第六章截面的几何性质
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材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
附
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
材料力学截面的几何性质课件
材料力学截面的几何 性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
截面的几何性质截面的几何性质
分别为图形对于z 轴和y 轴的静矩。
3
平面图形的静矩
S z = ∫A ydA
S y = ∫ A zd A
• 静矩与截面面积大小及坐标设置有关； • 静矩可正、可负、可为零； • 静矩的单位为m3或 mm3。
4
平面图形的形心Leabharlann • 平面图形的形心 — 平面图形几何形状的中心。 • 通过截面形心的坐标轴称为形心轴 。
设图形的形心C坐标为(zC , yC)， 由均质等厚薄片重心坐标公式： A yC = ∫A ydA = S z
A z C = ∫ A zd A = S y Sy S yC = z , z C = A A
• 截面对形心轴的静矩必为零；反之，若截面对
某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。
5
平面图形的静矩和形心
h 1 h * = b − y1 + y1 S z = A* yC 2 2 2 b 2 = ( h2 − 4 y1 ) 8
7
h 2
组合图形的静矩和形心位置 • 组合图形 — 由几个简单图形（如矩形、圆形
或三角形等规则图形）组成的图形。
zC =
8
∑ Ai zC i ∑ Ai
截面的几何性质 • 平面图形的静矩和形心 • 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径 • 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 • 惯性矩和惯性积的转轴公式 • 主惯性轴和主惯性矩
9
平面图形的极惯性矩和惯性矩 • 定义
I z = ∫A y 2dA
I y = ∫ A z 2 dA
• 组合图形对某一对正交轴的惯性积等于各组成
部分对同一对正交轴的惯性积之和。
I yz = ∑ ( I yz ) i
建筑力学6截面图形几何性质
截面图形的几何性质一.重点及难点：(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即ydAdSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为⎰⎰==AAy ydASx xdAS （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0AS y x= ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========ni ni ii xi x ni ii ni yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截面图形的形心坐标为∑∑===ni ini ii AxA x 11 ， ∑∑===ni ini ii AyA y 11 （I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。
(4) 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。
（二）.惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩（极惯性矩、对y 轴和x 轴的惯性矩）定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为⎰=Ap dA I 2ρ （I-5）图形对y 轴和x 轴的惯性矩分别定义为⎰=Ay dA x I 2 ， dA y I Ax ⎰=2 （I-6）惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。
截面的几何性质
I x = I xc + a A
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
材料力学截面的几何性质课件
截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能
材料力学第六章
极惯性矩： d r d d4 2dA=2d/2r2· ddr = z Ip= A r· 0 0 32 C 轴惯性矩： Ip=IZ+IY d4 IZ= IY = Ip/2= 64 2 sin· cos· ddr =0 12 r· r· 惯性积：IZY= AyzdA= 0 d/2 r· 0
z h 2
h1 2
C b 2 b 2
11
例6-4 圆形对其对称轴的几何性质
面积： A=AdA=d2/4 2 sin· ddr =0 静矩： SZ=AydA=0 d/2r· r· 0
2 SY=AzdA= 0 d/2r· cos· ddr =0 r· 0
dA=rddr y dr
计算主惯性矩的一般公式
由式： 2 IZY tg20 = IZ IY 2 IZY sin20 = ( IZ IY)2+4 I2ZY cos20 = 2 ( IZ IY) ( IZ IY)2+4 I2ZY
可得：
代入上节的IZ1、 IY1计算式便可得： IZ+ IY 1 + ( IZ IY)2+4 I2ZY IZ0= 2 2 IZ+ IY 1 – ( IZ IY)2+4 I2ZY IY0= 2 2
例6-5
23
a1 zO a2 z
截面对yO轴的惯性矩为两个矩形面积对yO轴的惯性矩之 和： 0.120.63 0.40.23 IZo= II + III = + =0.242 10-2m4 YO YO 12 12
24
求图示图形的形心主轴位置和形心主惯性矩。 6 解：该图形由I、II、III三个 y 矩形组成组合图形。显然组 合图形的形心与矩形II的形 I C1 心重合。 为计算形心主轴的位置及 b1 形心主惯性矩 ，过形心选择 一对便于计算惯性矩和惯性 C z 积的z、y轴如图示。 II 矩形I、III的形心坐标为： 2 a1=0.04m a3=-0.04m C3 III b1=-0.02m b3=0.02m b3 组合截面对z、y轴的惯性矩 尺寸单位 cm 6 和惯性积分别为
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式
yC 2 140mm
c 50
50 250
zC 1 zC 2 zC 3 0
C2
A1 yC1 A2 yC 2 A3 yC 3 yC A1 A2 A3
C3
z
y
150 50 255 180 50 140 250 50 25 mm 150 50 180 50 250 50
n
= ∑ Iyi
i=1
同理 Iz = ∑ Izi
i=1 n
Iyz = ∑ Iyzi
i=1
12
n
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余 下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
Iz
1 3 5 bh d 4 12 32
z y
13
HOHAI UNIVERSITY
y dA dA z z y
6
HOHAI UNIVERSITY
三、形心主轴和形心主惯性轴
主轴： 惯性积为零的一对坐标轴。
主惯性矩：截面对主轴的惯性矩。
b/2 b/2 h/2
形心主轴： 过截面形心的主轴。
形心主惯性矩： 截面对形心主轴的 惯性矩。
z'
z
h/2
y
7
HOHAI UNIVERSITY
例3
计算图示矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。
注意平方问题
10
HOHAI UNIVERSITY
§A-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
一、平行移轴公式 Iz=∫ A y2dA =∫ A (a+yC)2dA =∫ A a2dA + 2a ∫ A yCdA + ∫ ∫ ∫
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i 1
n
I z I zi
i 1
n
Iyi , Izi — 第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩
(Properties of Plane Areas)
例 4 求T形截面对其形心轴 yC 的惯性矩. 解：将截面分成两个矩形截面. 截面的形心必在对称轴 zC 上.
140 zc 20
取过矩形2的形心且平行于底边的 轴作为参考轴记作y轴.
一、静矩(the first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z dA z
Sy Sz
A A
zd A ydA
静矩可正,可负,也可能等于零， 单位：mrties of Plane Areas)
二、截面的形心 (centroid of an area)
(Properties of Plane Areas)
矩形 1 A1 10 120 1200 mm2
z
10
y1 5mm
矩形 2
z1 60mm
2
A2 10 80 800 mm 80 50mm y 2 10 2 z 2 5mm
1
y1
z1
2
y2
z2
所以
A1 y1 A2 y 2 y 23mm A1 A2 A1 z 1 A2 z 2 z 38mm A1 A2
i 1
n
其中： Ai —— 第 i个简单截面面积
( z i , y i ) —— 第 i个简单截面的形心坐标
2、组合截面形心(centroid of a composite area)：
n n
z
Ai z i
i 1 n
Ai
i 1
y
Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
(Properties of Plane Areas)
Iy , Iz , Iyz _____ 截面对 y, z 轴的惯性矩 和惯性积。
zc
Iyc ,Izc , Iyczc —— 截面对形心轴 yc , zc
的惯性矩和惯性积。
a
C(a,b)
yc
O
b
y
已知截面对形心轴 yC ，zC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 y, z轴惯性矩和惯性积 则平行移轴公式(Parallel-Axis formula)
I yc a 2 A Iy
I zC b2 A Iz
I yz I y c z c abA
(Properties of Plane Areas)
二、组合截面的惯性矩
( moment of inertia for composite areas ）
组合截面的惯性矩
I y I yi
A A
z 2dA y 2d A
O y
y
二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）
IP
A
2dA
z y
2 2
2
IP
A ( z
2
y )dA
2
所以 I P I z I y
(Properties of Plane Areas)
三、惯性积 (product of inertia)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和,就等于该截面对于 同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
1、组合截面静矩(the first moments of a composite area)
S y Ai z i
i 1
n
S z Ai y i
y, z ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心(centroid of an area)
a O C(a,b)
(a , b )
_____
形心C在 yOz坐标系下的坐标.
b
y
(Properties of Plane Areas)
yc , zc ——过截面的形心 C 且与 y, z轴平
z
行的坐 标轴(形心轴）
z
dA
AzdA S y z
A A
C
z
z
A ydA S z y
A A
O
y
y
y
S y Az
Sz A y
若截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必过形心. 截面对形心轴的静矩等于零.
(Properties of Plane Areas)
三、 组合截面的静矩和形心 (the first moments ¢roid of a composite area)
求矩形截面对其对称轴 y, z 轴的惯性矩.
z
Iy
A z dA
2
dz
h C z y
dA bdz
Iy
A
z dA
3
2
h 2 h 2
bz dz
2
bh 12
3
b
hb Iz 12
(Properties of Plane Areas)
z
例 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
10 O y 90
(Properties of Plane Areas)
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
z
负面积 C2 C1
C1（0,0） C2（5,5） y
y i Ai y y
A
1
A1 y 2 A2 A1 A2
5 ( 80 110) 22 120 90 80 110
解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为
IP
d
4
y
32
I y Iz I I y Iz
所以:
I y Iz
d
4
64
(Properties of Plane Areas)
§ 6-3 平行移轴公式 (Parallel--Axis Theorem)
一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia) z
yc
1
z2
A1 20 140 A2 100 20
z1 80 z2 0
y
20
2
100
所以截面的形心坐标为
A1 z1 A2 z 2 46.7mm zC A1 A2
(Properties of Plane Areas)
I yC b2 A Iy
I
1 yC
1 2 3 20 140 20 140 (80 46.7) 12 1 2 3 100 20 100 20 (46.7) 12
图(b)
(Properties of Plane Areas)
§ 6-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of z inertia、product of inertia)
一、惯性矩(Moment of inertia)
z dA
Iy Iz
例1
z
试确定图示截面形心C的位置 解：组合图形,用正负面积法解之.
10
1.用正面积法求解,分解为由1,2 两个矩形组成 取 y 轴和 z 轴分别与截面的底边和左边缘重合
1
y1
z1
y
z2
Ai yi
i 1 n
n
2
O
y2
10 y
Ai
i 1
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
90
A1 z1 A2 z 2 z A1 A2
1 yC
zc 20
I
140
2 yC
yc
1
I yC I
I
2 yC
12.12 10 m
6
4
z2
y
20
100
2
I zy
z
dA z y
A
yzdA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能 为正值,负值,也可能等于零. 若 y , z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对y , z轴的惯性积一 定等于零.
y
O
z
dA
dA
z y
单位：m4
dy dy
(Properties of Plane Areas)
例2 解：
(Properties of Plane Areas)
第六章 截面的几何性质 (Appendix Ⅰ Properties of Plane Areas)
(Properties of Plane Areas)
§ 6-1 截面的静矩和形心 (the first moment of the area & centroid of an area)
n
I z I zi
i 1
n
Iyi , Izi — 第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩
(Properties of Plane Areas)
例 4 求T形截面对其形心轴 yC 的惯性矩. 解：将截面分成两个矩形截面. 截面的形心必在对称轴 zC 上.
140 zc 20
取过矩形2的形心且平行于底边的 轴作为参考轴记作y轴.
一、静矩(the first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z dA z
Sy Sz
A A
zd A ydA
静矩可正,可负,也可能等于零， 单位：mrties of Plane Areas)
二、截面的形心 (centroid of an area)
(Properties of Plane Areas)
矩形 1 A1 10 120 1200 mm2
z
10
y1 5mm
矩形 2
z1 60mm
2
A2 10 80 800 mm 80 50mm y 2 10 2 z 2 5mm
1
y1
z1
2
y2
z2
所以
A1 y1 A2 y 2 y 23mm A1 A2 A1 z 1 A2 z 2 z 38mm A1 A2
i 1
n
其中： Ai —— 第 i个简单截面面积
( z i , y i ) —— 第 i个简单截面的形心坐标
2、组合截面形心(centroid of a composite area)：
n n
z
Ai z i
i 1 n
Ai
i 1
y
Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
(Properties of Plane Areas)
Iy , Iz , Iyz _____ 截面对 y, z 轴的惯性矩 和惯性积。
zc
Iyc ,Izc , Iyczc —— 截面对形心轴 yc , zc
的惯性矩和惯性积。
a
C(a,b)
yc
O
b
y
已知截面对形心轴 yC ，zC 的惯性矩和惯性积 求截面对与形心轴平行的 y, z轴惯性矩和惯性积 则平行移轴公式(Parallel-Axis formula)
I yc a 2 A Iy
I zC b2 A Iz
I yz I y c z c abA
(Properties of Plane Areas)
二、组合截面的惯性矩
( moment of inertia for composite areas ）
组合截面的惯性矩
I y I yi
A A
z 2dA y 2d A
O y
y
二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）
IP
A
2dA
z y
2 2
2
IP
A ( z
2
y )dA
2
所以 I P I z I y
(Properties of Plane Areas)
三、惯性积 (product of inertia)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和,就等于该截面对于 同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
1、组合截面静矩(the first moments of a composite area)
S y Ai z i
i 1
n
S z Ai y i
y, z ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心(centroid of an area)
a O C(a,b)
(a , b )
_____
形心C在 yOz坐标系下的坐标.
b
y
(Properties of Plane Areas)
yc , zc ——过截面的形心 C 且与 y, z轴平
z
行的坐 标轴(形心轴）
z
dA
AzdA S y z
A A
C
z
z
A ydA S z y
A A
O
y
y
y
S y Az
Sz A y
若截面对某一轴的静矩等于零,则该轴必过形心. 截面对形心轴的静矩等于零.
(Properties of Plane Areas)
三、 组合截面的静矩和形心 (the first moments ¢roid of a composite area)
求矩形截面对其对称轴 y, z 轴的惯性矩.
z
Iy
A z dA
2
dz
h C z y
dA bdz
Iy
A
z dA
3
2
h 2 h 2
bz dz
2
bh 12
3
b
hb Iz 12
(Properties of Plane Areas)
z
例 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
10 O y 90
(Properties of Plane Areas)
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
z
负面积 C2 C1
C1（0,0） C2（5,5） y
y i Ai y y
A
1
A1 y 2 A2 A1 A2
5 ( 80 110) 22 120 90 80 110
解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为
IP
d
4
y
32
I y Iz I I y Iz
所以:
I y Iz
d
4
64
(Properties of Plane Areas)
§ 6-3 平行移轴公式 (Parallel--Axis Theorem)
一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia) z
yc
1
z2
A1 20 140 A2 100 20
z1 80 z2 0
y
20
2
100
所以截面的形心坐标为
A1 z1 A2 z 2 46.7mm zC A1 A2
(Properties of Plane Areas)
I yC b2 A Iy
I
1 yC
1 2 3 20 140 20 140 (80 46.7) 12 1 2 3 100 20 100 20 (46.7) 12
图(b)
(Properties of Plane Areas)
§ 6-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of z inertia、product of inertia)
一、惯性矩(Moment of inertia)
z dA
Iy Iz
例1
z
试确定图示截面形心C的位置 解：组合图形,用正负面积法解之.
10
1.用正面积法求解,分解为由1,2 两个矩形组成 取 y 轴和 z 轴分别与截面的底边和左边缘重合
1
y1
z1
y
z2
Ai yi
i 1 n
n
2
O
y2
10 y
Ai
i 1
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
90
A1 z1 A2 z 2 z A1 A2
1 yC
zc 20
I
140
2 yC
yc
1
I yC I
I
2 yC
12.12 10 m
6
4
z2
y
20
100
2
I zy
z
dA z y
A
yzdA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能 为正值,负值,也可能等于零. 若 y , z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对y , z轴的惯性积一 定等于零.
y
O
z
dA
dA
z y
单位：m4
dy dy
(Properties of Plane Areas)
例2 解：
(Properties of Plane Areas)
第六章 截面的几何性质 (Appendix Ⅰ Properties of Plane Areas)
(Properties of Plane Areas)
§ 6-1 截面的静矩和形心 (the first moment of the area & centroid of an area)