相似三角形k形图(市级优质课).
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鲁教版数学八年级下册第九章《相似基本图形K型》公开课课件
归纳：一线三等角（异侧）
5
=
1
3
4
2
归纳整合，构建体系
G
基本图形---K型
A
A
A
∠1=∠2
AA
A
AA
∠1+∠2=90°
F
C
C C
P
2
1
C
Q
1
2
1
D
C
E
B
B
D
B
P
P
D D B B
D
P
C
D
CLeabharlann BEF2
D
C
FB
E
B
E
E
∠1=∠2
斜K型
A
D
D
E
斜K型
D
D
PP
A
G
E
BB
斜K型
一线三等角
直K型
ON= 3,BN= 2 3
B（− 3 ， 2 3 ）
综合应用，完善模型
已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是线段CB、AC延长线
上的点，满足∠ADE=∠ABC
求证：∙=∙
问题1：你能找出相似三角形并证明相似吗？
∠ABD=∠DCE
∠4=∠5
△ABD∽△DCE
问题2：图中有一线三等角吗？
2.如图 ，在正方形 ABCD 中，M 为 BC 上 一点，ME⊥AM，ME 交
AD 的延长线于点 E． 若AB = 12，BM = 5，则 DE 的长为
。
D
A
B
M
E
C
过E作EN⊥BC，交BC的延长线于点N
△ABM∽△MNE
相似三角形k形图(市级优质课)
③AC²=CD·BC
双垂型
3
图形演变图形演变
C
D
B
A
F
E
自学指导一（5分钟）
A
B
F
D
E
基本图形5：K型ABE1 Nhomakorabea3
2
自学检测1：（2分钟）
如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=__________
2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 .
(2)点P在射线DC上以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t，当PD=PE时，求t的值？
(3)点P在运动过程中，能否使得以P,F,E为顶点的三角形与△DAE相似，若能，求出时间t，若不能，说明理由
A
B
C
D
E
P
F
3.如图在正方形ABCD中，点C的坐标为(4,3)．求A,D点坐标。
A
(B)O
C
D
变式.如图在矩形ABCD中，点A的坐标为(-3,1)．D点纵坐标为7，求D,C点坐标。
A
D
B
E
C
2
1
x-2
x
4
自学指导二：类型一：有直角的k形图：（3分钟）
(2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。
1.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DE⊥EF ，求证：△ADE∽△BEF；
自学检测2：（7分钟）
A
B
C
D
E
P
F
2.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB边的中点，PF⊥DE于F，． (1)求证：△PFD∽△DAE；
双垂型
3
图形演变图形演变
C
D
B
A
F
E
自学指导一（5分钟）
A
B
F
D
E
基本图形5：K型ABE1 Nhomakorabea3
2
自学检测1：（2分钟）
如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则DF=__________
2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 .
(2)点P在射线DC上以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t，当PD=PE时，求t的值？
(3)点P在运动过程中，能否使得以P,F,E为顶点的三角形与△DAE相似，若能，求出时间t，若不能，说明理由
A
B
C
D
E
P
F
3.如图在正方形ABCD中，点C的坐标为(4,3)．求A,D点坐标。
A
(B)O
C
D
变式.如图在矩形ABCD中，点A的坐标为(-3,1)．D点纵坐标为7，求D,C点坐标。
A
D
B
E
C
2
1
x-2
x
4
自学指导二：类型一：有直角的k形图：（3分钟）
(2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。
1.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DE⊥EF ，求证：△ADE∽△BEF；
自学检测2：（7分钟）
A
B
C
D
E
P
F
2.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB边的中点，PF⊥DE于F，． (1)求证：△PFD∽△DAE；
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
解读相似三角形中k型图
VS
证明
由于∠BAC=∠DAE且AB/AD=AC/AE=2/3， 根据相似三角形的判定定理，我们可以得 出△ABC∽△ADE。
03
K型图中线段比例关系
比例性质介绍
比例的基本性质
在相似三角形中，对应边之间的 比例是相等的，即如果两个三角 形相似，那么它们的对应边之间 的比值是一个常数。
比例的性质
在相似三角形中，对应高、对应 中线、对应角平分线的比例都等 于相似比。
反思
在学习相似三角形时，可能会出现一些理解上的困难或误区。例如，有些同学可能会认为只要两个三角形的 对应角相等，它们就是相似的，而忽略了对应边成比例的条件。因此，在学习过程中需要不断反思和总结自 己的理解和方法是否正确，并及时纠正错误的认识和做法。同时，还需要多做练习题加深对知识点的理解和
记忆。
THANKS
案例一
建筑设计中的K型图应用。在建筑设计中，经常需要利用相似三角形的性质进行比例计算 和建模。例如，在设计一座建筑时，可以利用K型图求出建筑的高度、宽度等比例关系， 进而进行建筑设计。
案例二
地理测量中的K型图应用。在地理测量中，经常需要利用相似三角形的性质进行距离、高 度等测量。例如，在测量一座山的高度时，可以利用K型图进行建模和计算，从而得出山 的高度。
02
利用K型图的性质
在K型图中，若已知其中一条边的长度，则可以求出另外两条边的长度。
同时，若已知两个角的大小，则可以求出第三个角的大小。
03
证明过程
首先，根据题目中的已知条件，确定K型图中的两个相似三角形。然后，
利用相似三角形的性质，建立比例关系。最后，通过代数运算，证明目
标结论。
案例分析
案例一
已知三角形ABC和三角形ADE相 似，且AB=AC，AD=AE。求证：
相似三角形判定拓展——K型相似
2021/3/10
讲解：XX
1
A型 D
B
相似三角形基本图形的回顾：
A E
E A
D X型
C
B
C
A
D E
B
C
A
D B
2021/3/10
E D
A
B
∠ACB=Rt∠
CD⊥AB
母子相讲似解型：XX
B
C A D
2
C
2021/3/10
讲解：XX
3
2021/3/10
形状：K
特点：顶点共线的三个直角！
讲解：XX
∴∠ADE=∠B
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
∴∠1=∠2
E
∴ △ABD∽△DCE
C
讲解：XX
9
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
4
观察与思考
1.你能在这个正方形中画出K字图吗？ 2.给你一张矩形纸片，你能折出K字图吗？
A
D
△ABE∽ △ECF
F
12
B
E
C
2021/3/10
讲解：XX
5
A
变：点E为BC上任意一点， 若 ∠B= ∠C= ∠AEF= α, 结 论还成立吗？
△ABE∽ △ECF
F
B
E
C
2021/3/10
A
α
α
讲解：XX B
X=4
y
3
C
2
OA
讲解：XX
1
A型 D
B
相似三角形基本图形的回顾：
A E
E A
D X型
C
B
C
A
D E
B
C
A
D B
2021/3/10
E D
A
B
∠ACB=Rt∠
CD⊥AB
母子相讲似解型：XX
B
C A D
2
C
2021/3/10
讲解：XX
3
2021/3/10
形状：K
特点：顶点共线的三个直角！
讲解：XX
∴∠ADE=∠B
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
∴∠1=∠2
E
∴ △ABD∽△DCE
C
讲解：XX
9
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上 的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使 ∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
4
观察与思考
1.你能在这个正方形中画出K字图吗？ 2.给你一张矩形纸片，你能折出K字图吗？
A
D
△ABE∽ △ECF
F
12
B
E
C
2021/3/10
讲解：XX
5
A
变：点E为BC上任意一点， 若 ∠B= ∠C= ∠AEF= α, 结 论还成立吗？
△ABE∽ △ECF
F
B
E
C
2021/3/10
A
α
α
讲解：XX B
X=4
y
3
C
2
OA
相似三角形的基本模型——“K”字型
Ｃ ＨＵ ＺＨｏ Ｎ Ｇ ＳＨ ＥＮ Ｇ ＳＨ Ｉ Ｊｌ Ｅ
相似三 角形 的基本模型
葛 浩 亮
“ Ｋ ＂ 字型
一
、
剖 析 中考题
塔 位 于 点Ａ（ ４ ０ ０， ３ ０ ０ ） ， 从 古 塔 出发 沿 射 线 Ｏ Ａ方 向前 行 ３ ０ ０ ｍ是 盆 景 园曰， 从 盆景 园 向 左４ ￣ － ９ ０ 。 后 直行 ４ ０ ０ ｍ到 达梅 花 阁Ｃ， 则 点
‘
．
戈 轴， ． ． ． ＬＢ ＥＯ ＋ Ｌ∞ ＝ １ ８ Ｏ 。 ，
Ｃ船 ＝９ ０。． ． ‘ ． Ｃ船 ＝ ＥＤ ，
‘
．
‘ ．
．
△ Ｃ船 一 △ ＥＤ．
ＣＦ ＢＦ ＢＣ ＢＥ ｏＥ ｏＢ ＣＦ ＢＦ ４ ００
边 长 为６ ｃ ｍ的 等 边 三 角形 ， 动． ｓ ． ｐ、 Ｑ同
ＢＥ０＝９ ０ ｏ。 ． 厶 Ｂ ｏＥ＋ ｏ ＢＥ＝９ ０ｏ 佃 ０＝９ ０。． ． ． ． ０ＢＥ＂ ４ － 叩 ９ ０。，
ｚ
【 思路分析 】 核心条件１ ： Ｂ ， Ｄ ， ｃ 三点共线 ； 核心条件２ ： ＬＢ ＝ ＬＥ ＤＦ ＝ Ｃ ＝ ． 基 本 图形 ２ 是“ Ｋ” 字 型 相 似 问 题 的 一 般模 型 ， 同样 是 要 发 现 “ 三 点一线” （ ， Ｃ， Ｄ 三点共 线 ） ， “ 三 角相 等 ” （ Ｂ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｄ Ｆ＝
因 为 ＝ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ ÷ ５ ：
所以Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｖ ， Ａ Ａ Ｄ Ｅ ， 相似比 ＝ ÷，
根据题 意 ， 得｛ Ｙ ５
解 决 ．方 程 思 维 方 式 在 数 学 中 占有 非 常 重 要 的 地 位 ，在 数 学 解 题 中 所 占 的 比 例 较 大， 综合性广 ， 题型多 ， 应用灵 活 ， 特别是在 利 用 三 角 形 的 相 似 进 行 有 关 的计 算 时 ， 我
相似三 角形 的基本模型
葛 浩 亮
“ Ｋ ＂ 字型
一
、
剖 析 中考题
塔 位 于 点Ａ（ ４ ０ ０， ３ ０ ０ ） ， 从 古 塔 出发 沿 射 线 Ｏ Ａ方 向前 行 ３ ０ ０ ｍ是 盆 景 园曰， 从 盆景 园 向 左４ ￣ － ９ ０ 。 后 直行 ４ ０ ０ ｍ到 达梅 花 阁Ｃ， 则 点
‘
．
戈 轴， ． ． ． ＬＢ ＥＯ ＋ Ｌ∞ ＝ １ ８ Ｏ 。 ，
Ｃ船 ＝９ ０。． ． ‘ ． Ｃ船 ＝ ＥＤ ，
‘
．
‘ ．
．
△ Ｃ船 一 △ ＥＤ．
ＣＦ ＢＦ ＢＣ ＢＥ ｏＥ ｏＢ ＣＦ ＢＦ ４ ００
边 长 为６ ｃ ｍ的 等 边 三 角形 ， 动． ｓ ． ｐ、 Ｑ同
ＢＥ０＝９ ０ ｏ。 ． 厶 Ｂ ｏＥ＋ ｏ ＢＥ＝９ ０ｏ 佃 ０＝９ ０。． ． ． ． ０ＢＥ＂ ４ － 叩 ９ ０。，
ｚ
【 思路分析 】 核心条件１ ： Ｂ ， Ｄ ， ｃ 三点共线 ； 核心条件２ ： ＬＢ ＝ ＬＥ ＤＦ ＝ Ｃ ＝ ． 基 本 图形 ２ 是“ Ｋ” 字 型 相 似 问 题 的 一 般模 型 ， 同样 是 要 发 现 “ 三 点一线” （ ， Ｃ， Ｄ 三点共 线 ） ， “ 三 角相 等 ” （ Ｂ＝Ｚ ＿ Ｅ Ｄ Ｆ＝
因 为 ＝ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ ÷ ５ ：
所以Ａ Ａ Ｂ Ｃ Ｖ ， Ａ Ａ Ｄ Ｅ ， 相似比 ＝ ÷，
根据题 意 ， 得｛ Ｙ ５
解 决 ．方 程 思 维 方 式 在 数 学 中 占有 非 常 重 要 的 地 位 ，在 数 学 解 题 中 所 占 的 比 例 较 大， 综合性广 ， 题型多 ， 应用灵 活 ， 特别是在 利 用 三 角 形 的 相 似 进 行 有 关 的计 算 时 ， 我
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
3.4.1 相似三角形的判定课件(共33张PPT)湘教版 数学九年级上册
感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .
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5t 5t H
4t
4t
2.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线 间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平 行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，求四边 形ABCD的面积。
E F
G
小结：这节课你有什么收获？
学习目标:(1分钟)
1.能利用k形图证明三角形相似； 2.能构造k形图解决相关问题 3.体会“分类讨论”的数学思想
温故而知新： 双垂型 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，图中 3 有_______ 对相似三角形
A 射影定理 ①AD² =BD· CD B D C ②AB² =BD· BC ③AC² =CD· BC
F
A
D
E G C
l3 l2 l1
B
自学指导三：类型二：没有直角的k形图(5分钟)
1.如图，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且 ∠B=∠DEF,△DEF与△ABC重叠在一起，∠B与∠DEF重合， △ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方 向运动（不与点B，C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于 点 M． (1)求证：△ABE∽△ECM； (2)当AE=EM,求BE？ (2)当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， (3)当AM=EM,求BE？
D
P
D
P
C
F A B A
F
B
E
E
3.如图在正方形ABCD中， 变式.如图在矩形ABCD中， 点C的坐标为(4,3)．求 点A的坐标为(-3,1)．D点纵 A,D点坐标。 坐标为7，求D,C点坐标。
G
A
D
G C
D
C
A
F (B)O E F (B)O
E
变式1．如图，已知直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离 为1，l2与l3之间的距离为3，△ACD为等腰直角三角形， 求AG的长。
E
A
B
F
D
C
自学指导一（5分钟）基本图形5：K型
外造k形图
∠B=∠C=60°
A E F B D A E B
内造k形图
证明： 2
A
1
D
3
B
证明：
P
C
∵∠APD=∠B=∠C=60° ∴∠1+∠2=∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3 ∴△ABP∽△PCD
∵∠APD=∠B=∠C ∴∠APB+∠DPC=∠APB+ ∠A =180-∠APD ∴∠A=∠DPC ∴△ABP∽△PCD
自学检测1：（2分钟）
1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交 CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则 8 DF=__________ 3 4 3 2 ?
2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边 上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 4 .
∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， (3)当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， 又∵∠MEA=∠B， ∴∠MAE=∠B，即∠CAE=∠B， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， …
自学检测3：（7分钟） 2.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小明 拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上， 三角板绕P点旋转． (1)如图1，当三角板的一直角边和斜边分别与AB、BC交于点E、 F时，连接EF，请说明△BPE∽△CFP； (2)操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交 BA的延长线、边AC于点E、F，连接EF． ①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由； ②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．
A
x
E
x-2
1
B 2D
C
自学指导二：类型一：有直角的k形图：（3分钟）
1.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DE⊥EF ，求证：△ADE∽△BEF； (2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。
自学检测2：（7分钟）
2.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB边的中点， PF⊥DE于F，． (1)求证：△PFD∽△DAE； (2)点P在射线DC上以每秒1个单位长的速度运动，运动 时间为t，当PD=PE时，求t的值？ (3)点P在运动过程中，能否使得以P,F,E为顶点的三角形 与△DAE相似，若能，求出时间t，若不能，说明理由
当堂训练(10分钟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°， AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以 每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出 发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动 时间为t秒（0＜t＜2）,连接PQ. (1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值； (2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值；
4t
4t
2.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线 间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平 行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，求四边 形ABCD的面积。
E F
G
小结：这节课你有什么收获？
学习目标:(1分钟)
1.能利用k形图证明三角形相似； 2.能构造k形图解决相关问题 3.体会“分类讨论”的数学思想
温故而知新： 双垂型 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，图中 3 有_______ 对相似三角形
A 射影定理 ①AD² =BD· CD B D C ②AB² =BD· BC ③AC² =CD· BC
F
A
D
E G C
l3 l2 l1
B
自学指导三：类型二：没有直角的k形图(5分钟)
1.如图，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且 ∠B=∠DEF,△DEF与△ABC重叠在一起，∠B与∠DEF重合， △ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方 向运动（不与点B，C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于 点 M． (1)求证：△ABE∽△ECM； (2)当AE=EM,求BE？ (2)当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， (3)当AM=EM,求BE？
D
P
D
P
C
F A B A
F
B
E
E
3.如图在正方形ABCD中， 变式.如图在矩形ABCD中， 点C的坐标为(4,3)．求 点A的坐标为(-3,1)．D点纵 A,D点坐标。 坐标为7，求D,C点坐标。
G
A
D
G C
D
C
A
F (B)O E F (B)O
E
变式1．如图，已知直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离 为1，l2与l3之间的距离为3，△ACD为等腰直角三角形， 求AG的长。
E
A
B
F
D
C
自学指导一（5分钟）基本图形5：K型
外造k形图
∠B=∠C=60°
A E F B D A E B
内造k形图
证明： 2
A
1
D
3
B
证明：
P
C
∵∠APD=∠B=∠C=60° ∴∠1+∠2=∠2+∠3=120° ∴∠1=∠3 ∴△ABP∽△PCD
∵∠APD=∠B=∠C ∴∠APB+∠DPC=∠APB+ ∠A =180-∠APD ∴∠A=∠DPC ∴△ABP∽△PCD
自学检测1：（2分钟）
1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交 CD于F，连结BF，已知AE=4，ED=2，AB=3则 8 DF=__________ 3 4 3 2 ?
2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边 上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 4 .
∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， (3)当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， 又∵∠MEA=∠B， ∴∠MAE=∠B，即∠CAE=∠B， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， …
自学检测3：（7分钟） 2.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小明 拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上， 三角板绕P点旋转． (1)如图1，当三角板的一直角边和斜边分别与AB、BC交于点E、 F时，连接EF，请说明△BPE∽△CFP； (2)操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交 BA的延长线、边AC于点E、F，连接EF． ①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由； ②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．
A
x
E
x-2
1
B 2D
C
自学指导二：类型一：有直角的k形图：（3分钟）
1.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DE⊥EF ，求证：△ADE∽△BEF； (2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。
自学检测2：（7分钟）
2.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB边的中点， PF⊥DE于F，． (1)求证：△PFD∽△DAE； (2)点P在射线DC上以每秒1个单位长的速度运动，运动 时间为t，当PD=PE时，求t的值？ (3)点P在运动过程中，能否使得以P,F,E为顶点的三角形 与△DAE相似，若能，求出时间t，若不能，说明理由
当堂训练(10分钟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°， AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以 每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出 发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动 时间为t秒（0＜t＜2）,连接PQ. (1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值； (2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值；