高考数学专项复习资料-数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
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1 设 p、q 都是正整数，且 p≠q，证明：Sp+q＜2(S2p＋S2q)．
【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前 n 项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ) 小题利用差值比较法就可顺利解决.
{ { 【解】 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d，依题意得， a41a＋1＋2d6＝d＝724，解得 ad1＝＝23，
2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角
函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑
推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.
3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.
等式，再通过解不等式解得.
11
1
【例 1】 等比数列{an}的公比 q＞1，第 17 项的平方等于第 24 项，求使 a1＋a2＋…＋an＞a1＋a2＋…＋an恒
成立的正整数 n 的取值范围.
【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项 a1 与公比 q 之间的关系，再利用等比数列前 n 项公
式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数 n 的取值范围.
4．理解不等式的性质及其证明．
5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．
【考点透视】
1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.
【解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.
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由等比数列的性质知：数列{an}是以a1为首项，以q为公比的等比数列，要使不等式成立，
a1(qn－1) a11[1－(1q)n]
则须 q－1 ＞
1 1－q
，把
a21＝q18
Biblioteka Baidu
代入上式并整理，得
q18(qn－1)＞q(1－q1n)，
qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数 n 的取值范围是 n≥20.
【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解； （2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.
【例 4】 (08·安徽高考)设数列{an}满足 a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中 c 为实数.(Ⅰ)证明：an∈[0， 1]对任意 n∈N*成立的充分必要条件是 c∈[0，1]；(Ⅱ)设 0＜c＜13，证明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）设 0
【分析】 第（Ⅰ）小题利用 Sn 与 an 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件 an+1≥an 转化为
关于 n 与 a 的关系，再利用 a≤f(n)恒成立等价于 a≤f(n)min 求解．
【解】 (Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即 Sn+1＝2Sn＋3n，
由此得 Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)．
【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识
求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.
【例 2】 （08·全国Ⅱ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设 bn＝Sn
－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若 an+1≥an，n∈N*，求 a 的取值范围．
高考数学专项复习资料
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
【考试要求】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推
公式写出数列的前几项．
2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
∴数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. （Ⅱ）证明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝n(a12＋an)＝n2＋2n． 2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2， ∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，∴Sp+q＜12(S2p＋S2q)．
【典例分析】
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 f(x)在定义域为 D，则当 x∈D
时，有 f(x)≥M 恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M 恒成立f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不
因此，所求通项公式为 bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n1，n∈N*,
①
(Ⅱ)由①知 Sn＝3n＋(a－3)2 n1，n∈N*，
于是，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn1＝3n＋(a－3)2 n1－3n1－(a－3)2 n2＝2×3n1＋(a－3)2 n2，
an+1－an＝4×3 n1＋(a－3)2 n2＝2 n2·[12·(32)n2＋a－3]， 当 n≥2 时，an+1≥an，即 2 n2·[12·(32)n2＋a－3]≥0，12·(32)n2＋a－3≥0，∴a≥－9， 综上，所求的 a 的取值范围是[－9，＋∞]． 【点评】 一般地，如果求条件与前 n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑 Sn 与 an 的关系求解.本题 求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一 般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减 少等手段达到证明的目的. 【例 3】 已知数列{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)
【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前 n 项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ) 小题利用差值比较法就可顺利解决.
{ { 【解】 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是 d，依题意得， a41a＋1＋2d6＝d＝724，解得 ad1＝＝23，
2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角
函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑
推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.
3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.
等式，再通过解不等式解得.
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【例 1】 等比数列{an}的公比 q＞1，第 17 项的平方等于第 24 项，求使 a1＋a2＋…＋an＞a1＋a2＋…＋an恒
成立的正整数 n 的取值范围.
【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项 a1 与公比 q 之间的关系，再利用等比数列前 n 项公
式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数 n 的取值范围.
4．理解不等式的性质及其证明．
5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．
【考点透视】
1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.
【解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.
1
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由等比数列的性质知：数列{an}是以a1为首项，以q为公比的等比数列，要使不等式成立，
a1(qn－1) a11[1－(1q)n]
则须 q－1 ＞
1 1－q
，把
a21＝q18
Biblioteka Baidu
代入上式并整理，得
q18(qn－1)＞q(1－q1n)，
qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数 n 的取值范围是 n≥20.
【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解； （2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.
【例 4】 (08·安徽高考)设数列{an}满足 a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中 c 为实数.(Ⅰ)证明：an∈[0， 1]对任意 n∈N*成立的充分必要条件是 c∈[0，1]；(Ⅱ)设 0＜c＜13，证明：an≥1－(3c)n1，n∈N*；（Ⅲ）设 0
【分析】 第（Ⅰ）小题利用 Sn 与 an 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件 an+1≥an 转化为
关于 n 与 a 的关系，再利用 a≤f(n)恒成立等价于 a≤f(n)min 求解．
【解】 (Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即 Sn+1＝2Sn＋3n，
由此得 Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)．
【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识
求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.
【例 2】 （08·全国Ⅱ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn．已知 a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设 bn＝Sn
－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若 an+1≥an，n∈N*，求 a 的取值范围．
高考数学专项复习资料
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
【考试要求】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推
公式写出数列的前几项．
2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
∴数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. （Ⅱ）证明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝n(a12＋an)＝n2＋2n． 2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2， ∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，∴Sp+q＜12(S2p＋S2q)．
【典例分析】
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数 f(x)在定义域为 D，则当 x∈D
时，有 f(x)≥M 恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M 恒成立f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不
因此，所求通项公式为 bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n1，n∈N*,
①
(Ⅱ)由①知 Sn＝3n＋(a－3)2 n1，n∈N*，
于是，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn1＝3n＋(a－3)2 n1－3n1－(a－3)2 n2＝2×3n1＋(a－3)2 n2，
an+1－an＝4×3 n1＋(a－3)2 n2＝2 n2·[12·(32)n2＋a－3]， 当 n≥2 时，an+1≥an，即 2 n2·[12·(32)n2＋a－3]≥0，12·(32)n2＋a－3≥0，∴a≥－9， 综上，所求的 a 的取值范围是[－9，＋∞]． 【点评】 一般地，如果求条件与前 n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑 Sn 与 an 的关系求解.本题 求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视. 题型二 数列参与的不等式的证明问题 此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一 般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减 少等手段达到证明的目的. 【例 3】 已知数列{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)