高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率
曲线的曲率与弯曲性质的解析几何描述
曲线的曲率与弯曲性质的解析几何描述曲线是解析几何中的重要概念，它在数学以及其他领域中都有广泛的应用。
曲线的曲率和弯曲性质是描述曲线形状的重要指标，它们可以帮助我们理解曲线的特征和性质。
在本文中，我们将从解析几何的角度出发，对曲线的曲率和弯曲性质进行详细的描述和解释。
一、曲线的曲率曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的量度，它反映了曲线在某一点的弯曲程度。
要计算曲线的曲率，我们首先需要了解曲线的切线和法线。
1. 切线：曲线上的任意一点，都可以通过该点的切线来描述曲线在该点的方向。
切线的斜率等于曲线在该点的导数，即切线的斜率等于曲线的导数。
切线的方向与曲线在该点的切线方向相同。
2. 法线：曲线上的任意一点，都可以通过该点的法线来描述曲线在该点的垂直方向。
法线与切线垂直，即切线和法线的斜率的乘积等于-1。
曲线的曲率可以通过计算曲线在某一点的切线与曲线的夹角来得到。
曲线的曲率越大，说明曲线在该点的弯曲程度越大；曲率越小，则说明曲线在该点的弯曲程度越小。
二、曲线的弯曲性质曲线的弯曲性质描述了曲线的整体形状和特征，包括曲线的凸性和凹性。
1. 凸曲线：如果曲线上的任意两点的连线都位于曲线的上方或者曲线上，那么这条曲线被称为凸曲线。
凸曲线的弯曲方向向外，如圆的外弯部分。
2. 凹曲线：如果曲线上的任意两点的连线都位于曲线的下方或者曲线上，那么这条曲线被称为凹曲线。
凹曲线的弯曲方向向内，如圆的内弯部分。
曲线的弯曲性质可以通过曲线的曲率来判断。
如果曲线的曲率在某一点大于零，则该点属于凸曲线；如果曲率小于零，则该点属于凹曲线。
三、曲线的解析几何描述在解析几何中，我们可以使用数学模型来描述曲线的曲率和弯曲性质。
常见的数学模型包括参数方程和隐式方程。
1. 参数方程：曲线的参数方程是用参数表示曲线上的点的坐标。
例如，对于平面上的曲线，可以使用参数方程x=f(t)和y=g(t)来描述曲线上的点的坐标，其中t为参数。
通过对参数方程求导，我们可以计算曲线在某一点的切线和曲率。
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
曲率教程
多大的砂轮比较合适？ 多大的砂轮比较合适？ 解 y ′ = 0.8 x , y′′ = 0.8,
y ′ = 0 , y ′′ = 0.8,
x =0 x =0
(1+ 0 ) R= = 1.25. 0.8
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所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不 单位长， 所以选用砂轮的半径不得超过 单位长 得超过2.50单位长 单位长. 得超过 单位长
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这就是说， 这就是说，曲线弧的弯曲程度与它的长度及 其两端切线的转角大小有关， 其两端切线的转角大小有关，并且可用比值
∆α MN
来描述. 来描述 我们把曲线弧两端切线的转角与弧长之 比，叫做这段弧上的平均曲率， 叫做这段弧上的平均曲率， 平均曲率 记作 K , 即
K= ∆α MN .
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d s = (d x) 2 + (d y ) 2
dy = 1+ d x = 1 + ( y′) 2 d x. dx
y′′ （1）（2） ⇒ K = (1 + y′2 )3/2
| y′′ | . 曲率的计算公式： K = 曲率的计算公式： ( 1 + y′ )
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飞行员对座椅的压力由两部分构成， 解 飞行员对座椅的压力由两部分构成，一部分是自身 的重量， 的重量，另一部分是飞行员在原点处做圆周运动时所需的 mv 2 v为速度 m为飞行员的质量 为速度， 为飞行员的质量， ，其中为速度， 为飞行员的质量， 向心力F， 向心力 ，且 F = R x2 求导， 求导，得 R为曲率半径 对 y = 为曲率半径. 为曲率半径 4 000
高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率
*§3.3 曲线的弯曲程度——曲率一、曲率的概念在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？如图3.6所示， 12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示， 12M M 和12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧， 12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时，切线相应的转角为α∆， 曲线弧 MN 的长为s ∆。
我们用s∆∆α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程1M图3.6图3.7图3.81度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即K sα∆=∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lims d s dsαα∆→∆=∆存在，从而极限l i ms d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s dsαα∆→∆=∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即d K dsα=。
（3.1） 注意到，d dsα是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得())(11arctan 2y d y y d d ''+='=αdx y y '''+=211（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点0M ，并以此为起点度量弧长。
高数第三章第七节曲率
第三章
平面曲线的曲率
曲线的弯曲程 度
与切线的转角有关 与曲线的弧长有关
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、弧微分
设函数 f ( x)在区间(a,b)
内具有连续导数.
y
基点 : A( x0 , y0 ), M ( x, y)为任意一点 ,
AM
规定
o
x0
x
(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;
M T R
x x x
(2) AM s,当 AM 的方向与曲线正向一致
正号 , 相反时 , s 取负号 .
时 , s取
单调增函数
s s( x).
弧长 s AM s(x)
s M M(1 y2 )32
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又(
b
b2 ,
4ac)为抛物线的顶点,
2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图),使曲 率连续地由零过渡
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
由弧微分公式: 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
K d
ds
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若曲线由参数方程
dy (t) , dx (t)
x
证 如图
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
高等数学 第3章 第九节 曲率
曲线的弯曲程度与下列两个量有关：
（1）切线转过的角度； （2）弧段的长度。 曲率：单位弧长上切线所转过的角度。
M1M2 N1N2
1 2
3
设 MM'的长度为
切线转过的角度为
平均曲率：
s , .
s
MM '的平均弯曲程度
K
s
y
M
•
s
M
M0
•
•
O
x
曲线在点M处的曲率：
K lim s0 s
x,
y
相应的有向弧段的值
s有增量 s,
s M 0 M M 0 M MM
s ?
x
y f x
M •
M0
y
• M•
x
s s MM MM MM o
x x x MM x
MM
MM
xs2与x2x总y是2 同号MM的MM
1 y 2 x
ds
lim
s
lim
MM
1
y
2
dx x0 x x0 MM
ds y
dx
3
1 y2 2
ds 1 y2 dx
d ?
dx
6
设曲线的参数方程为
x (t)
y
(t
)
't "t "t 't
K
'2 t '2 t 3/ 2
例1 计算 xy 1 在点 1,1 处的曲率。
解
y 1, x
y
1 x2
,
y
2 x3
.
y 1, y 2.
平均曲率的极限
若 lim 存在，则
曲率
作为研究曲率的预备知 识，我们先给出弧微分 如何用数学的方法来刻画曲线的弯曲程度呢？在这一 的概念. 节，我们将建立关于曲线弯曲程度的度量，即曲率．
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弧就比较平缓；BC , DE 两段弧都是下凸的，但 BC 弧弯曲 的利害，而 DE 弧就比较平缓．
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一、弧微分
设函数 f ( x ) 在 (a, b) 内有连续导数. 下面给出有向曲 线弧的值的概念.
b 4ac b2 2 y ax bx c, (a 0) 的顶点, ( , ) 又因为 为抛物线 2a 4a
所以抛物线在顶点处的曲率最大。
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x a(t sin t ), 例4 求旋轮线 (a 0) 上点 ( a, 2a) 处的曲率． y a(1 cos t ) 分析：先由参数方程求导，然 解 由参数方程求导公式，有 后利用曲率计算公式求解。 a sin t dy [a(1 cos t )] sin t t , a(1 cos t ) 1 cos t dx [a(t sin t )] t
解 对直线来说，其切线与其本身重合，当点沿直线运动时， 讨论：要想求曲率，我们能利用的“已知”是什么？ 切线的方向没有改变，即 0 ，于是
K lim 0. s 0 s
y
T'
设圆的半径为R，如右图。 当点在圆上从 M 移动到 M 时，
D R M'
T
o
M
设转过的角度为 ， 那么它在曲线上所走过的长度为 s R 1 因此 K lim lim . s 0 s 0 R R
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3．曲率的计算公式
高等数学曲率
yxddyxcRss2cin dd
1
R sin3
K
y
3
R
1 sin
3
3
(1 y2 )2 ( 1 cot 2 ) 2
1 csc 2
R
3
(csc 2 ) 2
1 . R
12
例3 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
D
1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D，使
DM 1 , 以D为圆心， o
K
M
x
为半径作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
15
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数.
即
1 K
,K
1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
复习
1.判定凹凸性的方法：
如果 f (x) 在 (a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 (1) f(x)0,则曲线 f (x)在(a,b)内是凹的. (2) f(x)0,则曲线 f (x) 在 (a,b)内是凸的.
说明：拐点的横坐标可能是 y 0的根， 也可能是 y不存在的点.
弧微分公式
4
ds 1 y2dx
y
变形 ds
1
( dy)2 (d x)2
dx
(dx)2(dy)2
M
M0
ds
M
Tdy
R
dx
o
则有 (ds)2(dx)2(dy)2.
x0
x
xx x
弧微分的几何意义：ds 就是曲线 y f(x)上点M(x, y)
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§3.3 曲线的弯曲程度——曲率
一、曲率的概念
在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？
如图3.6所示， 12M M 和
23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比
12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比
从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示， 12M M 和
12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧， 12N N 比
12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比
12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时，
切线相应的转角为α∆， 曲线弧 MN 的长为s ∆。
我们用s
∆∆α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程
1M
图
3.6
图
3.7
图3.8
1
度，并称它为曲线弧
MN 的平均曲率，记为K ，即
K s
α
∆=
∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lim
s d s ds
αα
∆→∆=∆存在，从而极限
l i m
s d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s ds
αα
∆→∆=
∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即
d K ds
α
=。
（3.1） 注意到，
d ds
α
是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式
设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.
先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得
())(11arctan 2y d y y d d ''+=
'=αdx y y '''
+=2
11
（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点
0M ，并以此为起点度量弧长。
若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。
当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +∆时，有
=
∆2
)(s ()
()()2
2
2
y x MN
∆+∆=≈，
即 22)(1)(
x
y
x s ∆∆+≈∆∆，
图3.9
2
取极限后可得等式
2020)(lim 1)(
lim x
y
x s x x ∆∆+=∆∆→∆→∆，
即 22)(1)(dx dy
dx ds +=21y '+=，
又因为，s 是x 的增函数，故0ds
dx ≥，从而
21y dx
ds
'+=， 即 dx y ds 21'+=。
（3.3） 把（3.2）、（3.3）式代入（3.1）式，得
23/2
(1)y K y ''
=
'+ （3.4） 这就是曲线()y f x =在点(,)x y 处曲率的计算公式.
例1 求下列曲线上任意一点处的曲率： （1）b kx y +=；（2）222R y x =+。
解 （1）因为k y ='，0=''y ，代入公式（3.4），得0K =。
所以，直线上任意一点的曲率都等于零，这与我们的直觉“直线不弯曲”是一致的。
（2）因为022='+y y x ，y x y -='；322y
R y y x y y -='--=''，代入公式（3.4）
，得
()
3
2
2
1y K y ''
=
'+()
2
32)(132
x y R -+-
=
()
R
y
x
R 12
3
2
2
2
=
+=。
所以，圆上任意一点处的曲率都相等，即圆上任意一点处的弯曲程度相同，且曲率等于圆的半径的倒数。
三、曲率圆
如图3.10，设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)K K ≠。
在点M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D ，使1
||DM K
ρ=
=。
以D 为圆
图3.10
3
心，ρ为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆；曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心；曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径。
根据上述规定，曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线和曲率，且在点M 邻近处凹凸性相同。
因此，在工程上常常用曲率圆在点M 邻近处的一段圆弧来近似代替该点邻近处的小曲线弧。
例2 设工件内表面的截线为抛物线20.4y x =，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。
因为
0.8,0.8y x y '''==，
所以，抛物线上任一点的曲率半径为
23/223/2
1(1)[1(0.8)]0.8
y x K y ρ'++===
''， 当0x =时，即在顶点处，曲率半径最小，为 1.25ρ=。
所以，选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.。