数学思维品质的概述

（二）思维的广阔性
1.定义
思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的 程度。它是指能全面地看问题、思路开阔、多角度探求、 多方面思考问题的一种品质。在思维活动中,它的表现是既 注意把握事物的整体,又不忽视重要的细节,能够从广阔的 层面上捕捉有效的信息,广泛地对比、联想,不但能研宄问 题本身,而且能研究相关的问题,做到一题多解或一法多用。
3 2
3 2
解法：由于x 3 2 , y 3 2 得：
3 2
3 2
x y 10, xy 1,
所以3x2 5xy 3y2 （3 x y）2 11xy 300 11 289
3.思维的敏捷性的培养 扎实的基础知识和熟练的基本技能的学习是思维的敏捷 性的前提； 在教学中通过限时限量的题群训练提高对速度的要求； 传统的“一题多解”与“一题多变”是重要手段。
例如，化解“sin（x y）cos y cos(x y)sin y”时，学 生倾向于将sin（x y）与cos(x y)展开之后进行计算，而 不善于将（x y）与y两个单角进行计算。
数学思维品质一般是指数学思维的深刻性、广阔性、 敏捷性、灵活性和批判性、独创性。
思维品质
思维的 宽度
思维的 速度
思维的 力度
（一）思维的深刻性
1.定义：
思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以 及思维活动的广度、深度和难度。 它表现在能深入的专研 与思考问题，善于使用抽象概括，理解透彻深刻，推理严密， 逻辑性强，并能解决难度较大的问题。对于数学的思考能抓 住问题的本质和规律，深入细致的加以分析和解决，而不是 被一些表象所迷惑。
（三）思维的敏捷性
1.定义：
思维的敏捷性是指思维活动的反应速度和熟练程度， 在数学活动中主要表现是，能缩短运算环节和推理过程， “直接计算”得出结果，走非常规的路。有了思维敏捷性， 在处理问题和解决问题的过程中，能够适应变化的情况来 积极地思维，周密地考虑，正确地判断和迅速地作出结论。
2.思维敏捷性的特征与表现
例2：证明 2是)
2、思维广阔性的培养
拓展例题教学,建立同类型的题目组； 反思解题思路,探索习题间联系； 创造“超范围”问题的构造情境； 充分理解特殊的数与式； 对例、习题善于挖掘,给学生以深刻启迪,鼓励学生拓展思
路,多角度、多方位探求习题的不同解法、鼓励学生、敢 于突破、灵活思维,建立数学各分支之间的横向联系； 提倡一题多解、一题多变、一图多画、一题多问。
2.思维灵活性的特征：
（1）起点灵活，能从不同角度、方向，用多种方法分析 问题；(2)思维过程灵活，即从分析到综合，从综合到分析 ，全面灵活地运用思维方法；(3)概括和迁移能力强,运用规 律的自觉性高；(4)善于组合分析，随着知识的掌握和经验 的积累，有较强重新安排组合已学知识的能力；(5)思维的 结果通常是多种综合而灵活的结论。
2.数学思维的广阔性的基本特征:
善于多向分析问题； 善于使用多种方法解决问题，或是证明结论； 善于在多种方法中选择最优方法。
例1：如图所示三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1 3
的长方形，求证1 2 3 900.
D
F
H
C
A
E
G
B
解法1：构造法，通过构造图形将1与2转化在一起。 解法2：转换法，通过三角形相似将1与2转换在同一个三角形内。 解法3：代数化，将1 2 3转化成某一个复数的辐角。
思维的发生和发展，既服从于一般的、普通的规律又 表现出个性差异。这种差异体现为个体思维活动中的智力 特征，这就是所谓的思维品质，也叫做思维的智力品质。
数学思维品质：是指学生在数学学习过程中的思维习 惯和思维方式的个性化表现形式。数学思维品质实质就是 人的数学思维的个性特征,它体现了每个个体思维水平、 智力与能力的差异,是衡量数学思维优劣,判断数学能力高 低的主要指标。
多年来,国内外许多先进的教学方法与经验表明,培养学生 的数学思维品质是发展其数学能力的突破点和有效的途径。 数学思维品质是数学思维能力的表现形式,所以培养学生的 数学思维品质就显得尤为重要。
一、具体的数学思维品质； 二、思维品质的培养； 三、思维品质之间的关系； 四、数学思维品质在数学学习中的作用。
解法2 : 令a 1999862，b 2000120 原式 (a 1)b a(b 1) ab b ab a ba 20001201999862 258
3.思维深刻性的培养
能迅速看到并学会表达出问题的本质的同学并不多，因 此数学思维的深刻性品质的培养是一项艰巨的工作。培养中 学生思维的深刻性，注意以下几点： 重视揭示知识或问题的发生过程； 重视概括能力的培养； 重视变式教学和反例的作用； 注意对问题情境中隐含条件的挖掘。
2.具体表现：
在数学学习中，对知识的理解深刻，推理严密； 在解决问题时，能仔细地审查问题中的条件与结论，抓 住一切重要的细节和本质的东西； 解题以后能够总结规律和方法，把获得的知识和方法迁 移运用于解决其它问题。
例如：计算1999863 2000120-1999862 2000121？
解法1：原式 （19998621） 2000120-1999862（20001201） 1999862 2000120 2000120-1999862 2000120-1999862 2000120-1999862 258
（四）思维的灵活性
1.定义：
灵活性是指思维活动的灵活程度。在数学学习中，思 维灵活性表现为能对具体问题做具体分析。能从不同的角 度、不同的方面采取灵活多样的方法来思考问题。善于根 据情况的变化，及时的调整原来的思维过程与方法，灵活 的运用有关的概念、公式、定理、法则，并且思维不囿于 固定程式或模式，具有较强的应变能力。
(1)能够较快而且正确地完成对题目的文字理解。 (2)能够自觉地运用简便运算方法对数字进行较快地运算。 (3)能够迅速地判别出题目的模式,从而缩短解题时间。 (4)能对最近做过的题目有清晰的记忆,能够反映出解题过 程及结果。
例如:已知
x 3 2 , y 3 2 ,求3x2 5xy 3y2的值。