正弦量与相量法基本概念共25页
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【第8章】 相量法
实轴 +1
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。
正弦量与相量法的基本概念
正弦量与相量法的基本概念
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
THANK YOU
感谢聆听
相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
THANK YOU
感谢聆听
相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
第五章
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
正弦电流电路导论
内容提要
1.正弦量的相量表示法； 2.两类约束的相量形式； 3.正弦电流电路的分析计算； 4.正弦电流电路的功率。
5.1 正弦量电压和电流的基本概念
一 时变的电压和电流 ◆ 时变电压和电流：随时间变动的电压和电流。
第五章
正弦电流电路
u(t )
◆瞬时值：时变电压和电流在任一时刻的数值，用 和 i (t ) 表示。
2π u2 =100 2sin(100t )V 3
3
0
6
I1
解：
π I1 =50 A 6 π U1 =100 V 3 2π U 2 =100- V 3
2 3
U 2
相量图
第三章 正弦电流电路
四 用相量求正弦量的和与差
i1 (t ) 70.7 2 sin(ωt 45 )A i2 (t ) 42.4 2 sin(ωt 30 )A
③角频率ω：每秒变化的弧度。单位：弧度/秒(rad/s)
第五章 正弦电流电路
三者间的关系：
1 f T
2 2 f T
* 电网频率（工频）：我国：50Hz；美国和日本：60Hz * 无线通信频率： 30 kHz ～ 30GMHz ◆ 相位和初相位 ①相位：正弦波的 (ωt ψ ) 。 ②初相位 ：t =0 时的相位。 ③规定：初相位的绝对值不超过π。
第五章 正弦电流电路
三 用相量表示正弦量
相量：表示正弦量的复数称为相量。
相量表示法：用模值等于正弦量的最大值（或有效值）、
辐角等于正弦量的初相的复数对应地表示相应的正弦量。
即：相量 Im （或 I ）
j
模用最大值表示时，为最 I ψ 大值相量，即 I m m
正弦量的相量表示方法
电工基础
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5
7 正弦量与相量
+jຫໍສະໝຸດ C=A*B+j
C B
ϕb ϕb ϕa + ϕb A
C=A/B
+j
A
B
B jA A
-jB
+1 O C
+1
ϕ a- ϕ b
O 旋转因子示意 +1
O 复数的乘法
复数的除法
7.4 正弦量的相量表示法
一、正弦稳态电路的特点
1、角频率不变性：在线性电路中，如 角频率不变性：在线性电路中， 果电路的所有激励都是同频率的正弦量， 果电路的所有激励都是同频率的正弦量， 激励都是同频率的正弦量 则电路中各支路的稳态响应也为同频率 稳态响应也为 则电路中各支路的稳态响应也为同频率 的正弦量。 ( P208) 的正弦量。 2、计算的复杂性：在列写VCR、KCL、 计算的复杂性：在列写VCR、KCL、 KVL方程的时候会遇到微分、积分和 KVL方程的时候会遇到微分、积分和和 方程的时候会遇到微分 差化积的问题 的问题。 差化积的问题。
二、复数的四则运算
1、加减运算 1)定量运算 1)定量运算------用代数形式计算 定量运算------用代数形式计算
F1 ± F2 = (a1 + jb1 ) ± (a2 + jb2 ) = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 )
法则：实部加减,虚部加减。 法则：实部加减,虚部加减。
7 正弦量与相量
重点
1、正弦量的三要素 2、复数的几种表示形式的转换及计算 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示 KCL、 VCR的相量表示
难点
相量图的绘制
本章作业
P217 7.1 7.2 7.5 7.7 7.10 7.12
C B
ϕb ϕb ϕa + ϕb A
C=A/B
+j
A
B
B jA A
-jB
+1 O C
+1
ϕ a- ϕ b
O 旋转因子示意 +1
O 复数的乘法
复数的除法
7.4 正弦量的相量表示法
一、正弦稳态电路的特点
1、角频率不变性：在线性电路中，如 角频率不变性：在线性电路中， 果电路的所有激励都是同频率的正弦量， 果电路的所有激励都是同频率的正弦量， 激励都是同频率的正弦量 则电路中各支路的稳态响应也为同频率 稳态响应也为 则电路中各支路的稳态响应也为同频率 的正弦量。 ( P208) 的正弦量。 2、计算的复杂性：在列写VCR、KCL、 计算的复杂性：在列写VCR、KCL、 KVL方程的时候会遇到微分、积分和 KVL方程的时候会遇到微分、积分和和 方程的时候会遇到微分 差化积的问题 的问题。 差化积的问题。
二、复数的四则运算
1、加减运算 1)定量运算 1)定量运算------用代数形式计算 定量运算------用代数形式计算
F1 ± F2 = (a1 + jb1 ) ± (a2 + jb2 ) = (a1 ± a2 ) + j (b1 ± b2 )
法则：实部加减,虚部加减。 法则：实部加减,虚部加减。
7 正弦量与相量
重点
1、正弦量的三要素 2、复数的几种表示形式的转换及计算 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示 KCL、 VCR的相量表示
难点
相量图的绘制
本章作业
P217 7.1 7.2 7.5 7.7 7.10 7.12
第19讲_正弦量与相量法的基本概念[1]
![第19讲_正弦量与相量法的基本概念[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c2ecab4ae518964bcf847c13.png)
第19讲 正弦量与相量法的基本概念
学习重点: 1、正弦量三要素的概念，周期、频率与角频率的关系； 2、相位差及其物理含义； 3、正弦量的有效值及其物理含义； 4、振幅相量、有效值相量的概念；
5、正弦量的相量运算。
一. 正 弦量(P145)
电路中凡是按正弦(余弦)规律随时间作周期变化的电压或电 流称为正弦电压或正弦电流，统称为正弦量。它可以用正弦函 数表示，也可以用余弦函数表示。本课程用余弦函数表示，即
u, i u
i
u i
0
t
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i u i
= ( 180o ) ，反相：
u, i
i
0
u
0 u, i
u
t
t
= 90°正交
i
0
t
u 领先 i 90° 或 i 落后 u 90° 不说 u 落后 i 270° 或i 领先 u 270°
规定： | | (180°)
= Re( 2 U 1 e
j t
) + Re( 2 U 2 e
j t
)
= Re( 2 U 1 e
j t
+
2U
2
e
j t
)
= R e [ 2 (U 1 + U 2 ) e
U
j t
]
得：
U = U1 + U 2
（2） 正弦量的微分、积分运算
i I
di dt j I
复常数包含了I , 。
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
i(t ) =
学习重点: 1、正弦量三要素的概念，周期、频率与角频率的关系； 2、相位差及其物理含义； 3、正弦量的有效值及其物理含义； 4、振幅相量、有效值相量的概念；
5、正弦量的相量运算。
一. 正 弦量(P145)
电路中凡是按正弦(余弦)规律随时间作周期变化的电压或电 流称为正弦电压或正弦电流，统称为正弦量。它可以用正弦函 数表示，也可以用余弦函数表示。本课程用余弦函数表示，即
u, i u
i
u i
0
t
特殊相位关系：
= 0， 同相：
u, i u i
= ( 180o ) ，反相：
u, i
i
0
u
0 u, i
u
t
t
= 90°正交
i
0
t
u 领先 i 90° 或 i 落后 u 90° 不说 u 落后 i 270° 或i 领先 u 270°
规定： | | (180°)
= Re( 2 U 1 e
j t
) + Re( 2 U 2 e
j t
)
= Re( 2 U 1 e
j t
+
2U
2
e
j t
)
= R e [ 2 (U 1 + U 2 ) e
U
j t
]
得：
U = U1 + U 2
（2） 正弦量的微分、积分运算
i I
di dt j I
复常数包含了I , 。
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
i(t ) =
第二节正弦量的相量表示法第三节电阻元件伏安关系的向
i(t) 11.18 2 cos(t 10.3) 21
例2 图示电路，已知：
+ u1(t) -
u1(t) 6 2 cos(t 30)
-
u2 (t) 4 2 cos(t 60)
u3(t)Biblioteka u2(t)+
求 u3(t)
解： 正弦量以相量表示，有
•
U1 630
•
U2 460
•
••
U3 U1 U2 (5.19 j3) (2 j3.45)
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
p(t)
UI
3）无功功率: Q UI
X
LI
2
U X
2 L
(Var)
0
意义:反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率.
t
12
i(t) 2I cos(t i )
u(t) 2U cos(t u )
p(t) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(2t 90)
2）平均功率: P 1
T
p(t)dt
T0
0
3）无功功率: Q UI
XCI 2
U2 XC
(Var)
p(t)
UI
0
意义:反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率.
3 j4
8 j6
例2：写出下列正弦量的时域形式：
•
U1 3 j4
•
U 2 8 j6
u1(t) 5 2 cos(t 126.9)
电工学第8章正弦量与相量
除法：模相除，角相减。
例1.
547 10 25 ?
5 47 10 25 ( 3 . 41 j 3 . 657 ) ( 9 . 063 j 4 . 226 ) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
无物理意义
j( wt Y )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt Y ) j 2Isin( wt Ψ )
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i ( t ) 100 cos(103 t
A | A | e
j
A | A | e j
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示
例1.
547 10 25 ?
5 47 10 25 ( 3 . 41 j 3 . 657 ) ( 9 . 063 j 4 . 226 ) 解
12.47 j 0.569 12.48 2.61
例2.
解
(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 20 j5 19.24 27.9 7.21156.3 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
无物理意义
j( wt Y )
A(t ) 2Ie
2Icos(wt Y ) j 2Isin( wt Ψ )
对A(t)取实部：
是一个正弦量 有物理意义
Re[A(t )] 2Icos( w t Ψ ) i(t)
例
100 50
i
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s， （1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t
t1
解 i ( t ) 100 cos(103 t y )
0
t 0 50 100 cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i ( t ) 100 cos(103 t
A | A | e
j
A | A | e j
| A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
两种表示法的关系：
复数也是矢量 直角坐标表示 极坐标表示