材料力学05
材料力学 05扭转
由
τρ
=
T ⋅ρ Ip
知：当
ρ =R= D 2
,
τ ρ → τ max
∴
τ max
T⋅D =2
Ip
=
T
Ip
D 2
=T Wp
(令 W p = I p
D) 2
τ max
=
T Wp
Wp — 扭转截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp = I p R = πD3 16 WP = I p R = πD3 (1− α 4 ) 16 29
τ´
a
γb
τ dz
τ
τ´
c
d
dx
x
dy
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则 共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
35
M
´
36
§5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算
1 圆轴扭转的变形特征 2 圆轴扭转时的应力 3 薄壁圆筒的切应力 4 剪应力互等定理 5 圆轴扭转时斜截面上的应力 6 扭转时的变形
A
11.14
T(kN`m)
–
m1
m3 m4
n
C
B
D
6.37 ⊕
x
4.78
12
第5章 扭转杆件的强度与刚度计算
§2–2 扭转杆的内力、扭矩图 §5–1 圆轴扭转时的应力和变形计算 §5–2 圆轴扭转时的强度和刚度计算 §5–3 扭转的超静定问题 §5–4 非圆截面杆的自由扭转简介
05材料力学第五章
对称弯曲（平面弯曲）
一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。 q
C A b a c D B
RA
RB
P2=P
解
(1)求支座反力
RA RB P 60 kN
(2)计算C 横截面上的剪力QSC和弯矩 MC .
看左侧
QSC P 60kN 1
M C P1 b 6.0kN.m
(3)计算D横截面上的剪力QSD 和弯矩 MD . 看左侧
QSD R A P1 60 60 0
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩, 而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段
逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
左顺右逆为正
求弯曲内力的法则
任一截面的剪力Q=∑[一侧横向力的代数和]
支座的简化
载荷的简化
对称弯曲
纵向对称面
外力作用在此 纵向对称面内
变形后的轴线仍 在纵向对称面内
简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座
RAx A RAy
m
A
P
B
y
RBy
求内力——截面法 RAx A
RAy
m
P
B
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1、弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 RAy 直于截面的内力偶矩. 2、 剪力QS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
材料力学习题05 (2)
a22 A2
4.57 106 m4 70 103.332 140 201012 m4
6.586106 m4 7
(3) 计算整个图形对zC轴的惯性矩
I zC
I 1 I 2
zC
zC
4.423106 m4 6.586106 m4
11.009 106 m4
8
[例6-7] 试求图示矩形截面梁端右侧截面上a、b、c、d
坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。
解：(1) 计算静矩Sy
y
50
50
20
1
y轴为对称轴
Sy 0
140
2
(2) 计算静矩Sz
O
20
z
此截面可以看作由两个矩形1、2组成
Sz A1 yC1 A2 yC2 100 20150 m3 140 20 70 m3
4.96104 m3
2
[例6-3] 试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和y轴
的惯性矩。
y
解:(1)计算Iz
dy y
取平行于z轴、高度为dy的狭长矩形 h C
z
为微元面积dA
b
dA bdy
Iz
y2dA
A
h 2 by2dy 1 bh3
h 2
12
(2)计算Iy
同样的方法
Iy
1 12
hb3
3
[例6-4] 计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解:圆形截面对圆心的极惯性矩
[例6-1] 矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对z轴、
y轴的静矩，图中b、h为已知。
y
解:(1)计算静矩Sz
A b h 4
C1 h 2
C
h 2
05-1-2 材料力学的研究对象和基本假设
材料力学大连理工大学王博
材料力学的研究对象和基本假设
板
壳 块
材料力学的研究对象 杆 材料力学的研究对象
构件(Member )基本形式
杆件Bar 等截面直杆变截面直杆曲杆
材料力学研究对象
——等截面直杆
横截面
轴线
杆件的计算模型
一般金属材料的显微组织 球墨铸铁 灰口铸铁 普通钢材 优质钢材
材料力学基本假设
建立理想模型的必要性 微观上看：
材料是不连续、不均匀、
各向异性
但单个晶粒聚集成金属材料时呈随机取向
在宏观上可以认为：
材料是连续、均匀的，表
现为各向同性的
为简化研究工作: 材料力学基本假设
1. 连续性假设—材料连续无孔隙。
力学量可以表示为
坐标的连续函数，便于数学分析方法
2.均匀性假设—材料各处力学性质相同
3.各向同性假设—材料任意方向力学性质相同各
向同性材料：玻璃，钢铁
各向异性材料：木材，竹子
4.小变形假设—变形远小于构件尺寸。
列平衡方程时
可以用变形前的尺寸进行计算，使计算简化
基本假设的作用
1.连续性假设——采用函数描述
2.均匀性假设
材料性质简化为常数 3.各向同性假设
4. 小变形假设——线性方程便于分析计算 数学保证 力学保证
物理保证
总结
1. 研究等截面直杆的强度条件、刚度条件、稳定性条件
强度——材料抵抗破坏的能力
刚度——构件抵抗变形的能力
稳定性——构件维持原有平衡形式的能力
2. 解决结构设计安全可靠与经济合理的矛盾
3. 材料力学的四个基本假设
连续性假设
均匀性假设
各向同性假设
小变形假设。
《材料力学 第2版》_顾晓勤第05章第3节 惯性矩的平行移轴公式
13500)mm4
2.04104 m4
I y0
2
I i1 iy0
30 3003 12
270 503 12
mm4
7.03105 m4
0 13500 150 9000 13500
mm
90mm
i 1
（2）计算 T 形截面对于 x0 轴和 y0 轴的惯性矩
查表 5-1，得到矩形Ⅰ、Ⅱ对y0 轴的惯性矩：
I1 y0
30 300 3 12
mm 4
I2 y0
270 503 12
mm4
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
已知任意形状的截面如 图所示，C 为此截面的形心，
xC 、yC 为一对通过形心的坐
标轴。则定义图形对于形心
轴 xC 和 yC 的惯性矩为
I xC A yC2 dA I yC A xC2 dA
若 x 轴 // xC 轴，且相距为a；若 y 轴// yC 轴，且相距为b
第五章 截面的几何性质
（1）在C1xy 坐标系计算整个截面的形心坐标 xC 和 yC
矩形Ⅰ：A1 300 30 9000 mm 2 , xC1 0, yC1 0
矩形Ⅱ：A2 50 270 13500 mm 2, xC2 0, yC2 150
2
xC 0,
yC
i1 Ai yCi
2
Ai
第 3 节 惯性矩的平行移轴公式
第五章 截面的几何性质
例 5-5 T 形截面几何尺寸如图所示，现取质心坐
标系 Cx0 y0 ，其中 x0轴沿水平方向，y0 轴沿垂直方向。 试计算 T 形截面对于 x0轴和 y0轴的惯性矩。
材料力学性能05_冲击
高强低韧材料1和高韧低强材料2 的A-N曲线有一个交点。说明在 大能量低冲击寿命下，高韧低强 材料2的多冲抗力居上，而在小 能量高冲击寿命时，高强低韧材 料的多冲抗力居上。因此，材料 抵抗大能量一次冲击的能力主要 取决于材料的塑性和韧性，而抵 抗小能量多次冲击的能力则主要 取决于材料的强度。
2020/7/9
18/24
SHPB冲击试验与应力波分析
SHPB实验原理是将试样夹持于两个 细长弹性杆(入射杆与透射杆)之间， 由圆柱形子弹以一定的速度撞击入射 弹性杆的另一端，产生压应力脉冲并 沿着入射弹性杆向试样方向传播。当 应力波传到入射杆与试样的界面时， 一部分反射回入射杆，另一部分对试 样加载并传向透射杆，通过贴在入射 杆与透射杆上的应变片可记录人射脉 冲，反射脉冲及透射脉冲。当材料在 受冲击时瞬间变形可近似地视为恒应 变率，由一维应力波理论可以确定试 样上的应变率、应力、应变。
(2) 弹塑性响应 当冲击载荷产生的应力超过屈服强度而低于104MPa时，材料的响应可用耗散过程来 描述，同时应考虑大变形、粘滞性、热传导等，本构方程十分复杂，呈非线性。
(3) 流体动力学—热力学响应 当冲击载荷产生的应力超过材料强度几个数量级，达到106MPa或更高，材料可作为 非粘性可压缩流体处理，其真实结构可不予考虑，材料的响应可用热力学参数来描 述，其本构关系可用状态方程表示，也为非线性。
2020/7/9
3/24
材料的冲击破坏
载荷以高速度作用于材料的现象称为冲击。材料在冲击载荷作用下 发生的破坏与静载破坏有着不同的特点。冲击破坏过程中的应力波效应 是造成这一差异的主要根源。此外材料的应变率性效应也会对材料的冲 击破坏产生影响。设法在实验测试中将材料的应力波效应与应变率效应 解耦是测定材料动态本构关系的关键。
材料力学cl05弯曲内力
墙
楼板
梁
q
l
23:29 1
P 栏杆 a
A 阳台梁
B
M e Pa
q
A
23:29
P B
2
23:29
3
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长 105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。 “百米长梁”超越东海 大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。 上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时 速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。
（剪力 FS的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
23:29 14
如以右侧梁作为研究对象，则：
FSc q 2a FBy qa
Fs1
Fs 4
4 由 M A 0 得 RB 7qa 4 5qa Fs1 RA 4 2
5qa M 2 M1 R A a 4
Fs 2
Fs 3
23:29
（FS4的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
qa FS 3 Fs 2 RA qa 42 3qa M 3 R A 2a qa a 2 3qa 5qa 2 Fs 4 qa RB , M4 4 4
23:29
9
§4-3
梁的内力及其求法
a
P
A
x
l
05工程力学（静力学和材料力学）第2版课后习题答案_范钦珊主编_第5章_轴向拉伸与压缩
eBook工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书）(第5章)范钦珊 唐静静2006-12-18第5章轴向拉伸与压缩5－1试用截面法计算图示杆件各段的轴力，并画轴力图。
解：(a)题(b)题(c)题(d)题习题5－1图F NxF N(kN)x-3F Nx A5－2 图示之等截面直杆由钢杆ABC 与铜杆CD 在C 处粘接而成。
直杆各部分的直径均为d ＝36 mm ，受力如图所示。
若不考虑杆的自重，试求AC 段和AD 段杆的轴向变形量AC l Δ和AD l Δ解：()()N N 22ssππ44BCAB BC AB ACF l F l l d dE E Δ=+33321501020001001030004294720010π36.××+××=×=××mm ()3N 232c100102500429475286mm π10510π364..CDCD AD AC F l l l d E ΔΔ×××=+=+=×××5－3 长度l ＝1.2 m 、横截面面积为1.10×l0－3 m 2的铝制圆筒放置在固定的刚性块上；-10F N x习题5－2图刚性板固定刚性板A E mkN习题5－4解图直径d ＝15.0mm 的钢杆BC 悬挂在铝筒顶端的刚性板上；铝制圆筒的轴线与钢杆的轴线重合。
若在钢杆的C 端施加轴向拉力F P ，且已知钢和铝的弹性模量分别为E s ＝200GPa ，E a ＝70GPa ；轴向载荷F P ＝60kN ，试求钢杆C 端向下移动的距离。
解： a a P A E l F u u ABB A −=−（其中u A = 0）∴ 935.0101010.11070102.1106063333=×××××××=−B u mm钢杆C 端的位移为33P 32s s601021100935450mm π20010154...BC C B F l u u E A ×××=+=+=×××5－4 螺旋压紧装置如图所示。
《材料力学》习题集
《材料力学》第01章在线测试第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、材料力学的研究对象是A、板B、壳C、实体D、杆件2、由于什么假设，可以将微元体的研究结果用于整个构件。
A、连续性假设B、均匀性假设C、各向同性假设D、小变形假设3、小变形假设指的是A、构件的变形很小B、构件没有变形是刚性的C、构件的变形可以忽略不计D、构件的变形比其几何尺寸小得多4、材料安全正常地的工作时允许承受的最大应力值是A、比例极限B、屈服极限C、强度极限D、[σ]5、长度、横截面和轴力相同的钢拉杆和铝拉杆的关系是两者的A、轴力和应力相同B、允许荷载相同C、纵向线应变相同D、伸长量相同第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、各向同性假设是指材料在各个方向A、弹性模量具有相同的值B、变形相同C、具有相同的强度D、应力相同E、应力和变形的关系是相同2、下列材料可以认为是各向同性的是A、钢材B、浇注质量很好的混凝土C、木材D、塑料E、竹材3、下列哪些变形属于基本变形？A、轴向拉伸B、轴向压缩C、扭转D、偏心压缩E、剪切4、杆件的几何特征是A、长度远远大于截面的宽度B、长度远远大于截面的高度C、杆件三个方向的尺寸几乎一样大D、后度远远小于表面尺寸E、细长的构件5、下列哪些因素与材料的力学性质有关？A、构件的强度B、构件的刚度C、构件的稳定性D、静定构件的内力E、静定构件的反力第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、同时受有多个外力作用的而引起的变形叫组合变形。
2、构件的刚度是指构件抵抗变形的能力。
3、杆件的轴线使其横截面形心的连线。
4、混凝土不能作为各向同性材料。
5、自然界中有一类物体，当外力解除后不留下任何残余变形，这类物体称为理想弹性体。
《材料力学》第02章在线测试第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）1、拉压杆的受力特点是外力的合力作用线与杆的轴线A、平行B、相交C、垂直D、重合2、轴向压杆的变形特点是A、轴向伸长横向收缩B、轴向伸长横向伸长C、轴向收缩横向收缩D、轴向收缩横向伸长3、工程上常把延伸率大于多少的材料成为塑性材料？A、10％B、15％C、3％D、5％4、两根长度、容重相同的悬挂杆横截面面积分别为A2和A1，设N1、N2、σ1、σ2分别为两杆中的最大轴力和应力，则A、N1＝N2、σ1＝σ2B、N1≠N2、σ1＝σ2C、N1＝N2、σ1≠σ2D、N1≠N2、σ1≠σ25、一圆截面直杆，两端受的拉力相同，若将长度增大一倍其他条件不变，则下列结论错误的是A、轴力不变B、应力不变C、应变不变D、伸长量不变第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）1、下列结果正确的是A、1MPa＝1000000PaB、1MPa＝1000000N/m2C、1MPa＝1N/mm2D、1MPa＝1N/m2E、1MPa＝1000000N/mm22、低碳钢的拉伸图有哪四个阶段？A、弹性阶段B、比例阶段C、屈服阶段D、强化阶段E、颈缩阶段3、材料的极限应力是A、低碳钢是屈服极限B、其他塑性材料是名义屈服极限C、脆性材料是强度极限D、低碳钢是比例极限E、低碳钢是强度极限4、衡量材料强度的两个重要的指标是A、屈服极限B、强度极限C、比例极限D、弹性极限E、最大应力5、若两等直杆的横截面面积相同、长度不相同、两端受到的拉力相同，材料相同，那么两者A、轴力相同B、应力相同C、纵向线应变相同D、伸长量相同E、抗拉刚度相同第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）1、应力分两种，即正应力和剪应力。
材料力学(刘鸿文)第五章-弯曲应力
关于中性层的历史
1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层； 英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题； 法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴 过截面形心。
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
P
为什么开孔？孔开在何处？ 可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；
（4）中性轴上正应力为零， 而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
注意
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来 确定。
（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。
例1 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。
a 无论截面形状如何， 无论内力图如何
梁内最大应力 其强度条件为
σmax
σmax
M y max max
M
Iyz
max max
Iz
σ
b 但对于塑性材料，通常将梁做成矩形、圆形、工字形等
对称于中性轴的截面；
此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。
因此：
强度条件可以表示为
σmax
M max wz
σ
3m
180
30 K
z
1、C 截面上K点正应力
y
2、C 截面上最大正应力
3、全梁上最大正应力
4、已知E=200GPa，C 截面的曲率半径ρ
180
1、截面几何性质计算
120
z
确定形心的位置 确定形心主轴的位置
确定中性轴的位置
IZ
bh 3 12
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A B
C D 、平面图形的静矩的量纲是
A B
C D 、平面图形的惯性矩的量纲是
A B
C D 、若截面关于一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对正交坐标轴一定是
A B
C D 、在一组平行轴中，以截面对其对其形心轴的惯性矩
A B
C D
E、惯性积
2、下列所列平面图形的几何性质恒为零的是
A、对对称轴的静矩
B、对形心轴的静矩
C、轴惯性矩
D、极惯性矩
E、对一对主惯性轴的惯性积
3、截面图形的几何性质与下列哪些因素有关？
A、截面的形状
B、截面的几何尺寸
C、材料的性质
D、荷载情况
E、坐标轴的位置
4、若截面对某轴的静矩为零，该轴可能是
A、形心轴
B、对称轴
C、任意轴
D、主惯性轴
E、形心主轴
5、若截面对一对正交坐标轴的惯性积为零，则该对坐标轴中可能有一根是
A、形心轴
B、对称轴
C、任意轴
D、主惯性轴
正确错误、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。
正确错误、惯性矩的平行移轴公式表明了截面对任意两平行轴的惯性矩之间的关系。
正确错误、在一组平行轴中，以截面对其形心轴的惯性矩为最小。
正确错误、截面的惯性矩和极惯性矩只能是正值。
正确错误。