方差典型例题五(1)
方差
称 D( X ) 为 标 准 差 或 均 方 差 , 记 为σ ( X ).
3. 方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量 X 取 值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果
D(X) 值小, 则表示X 的取值比较集中, 以
E(X) 作为随机变量的代表性好.
2
D( X ) D(Y ). 显然 D（X C） D（X） .
推广: 若 X1 , X 2 ,, X n 相互独立, 则有
D( X 1 X 2 X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) D( X n ).
D( a i X i ) a D( X i )
2
2
1 2σ 2 ( x μ) e d x. 2 πσ ( x μ )2 2 x x 2 2σ 2 ( )e d( ). 2π
( x μ )2
σ 2π 2
2
t2 2 2
t e
σ dt 2π 2π
2
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
(教材P317附表8)
分 布 参数
0 p1 n 1,
数学期望
方差
p(1 p ) np (1 p )
两点分布
二项分布 泊松分布 均匀分布
p
np
0 p1
0
ab
0
1/
1 / 2
(a b) 2 (b a )2 12
第二节 方
差
一、随机变量方差的概念及性质
二、重要概率分布的方差
三、例题讲解 四、小结
关于方差和标准差的例题
一、选择题1、下列哪一项是方差的数学定义？A. 所有数据与平均数的差的平方和的平均数。
（正确答案）B. 所有数据与平均数的差的绝对值之和的平均数。
C. 所有数据与中位数的差的平方和的平均数。
D. 所有数据与平均数的和的平方的平均数。
2、如果一组数据的每个数都增加5，那么这组数据的方差将：A. 增加5。
B. 减少5。
C. 不变。
（正确答案）D. 变为原来的5倍。
3、下列哪一项不是标准差的特点？A. 标准差越大，数据越分散。
B. 标准差可以为负数。
C. 标准差是方差的平方根。
（正确答案）D. 标准差常用于衡量数据的离散程度。
4、下列哪一项描述的是标准差与方差的关系？A. 标准差是方差的平方。
B. 方差是标准差的平方。
（正确答案）C. 标准差与方差没有直接关系。
D. 标准差是方差的两倍。
5、如果一组数据的方差为0，那么这组数据的特点是：A. 所有数据都相等。
（正确答案）B. 所有数据都不相等。
C. 数据个数为0。
D. 数据中至少有一个负数。
6、下列哪一项不是计算方差时需要注意的？A. 先计算数据的平均数。
B. 计算每个数据与平均数的差。
C. 计算差的平方和的平均数。
D. 忽略数据中的异常值。
（正确答案）7、在比较两组数据的离散程度时，如果它们的方差相等，那么可以推断出：A. 这两组数据的平均数也一定相等。
B. 这两组数据的标准差也一定相等。
（正确答案）C. 这两组数据的中位数也一定相等。
D. 这两组数据的最大值和最小值也一定相等。
高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平 方根 ������(������)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
经典例题：期望与方差
解：法一：(1)P＝1－CC16022＝1－4155＝32.即该顾客中奖的概率为23. (2)ξ 的所有可能值为：0,10,20,50,60(元)． 且 P(ξ＝0)＝CC16022＝13， P(ξ＝10)＝CC311C0261＝52， P(ξ＝20)＝CC13022＝115， P(ξ＝50)＝CC111C0261＝125， P(ξ＝60)＝CC111C0231＝115. 故 ξ 的分布列为：
所以随机变量 ξ 的分布列为
ξ0
2
3
4
5
P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24
随机变量 ξ 的数学期望 Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
(3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( B BB＋B B B＋BB)
＝P( B BB)＋P(B B B)＋P(BB)＝2(1－q2)q22＋q22＝0.896； 该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48＋0.24＝0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大．
思路点拨：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型 随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．
解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等
于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件
思路点拨：分布列有两条重要的性质：pi≥0，i＝1,2,3，…；p1＋p2＋…＝1，利用第二 条性质可求 a 的值．由于 ξ 的可能取值为15，25，35，45，1，所以满足 ξ≥35或110＜ξ＜170的 ξ 值， 只能是在15，25，35，45，1 中选取，且它们之间在一次试验中为互斥事件，所以求得满足条件 的各概率之和即可．
总结归纳方差的性质
总结归纳⽅差的性质总结归纳⽅差的性质 ⽅差是在概率论和统计⽅差衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。
在许多实际问题中，研究⽅差即偏离程度有着重要意义。
以下是⼩编整理的总结归纳⽅差的性质，⼀起来看看吧。
总结归纳⽅差的性质篇1 ⼀.⽅差的概念与计算公式 例1 两⼈的5次测验成绩如下： X： 50，100，100，60，50 E(X )=72; Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离⼤。
⽅差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是 消除符号影响 ⽅差即偏离平⽅的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这⾥是⼀个数。
推导另⼀种计算公式 得到：“⽅差等于平⽅的均值减去均值的平⽅”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均⽅差，⽅差描述波动 ⼆.⽅差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数⽆波动); 2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平⽅提取); 证： 特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(⽅差⽆负值) 特别地 独⽴前提的逐项求和，可推⼴到有限项。
⽅差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表⽰这组数据个数，x1、x2、x3……xn表⽰这组数据具体数值) ⽅差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉╱n 三.常⽤分布的⽅差 1.两点分布 2.⼆项分布 X ~ B ( n, p ) 引⼊随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)， 3.泊松分布(推导略) 4.均匀分布 另⼀计算过程为 5.指数分布(推导略) 6.正态分布(推导略) 7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2); 8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2); ~ 正态分布的后⼀参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的 总结归纳⽅差的性质篇2 第⼀章实数 ⼀、重要概念 1.数的分类及概念数系表： 说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.⾮负数：正实数与零的统称。
方差的计算例题
方差的计算例题
（原创版）
目录
1.引言：介绍方差的概念和意义
2.方差的计算公式
3.方差的计算步骤
4.示例：一个具体的方差计算例题
5.结论：方差在统计学中的重要性和应用
正文
一、引言
方差是统计学中一个非常重要的概念，它是用来衡量一组数据的离散程度或者波动情况。
简单来说，方差越大，数据的波动性越大，反之亦然。
因此，方差的计算在数据分析和决策制定中起着重要的作用。
二、方差的计算公式
方差的计算公式为：s^2 = Σ(xi - x)^2 / n，其中 xi 代表每一个数据，x代表这组数据的平均值，n 代表数据的数量，Σ代表求和。
三、方差的计算步骤
1.求出这组数据的平均值 x；
2.求出每个数据与平均值的差的平方；
3.将上述差的平方求和；
4.将求和结果除以数据的数量 n。
四、示例：一个具体的方差计算例题
假设我们有一组数据：1, 2, 3, 4, 5。
首先，我们需要求出这组数
据的平均值，即 (1+2+3+4+5) / 5 = 3。
然后，我们求出每个数据与平均值的差的平方，分别为：(1-3)^2 = 4，(2-3)^2 = 1，(3-3)^2 = 0，(4-3)^2 = 1，(5-3)^2 = 4。
将这些差的平方求和，得到 10。
最后，将求和结果 10 除以数据的数量 5，得到方差 s^2 = 2。
五、结论
方差是衡量数据离散程度和波动情况的重要工具，它在统计学中有广泛的应用。
总体方差的区间估计例题
总体方差的区间估计例题以下是5道关于总体方差区间估计的例题及其解析：例题1：从某总体中随机抽取一个容量为10的样本，得到样本方差为4。
要求以95%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：根据卡方分布的性质，当样本容量足够大时，样本方差与总体方差之比服从卡方分布。
因此，我们可以使用卡方分布的分位数来计算置信区间。
对于95%的置信水平，卡方分布的分位数为0.025和0.975。
计算得到置信区间为[2.04, 7.96]。
例题2：从某总体中随机抽取一个容量为15的样本，得到样本方差为9。
要求以90%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：同样使用卡方分布的性质，计算得到90%置信水平下的卡方分布分位数为0.05和0.95。
计算得到置信区间为[4.78, 18.46]。
例题3：从某总体中随机抽取一个容量为20的样本，得到样本方差为16。
要求以99%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于99%的置信水平，卡方分布的分位数为0.005和0.995。
计算得到置信区间为[8.42, 31.84]。
例题4：从某总体中随机抽取一个容量为30的样本，得到样本方差为25。
要求以95%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于95%的置信水平和样本容量为30的情况，卡方分布的分位数为0.025和0.975。
计算得到置信区间为[17.67, 36.76]。
例题5：从某总体中随机抽取一个容量为50的样本，得到样本方差为100。
要求以90%的置信水平估计总体方差的置信区间。
解析：对于90%的置信水平和样本容量为50的情况，卡方分布的分位数为0.05和0.95。
计算得到置信区间为[73.82, 131.72]。
三种投资组合的方差的例题
三种投资组合的方差的例题一、投资组合的方差=资产1的方差*资产1的权重的平方+2*资产1的标准差*资产1的权重*资产2的标准差*资产2的权重*二者相关系数+资产2的方差*资产2的权重的平方，标准差也就是风险。
他不仅取决于证券组合内各证券的风险，还取决于各个证券之间的关系。
二、投资组合的标准差计算公式为σP=W1σ1+W2σ2 各种股票之间不可能完全正相关，也不可能完全负相关，所以不同股票的投资组合可以减低风险，但又不能完全消除风险。
一般而言，股票的种类越多，风险越小。
拓展资料：如何做到投资的标的是比较分散的？一.相关性分析1.我们首先可以参考各投资标的之间的相关性，比如在买基金的时候，要注意不同基金之间的相关性——基金的相关性可以用“相关系数”来表达，其数值在-1到+1之间。
2.如果相关系数为正，代表正相关，其数值越趋近于+1，正相关性也就越高；如果相关系数为负，代表负相关，其数值越趋近于-1，负相关性也就越高。
3.如果你买的两只基金，其相关系数越趋近于-1，那么这两只基金的走势可能就刚好相反，因此也就达到了分散风险的效果。
4.还有另外两个关键因素必须要考虑的，一是均值，二是方差。
⑴所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。
用均值来衡量投资组合的一般收益率。
⑵所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，表示投资组合的风险。
二、三种常见组合模式由于不同的人有不同的的投资类型和投资目标，所以在参考以上这两要素选择投资组合时，可从以下这三种基金模式出发：1.冒险进取型的投资组合这种组合适合于手中余粮不少、对风险的承受能力也比较强的投资者，每月收入要远远大于支出，将手中的闲散资金用于高风险、高收益组合投资，更能见效。
而如果是在普通的基金投资组合的选择上，可以自己构建偏股型基金组合或股票型基金组合，当然投资方向最好不同的股基。
2.稳中求进型的投资组合这一投资模式适合以下两个年龄段人群：从结婚到35岁期间，这个时间段还是精力充沛阶段、收入增长快，即使跌倒了也能很快爬起来；还有一个年龄段是45-50岁，这个年龄段的人，家庭负担减轻且家庭略有储蓄，也可以采用这个模式。
高中数学例题：方差、标准差
高中数学例题：方差、标准差例4．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．【解析】 （1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．（2）21251013146s =+++++甲[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100－80)2]=150(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172，2150s =乙(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256． ∴22s s <乙甲，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为14+6=20（人），乙组成绩大于或等于90分的人数为12+12=24（人），∴乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好【总结升华】 要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算，而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．举一反三：【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下（单位:mm) 甲机床：10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1 乙机床：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？ 【解析】101001011.101.102.10101=⨯=++=）（甲 x ，1010101104.103.10101=⨯=+++=）（乙 x .∴[]2222101.10101.10102.10101）（）（）（甲-+-+-= s =0.032mm[]22221010104.10103.10101）（）（）（乙-+-+-=s =0.062mm . ∴2甲s ＜2乙s∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适.。
平均数、方差的运算性质
平均数、方差的运算性质
一、 平均数、方差的性质：
⑴如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,n x b x b x b ++⋯⋯+的平均数为x b +，方差是2s .
⑵如果一组数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax ax ax ⋯⋯的平均数为ax ，方差是22a s .
⑶如果数据12,,,n x x x ⋯⋯的平均数为x ，方差为2s ，那么一组新数据12,,,n ax b ax b ax b ++⋯⋯+的平均数为ax b +，方差是22a s .
二、 典型例题：
例1、如果一组数据12,,,n a a a ⋯⋯的方差是2，那么一组新数据
122,2,,2n a a a ⋯⋯的方差是（ ）
.A 2 .B 4 .C 8 .D 16
【答案】：.C
例2、已知样本1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+，若12,,,n x x x ⋯⋯的方差是2，则
1235,35,,35n x x x ++⋯⋯+的方差是（ ）
.A 11 .B 18 .C 23 .D 36
【答案】：.B
例3、某班期末英语考试的平均成绩为75分，方差为225分，若每个学生都多考5分，下列说法正确的是（ ）
.A 方差不变，
平均分不变 .B 平均分变大，方差不变 .C 平均分不变，方差变大 .D 平均分变大，方差变大
【答案】：.B。