相似三角形k形图(市级优质课)
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相似三角形的判定+课件(共15张PPT)
EF∥BC，
OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
zxxkw
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
BC EF AB DE
AB DE ，AC DF
AB DE BC EF
，
BC EF ， AC DF等等.AFra bibliotekB C
l2
D
E
学 科网
l3 l4
学.科.网
想一想：通过探究， 你得到了什么规律 呢？
F
l5
归纳
zxxkw
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的 比相等.
(4)若Dn-1Dn=
1 Dn-1B，En-1En= 1 E C，则D E = n n 3 3 n-1
l2
A
B C
图1
D
E F
l3 l4
E A
D
B
C
l5
图2（2）
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
1
1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
新知应用
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
相似三角形复习2—K字型
A E
G
B
F
CD
K字型的延伸形式： A
B A
B
∟
G FC
∟
E
D E
G
F
CD
1、如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC上一点，
且BD=1，在AC上取点E，使∠ADE=60度，AE长为
（）
A. 3 B.2
2
3
C.
7 3
D.
3 4
2、四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E，F分别在线段AD，DC上， 且∠BEF=110°，若E为AD中点时，DF长为 ________．
在线段AD上是否存在一点E，使得F为CD的中点， 若存在求出AE的长，若不存在，说明理由。
3．如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶 点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB ＝90°，AC 交 l2 于点 D．已 知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3.则AB 的值为( )
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以是哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
G
B
F
CD
K字型的延伸形式： A
B A
B
∟
G FC
∟
E
D E
G
F
CD
1、如图，等边△ABC的边长为3，点D是BC上一点，
且BD=1，在AC上取点E，使∠ADE=60度，AE长为
（）
A. 3 B.2
2
3
C.
7 3
D.
3 4
2、四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6， ∠ABC=∠C=70°，点E，F分别在线段AD，DC上， 且∠BEF=110°，若E为AD中点时，DF长为 ________．
在线段AD上是否存在一点E，使得F为CD的中点， 若存在求出AE的长，若不存在，说明理由。
3．如图，直线 l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶 点 A，B，C 分别在 l1，l2，l3 上，∠ACB ＝90°，AC 交 l2 于点 D．已 知 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3.则AB 的值为( )
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
2.要使△APR∽△PRQ.，已有的相等条件是 什么？根据对应原则，还可以是哪两个角 对应相等？
3.若改为“当t为何值时，△APR与△PRQ相似”，应该如何解答？
4.如图，正△ABC边长为6cm，P,Q同时从 A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动， 其中点P的速度为1cm/s，点Q的速度为 2cm/s，当Q点到达C点时，两点都停止运 动，设运动时间为t（s），作QR//BA交 AC于点R，连接PR，当t为何值时， △APR∽△PRQ.
1.先明确不变量及不变关系，对于变量，在 静止时刻进行代数化表示。
相似三角形模型(全)课件
在解题过程中，可以根据题目的条件 选择适当的方法来证明或推导结论。
全等三角形可以用来证明两个三角形 完全重合，而相似三角形则可以用来 研究两个三角形的形状和大小关系。
05
相似三角形的证明方法
利用角角相似的证明方法
01
02
03
总结词
通过比较两个三角形的对 应角，如果两个三角形有 两组对应的角相等，则这 两个三角形相似。
相似三角形的对应角相等
总结词
如果两个三角形相似，则它们的 对应角相等。
详细描述
根据相似三角形的定义，如果两 个三角形对应的角都相等，则这 两个三角形是相似的。因此，相 似三角形的对应角必然相等。
相似三角形的对应边成比例
总结词
如果两个三角形相似，则它们的对应边之间存在一定的比例关系。
详细描述
由于两个三角形相似，它们的对应角相等，根据三角形的性质，对应的边之间 必然存在一定的比例关系，这个比例关系是固定的，与三角形的形状和大小无 关。
相似三角形的面积比等于边长比的平方
总结词
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长之比 的平方。
详细描述
根据相似三角形的性质，两个相似三角形的对应边长之比是 固定的，设为k。那么它们的面积之比就是k的平方，即k^2 。这意味着相似三角形的面积比等于边长比的平方。
相似三角形的周长比等于边长比
相似三角形模型(全)课件
目 录
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形的性质和定理 • 相似三角形的应用 • 相似三角形与全等三角形的关系 • 相似三角形的证明方法
01
相似三角形的基本概念
相似三角形的定义
相似三角形的定义
相似三角形的性质
如果两个三角形对应的角相等，则这 两个三角形相似。
解读相似三角形中k型图
VS
证明
由于∠BAC=∠DAE且AB/AD=AC/AE=2/3， 根据相似三角形的判定定理，我们可以得 出△ABC∽△ADE。
03
K型图中线段比例关系
比例性质介绍
比例的基本性质
在相似三角形中，对应边之间的 比例是相等的，即如果两个三角 形相似，那么它们的对应边之间 的比值是一个常数。
比例的性质
在相似三角形中，对应高、对应 中线、对应角平分线的比例都等 于相似比。
反思
在学习相似三角形时，可能会出现一些理解上的困难或误区。例如，有些同学可能会认为只要两个三角形的 对应角相等，它们就是相似的，而忽略了对应边成比例的条件。因此，在学习过程中需要不断反思和总结自 己的理解和方法是否正确，并及时纠正错误的认识和做法。同时，还需要多做练习题加深对知识点的理解和
记忆。
THANKS
案例一
建筑设计中的K型图应用。在建筑设计中，经常需要利用相似三角形的性质进行比例计算 和建模。例如，在设计一座建筑时，可以利用K型图求出建筑的高度、宽度等比例关系， 进而进行建筑设计。
案例二
地理测量中的K型图应用。在地理测量中，经常需要利用相似三角形的性质进行距离、高 度等测量。例如，在测量一座山的高度时，可以利用K型图进行建模和计算，从而得出山 的高度。
02
利用K型图的性质
在K型图中，若已知其中一条边的长度，则可以求出另外两条边的长度。
同时，若已知两个角的大小，则可以求出第三个角的大小。
03
证明过程
首先，根据题目中的已知条件，确定K型图中的两个相似三角形。然后，
利用相似三角形的性质，建立比例关系。最后，通过代数运算，证明目
标结论。
案例分析
案例一
已知三角形ABC和三角形ADE相 似，且AB=AC，AD=AE。求证：
中考数学专题05 相似之K字型相似(教案PPT)
【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？ 等腰——可得一组对应边相等； 直角+作垂直——可得两组角对应相等．
【弱化条件】 （1）如果没有等腰？ 依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等．
B A
DC
E
如图，有△ADC∽△CEB． 特别地，若点 C 为 BD 中点，则△ADC∽△CEB∽△ACB．
B
A
D
C
E
（2）如果没有直角？ 直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角，其价值不在于它们是特殊角，而是它 们都是相等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可，即“一线三等角”模型
二、典例精析
1.（2018·遵义）如图，在菱形 ABCD 中， ABC 120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对
B
O
A
x
【分析】已知了 A 点坐标，求出点 C 坐标即可，旋转 90°可构造三垂直全等． 过点 C 作 CD⊥x 轴交 x 轴于点 D，
y C
B
O
A Dx
易证△BOA≌△ADC， ∴AD=BO=1，DC=OA=2， ∴C 点坐标为（3,2）， ∴直线 AC 解析式为 y 2x 4 ． 【小结】尤其是在坐标系中，构造三垂直可以帮助计算点坐标或直线解析式，并且触发条 件除了直角之外，也可以是其他确定的角，比如 45°角．
4.如图，在平面直线坐标系中，直线 AB 解析式为 y 1 x ，点 M（2，1）是直线 AB 上一点， 2
将直线 AB 绕点 M 顺时针旋转 45°得到直线 CD，求 CD 解析式．
y C
B M 45°
D
O
x
A
【分析】构造三垂直相似（全等） 在坐标系中存在 45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直 全等确定图形． 在直线 AB 上取一点 O，过点 O 作 OP⊥AB 交 CD 于 P 点，分别过 M、P 向 x 轴作垂线，垂足为 E、F 点．
探索三角形相似的条件(一) 优质课评选教案
顺德区·2012年初中青年数学教师说课比赛参赛教案及教案说明教材：北师大版数学八年级下册第132页至134页授课对象：八年级（下）的学生参赛选手：乐从镇沙滘初级中学郑春明教育的艺术不在于传授,而在于唤醒、激励和鼓舞!课题：4.6.1探索三角形相似的条件（一）【授课教师】乐从镇沙滘初级中学郑春明【教材】北师大版数学八年级下册第132页至134页【教学对象】八年级（下）学生【教学目标】✧知识与技能理解三角形相似的判定方法；掌握找相等角从而运用判定条件（一）来解决问题。
✧过程与方法学生经历“直观感觉――动手感知――理性思维――应用拓展”的活动过程，探索两个三角形相似的条件并用它来解决简单问题，进一步发展学生的逻辑推理能力。
情感态度价值观通过生活中的有关三角形相似的应用，让学生体会到数学来源于生活，应用于生活的辩证思想。
【教学重点】相似三角形的判定方法及其探索过程【教学难点】找对应相等的两个角来判定三角形相似【教学方法】师生互动探究式教学【教学手段】计算机、学案【教学过程设计】教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图（一）温故知新谈话揭题约3分钟1、什么叫相似三角形?2、要满足怎样的条件能证明两个三角形相似？（引入课题）教师引导学生回顾回答问题引入小组竞争本节内容，专题性较强，所以我采用了“开门见山”导入方式，提出两个问题温故知新，直接点明要学的内容，使学生的思维迅速定向，达到开始就明确目标、突出重点的效果。
（二）合作交流探索条件活动一：找找、比比，直观感觉我不小心把许多形状各异的三角形搞乱了，请同学们帮个忙，从这八个三角形中找出相似的三角形。
并直观展示一下你是怎样判定两个三角形相似。
教师发出指令学生从感觉本能出发做理性思考，为活动二奠定基础。
培养直约17分钟活动二：说说、画画，动手感知1、说说你能用最少的条件、最简捷的方法（本节课只研究与角有关的条件）画一个三角形与我手中的三角形相似吗？（从上题中选取含60°，30°，90°的三角形）。
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
3.4.1 相似三角形的判定课件(共33张PPT)湘教版 数学九年级上册
感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .
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∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
(3)当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， 又∵∠MEA=∠B， ∴∠MAE=∠B，即∠CAE=∠B， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA，
…
精品
自学检测3：（7分钟） 2.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小明 拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上， 三角板绕P点旋转． (1)如图1，当三角板的一直角边和斜边分别与AB、BC交于点E、 F时，连接EF，请说明△BPE∽△CFP； (2)操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交 BA的延长线、边AC于点E、F，连接EF． ①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由； ②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．
精品
学习目标:(1分钟) 1.能利用k形图证明三角形相似； 2.能构造k形图解决相关问题 3.体会“分类讨论”的数学思想
精品
温故而知新： 双垂型
如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，图中 有___3____对相似三角形
A
射影定理
①AD²=BD·CD
BD
C ②AB²=BD·BC ③AC²=CD·BC
=18Hale Waihona Puke -∠APD∴∠A=∠DPC
∴△ABP∽△PCD
精品
自学检测1：（2分钟）
1.如图，在矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥BE ，交 CDDF=于_F__，__8连__结__B_F，已知AE=4，ED=2，AB=3则 3
4 3
2 ?
精品
2.在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边
上一点,且∠ADE=60°,BD=2,CE=1, 则△ABC的边长为 4 .
点C的坐标为(4,3)．求 点A的坐标为(-3,1)．D点纵
A,D点坐标。
坐标为7，求D,C点坐标。
D G
GD
C
A C
A
F (B)O
E
F (B)O E
精品
4.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5 ∥l6 ，如果正方形 ABCD的四个顶点在平行直线上相邻两条平行直线间的 距离相等且为1，AB与l4交于点G.
(1)求正方形的面积
(2) 求CG的长
D
l1
l2
A G
l3
C
l4
l5
F
B
E
精品
l6
变式1．如图，已知直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离为 1，l2与l3之间的距离为3，△ACD为等腰直角三角形， 求AG的长。
F
DE
l3
A
G
l2
C
l1
B
精品
自学指导三：类型二：没有直角的k形图(5分钟)
1.如图，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且
精品
当堂训练(10分钟)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°， AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每 秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发, 在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时 间为t秒（0＜t＜2）,连接PQ. (1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值； (2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值；
PF⊥DE于F，． (1)求证：△PFD∽△DAE；
(2)点P在射线DC上以每秒1个单位长的速度运动，运动 时间为t，当PD=PE时，求t的值？
(3)点P在运动过程中，能否使得以P,F,E为顶点的三角形
与△DAE相似，若能，求出时间t，若不能，说明理由
D
PC
D
PC
F
F
A
E
B
A 精品
E
B
3.如图在正方形ABCD中，变式.如图在矩形ABCD中，
A
x
B 2D
E
1
x-2 C
精品
自学指导二：类型一：有直角的k形图：（3分钟）
1.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB上的动点， (1)若DE⊥EF ，求证：△ADE∽△BEF； (2)若BF=1，当△ADE与△BEF相似时，求AE的长。
精品
自学检测2：（7分钟）
2.如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB边的中点，
精品
E A
F
BD
C
精品
自学指导一（5分钟）基本图形5：K型
外造k形图
A
∠B=∠C=60°
A
D
1
E
F
BD
2
3
证明：
A ∵∠APD=∠B=∠C=60°
E
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120°
∴∠1=∠3
B
∴△ABP∽△PCD
内造k形图
BP
C
证明：
∵∠APD=∠B=∠C
∴∠APB+∠DPC=∠APB+∠A
5t
5t
H
4t
4t
精品
2.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间 的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行
直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，求四边形 ABCD的面积。
E
F
G
精品
小结：这节课你有什么收获？
精品
∠B=∠DEF,△DEF与△ABC重叠在一起，∠B与∠DEF重合，
△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向
运动（不与点B，C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于点
M．
(1)求证：△ABE∽△ECM；
(2)当AE=EM,求BE？
(3)当AM=EM,求BE？
(2)当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5，