9.3用正多边形铺设地面
9.3 用正多边形铺设地面 1.用相同的正多边形 2.用多种正多边形
和____________ 正六边形 ．
9.3
用正多边形铺设地面
知识点二
用几种不同的正多边形铺设地面
用两种不同的正多边形铺满地面的条件： 360° 围 (1)每一个拼接点处的所有角之和恰好等于__________( 绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一 个周角)； 相等 ． (2)两种正多边形的边长________ [点拨] 用两种正多边形能铺满地面的有：
求．
[归纳总结] 用多种正多边形能否铺满地面，一要看顶点处所取
正多边形的几个内角的和是否恰好为一个周角；二是看这几种
正多边形的边长是否相等．
9.3
用正多边形铺设地面
探究问题三
用正多边形铺设地面的综合运用
例3
用m块正三角形地砖和n块正六边形地砖密铺地面，要求两
种地砖同时都要用，问m，n分别是多少？请设计出一种铺法．
(1)正三角形和正方形；(2)正三角形和正六边形；(3)正方形
和正八边形等．
9.3
用正多边形铺设地面
重难互动探究
探究问题一 例1 用一种正多边形能铺满地面的条件的运用
为什么用一种正多边形密铺地面时，只有正三角形、正
方形和正六边形这三种？ [解析] 要使用同一种正多边形密铺地面，必须满足正多边形 的几个内角之和为360°.正多边形只有正三角形、正方形和
其他正多边形，不论几个内角之和都不能正好构成360°，
∴用一种正多边形密铺地面时，只有正三角形、正方形和正六 边形这三种．
9.3
用正多边形铺设地面
[归纳总结] 先根据多边形内角和公式 (n－2)·180°计算出 （n－2）·180° 正多边形的每一个内角的度数为 ，如果它的 n 整数倍是 360°， 那么该正多边形就能密铺地面， 否则就不能．
9.3 用正多边形铺设地面 课件 2020-2021学年华东师大版数学 七年级下册
解：猜想 2：能．设围绕某一个点有 x 个正三角形和 y 个正六边形的
内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程 60x＋（6－2）6 ×180 y＝360， 整理得 x＋2y＝6，方程的正整数解为xy＝＝22， 或xy＝＝14，， 即 2 个正三角形 和 2 个正六边形，或 4 个正三角形和 1 个正六边形可以铺满地面
解：设在一个顶点周围有m个正三角形的内角，n个正
方形的内角，则有m·60°＋n·90°＝360°，即2m
＋3n＝12，正整数解为
m 3, n 2.
所以用正三角形和正方形铺地面，能铺满的可行方
案只有一种，即在每个顶点周围有三个正三角形和
两个正方形.(图案 如图所示)
归纳小结
多边形能密铺必须满足绕一个点拼在一起的几个 角的和是360°.
8．(4分)用一批相同的正多边形地砖辅地，要求顶点聚在一起，且砖 与砖之间不留空隙，这样的地砖是( D )
A．正五边形 B．正三角形，正方形 C．正三角形，正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形，正六边形
9．(4分)用三种正多边形铺设地面，其中的两种是正方形和正五边形， 则第三种正多边形的边数是( D )
解：此题答案不唯一，以下三种铺设方法供参考. (1)用m个正三角形，n个正六边形，则60m＋120n ＝360，即m＋2n＝6.因为m，n为正整数，所以 m＝2，n＝2或m＝4，n＝1，即用2个正三角形， 2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形可铺 满地面，如图①②.
(2)用m个正三角形，n个正十二边形，则有60m＋ 150n＝360，即2m＋5n＝12.因为m，n为正整数， 所以m＝1，n＝2，即用1个正三角形，2个正十 二边形可铺满地面，如图③.
9.3用正多边形铺设地面课时训练(含答案)
9.3用正多边形铺设地面课时训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起的三块正多边形木板相交于一点且各边完全吻合，其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数应是（）A．5 B．6 C．8 D．102．某市对人行道路翻新，准备选用—种正多边形铺设地面，下列地砖中，不能在平面镶嵌中铺满地面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．如图，下列关于正六边形ABCDEF的说法中，正确的是（）A．内角和为1080︒B．共有六个外角，且外角和为360︒C．共有12条对角线D．它能与等边三角形进行平面镶嵌4．下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形5．小育到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正八边形B．正六边形C．正方形D．正三角形6．下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是（）A．正三角形地砖B．正方形地砖C．正六边形地砖D．正八边形地砖7．小漩希望在装修她的新房时铺上有正八边形的地砖，那么密铺她的房间地面还应选择以下哪种形状的地砖（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形8．某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是（）A．1、2 B．2、1 C．2、2 D．2、39．现有若干边长相同的正方形和正三角形，在一个顶点周围用m个这种正方形和n个正三角形恰好铺满地面（,m n为正整数），则m n的值为（）A．6 B．5 C．4 D．310．用同样大小的多边形地砖不能镶嵌成一个平面的是()A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正三角形二、填空题11．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝______．12．在正五边形和正八边形、正六边形和正方形、正八边形和正方形、正十边形和正方形，这几种组合中，能铺满地面的正多边形的组合是____13．把边长为1的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点,E F分别为,AD CD 的中点，四边形AHGE是菱形，用这四块纸片拼成四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是________．14．若一个正多边形的每个外角都等于45°，则用这种多边形能铺满地面吗？（填“能”或“不能”）答：________．15．将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板分别为正方形和正六边形，则第三块正多边形木板的边数为______.16．形状、大小完全相同的三角形________(填“能”或“不能”)铺满地面；形状、大小完全相同的四边形________(填“能”或“不能”)铺满地面．三、解答题17．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的32．（1）试分别确定A，B是什么正多边形？（2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．18．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．（1）则一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？（两种图形都要用上）（2）请画出你的镶嵌图．19．如图所示，有一边长为米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的正方形方砖密铺而成．（1）图中黑白方砖共有块；（2）求一块方砖的边长．20．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？（2）这个多边形的内角和是多少度？参考答案1．D2．C3．D4．C5．A6．D7．B8．D9．B10．C11．4或512．正八边形和正方形．13．2+或3+或414．不能15．1216．能能17．（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析【详解】解：（1）设B的内角为x，则A的内角为32x，∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），∴3x+2×32x=360°，解得：x=60°，∴32x=90°∴可确定A为正四边形，B为正三边形．（2）所画图形如下：18．（1）3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示见解析.【详解】解：（1）正三角形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，正方形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，因为3×60+2×90=360°，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；（2）如图所示：19．（1）黑白方砖共有32块；（2）一块方砖的边长为2米．【详解】（1）观察图象可知黑白方砖共有16+9+7＝32（块），故答案为32；（2）设一块方砖的边长为a．由题意：a＝，∴a＝2，∴一块方砖的边长为2米．20．（1）小明一共走了120米（2）这个多边形的内角和是3960度【详解】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是15度的正多边形，∴360÷15=24，24×5=120m答：小明一共走了120米；（2）（24﹣2）×180°=3960°，答：这个多边形的内角和是3960度．。
用正多边形铺设地面
1、正六边形和正三角形的组合.
1、正六边形和正三角形的组合.
1200 4 600 3600
欣赏
2、正八边形和正方形组合.
欣赏
3、正十二边形和正三角形组合.
欣赏
4、正六边形、正方形和正三角形的组合.
欣赏
5、正十二边形、正六边形和正方形的组合.
9.3 用正多边形铺设地面
1.知道正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面.
2.知道拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关键是 以同一点为顶点的几个多边形的内角相加恰好等于3600.
欣赏
哪些正多边 形能用来拼
地板呢？
铺设地板的要求：
1. 不留下一丝空白. 2. 不相互重叠.
围绕某一顶点铺满地面
猜一猜：
欣赏
欣赏
欣赏
。
360
.
欣赏
. 360。
欣赏
360。
.
小结：
多种正多边形的瓷砖能否铺满地面而无 缝隙的关键是:
几个正多边形的内角加在一起恰好能组 成一个周角.
课堂练习：
教材第91页练习.
• 我学会了…… • 使我感触最深的是…… • 我发现生活中…… • 我还感到疑惑的是…… • 给了我们什么启示......
正三角形的每一个内角是
180n 2 1803 2 60
n
3
因此在每一个顶点处应有 360 6 个
正三角形.
60
60°
60°
60°
60°
60°
60°
欣 90°
90°
欣赏
。
360
.
120° 120°120°
1.用相同的正多边形拼地板
结论：
要能铺满地，围绕一点拼在一 起的几个内角之和为 360度
思考1：用同一种正多边形铺设地面， 哪些正多边形能铺满，为什么？
正方形瓷砖
90° 90°
√
90° 90°
围绕一个点有4个角，4个角的和为 ９０°×４＝３６０°
正三角形瓷砖
60°
60°
60°
√
60°
60°
种不同的拼法
3、现要选用两种不同的正多边形地砖铺地板，若已选择了正十二边
形，则可以再选择的正多边形是
4、 用m个正方形和n个正八边形铺满地面，则m= ，n=
B组1、如果用三种边长相同的正多边形地砖铺满地面，已知有正方 形和正六边形，那么还需要哪种正多边形才能围绕一点铺满？
2、如果用三种正多边形地砖铺地面，已知有正三角形和正六边形， 那么还需要哪种正多边形才能围绕一点铺满？
2、某人到瓷砖商店去购买一种正多边形形状的瓷砖，铺设无缝地板， 他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A、正三角形 B、正四边形 C、正六边形 D、正八边形
3、用正三角形的瓷砖铺满地面时，（在一起。A.3
B.4 C.5
D.6
4、用正六边形的瓷砖铺满地面时，（
在一起。
A.3
B.4 C.5
D.6
）个正三角形围绕一点拼 ）个正六边形围绕一点拼
60°
围绕每一个点有6个角，6个角和为 60°×6=360°
正六边形瓷砖
√
120° 120° 120°
围绕每一个点有3个角，3个角和为
120°×3=360°
正五边形瓷砖
108°
× 108°
108°
围绕一个点有3个角，3个角的和为 108°×3=324°≠3600
9.3(1)9.3用正多边形铺设地面
9.3用正多边形铺设地面学习目的：1、理解用相同的正多边形和两种以上的正多边拼拼成一个不留空隙、又不重叠的平面图形的关键，体会某些平面图形的性质及其位置关系， 认识图形在日常生活中的应用。
2、提高观察、分析、概括、抽象等能力，认识图形在日常生活中的应用，能欣赏现实世界中的美丽图案。
一、问题导学1、瓷砖是生活中常见的装饰材料（演示图片），瓷砖的铺设，使到相邻的地砖或瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙。
你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？这就是我们今天要研究的问题。
2、观察思考：展示所收集的瓷砖铺设的有关资料（相片、画、网上资料等），观察图中用于瓷砖铺设的是什么图形？二、依标再学展示学习目标，引导学生再读课本三、自学展示1、问题：哪些正多边形可以铺满地面？在所有的正多边形中，用一种正多边形铺地板，只有才能铺满地板，理由是： 正多边形个数×正多边形内角度数=360º 五、课堂练习1、用 个正三角形瓷砖就可以铺满地面， 用 个正方形瓷砖就可以铺满地面，用 个正六边形瓷砖就可以铺满地面。
2、某人到瓷砖商店去购买一种．．正多边形形状的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不．可以（ ） A 、正三角形 B 、正四边形 C 、正六边形 D 、正八边形 3、你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙，不重叠的平面图形吗?4、一种四边形瓷砖的4条边的长度分别为4㎝，6㎝，8㎝，10㎝，如图，请你用12块这样的瓷砖铺一块地面，使它们排3行，每行4块，并使相邻的瓷砖边与边之间既无空隙，又不重叠，请画出图来。
5、 在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形。
七年级数学下册9.3用正多边形铺设地面教案华东师大版
用正多边形铺设地面一、教学目的：1、学问目的（1）、在试验探究学习活动中，使学生驾驭两种以上正多边形可以铺满地面。
（2）、在探究过程中，使学生理解正多边形可以铺满地面道理。
2、实力目的（1）、进一步进步学生视察、分析、概括、抽象等实力。
（2）、培育学生动手操作、自主探究、合作学习实力。
3、情感看法价值观（1）、通过视察、试验、归纳、推断等学习活动，使学生体验数学活动充溢着探究性和创建性，进而培育学生学习数学爱好，增加学好数学自信念。
（2）、使学生体会到数学与现实生活亲密联络，相识到数学应用价值。
4、重点、难点重点：通过用两种以上正多边形拼地板，进步学生视察、分析、概括、抽象实力。
难点：找寻用哪几种正多边形能铺满地板。
二、过程与方法：1、课堂上充分发挥学生主体作用，让学生在活动中试验、在试验中探究、在探究中领悟、在领悟中理解，从而可以很好地突出重点、打破难点。
2、通过对“用正多边形铺地板问题”探究，让学生在参加中去体验、去感受、去领悟、去创建。
激发学生探究精神、培育创建实力。
三、教学打算：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形纸片四、教学过程：二、理论探究我们已经讨论了用同种正多边形是可以铺满地面，那么用多种正多边形是否也能铺满地面呢？1、首先，讨论两种正多边形状况：从打算材料中任取两种正多边形进展组合，讨论是否也能铺满地面。
学生活动时适当指导，赐予扶植。
提问：正五边形与正十边形围绕一点能拼成360º，学问打算：正多边形各内角度数；（正多边形、多边形内角和、外角和学问运用）学生分组试验探究，归纳总结。
1、哪些正多边形两两组合可以铺满地板？_________________________________2、铺满地板关键是什么？______________________________总结：正方形与正三角形；正六边形与正三角形；正十二边形与正三角形；正八边形与正方形3、学生讨论、试验，推断正五边形与正十边形是否能扩展到整个平面。
9.3.3 用多种正多边形拼地板
小结 如果几个多边形的内角加在一起恰好能 组成一个周角的话，它们就能够拼成 一个平面图形。
注：有时几种正多边形的组合能围绕一 点拼成周角，但不能扩展到整个平面， 即不能铺满平面。如：正五边形与正十 边形的组合。
作业
9.3用正多边形铺地板 1.用相同的正多边形铺地板
要想铺设成一个既无缝隙又 不互相重叠的平面，必须满足围 绕一点的几个内角和为360°. 即：ax=360
1.正三角形
60°×6=360 °
2.正四边形
90°×4=360°
正五边形
3.正六边形
120°×3=360°
正八边形
任意三角形
பைடு நூலகம்
2.用多种正多边形拼地板
要想铺设成一个既无缝隙 又不互相重叠的平面，必须满 足围绕一点的几个多边形(边长 相等）的内角和为360°.
一、两种正多边形即：ax+by=360 1、正三角形、正方形
90°×2+60°×3=360°
2、正三角形、正六边形
120°+60°×4=3 120°×2+60°×2=36 60° 0°
3、正方形、正八边形
90°+135°×2=3 60°
4、正三角形、正十二边形
60°+150°×2=3 60°
正五边形、正十边形
围绕一点能 拼成360º ， 但能扩展到 整个平面， 即铺满地面 吗？
144 108 108 360
尽管能围绕 一点拼成 360º ，但不 能扩展到整 个平面。
二、三种正多边形即： 1、正三角形、正方形、正六边形 ax+by+cz=360 °
60°+90°×2+120°=360°
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1
一、用相同的正多边形铺设 地面
2021/3/9
2
思考
正三角形、正四边形、正五 边形、正六边形、正七边形、 正八边形...........等能单独 铺满地板吗？为什么？源自2021/3/93
能！
.360。
能！
.。 360
正五边形瓷砖
108°
108° 108°
不能！
2围021绕/3/9每一点有3个角，3个角和为3×108°= 324°≠360°
探究
2 n ＝ 2(n2)4
＝２＋
4
n只能是n 哪2些数？
n2
３
４
n2
６
2021/3/9
10
二、用多种正多边形铺设地 面
2021/3/9
11
我是小小设计师（基础篇）
▪ 请同学们利用边长相等的正 三角形、正方形、正六边形 的拼图纸，设计不同拼法， 比一比哪个组设计得又多又 漂亮。
2021/3/9
12
6
能！
.。 360
正七边形正八边形 呢？
想一想， 为什么？
正八边形的每个内角为 (8-2) ×180°÷8=135°
围绕每一点有3个角,3个角和为3×135°=405°>360°不能！
正七边形的每个内角为 (7-2) ×180°÷7≈128.6°
围绕每一点有3个角,3个角和为3×128.6°=385.8°>360°也不能！
1、正三角形、正四边形 2、正三角形、正六边形 3、正方形、正八边形 4、正三角形、正十二边形
................等
2021/3/9
21
我是小小设计师（提高篇）
？
2021/3/9
22
2021/3/9
12 1 34 2 2 43 1
21
23
图案镶嵌的大设计师埃舍尔
2021/3/9
25
.。 360
.360。
.。 360
.。 360
为什么以下几组图形能够如此巧妙的结合在 一起？
2021/3/9
17
正八边形和正方形组合。
2021/3/9
18
正十二边形和正三角形组合。
2021/3/9
19
正十二边形、正六边形和正方形的组合。
2021/3/9
20
总结 能够铺满地板的正 多边形组合大致有：
2021/3/9
26
本节课你收获了什么？
用一种或多种正多边形铺满地面 的关键是：围绕一点拼在一起的几 个内角加在一起恰好组成一个周角， 这是多边形铺满地面的必须条件。
2021/3/9
28
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
2021/3/9
29
2021/3/9
8
规律：
使用给定的某种正多边形，当围 绕一点拼在一起的几个内角和加在 一起恰好组成一个周角( 360°)时， 就能拼成一个平面图形。
2021/3/9
9
数学模型：正多边形个数×正多边形一个 内角度数=360º
这就说明：当 360°÷(n-2)n×180°
即
2n
n2
为正整数时，
用这样的n边形就可以铺满地板．