第七章_一阶电路和二阶电路的时域

例2 图示电路中，uC(0-)=10V，开关在t=0时闭合，试对 t0求uC 和i。
2
uC(0+)= uC(0–)=10V
ic
2i
+
2
4 i
+
0.5F
-
uc
解：以uC为变量的方程 τ=ReqC=1(秒) uC(0+)=10
2i
+
i=2.5e–t
4 i
Req
uC=10e–t
例3 图示电路中，iL(0-)=6A，求u。
+
uc 6k
duC dt + 500uC=0 uC=ke–500t uC=12e–500t
(t0)
(t > 0)
解法二：作出对于电容的等效电路
3k
1F
+
uc
6k
1F
+ uC
(t > 0)
-
2k
(t > 0)
– –6 t uC=12e 10 2103 =12e–500t
τ=RC=2*10-3(秒)
b
-
应用换路定理 求解初始值
例2 +
10V 2k
-
+ uL 1H 1k - i L
1k
+
10mA
10V
2k
+
2k 5mA
-
uL
+
-
-
10V
iL(0–)=5mA
换路后的等效电路 a +
10V
1k 1H iL
iL(0+)=5mA
(t=0+) uL(0+)=5V
iL()=5+5=10mA
uL()=0 =10–3 S
1 2
U0
+
(t=0)
ic + C uC
iR R C
ic
-
+ uC
iR
R
-
动态元件有初始储能: uC(0)=U0
电路的方程
duC uC C dt + R =0 （t≥ 0） uC(0+)=U0
RC电路分析
uC duC C dt + R =0 （t≥ 0）
uC(0+)=U0
RC
C
ic
+ uC
iR
R
-
7 一阶电路和二阶电路的时域 分析
7-1 动态电路的方程及其初始条件 7-2 一阶电路的零输入响应 7-3 一阶电路的零状态响应 7-4 一阶电路的全响应 7-5 二阶电路的零输入响应 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
本章作业：7-3，7-4，7-11，7-21，7-32
2 US
电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由激励引起的响应。
+
1
i R
i R
+ uC
C
uC(0–)=0
+ uC
uC(0+)=0
+
-
US
C
t≥ 0
duC RC + uC =US (t≥ 0) dt uC(0+)=0
1、方程求解 duC u RC dt + C =US (t≥ 0) uC(0+)=0
1 S + 10V 2 t=0 5V +
10Ω iC + 2F -uC
五、典型的一阶电路
电阻性 电路
C
+ uOC
-
C
或
iSC
R0
C
R0
电阻性 电路
L
+ uOC
-
L
或
iSC
R0
L
R0
7-2 一阶电路的零输入响应
电路的输入为零，仅由动态元件的初始储能引起的响应。 一、RC电路
开关在1闭合很久后，将开关打向2
y(t)= y(0+)e τ
• 具有时间的量纲
L 亨 韦 伏秒 库 安秒 [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [秒] RC 欧法 欧 欧 秒 R 欧 安欧 安欧 伏 伏
t
• 数值意义
稳态分量 强制分量
7-4 一阶电路的全响应
概念 一个非零初始状态的一阶电路受到激励(t=0)
US U0
R
u+ c
-
-
C
duC u RC dt + C =US （t0） uc(0+)=U0 t - RC U uC=(U0 US)e + S
一、方程求解
duC u RC dt + C =US (t≥ 0) uC(0+)=U0
（1）uC(0+) ，iL(0+)为初始条件
（2）求解初始值的步骤： • 画出t＝0-时的电路，求出uC(0-)和iL(0-)。当换路 前电路处于稳态，则C视为开路，L视为短路。 • 根据换路定理求出uC(0+)和iL(0+)。
• 画出t＝0+时的电路： C——电压值为uC(0+)的电压源； L——电流值为iL(0+)的电流源。 • 按t＝0+时的电路，求出其他所需的初始值。
0
t u
-RI0
τ= L 三、时间常数τ R 一般RC电路和RL电路的时间常数
τ=RC 电阻性 电路
无独立 电源
C
R
3k
电阻性 电路
无独立 电源
L
R
R是分别由电容或电感 元件两端观察的入端 电阻(换路后的电路)
3k
1
+ 18v
2
1F
+
uc 6k
1
2
R
-
6k
等效电路
1F
+
uc 2k
-
• 表征零输入响应衰减的快慢程度
iL=10 –5e–1000t mA uL=5e–1000t V
-
b
7-5 二阶电路的零输入响应
用二阶微分方程描述的动态电路。
1
L
2
iL
R
U0
uC
+
-
C
uC(0-)=U0
iL(0-)=I0
（L>0, C>0, R0） L R
iL uC +
uC(0+)=U0
C
iL(0+)= I0 d2uC R duC 1 u =0 2 + L dt + LC C dt
四、换路定理 1、换路定理 设换路时刻为t＝0时刻
对电容C，电流有限；对电感，电压有限
uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)
换路前的 换路后的 最后时刻 最初时刻 t＝0- t＝0+
注意：换路定 理只有两条
t＝0
2、换路定理的应用（求解过渡过程的初始值）
分析过渡过程从t＝0+时开始，因此， t＝0+时刻 为过渡过程的起点。
-
(t > 0)
考虑uC(0+)=U0≠0 ,iL(0+)=0情况
uC(0+)=U0 iL(0+)=0
R iL
L
(t > 0)
uC
+
-
C
一、电路方程（以uC为变量）

d2uC R duC 1 u =0 2 + L dt + LC C dt uC(0+)=U0 duC (0 )=0 dt +
t : (-, +)
(t=0) + 3V 1kΩ
t : (-, +)
i
(t=0)
-
+ u
+ 3V
1kΩ
-
-
+u 3uF
-
u 3V 0 稳态 t
u 暂态（过渡过程） 3V 0 稳态 t
三、动态电路与电阻性电路的区别
(t>0) (t>0) i 1kΩ
+ 3V
-
1kΩ
+ u
-
+ 3V
-
+ u 3uF
2、求解全响应基本步骤 • 根据0-和0+时刻的等效电路求解初始值uC(0+)和iL(0+) • 将换路后的电路进行等效变换：除动态元件以外的电路等效 变换为戴维宁模型或诺顿模型。 开路电压UOC，短路电流ISC，输入电阻Rin Rin a + UOC 动态元件
b
• 列写微分方程求解 或者
根据三要素法，求出三要素： f(0+)， f()， 。 再根据解的结构直接写出解答。 f(t)= [f(0+) - f()]e τ + f()
+ US
稳态分量 强制分量
-
+ uC
C
-
二、RL电路零状态分析
Is
1H iL R
S(t=0) iL(0-)=0
Is iL
- Rt i L= I S - IS e L
(t0)
1H
R
- Rt iL= IS – IS e L （t0）
特解
齐次解
暂态分量 自由分量
L diL + i =I (t0) L S R dt iL(0+)=0
3k
例1 : 图示电路原处于 稳态，t=0时将开 关接到“2‖，对t0 求uC。 uC(0–)=186/9=12V
1
+ 18v
2 1F