修订线性代数作业答案第四章

→
11. 已知向量组 β 1 = ( 0,1,−1) ， β 2 = ( a ,2,1) ， β 3 = ( b,1,0) 与向量组
T T T
α 1 = (1,2,−3)T ， α 2 = ( 3,0,1) T ， α 3 = (9,6,−7) T 具有相同的秩，且 β 3 可由向量组
α 1 , α 2 , α 3 线性表示，求 a , b 的值.
故线性表示为 v2 = 3a1 − 3a2 − 2a3 15. 求下面齐次线性方程组的基础解系与通解.
⎧ x1 − 8 x 2 + 10 x 3 + 2 x 4 = 0 ⎪ ⎨ 2 x1 + 4 x 2 + 5 x 3 − x 4 = 0 ⎪3 x + 8 x + 6 x − 2 x = 0 2 3 4 ⎩ 1
代入(1)，得(k 1 + kl 1 )α 1 + L + (k m + kl m )α m + kβ 2 = 0
6. 当 λ 为何值时，向量组 α 1 = ( 3,2,0,1) ，α 2 = ( −1,−2,−4,−1) ，α 3 = ( 3,0, λ ,0)
T T
→
→
→
T
线性相关. 解 由
⎛ 3 −1 3⎞ ⎛1 −1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜2 − 2 0⎟ ⎜0 2 T T T A = (α 1 , α 2 ,α 3 ) = ⎜ ~ 0 − 4 λ ⎟ ⎜0 − 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 −1 0⎟ ⎜0 0 ⎝ ⎠ ⎝
解 因为 α1 ,α 2 线性无关，而 α 3 = 3α1 + 2α 2 ，所以 α1 ,α 2 ,α 3 线性相关，且向量组 α1 ,α 2 ,α 3 的秩为 2，所以向量组 β1 , β 2 , β 3 的秩也为 2.由于 β 3 可由 α1 ,α 2 ,α 3 线性表示，故 β 3 可由
→ → →
a1 = (1, 1, 0, 0 ) , a 2 = (1, 0, 1, 1)
T → T →
→
T
所生成的向量空间记作
T
V1 ，由 b1 = (2,
− 1, 3, 3 ) , b2 = (0, 1, − 1, − 1) 所生成的向量空间
记作 V2 ，试证: V1 = V2 . 证明 设 V1 = x = k1a1 + k 2 a 2 k1 , k1 ∈ R , 任取 V1 中一向量,可写成 k1a1 + k 2 a2 , 要证 k1a1 + k 2 a 2 ∈ V2 ,从而得 V1 ⊆ V2 由 k1a1 + k 2 a2 = λ1 β1 + λ2 β 2 得
⎧ x1 + x4 = 0 ⎪ x + x2 = 0 ⎪ (2) 若 a1 , a2 , a3 , a4 线性无关, 则 ⎨ 1 x + x3 = 0 ⎪ 2 ⎪ ⎩ x3 + x 4 = 0
⎛1 ⎜ 1 ⇒⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 1 1 0
0 0 1 1
1 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ x 2 ⎟ =0 0 ⎟⎜ x3 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎠⎝ x 4 ⎠
→
→
→
→
α1 ,α 2 线性表示，即 α 1 ,α 2 , β 3 线性相关.
0 a b 1 3 b 于是有 1 2 1 = 0 ，解得 a = 3b ，另外 2 0 1 = 0 ，解得 b = 5 . −1 1 0 −3 1 0
故
a = 15 ， b = 5 .
41
班级
姓名
→
学号
12.
DC
13. 由
T T
a3 = (4,1,−1,1)T ,求 a .
解 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 整理得
a=
1 1 (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = [3(2,5,1,3)T + 2(10,1,5,10)T − 5(4,1,−1,1)T ] 6 6
= (1,2,3,4)T
1 1 由 0 0
综合得证.
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 =0 0 1
知此齐次方程存在非零解. 则 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关.
4. 设 b1 = a1 , b2 = a1 + a2 , L , br = a1 + a2 + L + ar ,且向量组 a1 , a2 ,L, ar 线性无关,证 明向量组 b1 , b2 , L , br 线性无关. 证明 设 k1b1 + k 2b2 + L + k r br = 0 则
属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
解
31 94 94 32
17 53 54 20
⎛ ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
43 ⎞ ⎟ r − 3r1 132 ⎟ 2 ~ 134 ⎟ r3 − 3r1 48 ⎟ ⎠ r4 − r1
8 ⎞ ⎟ 5 ⎟ 1 0 − 1⎟ 0 1 2 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎠ 0 0
{
}
V2 = {x = λ1 β1 + λ2 β 2 λ1 , λ1 ∈ R}
⎧k1 + k 2 = 2λ1 ⎪k1 = λ2 − λ1 ⎧2λ1 = k1 + k 2 ⎨k = 3λ − λ ⇔ ⎨− λ + λ = k 1 2 2 1 ⎩ 1 ⎪ 2 k 3 λ λ = − 1 2 ⎩ 2
上式中,把 k1 , k 2 看成已知数,把 λ1 , λ2 看成未知数
3． 设 b1 = a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a4 , b4 = a4 + a1 ,证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相 关. 证明 设有 x1 , x2 , x3 , x4 使得
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0 则 x1 (a1 + a2 ) + x2 (a2 + a3 ) + x3 (a3 + a4 ) + x4 (a4 + a1 ) = 0 ( x1 + x4 )a1 + ( x1 + x2 )a2 + ( x2 + x3 )a3 + ( x3 + x4 )a4 = 0
31 1 1 1
17 2 3 3
43 ⎞ ⎟ r −r 3⎟ 4 3 ~ 5 ⎟r −r 3 2 5⎟ ⎠
⎛ 25 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎝
31 1 0 0
17 2 1 0
43 ⎞ ⎟ 3⎟ 3⎟ 0⎟ ⎠
~
所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组， a 4 =
→ →
8 a 1 − a 2 + 2a 3 。 5
班级
姓名
学号
第四章
T
向量组的线性相关性
T T
1．设 v1 = (1, 1, 0) , v2 = (0, 1, 1) , v3 = (3, 4, 0) , 求 v1 − v2 及 3v1 + 2v2 − v3 . 解
v1 − v2 = (1, 1, 0)T − (0, 1, 1)T = (1 − 0, 1 − 1, 0 − 1)T = (1, 0, − 1)T
(1) 若 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关,则存在不全为零的数 k1 , k 2 , k3 , k 4 ,
k1 = x1 + x4 ;
k 2 = x1 + x2 ;
k3 = x2 + x3 ;
k 4 = x3 + x4 ;
38
班级
姓名
学号
由 k1 , k 2 , k3 , k 4 不全为零,知 x1 , x2 , x3 , x4 不全为零,即 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关.
β 2 必线性无关.
→
设k 1α 1 + L + k m α m + k (lβ 1 + β 2 ) = 0
(1)
又β 1 可由α 1 , L , α m 线性表示 , β 1 = l 1α 1 + L + l m α m Q β 2 不能由A表示 ∴ k = 0 ∴ k i + kl i = 0 ⇒ k i = 0, i = 1,2, L , m ∴ α 1 , L , α m , lβ 1 + β 2 线性无关 .
D1 =
∴V1 ⊆ V2
2 0 =2≠0 −1 1
⇒ λ1 , λ2 有唯一解
同理可证: V2 ⊆ V1 (Q D2 = 14. 验 证 α 1
→ T →
1 1 ≠0) 1 0
故 V1 = V2
T → T
= (1, − 1, 0 ) , α 2 = (2, 1, 3 ) , α 3 = (3, 1, 2 ) 为 R 3
⎧k1 + 2k 2 + 3k 3 = 5 ⎪ ⎨− k1 + k 2 + k 3 = 0 ⎪ ⎩3k 2 + 2k 3 = 7
故 v1 = 2a1 + 3a2 − a3 设 v2 = λ1a1 + λ2 a2 + λ3 a3 ，则
⎧k1 = 2 ⎪ ⇒ ⎨k 2 = 3 ⎪ ⎩k 3 = −1
⎧λ1 + 2λ2 + 3λ3 = −9 ⎧k1 = 3 ⎪ ⎪ ⎨− λ1 + λ2 + λ3 = −8 ⇒ ⎨k 2 = −3 ⎪ ⎪ ⎩k3 = −2 ⎩3λ2 + 2λ3 = −13
则 k1 = k 2 = L = k r = 0 . 所以 b1 , b2 , L , br 线性无关 5. 设向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m 线性无关， 向量 β 1 可由向量组 A 线性表示， 而向量 β 2