新人教版必修1高考数学总复习线面垂直的判定学案
高三数学一轮复习精品教案2：线面、面面垂直的判定与性质教学设计
第5课时 直线、平面垂直的判定与性质考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．4．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．1．(人教A 版教材习题改编)给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4『解析』由线面垂直的性质定理知①正确；由线面垂直的定义知④正确，故选B.『答案』B2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交『解析』由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．『答案』C3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()A.2aB.22a C.32a D．a『解析』如图所示：取BD的中点O连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′—BD—C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.『答案』D4．下列命题中错误．．的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β『解析』A显然正确，根据面面垂直的判定，B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α，∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l ⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，且l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 『答案』 D5．(2012·浙江高考)设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β『解析』 设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．『答案』 B直线与平面垂直的判定与性质图7－5－1(2012·广东高考)如图7－5－1所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .『思路点拨』 (1)证PH ⊥AB ，PH ⊥AD .(2)连接BH ，取BH 的中点G ，证明EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PH .(3)取P A 的中点M ，连接MD ，ME ，证明MD ⊥平面P AB ，MD ∥EF . 『尝试解答』 (1)因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点， 所以EG ∥PH ， 且EG ＝12PH ＝12.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥AD ，所以底面ABCD 为直角梯形， 所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)取P A 中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB .因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ，所以EF ⊥平面P AB .,1．证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；(3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)．(4)面面垂直的性质． 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．图7－5－2(2013·大连模拟)如图7－5－2，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值． 『解』 (1)证明 由条件知四边形PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，所以QA ⊥DC ，又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，又QA ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD . 又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ . (2)设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高， 所以棱锥Q —ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P —DCQ 的高， 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P —DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.面面垂直的判定与性质图7－5－3(2012·课标全国卷)如图7－5－3，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 『思路点拨』 (1)证明DC 1⊥平面BDC .(2)先求四棱锥B —DACC 1的体积，再求三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积．『尝试解答』 (1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC . 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC . 又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC . (2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得 V 1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1. 故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.,1．解答本题(1)的关键是通过证明BC ⊥平面ACC 1A 1来证明DC 1⊥BC .2．证明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定义法．(1)利用判定定理证明面面垂直实质是证明线面垂直，与其中一个平面垂直的直线的选取至关重要，要根据条件的直观图准确选取．(2)利用定义证明面面垂直实质是证明线线垂直，即证明两平面形成的二面角是直角．图7－5－4(2013·无锡模拟)如图7－5－4所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .『证明』 (1)如图，在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF.所以平面BEF⊥平面P AD.直线、平面垂直的综合应用图7－5－5(2013·哈尔滨模拟)如图7－5－5所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：P A⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D—PBC的高．『思路点拨』(1)证明BD⊥平面P AD.(2)作DE⊥PB，证明DE⊥平面PBC，在△PDB中计算DE的长．『尝试解答』(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理，BD＝3AD，从而AB2＝AD2＋BD2，故AD⊥BD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面P AD，故P A⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD.故BC⊥平面PBD，BC⊥DE.则DE⊥平面PBC.∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝ 3.又PD＝1，∴PB＝2.根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝3 2，即棱锥D—PBC的高为3 2.,1．解答本题的关键是通过计算证明AD⊥BD，这也是解题中容易忽视的方法．2．面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直．在其中一个面内作交线的垂线，这是常作的辅助线．3．空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想．图7－5－6如图7－5－6所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E—ABD的侧面积．『解』(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠DAB＝23，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD，∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝12DB·DE＝2 3.又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝12AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝12AD·DE＝4.综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝8＋2 3.线面角、二面角(2013·广州模拟)如图7－5－7，在锥体P—ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，P A＝PD＝2，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点．图7－5－7(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P—AD—B的余弦值．『思路点拨』(1)取AD的中点G，则平面PGB∥平面DEF，只需证AD⊥平面PGB 即可．(2)作出二面角的平面角∠PGB，在△PGB中求解．『尝试解答』(1)取AD中点G，连接PG，BG.∵四边形ABCD为菱形，且E，G分别为BC，AD中点，则BG綊DE.又F为PC中点，则EF∥PB，则平面DEF∥平面GBP.∵G是AD中点且P A＝PD，∴PG ⊥AD .在△ABG 中，AG ＝12，AB ＝1，且∠DAB ＝60°，由余弦定理得BG ＝32，AB 2＝AG 2＋BG 2，则AG ⊥BG . ∵PG ∩BG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB ，即AD ⊥平面DEF . (2)由(1)知二面角P —AD —B 的平面角为∠PGB . 在Rt △PGA 中，PG ＝P A 2－AG 2＝72. 在△PGB 中，BG ＝32，PB ＝2，由余弦定理知，cos ∠PGB ＝PG 2＋BG 2－PB 22PG ·BG ＝74＋34－42×72×32＝－217.,1．第(1)问关键是利用平面PGB ∥平面DEF ，若AD ⊥平面PGB ，则一定有AD ⊥平面DEF .2．求线面角、二面角的常用方法．(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．图7－5－8(2012·湖南高考)如图7－5－8所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．『解』 (1)证明 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又AC ⊥BD ，P A ∩AC ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC .而PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)如图所示，设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由(1)知，BD ⊥平面P AC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO ⊂平面P AC 知，BD ⊥PO .在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22， 所以PD ＝2OD ＝42，P A ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12.一种关系垂直问题的转化关系三类证法1.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ；(4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 3．证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β.通过近两年的高考试题看，线线、线面、面面垂直的判定与性质的应用是考查的重点和热点，主要考查空间想象能力和推理论证能力，以及转化思想的应用．题型全面，但主要以解答题的形式考查，规范解答至关重要．规范解答之十一 立体几何中探索性问题的求解策略(14分)(2012·北京高考)如图7－5－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图7－5－9(2)．图7－5－9(1)求证：DE ∥平面A 1CB . (2)求证：A 1F ⊥BE .(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由． 『规范解答』 (1)因为D ，E 分别为AC ，AB的中点，所以DE∥BC.2分又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.4分(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，6分所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.9分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP.12分从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.14分『解题程序』第一步：根据三角形中位线证明DE∥BC.从而证明DE∥平面A1CB；第二步：利用线面垂直的判定定理证明DE⊥平面A1DC；第三步：通过证明A1F⊥平面BCDE来证明A1F⊥BE；第四步：分别取A1C，A1B的中点P，Q，证明P、Q、D、E四点共面；第五步：通过证明PD⊥A1C来证明A1C⊥平面DEQ.易错提示：(1)想不到或不会利用DE⊥A1D，导致无法求解．(2)对于是否存在型问题没有解题思路，从而无法作出辅助线，导致思路受阻．防范措施：(1)对于平面图形的折叠问题，一定要注意折叠前后的不变量与可变量，要有意识地注意折叠前后不变的垂直性与平行性．(2)对于是否存在型问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线．1．(2013·青岛质检)设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，有两个命题，p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β.那么()A．“p或q”是假命题B．“p且q”是真命题C．“非p或q”是假命题D．“非p且q”是真命题『解析』依题意得，命题p是假命题，命题q为真命题，所以“非p且q”是真命题．『答案』D图7－5－102．(2012·福建高考)如图7－5－10，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.『解』 (1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1. 又S △MCC 1＝12CC 1·CD ＝12×2×1＝1，∴VA －MCC 1＝13AD ·S △MCC 1＝13.(2)证明 将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)， 当A 1，M ，C ′共线时，A 1M ＋MC 取得最小值． 由AD ＝CD ＝1，AA 1＝2， 得M 为DD 1的中点．连接A 1M 、B 1M ，在△C 1MC 中，MC 1＝2，MC ＝2，CC 1＝2，∴CC 21＝MC 21＋MC 2，得∠CMC 1＝90°， 即CM ⊥MC 1.又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知， B 1C 1⊥平面CDD 1C 1. ∴B 1C 1⊥CM . 又B 1C 1∩C 1M ＝C 1， ∴CM ⊥平面B 1C 1M ， 得CM ⊥B 1M . 同理可证，B 1M ⊥AM . 又AM ∩MC ＝M ， ∴B 1M ⊥平面MAC .。
直线、平面垂直的判定及其性质导学案及答案【人教版】高中数学必修
一数学 SX-10-01-0062.3 《直线、平面垂直的判定及其性质》导学案【学习目标】（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论；（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理；（5）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用【重点难点】重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究；平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小【学法指导】实物观察，类比归纳，语言表达【知识链接】空间点、直线、平面之间的位置关系【学习过程】一.预习自学1.线面垂直定义：如果一条直线l和平面α内的，我们就说直线l和平面α互相垂直，记作，其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的, 直线与平面的交点叫做垂足.2.直线与平面垂直的判定定理：3.平面的斜线：4.直线和平面所成的角：5.二面角：6.二面角的平面角：7．面面垂直两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直.记作两平面垂直的判定定理：8.直线和平面垂直的性质定理：9.两平面垂直的性质定理：二.典型例题例1. 已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过A 点作AE ⊥PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a ∥直线b ，直线a ⊥平面α，则直线b ⊥平面α”例2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1 D 1中, 求AC 1与面ADD 1 A 1所成的角的正弦值为 .例3.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1，求证：A 1B ⊥B 1C例4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；（2）求AE 与D 1F 所成的角；（3）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1例5.正四棱锥P -ABCD 中，AB =4，高为2，求二面角P -BC -D 的大小.三.课堂检测1D A BCO E P 1.若直线a 与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a 垂直的直线 （ ） A ．只有一条 B ．有无数条 C ．所有直线 D ．不存在 2.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．1个或无数个 3.已知直线m ⊥平面α，直线⊂n 平面β，下列说法正确的有 （ ）①若n m ⊥则,//βα ②若βα⊥，则m //n ③若m //n ，则βα⊥④若,//m n αβ⊥则A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m ⊥平面α，直线n ⊥m ，则n ∥α④a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a 、b 都平行且与a 、b 距离相等 ⑤直线l 垂直于平面α内的无数条直线,则l ⊥α5.在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S —EFG 中必有A. SG ⊥平面EFGB. SD ⊥平面EFGC. FG ⊥平面SEFD. GD ⊥平面SEF6.在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 17.在三棱锥S —ABC 中，N 是S 在底面ABC 上的射影，且N 在△ABC 的AB 边的高CD 上，点M ∈SC ，截面MAB 和底面ABC 所成的二面角M —AB —C 等于∠NSC ，求证：SC ⊥截面MAB 8.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是 PC 的中点.求证：平面P AC ⊥平面BDE ．四.归纳小结五.课外作业 A ．若αα⊥⊥b a b a 则,,// B ．若b a b a //,//,,则βαβα⊥⊥C ．若b a b a //,//,//,//则βαβαD ．若b a b a ⊥⊥⊥⊥则,,,βαβα2. A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是面β内一点，PB ⊥l 于点B ，P A 和l 所成的角为450，P A 和面α所成的角为300，则二面角α—l —β 的大小为（ ） A ．450B ．300C ．600D ．7503.若直线l 与平面所成角为3π，直线a 在平面内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 0， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π 0， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π 3π， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡π32 3π， 4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、CC 1的中点. 求证：面EFG ⊥面AA 1C 1C .6.如图，在正三棱锥S —ABC 中，E 、F 分别是侧棱SA 、SB 的中点，且平面CEF ⊥平面SAB . （1）若G 为EF 的中点，求证：CG ⊥平面SAB ；（2）求此三棱锥的侧面积与底面积的比值.7.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD （1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论;（2）当a =4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ;（3）若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质答案二.典型例题例2.例4.（2）900 例5. 450三.课堂检测1.B2.D3.B4.②④5.A6. AC BD ⊥五.课外作业1.C2.A3.C 6.(2) 7.(1) 2a = (2)M 为中点时 （3）4a ≥。
高三数学第一轮复习教案第59课时—直线与平面垂直(学案)
高三数学第一轮复习讲义（59）直线与平面垂直一．复习目标：1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。
二．知识要点：1．直线与平面垂直的判定定理是 ； 性质定理是 ；2．三垂线定理是 ； 三垂线定理的逆定理是 ； 3．证明直线和平面垂直的常用方法有：三．课前预习：1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ） ()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。
上述判断正确的是（ B ）()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④3．在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，当底面四边形ABCD 满足条件AC BD ⊥ 时， 有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心 ③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心其中正确命题的命题是 ①②③④N MPCBAM DA 1C 1B 1CBA四．例题分析：例1．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC的中点，且2EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC =12//FG BD =，又,A C B D =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C = ∴BD ⊥平面ACD例2．如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
2021高三文数第一轮复习导学案：直线平面垂直的判定和性质
2021高三文数第一轮复习导学案：直线、平面垂直的判定和性质直线、平面垂直的判定和性质导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．一、知识点回顾 1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必______于另一条． 2．线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相______，其中直线l叫做平面的______，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足．直线l与平面α垂直记作l⊥α. （1）直线与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判一条直线与一个平面内定的都垂直，则定该直线与此平面垂直理推论：文字语言图形语言符号语言推如果在两条平行直线中，有一论条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面（2）直线和平面垂直的性质：①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．②垂直于同一个平面的两条直线______．③垂直于同一直线的两个平面________． 3、面面垂直（1）面面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判一个平面过另一个平面定的，则这两个平定理面垂直（2）面面垂直的性质文字语言图形语言符号语言性两个平面垂直，则一个平面质内垂直于的直定理线与另一个平面垂直 4、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l?α，则它们成________角． 5、二面角的平面角以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．二、典型例题题型一：线面垂直的判定与性质例1：如图所示，在四棱锥P―ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.变式1：如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°。
高三一轮复习教案31直线、平面垂直的判定与性质教师版文档
优质写作材料，仅供学习参考直线、平面垂直的判定与性质2014高考会这样考 1.考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3.考查平行和垂直的综合问题；4.考查空间想象能力，逻辑思维能力和转化思想．复习备考要这样做 1.熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2.解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3.重视转化思想的应用，解题中要以寻找线线垂直作为突破．1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．[难点正本疑点清源]1．两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α. 2．两平面垂直的判定(1)两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线．1．一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是__________．答案垂直解析由线面平行的性质定理知，该面必有一直线与已知直线平行，再根据“两平行线中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论．2. △ABC中，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．答案 43．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________．答案可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α答案 C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b. 5．(2011·辽宁)如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正．．确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案 D解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B 正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.思维启迪：第(1)问通过DC⊥平面P AC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究提高破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．(2012·陕西)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．(1)证明方法一如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.方法二如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，所以a⊥c.(2)解逆命题为a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A 1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.思维启迪：(1)证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线；(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点．证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.探究提高面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明(1)如图，在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.题型三 线面、面面垂直的综合应用例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．思维启迪：(1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD . (2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离． (1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ， BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD . 又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.探究提高 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直．如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD为正方形，E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点， (1)求证：EF ∥平面ABCD ； (2)设M 为线段C 1C 的中点，当D 1DAD的比值为多少时，DF ⊥平面D 1MB ？并说明理由．(1)证明 ∵E 为线段AD 1的中点，F 为线段BD 1的中点，∴EF ∥AB .∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD .(2)解 当D 1DAD ＝2时，DF ⊥平面D 1MB .∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵D 1D ⊥平面ABC ，∴D 1D ⊥AC . ∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥DF .∵F ，M 分别是BD 1，CC 1的中点，∴FM ∥AC .∴DF ⊥FM . ∵D 1D ＝2AD ，∴D 1D ＝BD .∴矩形D 1DBB 1为正方形． ∵F 为BD 1的中点，∴DF ⊥BD 1. ∵FM ∩BD 1＝F ，∴DF ⊥平面D 1MB . 题型四 线面角、二面角的求法例4 如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面P AD 所成的角的大小； (2)证明AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A —PD —C 的正弦值．思维启迪：(1)先找出PB 和平面P AD 所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角． (1)解 在四棱锥P —ABCD 中， 因P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 故P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 从而AB ⊥平面P AD ，故PB 在平面P AD 内的射影为P A ， 从而∠APB 为PB 和平面P AD 所成的角． 在Rt △P AB 中，AB ＝P A ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面P AD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中，因P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥P A .由条件CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC .又AE ⊂平面P AC ，∴AE ⊥CD .由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示． 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a .在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝P A ·AD ， 则AM ＝P A ·AD PD ＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ＝144.所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 探究提高 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 ( )A.23B.33C.23D.63答案 D解析 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1， 则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.解答过程要规范典例：(12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点． 求证：(1)AN ∥平面A 1MK ； (2)平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .审题视角 (1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直， 需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直． 规范解答证明 (1)如图所示，连接NK . 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∵四边形AA 1D 1D ，DD 1C 1C 都为正方形，∴AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，C 1D 1∥CD ，C 1D 1＝CD .[2分] ∵N ，K 分别为CD ，C 1D 1的中点， ∴DN ∥D 1K ，DN ＝D 1K ，∴四边形DD 1KN 为平行四边形．[3分] ∴KN ∥DD 1，KN ＝DD 1， ∴AA 1∥KN ，AA 1＝KN .∴四边形AA 1KN 为平行四边形．∴AN ∥A 1K .[4分] ∵A 1K ⊂平面A 1MK ，AN ⊄平面A 1MK ， ∴AN ∥平面A 1MK .[6分](2)如图所示，连接BC 1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1.∵M ，K 分别为AB ，C 1D 1的中点，∴BM ∥C 1K ，BM ＝C 1K . ∴四边形BC 1KM 为平行四边形．∴MK ∥BC 1.[8分]在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ， BC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1B 1⊥BC 1. ∵MK ∥BC 1，∴A 1B 1⊥MK .∵四边形BB 1C 1C 为正方形，∴BC 1⊥B 1C .[10分]∴MK ⊥B 1C .∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C .又∵MK ⊂平面A 1MK ，∴平面A 1MK ⊥平面A 1B 1C .[12分]温馨提醒 (1)步骤规范是答题得满分的最后保证，包括使用定理的严谨性，书写过程的流畅性．(2)本题证明常犯错误：①定理应用不严谨．如：要证AN ∥平面A 1MK ，必须强调AN ⊄平面A 1MK .②解题过程不完整，缺少关键步骤，如第(1)问中，应先证四边形ANKA 1为平行四边形．第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅．方法与技巧1． 证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； (4)面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2． 证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (4)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 3． 证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 4． 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案 C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．3．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α答案 C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于() A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有______________；与AP垂直的直线有________．答案AB，BC，AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面P AC，∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.6. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF . ∴PB ⊥EF .故①②③正确．7． 已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号) 答案 ②④解析 若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，A 1B 1＝A 1C 1，侧面BB 1C 1C ⊥底面A 1B 1C 1. (1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .证明 (1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连接C 1N . ∵AM ＝MA 1，∴MA 1綊12BB 1，∴NA 1＝A 1B 1. ∵A 1B 1＝A 1C 1， ∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1， ∴NC 1⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ， ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ， 即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .9． (12分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1的中点．(1)求证：AB 1⊥BF ； (2)求证：AE ⊥BF ；(3)棱CC 1上是否存在点P ，使BF ⊥平面AEP ？若存在，确定点P 的位置，若不存在，说明理由．(1)证明 连接A 1B ，则AB 1⊥A 1B ， 又∵AB 1⊥A 1F ，且A 1B ∩A 1F ＝A 1，∴AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，∴AB1⊥BF.(2)证明取AD中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG＝∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG＝G，∴AE⊥平面BFG.又BF⊂平面BFG，∴AE⊥BF.(3)解存在．取CC1中点P，即为所求．连接EP，AP，C1D，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．已知l，m是不同的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l∥βB．若l∥α，α⊥β，则l∥βC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m答案 D解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β.又∵m⊂β，∴l⊥m.2．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直答案 B解析找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ， 在图(1)中，由边AB ，BC 不相等可知点E ，F 不重合． 在图(2)中，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直， 又∵AC ∩AE ＝A ，∴BD ⊥面ACE ，∴BD ⊥CE ，与点E ，F 不重合相矛盾，故A 错误． 对于选项B ，若AB ⊥CD ， 又∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ， ∴AB ⊥面ADC ，∴AB ⊥AC ，由AB <BC 可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB 与直线CD 垂直，故B 正确．对于选项C ，若AD ⊥BC ，又∵DC ⊥BC ，AD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥面ADC ， ∴BC ⊥AC .已知BC ＝2，AB ＝1，BC >AB ， ∴不存在这样的直角三角形．∴C 错误． 由上可知D 错误，故选B.3． 已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34B.54C.74D.34答案 D解析 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接SD ；作AG ⊥SD 于点G ，连接GB .∵SA ⊥底面ABC ，△ABC 为等边三角形， ∴BC ⊥SA ，BC ⊥AD . ∴BC ⊥平面SAD .又AG ⊂平面SAD ，∴AG ⊥BC . 又AG ⊥SD ，∴AG ⊥平面SBC .∴∠ABG 即为直线AB 与平面SBC 所成的角． ∵AB ＝2，SA ＝3，∴AD ＝3，SD ＝2 3. 在Rt △SAD 中，AG ＝SA ·AD SD ＝32，∴sin ∠ABG ＝AG AB ＝322＝34.二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知P 为△ABC 所在平面外一点，且P A 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①P A ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC . 其中正确的个数是________． 答案 3解析 如图所示．∵P A ⊥PC 、P A ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ， ∴P A ⊥平面PBC . 又∵BC ⊂平面PBC ， ∴P A ⊥BC .同理PB ⊥AC 、PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC . 5． 在正四棱锥P —ABCD 中，P A ＝32AB ，M 是BC 的中点，G 是△P AD 的重心，则在平面P AD 中经过G 点且与直线PM 垂直的直线有________条． 答案 无数解析 设正四棱锥的底面边长为a ，(如图)则侧棱长为32a . 由PM ⊥BC ， ∴PM ＝⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝22a . 连接PG 并延长与AD 相交于N 点，则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a ， ∴PM 2＋PN 2＝MN 2，∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ，PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥面P AD ，∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直．6． 已知a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交，且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α； ④若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，l ⊄α，则l ⊥α. 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析①在正方体A1B1C1D1—ABCD中，可令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，因为CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．③由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不可得出l⊥α，④错误．三、解答题7．(13分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.证明(1)因为∠A1AC＝60°，A1A＝AC＝1，所以△A1AC为等边三角形．所以A1C＝1.因为BC＝1，A1B＝2，所以A1C2＋BC2＝A1B2.所以∠A1CB＝90°，即A1C⊥BC.因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，AA1∩A1C＝A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1交A1C于点O，连接OD.因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点．因为D为AB的中点，所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习) (写作材料仅供学习)。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：7.5 直线、平面垂直的判定及性质 Word版含答案
第五节直线、平面垂直的判定及性质垂直的判定与性质(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段．必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[自测练习]1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.答案：C2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交解析：由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．答案：C知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如图1所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.图12．平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如图2所示．图2符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．[自测练习]3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：利用相关定理逐个判断．A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误，选C.答案：C4．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥P A且P A∩AB＝A，可得AD⊥平面P AB.同理可得BC⊥平面P AB、AB⊥平面P AD、CD⊥平面P AD，由面面垂直的判定定理可得，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面ABCD，共有5对．答案：5考点一直线与平面垂直的判定与性质|1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析：易知选项A不正确；选项B，从m⊥n就可以看出结论是错误的；选项C中，若b⊂α，则C不正确；选项D是正确的．答案：D2．(2016·丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是()A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：A.∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .B.设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴O 为△BCD 的垂心，连接BO ，则BO ⊥CD ，又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ，∴CD ⊥平面ABO ，∵AB ⊂平面ABO ，∴AB ⊥CD .C.取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ，∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ， ∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ，∵AB ⊂平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D. 答案：D3．(2015·高考重庆卷)如图，三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面P AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2， 从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x36－x2.由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝PC2－EC2＝42－22＝2 3.V P-DFBC＝13·S DFBC·PE＝13·718x36－x2·23＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3 3.所以，BC＝3或BC＝3 3.证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．考点二平面与平面垂直的判定与性质|(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V E-ACD＝13×12AC×GD×BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．(2015·佛山一中期中考试)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，AP ＝AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.(1)求证：DE⊥平面P AC；(2)当二面角A-DE-P为直二面角时，求A-BCED与P-AED的体积比．解：(1)证明：∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC ∥ED，∵P A⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵P A与AC是平面P AC内的两条相交直线，∴BC⊥平面P AC，又BC∥ED，∴DE⊥平面P AC.(2)由(1)知，DE⊥平面P AC，∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED 是△PBC的中位线，DE⊥AC，又PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PCD，∴V A-BCEDV A-PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝3.考点三平行与垂直的综合问题|空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1．以多面体为载体考查平行与垂直的证明．2．探索性问题中的平行与垂直问题．3．折叠问题中的平行垂直问题．探究一平行与垂直关系的证明1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1. 因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点， 则易知MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ， 所以直线AC 1⊥平面PQMN .探究二 探索性问题中的平行与垂直问题2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．(1)求线段MN 的长； (2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1；(3)线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由． 解：(1)连接CN .因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ .故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.探究三折叠问题中的平行与垂直关系3．(2015·高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考山东卷)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[思维点拨](1)法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点可得HM ∥BD，进而得BD∥平面FGH；法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED ∥平面FGH，进而得BD∥平面FGH.(2)先证明CB⊥平面ECH，进而得平面BCD⊥平面EGH.[规范解答](1)证明：法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，(3分)则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，(4分)所以BD∥平面FGH.(5分)法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.(2分)在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点．所以GH∥AB.(3分)又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.(4分)淘宝店铺：漫兮教育因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(5分)(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.(7分)又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形(9分)所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.(11分)又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(12分)[模板形成]由图形特征分析平行条件↓创设线面平行的条件↓利用判定定理或面面平行证明线面平行↓分析条件中平行与垂直的关系↓选定并证明线面垂直↓利用面面垂直的判定证明面面垂直A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为() A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若P A ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有P A ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若P A ⊥平面ABC ，则P A ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P -ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知P A ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt △ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P -ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P -BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7， 在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P -BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，在Rt△ACE中，AC＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥P A，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(3)∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．∴V M-ACD＝13S△ACD×⎝⎛⎭⎫12P A＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112.B组高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一个平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC ＝PC＝2.按图(2)折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF⊂平面MDF，MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD＝60°，∴∠CDF＝30°，从而CF＝12CD ＝12，∵EF∥DC，∴DEDP＝CFCP，即DE3＝122，∴DE＝3，∴PE＝33，S CDE＝1CD·DE＝3，MD＝ME2－DE2＝PE2－DE2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62，∴V M -CDE＝13S△CDE·MD＝13·38·62＝216.3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC ＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高． 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ， 又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ， ∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC . 又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ， PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC . 又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD . (3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P -ADC 的高．淘宝店铺：漫兮教育∵PH ＝PD 2－⎝⎛⎭⎫12CD 2＝42－32＝7， S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9，∴V P -ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ， 又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6.设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C -PDA ＝V P -ADC ， ∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝37＝37×6＝372.。
人教新课标版数学高一人教A版必修二直线与平面垂直的判定导学案
2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1．了解、感受直线和平面垂直的概念，体会探究判定直线和平面垂直的方法，掌握线面垂直的判定定理并能进行简单运用；2．加深对转化思想的认识，进一步熟练将空间问题化为平面问题加以解决的基本方法；3．正确理解直线和平面所成角的概念，掌握求线面角的基本方法；课前预习学案一、预习目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；二、预习内容：问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么直线与直线垂直是的定义_______________________________________ 思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？(3) 如何判定一条直线直线和平面垂直呢？课内探究学案学习过程1、探究判定定理学生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触）问题1：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？问题2：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？问题3：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？直线与平面垂直的判定定理（文字，图形和符号三种形式）问题4：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?2、直线与平面垂直判定定理的应用如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？自我检测：1．若三条直线OA OB OC ，，两两垂直，则直线OA 垂直于 （ ） A ．平面 OABB ．平面 OACC ．平面 OBCD ．平面ABC2．在正方形123SG G G 中，E F 、分别是1223G G G G 、的中点，现沿S S E F 、、EF 把这个正方形折成一个四面体，使123G G G 、、重合于点G ，则有 （ ）A ．SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ．GF ⊥平面SEFD ．SG ⊥平面SEF3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为 （ ）A ． 90°B ． 60°C ． 45°D ． 30°4．若平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射影 ；若平面内的一条直线与该平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线的位置关系是 ．5．在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，求证：AC VB ⊥G 3G 2G 1F ESVDABC6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：111B D A C ⊥， （2）111B D A C B ⊥平面；D 1C 1B 1A 1DCBA。
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1
高考数学总复习 线面垂直的判定学案
学习目标: 1.理解直线和平面垂直的定义及相关概念; 2.掌握直线和平面垂直的判定定理 3.能初步应用判定定理.
4.理解直线和平面所成角的定义
学习重点: 1.掌握直线和平面垂直定义及判定定理; 2.在应用判定定理时, 创设定理成立的条件.
3.线面角的定义及其理解
活动过程: 活动一、引入新课
一.创设情境
观察圆锥SO ，它给我们以轴SO 垂直于底面的形象，轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢？为什么？
思考：为什么轴SO 垂直于底面内的所有半径，就有SO 垂直于底面内的所有直线？ 二.建构数学 1.线面垂直
2.线面垂直判定定理
例2. 如图，在△ABC 中，∠ABC=900
，PA ⊥平面ABC ，求证：PB ⊥BC.
C
A
S
O
B
P
C
A
2
活动三、
＊3.直线和平面所成的角：
例3 见课本66页例2 巩固练习
1.. 如图在四面体ABCD 中, 已知AB ⊥CD , AD ⊥BC ,AH ⊥平面BCD 于H ,
求证：（1）点H 是△BCD 的垂心.
（2）A C ⊥BD .
2.课本67页练习1.2.
3.
活动四、课堂小结
理解直线和平面垂直的定义及相关概念;掌握直线和平面垂直定义及判定定理，线面角的理解
D
A B C
H
E
F。