr sin a jb b 2 2 r a b θ arctan a a r cos Re[re j ] b r sin Im[re j ]
c1 c2 ( a1 a2 ) j(b1 b2 )
电路分析中采用符号 应用欧拉公式
j 1
e jθ cos θ jsin θ 可以得到
cos90 j sin 90 j
j90
e
j90
j 1 e e
j90
190
cos(90 ) j sin(90 ) j
m m u
旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影
一个随时间按正弦规律变化的电压和电流，可以用一个称为 相量的复数来表示。
已知正弦电压电流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电
流相量。反过来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压
电流的瞬时值表达式。即
u (t ) U m sin( t u ) U m U m u U U u
5e j60A 5 60 A i1 (t ) 5sin(314t 60 )A I1m
正弦电流i2(t)=10cos(314t+60)A
i2 (t ) 10cos(314t 60 )A
三角公式 sinx=cos(x-90)
注意：今后在用相量法分析电路时， 10sin(314t 60 90 )A 应该将各正弦电压电流的瞬时表达式 10cos(314t 150 )A I 2 m 10150 A全部用正弦函数(余弦函数)表示
1 2 1 2
Im[ 2 I1e jt 2 I 2e jt ] Im[ 2( I1 I 2 )e jt ] Im[ 2 Ie jt ]
练习： 1.写出这两个正弦电流的电流相量,画出相量图
i1 5 2 sin(t 30 )
o
i2 10 2 cos(t 60 )
o
2.
二、基尔霍夫定律的相量形式
1. 基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一 结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。 i i i Im[ 2 I e jt ] Im[ 2 I e jt ] n=2
o
I
T
o
i 2 dt
I称为i的有效值，两者的热效应相同 一个正弦交流电流（压）的有效值实为该电流（压）的方均根值
1 1 Im o o U U m 0.707U m 2 2 正弦电流的有效值为其最大值的1/ 2 倍 。
T 2 T
1 I T
1 i dt T
I m sin 2 tdt
解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为
(180 ) (45 ) 135
电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为
(180 ) 60 240
习惯上将相位差的范围控制在 -180°到+180°之间， 我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240 ，而说电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120。
一 、 正弦量的三要素
i (t ) I m sin(t i )
上式称为正弦量的瞬时值表达式，式中3个常量Im 、ω 、i
称为表征正弦量的三个要素:
Um 称为最大值，
ω称为角频率，
i称为初相位。
这三个要素与正弦量具有一一对应的关系。
1. 最大值、有效值
最大值：正弦量在变化过程中所能达到的最大值， 又称振幅或幅值 峰-峰值：通常将正弦量的最大值与最小值之差， 即2Im称为正弦量的峰—峰值 有效值：一个正弦电流流过一个电阻，在时间内产生的热量 与一个直流电流通过同一电阻，在同一时间内产生 的热量相等，即 T i 2 Rdt I 2 RT 1 T
平时所用交流电表测的数值，通常都是有效值
2. 相位、初相位、相位差
i (t ) I m sin(t i ) u (t ) U m sin(t u )
相位（角） :（ω t+i）称为正弦量的相位（角） 初相位：当t=0 时，（ω t+i）= i ，即初相位。
i
是t=0时的相位角。
第六章
主要内容：
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 本章重点：
正弦稳态电路的分析
正弦量的基本概念 正弦量的相量表示法 电路元件伏安关系的相量形式 无源二端网络的等效电路 正弦稳态交流电路的分析 正弦稳态电路的功率 三相电路 *变压器电路
相量表示法 正弦稳态电路的分析 正弦稳态电路的功率
采用复数运算可以得到更精确的结果
I m I1m I 2 m 560 10150 ( 2.5 j4.33) ( 8.66 j5) ( 6.16 j9.33) 11 .8123 .4 A
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) I m sin(314t ) 11.8sin(314t 123.4 )A
方括号内是一个复函数，符号Im是表示对其取虚部
2 Ie j i 是一个复常数，用 Im 表示
I m 2 Ie j i 2 I i
正弦量与其相量对应的关系：
称为表示正弦量i 的相量
i I m 2 I i u U m 2U u
2.相量图 相量是复数，就可以把它画在复平面中，所得到的图形称为相量图
3.周期、频率和角频率
周期T：正弦量是周期量，变化一周所需的时间称为周期，
用T表示，单位为秒。
频率f：正弦量在一秒内重复的次数称为频率，用f表示，
单位为赫兹(Hz)。 我国规定工业用电频率为50Hz，称为工频。
频率与周期关系：互为倒数 角频率 ：正弦量的角速度=2f= 2/T工程上，
常称ω为角频率，单位为弧度/秒。
解：根据以下关系 i1 (t ) 5sin(314 t 60 )A
Im[5e
j60
e j314t ]A Im[I1m e j314t ]A
正弦电流 i1(t)=sin(314t+60)A的相量为
I 1m 5e
j60
A 560 A
正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为
由于ω与f 成正比，有时它们统称为频率，但须注意单位不同
例 已知正弦电压的振幅为10伏,周期为100ms,初相为 /6。试写出正弦电压的函数表达式。
解：正弦电压的角频率 2 2 20 62.8 rad/s 3 T 100 10 正弦电压的函数表达式为
u (t ) U m sin( t u )
+j
Im
i
+1
i I m 2 I i
用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。 在复数平面上可以用一个有向线段来表示 =cost+jsin t
相乘可以得到以下数学表达式
U m e j t U m e j( t ψu ) U m cos( t ψu ) jU m sin( t ψu )
10sin(20 t )V 10sin (62.8 t 30 ) V 6
例 已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式,试求电压 u(t)与电流i1(t)和i2(t)的相位差。
u (t ) 311sin( t 180 ) V i1 (t ) 5sin( t 45 ) A i2 (t ) 10 sin( t 60 ) A
＝ 将各电流相量 I1m 560 A 和 I 2 m 10150 A 画在一
个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正 弦电压电流的相位关系。
用相量图求得几个同频率正弦电压或电流之和:
用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流相量， 从而知道电流i(t)=Imsin(314t+ψ)的振幅大约为12A，初相大约 为124°。 作图法的优点是简单直观，但不精确
第二节
正弦量的相量表示法
分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的 基础是用一个称为相量的向量或复数来表示正弦 电压和电流。
复数
工程中通常采用复数表示正弦量，把对正弦量的 各种运算转化为复数的代数运算，从而大大简化正弦
交流电路的分析计算过程，这种方法称为相量法。