欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算
实验二 二阶系统阶跃响应_2
实验二二阶系统阶跃响应一、实验目的（1）了解典型二阶系统模拟电路的构成方法及二级闭环系统的传递函数标准式。
（2）研究二阶闭环系统的结构参数--无阻尼振荡频率ωn、阻尼比ζ对过渡过程的影响。
（3）掌握欠阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp、ts的计算。
观察和分析二阶闭环系统的欠阻尼, 临界阻尼, 过阻尼的瞬态响应曲线, 及在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp、ts值, 并与理论计算值对比。
二、实验设备（1）XMN-2型学习机；（2）CAE-USE辅助实验系统（3）万用表（4）计算机三、实验内容本实验用于观察和分析二阶系统瞬态响应的稳定性。
二阶闭环系统模拟电路如图2-1所示, 它由两个积分环节（OP1和OP2）及其反馈回路构成。
图2-1 二阶闭环系统模拟电路图OP1和OP2为两个积分环节, 传递函数为（时间常数）。
二阶闭环系统等效结构图如图2-2所示。
图2-2 二阶闭环系统等效结构图四、该二阶系统的自然振荡角频率为, 阻尼为。
五、实验步骤（1）调整Rf=40K, 使K=0.4（即ζ=0.2）；取R=1M, C=0.47μ, 使T=0.47秒（ωn=1/0.47）, 加入阶跃输入信号x(t)=1V, 记录阶跃响应曲线①；（2）保持ζ=0.2不变, 阶跃信号不变, 取R=1M, C=1.47μ, 使T=1.47秒（ωn=1/1.47）, 记录阶跃响应曲线②；（3）保持ζ=0.2不变, 阶跃信号不变, 取R=1M, C=1μ, 使T=1秒（ωn=1/1）, 记录阶跃响应曲线③；保持ωn=1/0.1不变、阶跃扰动不变, 调整Rf=200K, 使K=2（即ζ=1）, 记录阶跃响应曲线④；保持ωn=1/0.1不变、阶跃扰动不变, 调整Rf=300K, 使K=3（即ζ=1.5）, 记录阶跃响应曲线⑤。
六、数据采集及处理七、实验报告1、推导模拟电路的闭环传递函数Y(s)/X(s)？确定R、C.Rf、Ri与自然振荡角频率和阻尼比之间的关系。
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应引言在控制理论中，欠阻尼二阶系统是一类重要的动态系统，其单位脉冲响应在许多应用中起着关键作用。
本文将全面、详细、完整且深入地探讨欠阻尼二阶系统单位脉冲响应的相关内容。
什么是欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统指的是一个具有两个自由度的动态系统，其中的阻尼程度较小。
这种系统经常出现在物理学、工程学和应用数学的领域中，具有重要的实际意义。
欠阻尼二阶系统的特点欠阻尼二阶系统具有以下几个特点：1.自由频率高：欠阻尼情况下，系统的自由频率较高，会导致系统的振动周期较短。
2.衰减较小：欠阻尼情况下，系统的衰减速度较慢，振幅会在一定时间内保持较大的数值。
3.较长的过渡时间：由于衰减较小的特点，欠阻尼系统需要较长的时间才能从初始状态过渡到最终稳定状态。
欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应是指系统对单位幅度的脉冲输入的输出响应。
对于欠阻尼二阶系统，单位脉冲响应在系统分析和控制中有着广泛的应用。
单位脉冲响应的定义单位脉冲响应函数可以通过计算系统对单位脉冲输入的响应来得到。
单位脉冲信号是一个幅度为1的窄脉冲信号，其持续时间很短，并且面积为1。
欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应表达式对于欠阻尼二阶系统，其单位脉冲响应的表达式可以表示为以下形式：y(t)=ω√1−ζ2−ζωn t sin(ωd t+ϕ)其中，y(t)表示系统的输出，ωn表示系统的自由频率，ζ表示系统的阻尼比，ωd=ωn√1−ζ2表示系统的阻尼频率，t表示时间，ϕ表示相位角。
单位脉冲响应的性质欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应具有以下几个重要的性质：1.振幅衰减：随着时间的增加，单位脉冲响应的振幅会逐渐衰减。
2.频率变化：单位脉冲响应的频率会随着时间的推移而发生变化。
3.相位角变化：单位脉冲响应的相位角也会随着时间的推移发生变化。
单位脉冲响应的重要性单位脉冲响应在系统的稳定性分析、频率响应分析以及系统设计等方面都具有重要的意义。
通过对单位脉冲响应进行分析，可以深入了解系统的动态特性，为控制系统的设计和优化提供依据。
二阶欠阻尼系统阻尼比和固有频率
二阶欠阻尼系统中的阻尼比和固有频率是控制系统工程中非常重要的概念。
它们在系统动态特性分析中起着至关重要的作用，对系统的稳定性和性能有着决定性的影响。
本文将从简单到复杂，由表面到深入，逐步探讨二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率，希望能帮助读者更深入地理解这一概念。
1. 什么是二阶欠阻尼系统？在控制系统中，二阶欠阻尼系统是指具有两个自由度的系统，它具有两个特征的物理量，比如位移和速度。
在动态系统中，二阶系统常常出现，比如弹簧振子系统、RLC电路等。
二阶系统的传递函数通常可以表示为一个二次方程。
2. 阻尼比和固有频率的概念阻尼比是描述系统阻尼程度的一个重要参数，它是实际阻尼比与临界阻尼比的比值。
固有频率则是系统自由振荡的频率，在没有受到外界干扰的情况下，系统将以固有频率进行振荡。
3. 阻尼比和固有频率的影响阻尼比和固有频率对于二阶系统的动态特性有着重要的影响。
在阻尼比小于1的情况下，系统呈现欠阻尼振荡的特性；而在阻尼比大于1的情况下，系统则呈现着过阻尼的特性。
固有频率则决定了系统振荡的频率，它越高表示系统越“硬”、振荡的速度越快。
4. 个人观点和理解在控制系统工程中，对于二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率的理解是非常重要的。
它们直接关系到系统的稳定性和性能，因此在系统设计和分析中必须充分考虑这些因素。
阻尼比和固有频率的合理选取不仅能保证系统的稳定性，还能够提高系统的响应速度和抑制振荡，从而更好地实现控制的目标。
总结与回顾：通过本文的阐述，相信读者对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。
在实际控制系统工程中，我们需要根据具体的需求和要求来选择合适的阻尼比和固有频率，从而实现系统的稳定性和性能优化。
希望本文可以为读者对这一主题的理解和应用提供一些帮助。
通过以上的介绍，相信您已经对二阶欠阻尼系统的阻尼比和固有频率有了更深入的理解。
在实际工程中，合理选择阻尼比和固有频率将对系统的控制性能产生重要影响。
欠阻尼二阶系统动态过程分析
阻尼比希望值为（0.4～0.8）
动态指标：tr 、 tp 、 p %、ts
（1）上升时间trc(t) 1
e nt
1 2
s in( d t
)
tg1
1 2
d n
1 2
依定义，令c(t)=1， c(tr ) 1
因为
entr
1 2
0
，有s in( d t
r
若 lim c(t) 0 t
（渐近）稳定
若 lim c(t)
t
系统不稳定
若 lim c(t) A
t
临界稳定
非零常数
设若n阶全系部统特表征达根式有为负实部，则
(sl)im t
CcR(((tss)))
0ba00ssmn
b1s m 1 a1s n 1
（ 渐 近bamn）11ss 稳 ab定mn
（2）K=16，T=0.25，得
0.25 n 8
将n 、 代入动态性能指标公式得
tr
d
0.24(s)
p % e / 1 2 100% 44%
tp
d
0.41(s)
ts
3.5
n
1.75(s)
( 0.05)
例3.7 系统及阶跃响应曲线如图 示,求K1、K2和a。
R(s) k1 _
有
e nt
1
2
sin(d t
)
(t ts )
所以
ent
1 2
sin(d t
)
ent
1 2
即
取 =0.707得
因为ts
3.5
snin((d t=5% ))
3.3二阶系统的动态性能(上)解析
s 2n 1 s [( s n ) jd )][( s n ) jd ]
s 2n 1 s 2n 1 s ( s n )2 ( jd )2 s ( s n )2 d 2
at
s n n 1 s (s n )2 d 2 (s n )2 d 2 n 1 2 1 s n 1 2 2 s ( s n ) d ( s n )2 d 2
5.84 n ts 4.75 n
4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差， 系统为无静差系统。
4.过阻尼（ζ>1）状态
闭环特征方程
特征根
2 s 2 2n s n 0
s1 n n 2 1
s2 n n 2 1
nt
d
L[e at cos t ]
上式取拉氏反变换，得
y(t ) 1 e
1 1
cos d t
1
2
sa ( s a)2 2 L[e at sin t ] ( s a)2 2
ent sin d t
e nt 1 2 e
Δ 2 Δ 5
4T1 1.25 ts 3T 1
Δ 2 Δ 5
1.34
3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误 Y(t) 差，系统为无静差系统。
2
4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻 尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有 振荡和超调，系统的调节时间随ζ的增加 而变大，在所有无超调的二阶系统中， 临界阻尼时，响应速度最快。
2 n 1 1 s Y ( s ) ( s ) R( s ) 2 2 2 s n s s s 2 n
实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析.
自动控制原理实验报告实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级：姓名：学号：实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析一、实验目的1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼状态2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响；3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数有关，与外作用无关”的性质；4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态；5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。
二、实验内容1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。
2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。
3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定性的影响；4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响；5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。
三、实验步骤1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统：ωωξω22)(22nn s G s s n++=可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节ωωξω)()()()(2C C C C s C C 22262154232154232154215426316320nn s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++=++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2（1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
欠阻尼二阶系统动态性能指标计算
G(s) = K/((s^2)+(2ξωns)+(ωn^2))
其中，K为系统的增益，ξ为阻尼比，ωn为自然频率。
得到传递函数后，我们可以通过以下步骤来计算欠阻尼二阶系统的动
态性能指标。
1.响应时间：响应时间是指系统从初始状态到达终值的时间。
可以通
过观察系统的单位阶跃响应图形获得。
单位阶跃函数输入是一个满足大小
为1的单位跃变。
根据实际情况，如果初始状态不为零，需要根据系统的
初始条件特性进行修正。
2.超调量：超调量是指系统响应的相对峰值与单位阶跃输入的理想最
终稳态值之间的差异。
可以通过观察单位阶跃响应图形获得。
3.峰值时间：峰值时间是指系统达到响应峰值所需的时间。
4.调整时间：调整时间是指系统在响应开始后，达到其最终稳态值之
前所需的时间。
可以用不同的准则来定义调整时间，比如超调量的百分比
准则、误差准则等。
5.稳态误差：稳态误差是系统在达到稳态时，输出与输入之间的差异。
对于单位阶跃输入，稳态误差为1
6.阻尼比、自然频率和增益：阻尼比、自然频率和增益是确定系统动
态响应特性的参数。
根据实际系统的特性，可以通过实验或者理论分析来
确定这些参数的值。
7.极点分布：根据系统的传递函数形式，可以通过对传递函数的分母进行因式分解来确定系统的极点。
极点的位置决定了系统的稳定性和动态响应特性。
在实际应用中，我们通常根据具体的控制要求，计算系统的动态性能指标，并根据这些指标来设计和优化控制器。
第九次课 二阶系统响应及性能指标
e
nt
(1
e
n
t)
（3）过阻尼单位阶跃响应
t T1 t T2
h (t ) 1
e T2
T1 1
T1
T1 2 1
（4）无阻尼单位阶跃响应
h ( t ) 1 cos
n
t
动态性能指标
1.延迟时间
t
2.上升时间 3.峰值时间 4.超调量
d
二阶系统跟踪单位速度响应其稳态误差为单位速度响应2欠阻尼单位速度响应4过阻尼单位速度响应1无阻尼单位速度响应ss无法跟踪无法跟踪五二阶系统性能的改善不变结论
控制工程基础
主 讲 陈 青 林
内
容
简
要
1. 二阶系统阶跃响应 2. 动态性能指标的求取。 3. 二阶系统斜坡响应与脉 冲响应
二、二阶系统单位阶跃响应
1 0 .7
n
t
r
d
t
%
p
d
2
e
t
1
100 %
5.调节时间
s
3 .5
n
三、二阶系统的单位速度响应
C (s)
n
2 2
s 2 n s n
2
1 s
2
1、欠阻尼情况（ <1）：
c (t ) t 2
n
td 1 . 68
tr
nt
e
nt
4 .4
n
n
ts
4 . 75
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传递函数：
A Φ(s)= S+a
运动模态1
K(t)=Ae-at
零极点分布图：
j
-a
0 0
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)=(S+a)2+b2
运动模态2
K(t)=Ae-atsin(bt+α)
零极点分布图：
j b -a 0 0
t
运动模态3
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)= S2+b2
K(t)=Asin(bt+α)
零极点分布图：
j b 0 0
t
运动模态4
传递函数：
A1s+B1 Φ(s)=(S-a)2+b2
K(t)=Aeatsin(bt+α)
零极点分布图：
j b 0 0 a
t
运动模态5
传递函数：
A Φ(s)= S-a
K(t)=Aeat
零极点分布图：
j
0 0 a t
运动模态总结
k
0
k
0 0
k
0 0
∞ ∞
ess=
0
∞
r(t)=R1(t) 1 ess= Kp=? k lim s ν 小 R2 K s s→0 v=? ess= 结：lim3 k Ka=? r(t)=Rt 1+ s→0 ν
r(t)=Rt2/2
非单位反馈怎么办？ R
lim s2 ν s s→0
k
结论1：增加极点有何影 响？ 结论2：偶极子有何作用？
设系统特征方程为：
劳斯表介绍
7
(6－4)/2=1 (10-6)/2=2 (6-14)/1= 劳斯表特点 -8
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 劳 斯 表
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 4 2 1 -8 0 ε -8 2ε 7 5 6 7 7
m
3 系统型别 21例题 误差定义
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
R(s) E(s)
G(s)H(s)
C(s)
r(t)=R1(t) ess= R
R(s)=R/s
1 E(s)=R(s) 1+G(s)H(s) 若系统稳定, 则可用终值定理求ess R(s) ess= lim s s→0 kGH 1+ ν 0 0 s
s
1 k(0)= T ’ h (0)=1/T K’(0)=T T
? 3 、r(t)=at时，ess=？
4、求导关系？
二阶系统单位阶跃响应 定性分析
2 1
2 ωn Φ(s)= 2 s +2ξωns+2 1 1 ωn j j j T T ξ＝ ξ＞ 00 S1,2= - 0 ± ωn 1:2 ξ1: √ξ ξω ＞1 1 j t t T e e S+ = -T = -ω h(t)= 1 -(1+ω t) e-ω t n h(t)= 1+ T ξ n 0 n 1,2 T 1 T 1 T ξ ＝1 j j ωnj 0＜ξ＜ 0 0＜ξ＜ S1,2= - 0 ±j ωn ξ＝0: √10 ξω 1 1: ξ2
动态性能指标定义1
超调量σ% = A 100% B
A
峰值时间tp 上 升 时间tr
B
调节时间ts
动态性能指标定义2
调节时间 ts 上升时间tr
动态性能指标定义3
σ%= A 100% B
A
B
tr
tp
ts
一阶系统时域分析
无零点的一阶系统
k(t)= T r(t)= δ(t) 单单 单
1 T
k ,T 时间常数 Φ(s)= Ts+1 (画图时取k=1,T=0.5)
σ %= 20.8% ts= 3.74s σ %= 19.1% ts= 3.89s Φ1(s) =
30 (s2+2s+5)(s+6)
Φ2(s) =
5 (s2+2s+5)
偶极子
Φ1= Φ2=
20 (s+2)2+42
120 [(s+2)2+42](s+2)(s+3)
3.31[(s+2)2+4.52] Φ3= [(s+2)2+42](s+2)(s+3) Φ4= 6 (s+2)(s+3)
h(tp) －h(∞) 2 n 由 100% 得 σ% = 100% e h(∞) 1 eh(t)= 1－√1σ%= πξ/√1sin( ωdt+β ) ξ ξ 2 ωn 3.5 ξ 由包络线求调节时间 得 ts≈ ξω
欠阻尼二阶系统的ts
取sin项为 ±1，则 h(t)=1±e-ξωnt
取误差带为△=±0.05,则有eξωnt=0.05 ln20/√1-ξ2 3.5 由此解出ts= ≈ ξ
第一列全大于零,所以系统稳定
劳斯表出现零行 1 劳斯表何时会出现零行? 系统一定不稳定 2 出现零行怎么办?
3 如何求对称的根?
③ 求解辅助方程得: 错啦!!!
s1,2=±j
由综合除法可得另两 个根为s3,4= -2,-3
误差分析 k =limsE (s)=H1 G0 0 essr r 8 i =1 s 求图示系统的稳态误差 R(s) ∏(τis+1) 设开环传递函数G(s)H(s)= E(s) →0 nE(s) R(s) C(s) C(s) νν 令r(t)=0, G(s) N(s) ess 。 → 0时，G H 一定→1 s j=1 G(s) 注意：s 0 0 R(s) C(s) ∏(Tjs+1) (s) 2 1 B(s) C(s) En(s)= -Cn 0.2s+1 H(s) s(s+1) 此时的k为开环增益 2(0.2s+1) E(s)=R(s)-C(s) .1 = s(s+1)(0.2s+1)+4 s 输入端定 2 E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s) 义：表示开环有ν个极点在坐标原 sν r(t)=t, n(t)= -1(t) N(s) 其中 1 C(s) R(s) 点 essn=limsEn(s)= 2 G1(s) G2(s) ν= 称为0型系统 s→0 输出端定 解 令n(t)=0, 1 0 义： -C = R(s) -C(s) E(s)=C希 R(s) ˊν= 实 H(s) 提个 ssH(s)ssr+ essn ： (s)= 称为Ⅰ型系统 总误差e =e 2 Er -C(s) H(s) 1 3 ˊ称为Ⅱ型系统 C(s)醒！n(s)=C希-C实= –Cn(s) ˊ R(s) ν= R(s) E(s) 0.5s(s+1)(0.2s+1) . 1 1 E 1 G(s)H(s) 1 =H(s) 2 ∴ess= 8 + 2 = 5 2s(s+1)(0.2s+1)+4 s 8 ν= 称为Ⅲ型系统 总误差怎么求？ 因为系统稳定，所以 3
1 右移一位降两阶 2 每两行个数相等 3 行列式第一列不动 +8 ε -8(2ε+8)7 4 次对角线减主对角线 -7 ε 分母总是上一行第一个元素 5 2 ε 6 一行可同乘以或同除以某正数 7 第一列出现零元素 时， 用正无穷小量ε代
劳斯判据
系统稳定的必要条件: s6 1 特征方程各项系数 均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件: ε 劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定! 变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
s5 s4 s3 s2 s1 s0
2 1 0 ε
2ε +8 ε -8(2ε+8)7
3 4 2 -8 -8 7
5 6 7 7
7
-7
- t e
h(t)=1-e-t/T r(t)= 1(t)
c(t)=t-T+Te-t/T r(t)= t
位位 位 斜阶 k’(0)=1/T2 脉坡 跃 响响 冲 应应 响
问应
h(T)=0.632h(∞) h(2T)=0.865h(∞) h(3T)=0.95h(∞) 1 、3个图各如何求T？ h(4T)=0.982h(∞) 2 、调节时间t =？
j 0 j 0 j 0 j 0 j 0
零点对过阻尼二阶系统的影响
σ%=33 %
j 0
零点对欠阻尼二阶系统的影响
j 0
附加极点对系统的影响
j 0 j 0 j
结论 1： 结论 2：
增加极点是削弱了阻尼 还是增加了阻尼？ 增加的极点越靠近原点 越怎样？
0 j 0
高阶系统
主导极点 增加极点对 ξ有何影 响？
ε
2
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 1 5 6 1 6
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
继续计算劳斯表
1+ lim k s→0 sν r(t)=Rt R(s)=R/s2 R ess= k lim s ν s s→0 r(t)=Rt2/2 R(s)s2
k sν
取不同的 ν
R1(t)
0型 Ⅰ型 Ⅱ型
Rt
Rt2/2
R1(t)
Rt
Rt2/2
R 1+ k
∞
R k
∞ ∞
R k R
1 2