2.2 整式的加减讲义 教师版

2.2 整式的加减学习要求．．．．：．1．、．掌握同类项及合并的概念，能熟练地进行合并，掌握有关的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．、．会进行整式的加减运算．．．．．．．．．．．．知识点一：同类项例题．下列各组式中是同类项的为（）A．4x3y与﹣2xy3B．﹣4yx与7xy C．9xy与﹣3x2D．ab与bc【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．【解答】解；A、相同字母的指数不是同类项，故A错误；B、字母相同且相同字母的指数也相同，故B正确；C、字母不同不是同类项，故C错误；D、字母不同不是同类项，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了同类项，字母相同、相同字母的指数相同是解题关键．变式1．下列各组的两项是同类项的为（）A．3m2n2与﹣m2n3B．xy与2yx C．53与a3D．3x2y2与4x2z2【分析】依据同类项的定义回答即可．【解答】解：A、3m2n2与﹣m2n3字母n的指数不同不是同类项，故A错误；B、xy与2yx是同类项，故B正确；C、53与a3所含字母不同，不是同类项，故C错误；D、3x2y2与4x2z2所含的字母不同，不是同类项，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．变式2．下列各组代数式中，属于同类项的是（）A．4ab与4abc B．﹣mn与C．与D．x2y与x2z【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，几个常数项也是同类项．【解答】解：A、4ab与4abc字母不同不是同类项；B、﹣mn与是同类项；C、与字母的指数不同不是同类项；D、x2y与x2z字母不同不是同类项．故选B．【点评】同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，几个常数项也是同类项．知识点二：合并同类项例题1．下列算式中，正确的是（）A．2x+2y=4xy B．2a2+2a3=2a5C．4a2﹣3a2=1D．﹣2ba2+a2b=﹣a2b【分析】根据合并同类项法则即可求出答案．【解答】解：（A）2x与2y不是同类项，故A错误；（B）2a2与2a3不是同类项，故B错误；（C）4a2﹣3a2=a2，故C错误；故选（D）【点评】本题考查合并同类项的法则，解题的关键是根据合并同类项的法则进行判断，注意同类项与字母的顺序无关．变式2．计算2m2n﹣3nm2的结果为（）A．﹣1B．﹣5m2n C．﹣m2n D．不能合并【分析】两项是同类项，根据合并同类项的法则把系数相加即可．【解答】解：2m2n﹣3nm2=﹣m2n，故选：C．【点评】本题考查了合并同类项法则的应用，注意：合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．例题2．化简：3x2﹣3+x﹣2x2+5．【分析】首先找出同类项，进而合并同类项得出答案．【解答】解：3x2﹣3+x﹣2x2+5=（3x2﹣2x2）+x+（5﹣3）=x2+x+2．【点评】此题主要考查了合并同类项，正确找出同类项是解题关键．变式1．4a2+3b2+2ab﹣4a2﹣4b2．【分析】根据合并同类项，系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：原式=（4a2﹣4a2）+（3b2﹣4b2）++2ab=﹣b2+2ab．【点评】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母部分不变．变式2．化简5ax﹣4a2x2﹣8ax2+3ax﹣ax2﹣4a2x2．【分析】直接利用合并同类项法则求出答案．【解答】解：5ax﹣4a2x2﹣8ax2+3ax﹣ax2﹣4a2x2=（5ax+3ax）+（﹣4a2x2﹣4a2x2）+（﹣8ax2﹣ax2）=8ax﹣8a2x2﹣9ax2．【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．变式3．化简：5x2y﹣2xy2﹣5+3x2y+xy2+1，并说出化简过程中所用到的运算律．【分析】先找出同类项，再分别合并即可．【解答】解：5x2y﹣2xy2﹣5+3x2y+xy2+1=5x2y+3x2y+xy2﹣2xy2﹣5+1 加法交换律=8x2y﹣xy2﹣4 加法结合律【点评】此题主要考查合并同类项，准确找到同类项并认真进行合并是解题的关键，在运用加法交换律时，注意每一项都包含它前面的符号．知识点三：升幂和降幂例题．把多项式3mn2﹣2m2n3+5﹣8m3n重新排列：（1）按m的降幂排列．（2）按n的升幂排列．【分析】（1）先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列．（2）先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列．【解答】解：（1）按m的降幂排列为﹣8m3n﹣2m2n3+3mn2+5．（2）按n的升幂排列为5﹣8m3n+3mn2﹣2m2n3．【点评】考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按x还是y的降幂或升幂排列．变式．已知多项式3x2y2﹣xy3+5x4y﹣7y5+y4x6，回答下列问题：（1）它是几次几项式？（2）把它按x的升幂重新排列；（3）把它按y的升幂重新排列．【分析】（1）根据几个单项式的和叫做多项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式作答；（2）按字母x的升幂排列是指按字母x的指数从小到大依次排列；（3）按字母y的升幂排列指按字母y的指数从小到大依次排列．【解答】解：（1）3x2y2﹣xy3+5x4y﹣7y5+y4x6是十次五项式；（2）按x的降幂排列为﹣7y5﹣xy3+3x2y2+5x4y+y4x6；（3）按y的升幂排列为5x4y+3x2y2﹣xy3+y4x6﹣7y5．【点评】本题考查了多项式的有关定义，按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．知识点四：去括号例题1．下列去括号正确的是（）A．﹣（a+b﹣c）=﹣a+b﹣c B．﹣2（a+b﹣3c）=﹣2a﹣2b+6cC．﹣（﹣a﹣b﹣c）=﹣a+b+c D．﹣（a﹣b﹣c）=﹣a+b﹣c【分析】利用去括号添括号法则计算．【解答】解：A、﹣（a+b﹣c）=﹣a﹣b+c，故不对；B、正确；C、﹣（﹣a﹣b﹣c）=a+b+c，故不对；D、﹣（a﹣b﹣c）=﹣a+b+c，故不对．故选B．【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．变式．下列去括号正确的是（）A．a+（b﹣c）=a+b+c B．a﹣（b﹣c）=a﹣b﹣c C．a﹣（b﹣c）=a﹣b+c D．a+（b﹣c）=a﹣b+c【分析】利用去括号添括号法则，逐项判断即可得出正确答案．【解答】解：A、D、a+（b﹣c）=a+b﹣c，故A和D都错误；B、C、a﹣（b﹣c）=a﹣b+c，故B错误，C正确；故选C．【点评】本题考查去括号的方法：运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．例题2．下列等式中正确的是（）A．﹣（a﹣b）=b﹣a B．﹣（a+b）=﹣a+b C．2（a+1）=2a+1D．﹣（3﹣x）=3+x【分析】根据去括号的定义判断即可．【解答】解：A、﹣（a﹣b）=b﹣a，正确；B、﹣（a+b）=﹣a﹣b，错误；C、2（a+1）=2a+2，错误；D、﹣（3﹣x）=﹣3+x，错误；故选A．【点评】此题考查去括号问题，关键是根据去括号的法则进行解答．变式1．下列运算正确的是（）A．﹣a+b+c+d=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d）B．x﹣（y﹣z）=x﹣y﹣zC．x+2y﹣2z=x﹣2（z+y）D．﹣（x﹣y+z）=﹣x﹣y﹣z【分析】原式各项变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=﹣（a﹣b）﹣（﹣c﹣d），正确；B、原式=x﹣y+z，错误；C、原式=x﹣2（x﹣y），错误；D、原式=﹣x+y﹣z，错误，故选A【点评】此题考查了去括号与添括号，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．下列去括号或添括号正确的是（）A．x+（y﹣2）=x+y+2B．x﹣（y﹣1）=x﹣y﹣1C．x﹣y+1=x﹣（y﹣1）D．x+y﹣1=x+（y+1）【分析】根据去括号与添括号的法则，分别对每一项进行分析即可．【解答】A．x+（y﹣2）=x+y﹣2，故本选项错误，B．x﹣（y﹣1）=x﹣y+1，故本选项错误，C．x﹣y+1=x﹣（y﹣1），故本选项正确，D．x+y﹣1=x+（y﹣1），故本选项错误，故选：C．【点评】此题考查了去括号与添括号，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号，去括号也一样．变式3．在下列各式的括号内填上恰当的项：（1）﹣a+b﹣c+d=﹣a+（b﹣c+d）；（2）﹣a+b﹣c+d=﹣（a﹣b+c）+d；（3）﹣a+b﹣c+d=﹣a+b﹣（c﹣d）；（4）﹣a+b﹣c+d=﹣（a﹣b+c﹣d）【分析】（1）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案；（2）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案；（3）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案；（4）利用添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号，进而得出答案．【解答】解：（1）﹣a+b﹣c+d=﹣a+（b﹣c+d）；故答案为：b﹣c+d；（2）﹣a+b﹣c+d=﹣（a﹣b+c）+d；故答案为：a﹣b+c；（3）﹣a+b﹣c+d=﹣a+b﹣（c﹣d）；故答案为：c﹣d；（4）﹣a+b﹣c+d=﹣（a﹣b+c﹣d）．故答案为：a﹣b+c﹣d．【点评】此题主要考查了添括号法则，正确掌握添括号法则是解题关键．例题3．先去括号，再合并同类项（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；（2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案；【解答】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）=4b﹣6a+6a﹣9b=﹣5b；（2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）=4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1=﹣ab+1．【点评】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号．变式1．去括号，合并同类项（1）﹣3（2s﹣5）+6s；（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]；（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ab）；（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可；（3）先去括号，再合并同类项即可；（4）先去括号，再合并同类项即可．【解答】解：（1）﹣3（2s﹣5）+6s=﹣6s+15+6s=15；（2）3x﹣[5x﹣（x﹣4）]=3x﹣[5x﹣x+4]=3x﹣5x+x﹣4=﹣x﹣4；（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+ab）=6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab=﹣2a2﹣6ab；（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）=﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24=﹣2x2+7xy﹣24．【点评】此题考查了整式的运算，用到的知识点是去括号、合并同类项，在去括号时要注意符号的变化和去括号的顺序．变式2．去括号，并合并同类项：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可；（2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可；【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）=3a+1.5b﹣7a+2b=﹣4a+3.5b；（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）=8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12=﹣5x2+5y2+12；【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键．变式3．去括号，合并同类项：．【分析】先去括号，然后找出同类项，再合并同类项．【解答】解：原式=﹣3x2+6x+12﹣2x2+10x﹣1=﹣5x2+16x+11．【点评】去括号是注意符号的改变，合并同类项要遵循合并同类项的法则．变式4．去括号，并合并同类项：（1）2x2﹣（7+x）﹣x（3+4x）；（2）﹣（3a2﹣2a+1）+（a2﹣5a+7）；（3）4（a+b）﹣5（a﹣b）﹣6（a﹣b）+7（a+b）【分析】（1）首先利用去括号法则化简，进而合并同类项得出答案；（2）首先利用去括号法则化简，进而合并同类项得出答案；（3）首先将（a+b），（a﹣b）看作整体合并同类项，进而利用去括号法则求出即可．【解答】解：（1）2x2﹣（7+x）﹣x（3+4x）=2x2﹣7﹣x﹣3x﹣4x2=﹣2x2﹣4x﹣7；（2）﹣（3a2﹣2a+1）+（a2﹣5a+7）=﹣3a2+2a﹣1+a2﹣5a+7=﹣2a2﹣3a+6；（3）4（a+b）﹣5（a﹣b）﹣6（a﹣b）+7（a+b）=11（a+b）﹣11（a﹣b）=22b．【点评】此题主要考查了去括号法则以及合并同类项，正确掌握去括号法则是解题关键．知识点五：整式加减例题1．已知：A﹣2B=7a2﹣7ab，且B=﹣4a2+6ab+7．（1）求A等于多少？（2）若|a+1|+（b﹣2）2=0，求A的值．【分析】（1）将B的代数式代入A﹣2B中化简，即可得出A的式子；（2）根据非负数的性质解出a、b的值，再代入（1）式中计算．【解答】解：（1）∵A﹣2B=A﹣2（﹣4a2+6ab+7）=7a2﹣7ab，∵A=（7a2﹣7ab）+2（﹣4a2+6ab+7）=﹣a2+5ab+14；（2）依题意得：a+1=0，b﹣2=0，a=﹣1，b=2．原式A=﹣（﹣1）2+5×（﹣1）×2+14=3．【点评】本题考查了非负数的性质和整式的化简，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．变式1．已知A=2x2+3xy﹣2x﹣1，B=﹣x2+xy﹣1：（1）求3A+6B；（2）若3A+6B的值与x无关，求y的值．【分析】（1）把A、B代入3A+6B，再按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项，将3A+6B化到最简即可．（2）根据3A+6B的值与x无关，令含x的项系数为0，解关于y的一元一次方程即可求得y的值．【解答】解：（1）3A+6B=3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2+xy﹣1）=6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2+6xy﹣6=15xy﹣6x ﹣9；（2）原式=15xy﹣6x﹣9=（15y﹣6）x﹣9要使原式的值与x无关，则15y﹣6=0，解得：y=．【点评】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．变式2．已知：A﹣2B=7a2﹣7ab，且B=﹣4a2+6ab+7．（1）求A．（2）若|a+1|+（b﹣2）2=0，计算A的值．【分析】（1）根据题意可得A=2B+（7a2﹣7ab），由此可得出A的表达式．（2）根据非负性可得出a和b的值，代入可得出A的值．【解答】解：（1）由题意得：A=2（﹣4a2+6ab+7）+7a2﹣7ab=﹣8a2+12ab+14+7a2﹣7ab=﹣a2+5ab+14．（2）根据绝对值及平方的非负性可得：a=﹣1，b=2，故：A=﹣a2+5ab+14=3．【点评】本题考查整式的加减及绝对值、偶次方的非负性，难度不大，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则．变式3．已知A=x2+ax，B=2bx2﹣4x﹣1，且多项式2A+B的值与字母x的取值无关，求a，b的值．【分析】把A与B代入2A+B中，去括号合并得到最简结果，由结果与字母x取值无关，求出a与b的值即可．【解答】解：∵A=x2+ax，B=2bx2﹣4x﹣1，∵2A+B=2（x2+ax）+（2bx2﹣4x﹣1）=2x2+2ax+2bx2﹣4x﹣1=（2+2b）x2+（2a﹣4）x﹣1，由结果与x取值无关，得到2+2b=0，2a﹣4=0，解得：a=2，b=﹣1．【点评】本题考查了整式的加减、去括号法则两个考点．解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．变式4．已知多项式A=2x2﹣xy+my﹣8，B=﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求n m+mn的值．【分析】把A与B代入A﹣2B中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有x2项和y项求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵A=2x2﹣xy+my﹣8，B=﹣nx2+xy+y+7，∵A﹣2B=2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14=（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，由结果不含有x2项和y项，得到2+2n=0，m﹣2=0，解得：m=2，n=﹣1，则原式=1﹣2=﹣1．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．拓展点一：同类项的概念例题．下列各组式中是同类项的是（）A．a与B．x2y3z与﹣x2y3C．x2与y2D．与﹣5x2y【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，几个常数项也是同类项．同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项；B、所含字母不相同，不是同类项；C、所含字母不相同，不是同类项；D、符合同类项的定义，是同类项．故选D．【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同；是易混点．同类项定义中隐含的两个“无关”：∵与字母的顺序无关；∵与系数无关．变式1．如果﹣3a2y b x+1与a3x b y是同类项，则（）A．B．C．D．【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．【解答】解：由题意得，解得，故选：C．【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：∵与字母的顺序无关；∵与系数无关．变式2．若a3x b y与﹣2a2y b x+1是同类项，则x+y=（）A．1B．﹣1C．﹣5D．5【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，即可列出关于x和y的方程组，求得x和y的值，进而求得代数式的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，则x+y=2+3=5．故选D．【点评】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，注意∵一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可．变式3．若5a|x|b3与﹣0.2a3b|y﹣1|是同类项，则x=±3，y=4或﹣2．【分析】根据同类项相同字母的指数相同可得出|x|=3，|y﹣1|=3，从而可得出x和y的值．【解答】解：∵5a|x|b3与﹣0.2a3b|y﹣1|是同类项∵|x|=3，|y﹣1|=3，解得：x=±3，y﹣1=±3．∵y=4或﹣2，故答案为：±3；4或﹣2．【点评】本题考查同类项的知识，关键是掌握同类项相同字母的指数相同．拓展点二：整式加减的几种类型例题1．有一道题目，是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3，正确的结果应该是多少？【分析】先按错误的说法，求出原多项式，原多项式是：（2x2﹣x+3）﹣（x2+14x﹣6）=x2﹣15x+9；再用原多项式减去x2+14x﹣6，运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果．【解答】解：这个多项式为：（2x2﹣x+3）﹣（x2+14x﹣6）=x2﹣15x+9所以（x2﹣15x+9）﹣（x2+14x﹣6）=﹣29x+15正确的结果为：﹣29x+15．【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．例题2．化简：﹣2a+（3a﹣1）﹣（a﹣5）．【分析】先去括号，然后合并同类项求解．【解答】解：原式=﹣2a+3a﹣1﹣a+5=4．【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．例题3．化简：（1）（5x﹣3y）﹣（2x﹣y）（2）a2﹣a﹣[2a﹣（3a2+a）]．【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=5x﹣3y﹣2x+y=3x﹣2y；（2）原式=a2﹣a﹣2a+3a2+a=4a2﹣2a．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．例题4．已知：A=2a2+3ab﹣2a﹣1，B=﹣a2+ab﹣1（1）求4A﹣（3A﹣2B）的值；（2）若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．【分析】（1）先化简，然后把A和B代入求解；（2）根据题意可得5ab﹣2a+1与a的取值无关，即化简之后a的系数为0，据此求b值即可．【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣2B）=A+2B∵A=2a2+3ab﹣2a﹣1，B=﹣a2+ab﹣1，∵原式=A+2B=2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+ab﹣1）=5ab﹣2a﹣3；（2）若A+2B的值与a的取值无关，则5ab﹣2a+1与a的取值无关，即：（5b﹣2）a+1与a的取值无关，∵5b﹣2=0，解得：b=即b的值为．【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则以及合并同类项法则．例题5．若代数式（2x2+3ax﹣y）﹣2（bx2﹣3x+2y﹣1）的值与字母x的取值无关，求代数式（a﹣b）﹣（a+b）的值．【分析】先去括号，再合并同类项，根据代数式的值与字母x的取值无关求出b的值，再把代数式去括号，合并同类项，把b的值代入进行计算即可．【解答】解：（2x2+3ax﹣y）﹣2（bx2﹣3x+2y﹣1）=2x2+3ax﹣y﹣2bx2+6x﹣4y+2=2（1﹣b）x2+（3a+6）x﹣5y+2，∵代数式的值与字母x的取值无关，∵1﹣b=0，3a+6=0，解得b=1，a=2．∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b=﹣2．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．拓展点三：整式化简求值问题例题1．化简求值：3a+（a﹣2b）﹣（3a﹣6b），其中a=2，b=﹣3．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=3a+a﹣b﹣a+2b=2.5a+b，当a=2，b=﹣3时，原式=5﹣3=2．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式1．化简并求值：2（a2﹣ab）﹣3（a2﹣ab）﹣5，其中a=﹣2，b=3．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=2a2﹣2ab﹣2a2+3ab﹣5=ab﹣5，当a=﹣2，b=3时，原式=（﹣2）×3﹣5=﹣6﹣5=﹣11．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．变式2．先化简，再求值：，其中a=﹣6，b=﹣．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=5a2b﹣2ab2+2ab﹣5a2b﹣ab+5ab2=3ab2+ab，当a=﹣6，b=﹣时，原式=﹣1.5．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．【分析】先去小括号，再去中括号，合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2）=2x2﹣[﹣x2+2xy﹣2y2]﹣（2x2﹣2xy+4y2）=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2=x2﹣2y2，当x=，y=﹣1时，原式=﹣．【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化简是解此题的关键．变式1．计算（1）计算：（a2﹣6a﹣7）﹣3（a2﹣3a+4）（2）先化简，再求值：5（a2b﹣3ab2）﹣2（a2b﹣7ab2），其中a=﹣1，b=1．【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；（2）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=a2﹣6a﹣7﹣3a2+9a﹣12=﹣2a2+3a﹣19；（2）原式=5a2b﹣15ab2﹣2a2b+14ab2=3a2b﹣ab2，当a=﹣1，b=1时，原式=3+1=4．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．变式2．先化简，再求值．4xy﹣[（x2+5xy﹣y2）﹣2（x2+3xy﹣y2）]，其中：x=﹣1，y=2．【分析】首先根据乘法分配原则进行乘法运算，再去掉小括号、合并同类项，然后去掉中括号，、合并同类项，把对整式进行化简，最后把x、y的值代入计算求值即可．【解答】解：原式=4xy﹣[x2+5xy﹣y2﹣2x2﹣6xy+y2]=4xy﹣[﹣x2﹣xy]=x2+5xy，当x=﹣1，y=2时，原式=x2+5xy=（﹣1）2+5×（﹣1）×2=﹣9．【点评】本题主要考查整式的化简求值，合并同类项法则，去括号法则，关键在于正确的对整式进行化简，认真正确的计算．拓展点四：整式加减的实际应用例题1．2016年9月15日晚，正值中秋佳节，我国“天宫二号”空间实验室顺利升空．同学们倍受鼓舞，某同学绘制了如图所示的火箭模型截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．（1）用含有a、b的代数式表示该截面的面积S；（2）当a=2.8cm，b=2.2cm时，求这个截面的面积．【分析】根据题意可知该图形面积等于梯形面积、长方形面积、和三角形面积之和．【解答】解：（1）由题意可知：S=+2a×a+（a+2a）b=ab+2a2+ab=2ab+2a2（2）由（1）可知：S=2a（a+b）=2×2.8×5=28cm2；【点评】本题考查列代数式，涉及代入求值，整式运算，因式分解等知识．变式1．某中学新建了一栋科技楼，为了给该楼一间陈列室的顶棚装修，计划用长为x4米，宽为y3米的塑料扣板，已知这间陈列室长为x4y4米，宽为x3y米，如果你是该校采购人员应该至少购买多少块这样的塑料扣板？当x=2，y=1时，求出具体扣板数．【分析】先根据题意列出算式，求出即可，把x=2，y=1代入，即可求出扣板数．【解答】解：根据题意得：（x4y4•x3y）÷（x4•y3）=x7y5÷x4y3=2x3y2，当x=2，y=1时，2x3y2=16（块），所以不考虑装修时的损耗至少需买2x3y2块塑料扣板，当=2，y=1时，扣板为16块．【点评】本题考查了求代数式的值和列代数式，能根据题意列出代数式是解此题的关键．变式2．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案一购买，需付款200x+16000元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款180x+18000元．（用含x的代数式表示）（2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；（2）将x=30带人求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带更合算．【解答】解：（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．方案一费用：200x+16000 …（2分）方案二费用：180x+18000 …（4分）（2）当x=30时，方案一：200×30+16000=22000（元）…（6分）方案二：180×30+18000=23400（元）所以，按方案一购买较合算．…（8分）（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带．则20000+200×10×90%=21800（元）…（10分）【点评】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．拓展点五：绝对值化简问题例题．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|+|a+c|．【分析】先根据题意得出a、b、c的取值范围，再得出a+b，a﹣b＜，a+c的正负性，根据绝对值的性质求出各式的绝对值，化简合并即可．【解答】解：根据题意得：﹣2＜c＜0，0＜a＜1，2＜b＜3，∵a+b＞0，a﹣b＜0，a+c＜0，∵原式=a+b﹣[﹣（a﹣b）]+[﹣（a+c）]=a+b+a﹣b﹣a﹣c=a﹣c．【点评】本题考查了数轴、绝对值以及整式的加减；熟练掌握绝对值的性质得出各式的绝对值是解决问题的关键．变式1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|a﹣b|+|b+c|﹣|b|．【分析】根据数轴先判断a+c、a﹣b、b+c、b与0的大小关系，然后即可进行化简【解答】解：由图可知：a+c＜0，a﹣b＞0，b+c＜0，b＜0，∵原式=﹣（a+c）﹣（a﹣b）﹣（b+c）+b=﹣a﹣c﹣a+b﹣b﹣c+b=﹣2a+b﹣2c【点评】本题考查整式化简，涉及绝对值的性质，有理数比较大小．变式2．（1）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离；（2）若|a|=﹣a，则a≤0；（3）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简|a|+|b|+|a+b|．【分析】（1）根据数轴上各点到原点距离的定义解答即可；（2）根据绝对值的性质即可得出结论；（3）根据各点在数轴上的位置判断出a、b两点的符号及大小，再去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．故答案为：原点；（2）∵|a|=﹣a，∵a≤0．故答案为：≤；（3）∵由各点在数轴上的位置可知，a＜﹣1＜0＜b＜1，∵a＜0，b＞0，a+b＜0，∵|a|=﹣a，|b|=b，|a+b|=﹣a﹣b，∵原式=﹣a+b﹣a﹣b=﹣2a．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．拓展点六：定义运算与整式的加减例题1.定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则2@64．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】新定义．【分析】把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．【解答】解：∵x@y=，∵2@6===4，故答案为4．【点评】本题考查的是有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．例题2.已知a、b都表示数，定义运算：“∵”“∵”，，解方程：．【考点】定义新运算．【专题】运算顺序及法则．【分析】根据题意得出a∵b等于a与b的和减去2；a∵b表示a与b的乘积减去2，由此用此方法把写成我们学过的方程的形式，解方程即可求出x的值．【解答】解：，x∵（7x﹣2﹣2）=50，x∵（7x﹣4）=50，x+7x﹣4﹣2=50，8x=50+6，8x=56，x=7．【点评】此题考查了根据例子找准运算规律，然后按照这种运算进行解答．变式1.新定义一种运算：a*b=，则2*3=﹣1．【考点】代数式求值．【专题】新定义．【分析】从已知条件中发现运算规律，并根据规律求解．【解答】解：根据定义，得原式==﹣1．【点评】此类题要严格根据定义进行计算．变式2.定义新运算：a∵b=，那么2∵10∵10=．【考点】定义新运算．【专题】运算顺序及法则．【分析】根据定义的新运算知道：a∵b定义a与b的乘积除以a与b的和，由此用此运算方法计算2∵10∵10的值．【解答】解：2∵10∵10，=∵10，=∵10，=，=÷，=，故答案为：．【点评】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题．易错点一：错误理解合并同类项例题．合并同类项（1）2xy﹣3xy（2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab（3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）]（4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3）【分析】根据合并同类项逐一计算，即可解答．【解答】解：（1）2xy﹣3xy=﹣xy．（2）2（﹣ab+2a）﹣3（3a﹣b）+ab=﹣2ab+4a﹣9a+3b+ab=﹣ab﹣5a+3b（3）3a2﹣[8a﹣（4a﹣7）]=3a2﹣（8a﹣4a+7）=3a2﹣8a+4a﹣7=3a2﹣4a﹣7（4）15+3（1﹣a）﹣（1﹣a﹣a2）+（1﹣a﹣a2﹣a3）=15+3﹣3a﹣1+a+a2+1﹣a﹣a2﹣a3=18﹣3a﹣a3．【点评】本题考查了合并同类项，解决本题的关键是熟记合并同类项．变式．合并同类项：（1）3a2+2ab+2a2﹣2ab（2）（﹣x2+2xy﹣y2）﹣2（xy﹣3x2）+3（2y2﹣xy）【分析】（1）根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案；（2）根据去括号的法则，可化简整式，根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：（1）原式=（3+2）a2+（2﹣2）ab=5a2；（2）原式=﹣x2+2xy﹣y2﹣2xy+6x2+6y2﹣3xy=（﹣1+6）x2+（2﹣2﹣3）xy+（﹣1+6）y2=5x2﹣3xy+5y2．【点评】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变，注意去括号：括号前是负数去括号全变号，括号前是正数去括号不变号．易错点二：变则全变、不变则全不变例题．去括号，并合并同类项：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）【分析】（1）先去掉括号，再找出同类项进行合并即可；（2）先把4与括号中的每一项分别进行相乘，再去掉括号，然后合并同类项即可；【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）=3a+1.5b﹣7a+2b=﹣4a+3.5b；（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）=8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12=﹣5x2+5y2+12；【点评】此题考查了去括号和合并同类项，根据去括号法则若括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号和合并同类项法则进行解答是解题的关键．变式．先去括号、再合并同类项∵2（a﹣b+c）﹣3（a+b﹣c）∵3a2b﹣2[ab2﹣2（a2b﹣2ab2）]．。